高考数学三角函数的图象与综合应用（精讲精练）（解析版）.pdf

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1、专 题 0 1 三 角 函 数 的 图 象 与 综 合 应 用【命 题 规 律】三 角 函 数 的 图 象 与 性 质 是 高 考 考 查 的 重 点 和 热 点 内 容，主 要 从 以 下 两 个 方 面 进 行 考 查:1、三 角 函 数 的 图 象，涉 及 图 象 变 换 问 题 以 及 由 图 象 确 定 解 析 式 问 题，主 要 以 选 择 题、填 空 题 的 形 式 考 查；2、利 用 三 角 函 数 的 性 质 求 解 三 角 函 数 的 值、参 数、最 值、值 域、单 调 区 间 等，主 要 以 解 答 题 的 形 式 考 查.3、三 角 恒 等 变 换 的 求 值、化 简

2、是 高 考 命 题 的 热 点，常 与 三 角 函 数 的 图 象、性 质 结 合 在 一 起 综 合 考 查，如 果 单 独 命 题，多 用 选 择、填 空 题 中 呈 现，难 度 较 低；如 果 三 角 恒 等 变 换 作 为 工 具，将 其 与 三 角 函 数 及 解 三 角 形 相 结 合 求 解 最 值、范 围 问 题，多 以 解 答 题 为 主，中 等 难 度.【核 心 考 点 目 录】核 心 考 点 一：齐 次 化 模 型 核 心 考 点 二：辅 助 角 与 最 值 问 题 核 心 考 点 三：整 体 代 换 与 二 次 函 数 模 型 核 心 考 点 四：绝 对 值 与 三 角

3、 函 数 综 合 模 型 核 心 考 点 五：。的 取 值 与 范 围 问 题 核 心 考 点 六：三 角 函 数 的 综 合 性 质【真 题 回 归】1.（2022全 国 高 考 真 题）记 函 数 f（x）=sin（s+：）+6（0O）的 最 小 正 周 期 为 T.若,T 左，且 丫=/。）的 图 象 关 于 点（今，2）中 心 对 称，则/5）=（）3 5A.1 B.-C.-D.32 2【答 案】A【解 析】由 函 数 的 最 小 正 周 期 7 满 足=T%,得?生 乃，解 得 2口 3,3 3 C D又 因 为 函 数 图 象 关 于 点（营,2 对 称，所 以 当=Z;r,kGZ

4、,且 办=2,所 以 0=,所 以（y=g,/（x）=sinf|x+2,所 以/O=sin生+力+2=1.故 选：A2.（2022.全 国 高 考 真 题（理）设 函 数，（x）=s i n+m）在 区 间（0,兀）恰 有 三 个 极 值 点、两 个 零 点，则。的 取 值 范 围 是（）5 13、5 19、（13 81（13 19-A.-B.C.D.-_3 6 J l_3 6 J 1 6 3 v 6 6【答 案】CT T 77 J C【解 析】依 题 意 可 得 0 0，因 为 x e（o,7）,所 以 yx+e,y;r+J,要 使 函 数 在 区 间（0,乃）恰 有 三 个 极 值 点、两

5、 个 零 点，又 丫=/孙 的 图 象 如 下 所 示：故 选：C.3.(2022全 国 高 考 真 题)若 5皿。+尸)+8$(。+夕)=2正：05(。+7 由，则()A.ta n(a-/7)=l B.tan(a+/7)=lC.ta n(a-/?)=-l D.ta n(a+.)=-l【答 案】C【解 析】方 法 一：直 接 法 由 已 知 得：sin a cos p+cos a sin 尸+cos a cos sin a sin 2=2(cos a-sin a)sin/?,即：sin a cos p-cos a sin/?+cos a cos/?+sin a sin p=0,即：sin(a-

6、y 0)4-cos(6Z-y0)=O所 以 ta n(a-尸)二-1故 选：c 方 法 二:特 殊 值 排 除 法 解 法 一：设。=0 则 sina+cosa=0,取 a=/排 除 A,B；JT再 取 a=0 则 sin。+cosp=2 s in p,取 B=排 除 D；选 C.方 法 三:三 角 恒 等 变 换 sin(a+6)+cos(a+/)=播 sin(a+夕+工)=72 sin(a+土)+4 4=V2 sin(cr+)cos Z74-V2cos(a+)sin B=2A/2 COS(cr+)sin B4 4 4所 以 五 s in(a+K)cos 夕=V2cos(x+-+3 2y）,

7、又 C关 于 y 轴 对 称，则 2CD 7V 71 71、1-F=+k 7 V,k Z,2 3 2解 得。=；+2 k,&e Z,又。0,故 当 左=0时，。的 最 小 值 为;.故 选：C.5.（多 选 题）（2022全 国 高 考 真 题）已 知 函 数/。）=0吟+9）（0 9 兀）的 图 像 关 于 点 传,0）中 心 对 称，贝（J（）A./（x）在 区 间 单 调 递 减 c _ _ _(冗 1 1 7 TB.A x)在 区 间 1-五,五 有 两 个 极 值 点7兀 C.直 线 x 是 曲 线)，=/(幻 的 对 称 轴 6D.直 线 y=苧-x 是 曲 线 y=f(x)的 切

8、 线【答 案】AD【解 析】由 题 意 得：年)=sin(与+9)=0,所 以?+夕=也，keZ,即 夕=-F kit,Z E Z,2兀 又 0 0 兀，所 以=2时，9=可（2兀 f e/U）=s in l2 x+y5 7 tA.c 2兀（2n 3兀 对 A,当 时，2x+el,由 正 弦 函 数 y=sin“图 象 知 y=f(x)在 0,芸 上 是 单 调 递 减;,(71117r对 B,当 川 一 五,五 时,，2 x+2T C e兀 5兀 2 T，由 正 弦 函 数 y=sin“图 象 知 y=f(x)只 有 1个 极 值 点,由 2x+1 二 号，解 得 x=含 即”油 为 函 数

9、 的 唯 一 极 值 点；对 C,当 x=?7冗 时，2 x+2兀?=3兀，/O7 7 r=0,直 线 x=7:元 不 是 对 称 轴;6 3 6 6对 D,由 y=2cos（2 x+7）=1 得：cos2x+=,2兀 2兀 2兀 4兀 ftO 2 x+=+2 to 2 x+=+2foi,eZ,3 3 3 3Tl从 而 得：X=阮 或 X=+E,A Z,所 以 函 数 y=/(x)在 点(0,日)处 的 切 线 斜 率 为 女=yL。=2 c o s y=-1,切 线 方 程 为：y-正=-(x-0)即 y=*-x.故 选：AD.6.(2022全 国 高 考 真 题(理)记 函 数/(x)=c

10、os(yx+e)(0,0eQ,0pn)2兀 所 以 最 小 正 周 期 丁 二,因 为/（7）=c o s L.Lcos co&（2兀+）=COS（p=-y-,又 0。0,所 以 当 2=0 时 练 访=3；故 答 案 为：3【方 法 技 巧 与 总 结】1、三 角 函 数 图 象 的 变 换（1）将 y=sinx的 图 象 变 换 为 y=Asin（0 x+Q）（A 0,0 0）的 图 象 主 要 有 如 下 两 种 方 法:方 法 I 方 法 2（2）平 移 变 换 函 数 图 象 的 平 移 法 则 是“左 加 右 减、上 加 下 减，但 是 左 右 平 移 变 换 只 是 针 对 x

11、作 的 变 换；（3）伸 缩 变 换 沿 x 轴 伸 缩 时，横 坐 标 x 伸 长 或 缩 短（。1）为 原 来 的 _1（倍）（纵 坐 标 y 不 变）；0）沿 y 轴 伸 缩 时，纵 坐 标 y 伸 长（A1）或 缩 短（O A 1）为 原 来 的 A（倍）（横 坐 标 x 不 变）.（4）注 意 平 移 前 后 两 个 函 数 的 名 称 是 否 一 致，若 不 一 致，应 用 诱 导 公 式 化 为 同 名 函 数 再 平 移.2、三 角 函 数 的 单 调 性（1）三 角 函 数 的 单 调 区 间 y=sinx的 单 调 递 增 区 间 是 2攵 兀 一 二,22兀+工（k e

12、Z）,2 2 单 调 递 减 区 间 是 12加 十 二,2%兀+型（Z E Z）;2 2y=cosx的 单 调 递 增 区 间 是 2女 兀-兀,2%兀（攵 e Z）,单 调 递 减 区 间 是 2攵 兀,2攵 兀+兀（左 G Z）;y=ta n x的 单 调 递 增 区 间 是（女 兀 一,&兀+（4 G Z）.（2）三 角 函 数 的 单 调 性 有 时 也 要 结 合 具 体 的 函 数 图 象 如 结 合 y=|s in x|,y=s i n|x|，y=|c o s x|,y=c o s|x b c o s x的 图 象 进 行 判 断 会 很 快 得 到 正 确 答 案.3、求 三

13、 角 函 数 最 值 的 基 本 思 路（1）将 问 题 化 为 y=Asin（w+夕）+3 的 形 式，结 合 三 角 函 数 的 图 象 和 性 质 求 解.（2）将 问 题 化 为 关 于 s in x或 co sx的 二 次 函 数 的 形 式，借 助 二 次 函 数 的 图 象 和 性 质 求 解.（3）利 用 导 数 判 断 单 调 性 从 而 求 解.4、对 称 性 及 周 期 性 常 用 结 论（1）对 称 与 周 期 的 关 系 正 弦 曲 线、余 弦 曲 线 相 邻 的 两 个 对 称 中 心、相 邻 的 两 条 对 称 轴 之 间 的 距 离 是 半 个 周 期，相 邻

14、的 对 称 中 心 与 对 称 轴 之 间 的 距 离 是 四 分 之 一 个 周 期；正 切 曲 线 相 邻 两 个 对 称 中 心 之 间 的 距 离 是 半 个 周 期.（2）与 三 角 函 数 的 奇 偶 性 相 关 的 结 论 若 y=Asin（z x+9）为 偶 函 数,则 有 9=%兀+%wZ）；若 为 奇 函 数,则 有 e=Zn（k eZ）.若 y=Acos（w x+为 偶 函 数,则 有 9=%兀（左 e Z）;若 为 奇 函 数,则 有 9=%兀+5 伏 e Z）.若 y=Atan（azr+0）为 奇 函 数，贝！I有 e=E A e Z）.5、已 知 三 角 函 数 的

15、 单 调 区 间 求 参 数 取 值 范 删 的 三 种 方 法（1）子 集 法：求 出 原 函 数 相 应 的 单 调 区 间，由 已 知 区 间 是 所 求 某 区 间 的 子 集，列 不 等 式（组）求 解.（2）反 子 集 法：由 所 给 区 间 求 出 整 体 角 的 范 围，由 该 范 围 是 某 相 应 正 弦、余 弦 函 数 的 某 个 单 调 区 间 的 子 集，列 不 等 式（组）求 解.（3）周 期 性：由 所 给 区 间 的 两 个 端 点 到 其 相 应 对 称 中 心 的 距 离 不 超 过,个 周 期 列 不 等 式（组）求 解.4【核 心 考 点】核 心 考 点

16、 一：齐 次 化 模 型【规 律 方 法】齐 次 分 式：分 子 分 母 的 正 余 弦 次 数 相 同，例 如：a s in a+6 c o s c（一 次 显 型 齐 次 化）csin a+d c o s。或 者。sin2 a+6cos?a+c s in a c o s a n sin?a+尻 os?a+c：sin a c o s a（二 次 隐 型 齐 次 化）sin-a+cos a这 种 类 型 题，分 子 分 母 同 除 以 cosa（一 次 显 型）或 者 cos2a（二 次 隐 型），构 造 成 t a n a 的 代 数 式，这 个 思 想 在 圆 锥 曲 线 里 面 关 于

17、斜 率 问 题 处 理 也 经 常 用 到.【典 型 例 题】sin 6(l-sin 2 6)例 1.(2022.广 东 揭 阳.高 三 阶 段 练 习)若 tan6=-2,则 国 小 上()2-2 一 6-6A.一 B.一 一 C.-D.一 一 5 5 5 5【答 案】Csin 0(1-sin 2。)【解 析】点 诟)，sin。(1 一 2 si n 6 cos。)sin 6-co s 6sinfsin2。+cos*O-ZsinO cos。)=-,sin。一 cos。sin 8(sin8-cose)sin。一 cos。=sin(sin 0-c o s 0),=sin2 e-sin O c o

18、 s。，_ sin2 6-s in 夕 cos。sin2 0+cos2 0_ tan2。一 tan。tan2 6+1tan=-2,sin 6(1-sin 2。)tan2 0 tan 0 2)-(-2)6 s i n R j J ta n*+l=(-2丫+=?，故 选：c.c o s a-c o s a _例 2.(2022江 苏 省 丹 阳 高 级 中 学 高 三 阶 段 练 习)已 知 tan a=3,则 7=()cos a+I 2 j3 3 八 3 n 3A.B.C.-D.4 4 10 10【答 案】Dcos36z-coscr _ cos3 a-cos a _(cos a-l)c o s

19、a【解 析】因 为 tan a=3,则(兀 sina-sin aI 2)sin a cos a _ tan a _ 3cos2 cr+sin2 a 1+tan2 a 10故 选:D.1+sin a+cosa例 3.（2022湖 南 高 三 阶 段 练 习）已 知 曲 线 y=4 4 在 点（1,4）处 的 切 线 的 倾 斜 角 为 1，则/x 4 L U 1 C X II 4（）/7 A.，B.2&C.g D.12 2【答 案】C2【解 析】因 为 y=4 j l,则=去 则 曲 线 y=4正 在 点（L4）处 的 切 线 的 斜 率 为=y L=2,又 倾 斜 角 为 5a所 以%=21+

20、sin 7 4-cos a _ 1+sin a+cos a _ 1+sin a+cos a则 1 W J 兀)/-(V2 J 2)1-cosa+sina火 J 1 7 2 1+京 1-V 2-y c o s a-s i n ac 2 a c.a a.a2 cos+2sm cos 1+tan【解 析】因 为 7 T兀，tan 0=-3,所 以 cos。v 0,sin。0,所 以(1+sin 26+cos 26)(sin 8-cos 6)(2 cos?。+2 cos 9 s i n(s i n 8-cos 6)A/2+2COS 20 J 2(l+cos 28)2cos6(cos6+sin，)(si

21、n O-cosO)2cos0(sin*1 2 0-c o s22 2 2=2c.i a c.a a 2 a a2sin+2sin-cos tan+tan-2 2 2 2 2故 选：C.例 1 4.(2022,湖 北 襄 阳 五 1 中 高 三 开 学 考 试)若 4 不 兀。兀，tan 6=-3,则,(-1-+-s-i-n-2-6-+/cos 2)八(si八 n-0-c-o-s-0-=(2 j 2+2cos26【答 案】CV4cos2 6 2|cos6|=cos20 s i/”c N e-s in?。_ l-ta Y e _ 1_9 _ 4S m cos20+sin20 1+tan20 1+9

22、 5故 选:C.核 心 考 点 二：辅 助 角 与 最 值 问 题【规 律 方 法】第 一 类：一 次 辅 助 角:a s i n a b 8 s a 二 Ja?+k sin（a 夕）.（其 中 ta n=）a第 二 类：二 次 辅 助 角 a sin cox cos cur&cos2 cux(a,b 0)a sin cux cos cox/;cos2 cur=sin 2cux&(cos2air+1)=.击；，一 sjn(2GX【典 型 例 题】例 5.（2022内 蒙 古 赤 峰 二 中 高 三 阶 段 练 习（理）已 知 函 数 x）=+i n x+c o s x,当 x=时，取 得 最

23、大 值，则 c o s 4=（）A.叵 17B.晅 17c4D.一 7【答 案】A4 1【解 析】/(x)=sin x+g cos1n x+?=cosx后 s i n(x+),(其 中 cos=,sin=-=)当=时，/（x）取 得 最 大 值，此 时 夕+。=+22万（Z E Z）,得 到/=0+2Z（Z Z）,cos/?=8 5 e 一 0+2%卜 sin=叵 n故 选：A.ir 2乃 例 6.（2。22 四 川 省 成 都 市 新 都 一 中 高 三 阶 段 练 习（理）若 xw-.T的 值 域 为（）A.B。，手 2C.0,73 D.0,3+73【答 案】A【解 析】由 题 意,3 3

24、f(x)=3sin xcosx+/3sin2 x=-sin 2x+-(l-cos2x)=6 x(s i n 2 x-cos 2x)+2 2 2=G x(cos sin 2x-sin cos 2x)+6 6 2,则 函 数，(x)=3sinxcosx+G s in2x 乃 2乃,当 了 时,有 7 V 747，-62 X-T=-T 即 X=时,f(x)皿=/(g=&+。=；O N，J L 乙 当 2喂 中，即 x专 时 争=0.即 函 数/(x)的 值 域 为 故 选：A例 7.(2022四 川 省 成 都 市 新 都 一 中 高 三 阶 段 练 习(文)若 x e 0,则 函 数/(x)=3s

25、inxcosx+百 sii?x的 值 域 为()【答 案】AC.0,73 D.0,3+6【解 析】/(x)=|sin2%+V3-1-s 2-Y小 仑 一 冬 皿+生 扃 司+日 c 兀.2x-e6X E7 T 5兀 7T 7 T.当 2%一-=一 一,即 4 0 时,6 6小)而=可-;)+亭=。,当 2x 冷，即 广 抖 山 石+冬 亭,故 f(x)的 值 域 为 故 选：A.例 8.(2022 全 国 高 三 专 题 练 习)函 数/(x)=gsin2x+2sin2x,若，(七)()=一 3,则|2%-目 的 最 小 值 是()2乃 八 万 A.B.一 3 4【答 案】D【解 析】函 数

26、f(%)=石 sinZ x+Z si/x,=V 3sin2x-cos2x+l=2sin2x-j+1,因 为 2x 看/?,则 sin（2xk）e1,1所 以 x）e l,3,因 为 王）,巧）=-3,所 以/（对，/（）一 个 为“X）的 最 大 值，个 为 最 小 值,2xl-=2kl7r-2x,-=2k+-则 6 2 亿 匕 e z）,或 6 2（及 A 冗 z 冗 入 冗，冗 2%,=2k z 冗 H 2工，=2k17v解 得 X=k7T-6 化，A,wZ）,或，71x=匕 乃+一 3 伏 4 e Z）兀 所 以|2玉-x J u p K _他）乃 _ 彳（i）,或|2玉 一%|=（2人

27、 一 七）乃+石（ii）对 于（i）,当 超-&=1 时，|2与-电|的 最 小 值 是?，对 于（ii）,当 2尢 心=-1时，|2%-目 的 最 小 值 是，综 上，|2%-司 的 最 小 值 是 J,0故 选：D例 9.（2022浙 江 省 杭 州 第 二 中 学 高 三 阶 段 练 习）已 知 关 于 x 的 方 程 asinx+0cosx=2有 实 数 解，则 5-I）?+0-1）2 最 小 值 是.【答 案】6-472【解 析】asinx+bcosx=a2+h2 sin因 为 关 于 x 的 方 程 asinx+儿 osx=2有 实 数 解，所 以 储+万 N 2,即 a?+2 4

28、，则 点（力）的 轨 迹 为 以 原 点 为 圆 心，半 径 大 于 等 于 2 的 同 心 圆,设 点（。的 轨 迹 方 程 为 丁+y2=，（心 2）,（al+S I）?表 示 点（/）到 点（1,1）距 离 的 平 方，因 为 F+产=2 4，所 以 点（1,1）在 圆 r+2=4内，点（1,1）到 圆 Y+y 2=/（厂 3 2）上 的 点 的 最 小 值 为 r-J F 7 T=r-&2 2-夜,所 以（一 1）2+（0-1）2最 小 值 时（2-0）2=6-4&.故 答 案 为：6-4 N/2.f例 10.（2022（x-sinx.全 国 高 三 专 题 练 习）函 数 八 广.4

29、A-的 最 小 值 为.sin+cos 4 4【答 案】-夜【解 析】sinx 2 X 2 X 丫 c.2%2 Xsm+cos-2 sin-c o s 一 4 4 J 4 4sinx _ 4sinx(l cosx)-co sx+3.设-4si“=,可 得 4sinx+rcosx=3 f,可 得，/+1 6 sin(x+0)=3 f,cos x+34 t其 中 cos/6sin 0cos 03/6 cc 1“3 41.、=+sm26 cos20=+sin(2。一 0).2 2 2 2 2 v 7因 为 一 lW sin(2。一 0)W 1,所 以 炉+丁 的 最 小 值 为。一 近.核 心 考

30、点 三：整 体 代 换 与 二 次 函 数 模 型【规 律 方 法】三 角 函 数 和 二 次 函 数 交 汇 也 是 一 种 常 见 题 型，我 们 将 其 分 为 三 类，第 一 类 是 最 简 单 的，就 是 sin x,c o sx与 cos2x之 间 的 二 次 函 数 关 系，第 二 类 则 有 一 点 隐 藏，就 是 sinx c o s x与 s i n x 8 s x之 间的 关 系，第 三 类 则 是 asinx+/?cosx与 sin2r之 间 的 关 系.【典 型 例 题】3兀 例 12.(2022全 国 高 三 专 题 练 习)函 数，(x)=sin(2x+y)-3c

31、osx的 最 小 值 为【答 案】-4.【解 析】/(x)=sin(2x+包)-3COSX=-COS2X-3 COSX=-2COS：!X-3 C O S X+1=-2(cos%+)2+,2 4 8.-1 COSX=cos2x+2sinx=1 2sin2 x+2sinx=-2(sin2 x-sinx)+l=-2(sinx)2+2x 4-1=-2(sinx)2+1 sinx 1,所 以 当 sinx=/时，y 取 最 大 值，最 大 时 为 22,【考 点】二 倍 角 公 式 和 二 次 函 数 的 性 质.例 14.(2022全 国 高 考 真 题(理)函 数 y=sinxcosx+sinx+c

32、osx的 最 大 值 是.【答 案】a+；2【解 析】令，=sinx+cosx,则 Z=Vsin(x+?)fw-及,a.、，/一|由 r=sinx+cosx 两 边 平 方 得 sinxcosx=-2则 y=f 2 1+/,t w-垃,0 配 方 得 y=g(f+i)2-i，当 仁 应 时 取 最 大 值=；+应 故 答 案 为+32例 15.(2022全 国 高 三 专 题 练 习)已 知 函 数/(x)=sinx+cosx+2sinxcosx+2,则 f(x)的 最 大 值 为【答 案】3+V2【解 析】设，=s in x+c o s x,则 sinxcosx=(sin x+cos x)2

33、-12?-12t=sin x+cos x=5/2(-sin x+2-cosx)=V2sin(j;+)G-V 2,V 2,2 4、1,3/(x)=g)=f+f-1+2=+7)2+7，2 4 L=&时,g(f)g=0+2+l=3+拒,即/(x)3=3+夜.故 答 案 为：3+垃.例 16.(2022 全 国 高 三 专 题 练 习)若 x 是 三 角 形 的 最 小 内 角，则 函 数 y=sin x+co sx-sin x co sx的 最 小 值 是 A.F5/2 B.-F5/2 C.1 D.y p 2,2 2【答 案】B【解 析】因 为 X是 三 角 形 的 最 小 内 角，所 以 0/(V

34、 2)=-i+72,故 选 B.核 心 考 点 四：绝 对 值 与 三 角 函 数 综 合 模 型【规 律 方 法】关 于 y=卜 吊 乂 和 y=sir)W,如 图，y=卜 出 同 将 y=s in x图 像 中 x 轴 上 方 部 分 保 留，x 轴 下 方 部 分 沿 着 x 轴 翻 上 去 后 得 到，故 y=|sin x|是 最 小 正 周 期 为 7 的 函 数，同 理 y=A sin(3+0)是 最 小 正 周 期 为 工 的 函 1 1a)数；y=s in W 是 将 y=s in x图 像 中 y 轴 右 边 的 部 分 留 下，左 边 的 删 除，再 将 y 轴 右 边 图

35、 像 作 对 称 至 左 边，故 y=sin忖 不 是 周 期 函 数.我 们 可 以 这 样 来 表 示：I sinx(x w 2攵 乃，1+4)sin x(x 0)sinx=,sin k=1 1-sinx(x e(2kT V-7i2k7i)1 1-sinx(x 0)【典 型 例 题】例 17.(2022安 徽 铜 陵 一 中 高 三 阶 段 练 习(理)已 知 函 数/(x)=binH+|cosX，则 下 列 说 法 正 确 的 是()A.的 最 小 正 周 期 为 B.7(x)的 最 小 值 为 更 C./旨，=小)D./(力=亚 在 喑,0 上 有 解【答 案】D【解 析】/(x+)=

36、s i n x+cosx+-j=|cosx|+|sinx|=/(x),f(x)是 以 1 为 周 期 的 函 数，当 x e 0,y 时，f(x)=|sinx+|cosx=sinx+cosx=-J ls i n+,7 t 九 34则 X+:,4|_4 4 _/.1 0 s i n(x+?)V2,.函 数 f(x)的 最 小 正 周 期 为 函 数 f(x)的 最 小 值 为 1,故 A B错 误，由()=s i ny+c o sy=1+丰/(。)=1，故 C 错 误：由/(一)=s i n(_()+8 s(_ q)=&,二 f(x)=应 在 上 有 解，故 D 正 确.故 选：D.例 18.(

37、2022全 国 高 三 专 题 练 习)已 知/(x)=s in|x|+|s in x|+c o s|x|+|c o s x|,给 出 下 述 四 个 结 论:y。)是 偶 函 数；y=f(x)在 仁 岑)上 为 减 函 数；y=/(x)在(肛 2万)上 为 增 函 数；y=f(x)的 最 大 值 为 2立.其 中 所 有 正 确 结 论 的 编 号 是()A.B.C.D.【答 案】D【解 析】对 于，易 得/(x)的 定 义 域 为 R,关 于 原 点 对 称，因 为./(-X)=sin|-%|+1 sin(-x)|+cos|-x|+1 cos(-x)|=sin|x|+1-sin x|+co

38、s|x|+|cos x=sin I x|+1 sinA-|+cos|x|+|cosx|=,/(x),所 以 y=f(x)是 偶 函 数，故 正 确；对 于 和，因 为/f 1=sin|+|sin|+cos|+|cos|=-+=0,4 4 4 4 2 2 2 2(7吟.|7乃.7 4|町 74 1 1 G 6/=sin+sin|+cos+cos=-F-+=0,6/6 6 6 6 2 2 2 2且 加 中 中 音，所 以(在，)不 是 减 函 数,在。2m 也 不 是 增 函 数,故,错 误;对 于，当 2k冗 W x v+Zk兀，k e N 时，/(x)=sin|x|+|sinx|+cos|x|

39、+|cosx|=sinx+sinx+cosx+cosx=2(sinx+cosx)=25/2sin(x+(),TT 7T TT因 为 24乃 x 一+22肛 Z w N,所 以-2k7Tx+-2k7ryk G N,2 4 4 4所 以 4 而 卜+?1 1,所 以 2 W x)4 2 a；JI当 一+2%乃 4x;r+2k万，无 e N 时，.f(x)=sin|x|+|sinx|+cos|x|+|cosx|=sinx+sinx+cosx-cosx=2sinx,因 为 囚+2k 兀 4 x+2kn,k G N,2所 以 0sinx l,所 以 0/(x)42；31当 4+22乃 工 工 彳+2%肛

40、 攵?4时，/(x)=sin|%|4-|sinx|4-cos|x|+|cosx|=sinx-sinx+cosx-cosx=0；34当 万+2k兀 x 2zr+2%肛 攵 N 时，/(x)=sin|x|+1 sin x|+cos|x|+1 cos x|=sinx-sinx+cosx+cosx=2cosx,34因 为 H 2k 兀 X 2T T+2kn,A:e N,2所 以 OVcosxvl,所 以 04/(x)2,所 以，综 上 所 述，当*2 0 时，/(x)的 最 大 值 为 2亚，由 于/(x)为 偶 函 数，所 以 当 x 0 时，/(x)的 最 大 值 也 为 2 0，故 y=f(x)

41、的 最 大 值 为 2 0，故 正 确；故 选：D例 19.(2022江 苏 泗 阳 县 实 验 高 级 中 学 高 三 阶 段 练 习)已 知 函 数 f(x)=cos|x|-2|sinx|,以 下 结 论 正 确 的 是()2兀 A.兀 是/(X)的 一 个 周 期 B.函 数 在 0,y 单 调 递 减 C.函 数/(X)的 值 域 为 D.函 数/(X)在-2兀,2兀 内 有 6 个 零 点【答 案】C【解 析】因 为/：+兀)=/()，所 以 A 错 误；当 xe 0,/(x)=cosx-2sinx=石 七/cos(x+9),其 中 cosg=2，sins，7T IT ZTE/J r

42、不 妨 令。为 锐 角，所 以 所 以 0 工+。4 甘+。，因 为 胃+。兀，所 以 B 错 误;因 为 2兀 是 函 数/的 一 个 周 期，可 取 一 个 周 期。2汨 上 研 究 值 域，当 x e O,兀,/(x)=cos x-2 sin x=2.cosx-smx=/COS(X+0)(px+(pn+(p,所 以 V5 cos 7t f(x)4 行 cos夕，BP/(x)e-A/5,1；因 为/(尤)关 于 冗=5 对 称,所 以 当 工 元,2兀 时 f(x)e-y/5,l,故 函 数 f(x)在 R 上 的 值 域 为 故 C 正 确;因 为 函 数 Ax)为 偶 函 数，所 以

43、在 区 间-2兀,2汨 上 零 点 个 数 可 通 过 区 间 0,22 上 零 点 个 数，由，=4!1 刈,y=2|cosx|在 0,2泪 图 像 知 由 2 个 零 点，所 以 在 区 间-2兀,2句 上 零 点 个 数 为 4 个，所 以 D 错 误.故 选:C.例 20.(多 选 题)(2022.安 徽.碰 山 中 学 高 三 阶 段 练 习)已 知 函 数/(x)=sinj+cosjj+m,则()3 oyA.“X)的 最 小 正 周 期 为 3乃 B.“X)的 最 大 值 为 6C./(x)在 57,7加 上 单 调 递 减 D.4 X)在 7 万,4乃 上 有 4 个 零 点【答

44、 案】BD【解 析】/(x+6)=+cos(+2%+2)=卜 呜+cos1+=/(x)；当 xe 0,3句 时,，/、.X(X 乃)1.X 逝 X.(X 7c/(X)=sin+cos+=sin+cos=sin+,3 U 6j 2 3 2 3 U 3 J当%(3%,6幻 时,，/、.X(X 7r 3.X V3 x Gf(x)=-sin+cos+=sin 4-cos=v3cos+,3(3 6 1 2 3 2 3 3 3 J作 出 函 数 的 图 象,如 图 所 示，观 察 可 知，函 数/G)的 最 小 正 周 期 为 6万，故 A 错 误；函 数/(x)的 最 大 值 为 G，故 B 正 确；函

45、 数/(可 在 5肛 7 m 上 先 减 再 增 再 减，故 C 错 误；“X)与 x 轴 在 HU,4 上 有 4 个 交 点，故 D 正 确.例 21.(2022.湖 南 省 临 澧 县 第 一 中 学 高 三 阶 段 练 习)函 数/(x)=sinW+卜 inM+cos|X+|cosX的 最 大 值 为【答 案】2&【解 析】因 为/(X)的 定 义 域 为 R,/(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|+cos|-|+|cos=sin|x|+|sinx|+cos|x|+|cosx|?(x)所 以/(x)为 偶 函 数，当 x N O 时，/(x)=sin|Aj4-|sinx|+co

46、s|A|4-|cosx|2夜 sin/e 2klt,5+24兀)7t、2siwcc e+2E,兀+2 攵 兀 l_2 J=、，keZ,_.3T I _.O,x e 兀+2E,+2EL 2)3兀 2cosx,x e-+2%兀,2兀+2Z兀 L 2 _所 以 当 尸:+2尿，k e Z 时，函 数 取 得 最 大 值 f 住 卜 2友，综 上 可 知 函 数 的 最 大 值 2五，故 答 案 为：2夜 例 22.(2022 全 国 高 三 专 题 练 习)已 知 函 数/()=卜 山 乂+6 3 1-|,则 f(x)在&兀 上 的 最 小 值 是 1;f(x)的 最 小 正 周 期 是 直 线 x

47、=当 仅 eZ)是/(X)图 象 的 对 称 轴；直 线 y=x与“X)的 图 象 恰 有 2 个 公 共 点.71其 中 说 法 正 确 的 是.【答 案】7 T【解 析】对 于，当 时,/(x)=|sinx|+5/3 sinx 一 J=,in 司+6|cos=sin x _ 6 cos x=2 sin(x 一 yj且 f w x 则 当 x g=g 时，函 数/(X)取 最 小 值，即 x)min=2sing=l,故 正 确:6 3 3 3 6 6对 于，：/(x)=b i n.+6 1 c o s x|,/()=A/3,=则：故 函 数/(的 最 小 正 周 期 不 是 错 误；对 于，

48、若 人 为 奇 数，则/(%万 一 x)=卜 皿(2万 一+G|c o s(-x)|=|sin A*|+G|-c o s x|=|sin+6|cosx=f(x)；若 k 为 偶 数,则/(-x)=|sin(-x)|+V3|cosk7i-x)|=|-sin x|+/3|cosx=|sinx|+A/3|COSX|=/(X).由 上 可 知，当 女 c Z 时，/(Q r-x)=/(x),所 以，直 线 x=?(%Z)是 x)图 象 的 对 称 轴，正 确；对 于,因 为:/(x+)=Isin(%+-)|+/3|cos(x+)|=|-sin x|+A/3|-cos x|=|sin x|+|cos x

49、|,所 以 乃 为 函 数 的 周 期.当 时，/(x)=sinx-6 cosx=2 sin(x7t4 2；当 W xK乃 时，/(x)=sin x-/3 c o sx=2sinf x乃 2综 上 可 知，/（x）2.当 x v O 时，x 0,即 函 数 y=2 与/（力 在（一 8,0）上 的 图 象 无 交 点：7 T 42 2 2当 时，-X 2,/（x）2,所 以，函 数 y=*x 与/（X）在（肛 的）上 的 图 象 也 无 交 点.作 出 函 数 y=*x71 7 1 7 1与 函 数“X）在（）,句 上 的 图 象 如 下 图 所 示：7由 图 像 可 知，直 线 y=4 x

50、与 f（x）的 图 象 恰 有 2 个 公 共 点，故 正 确.兀 故 答 案 为：.例 23.（2022.陕 西.长 安 一 中 高 一 期 末）关 于 函 数 x）=sin N+k iiu）有 下 述 四 个 结 论:x）是 偶 函 数；“X)在 区 间(2,兀)上 递 增；“X)在-兀，兀 上 有 4 个 零 点；x)的 最 大 值 为 2.其 中 所 有 正 确 结 论 的 编 号.【答 案】【解 析】“X)定 义 域 为 R,/(-力=涧-才+忖 11(-耳=5 1中|+卜 问=/(力，故)是 偶 函 数，正 确；g(x)=sin|x|=sin x在(2,兀)上 单 调 递 减，/?