高考数学复习第38讲概率及四大分布：两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布（解析版）.pdf

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1、第38讲概率及四大分布:两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布【典型例题】例1.下列命题中，错误的命题为（）A.已知随机变量X服从二项分布8（”,p）,若EX=30,Q（X=2 0,则p=B.将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变C.设随机变量J服从正态分布N（O,1）,若 1）=p,则P（-l 0）=L-pD.某人在10次射击中，击中目标的次数为X,X 8（10,0.8）,则当X=8时概率最大【解析】解：A选项，根据二项分布的期望，方差公式可得印=30叩（1 一 p）=201解得P =LA选项错误，根据方差的定义容易判断8选项正确，3根据正态曲线的对称性：P（-ID）=p（o

2、 j T,这里畸火 1（）且左e Z,当.1 时&=9产 I?”；=4。1 一 左）,并 令&=4（一 ）,解得左 1,即4%4,另一方面，刍_ =4（1 1）,4 T%k结合Z e Z可知嗨*10时&1,ak-l即综上可知最大，即X=8时概率最大，。选项正确.故选：A.例2.为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测.现有两种检测方式：（1）逐份检测；（2）混合检测：将其中k份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这左份核酸全为阴性，因而这左份核酸只要检一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这&份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这k份核酸再逐份检测，此时，这k份核酸的检测次数

3、总共为4+1次.假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为爪0 1）,若=5,运用概率统计的知识判断下面哪个p值能使得混合检测方式优于逐份检测方式.（参考数据：logs 0.724。-0.2）（)A.0.7B.0.2C.0.4D.0.5【解析】解：设混合检测方式，样本需要检测的总次数y可能取值为i,6,p(y =l)=(l-p)5,p(y =6)=l-(l-p)5,所以 E(y)=lx(l_ p)5+6 xl_(l_ 0)5 =6 _ 5 x(l_ p)5,设逐份检测，样本需要检测的总次数X,则E(X)=5,若混合检测方式优于逐份检测方

4、式，需 E(y)E(X),即6-5 x(l-p)5 g,即 l-p 5 2,log s 0.7 2 4 b-0.2 ,:.l-p 5 S s0-7 2 4=0.7 2 4 ,:.0 p (X)取得最大值，此时8 1 6故选：D.例 4.已知随机变量g服从正态分布N G,/),且 P ,4)=0.68,则 P C”2)=()A.0.84 B.0.68 C.0.32 D.0.1 6【解析】解：,随机变量J服从正态分布%(3,)，正态分布曲线的对称轴为x =3.又 P C 4)=068,/.P(同必)=P(&4)=1-P(贸 4)=1-0.68=0.32.故选：C.例 5.某实验室针对某种新型病毒研

5、发了一种疫苗，并在5 00名志愿者身上进行了人体注射实验，发现注射疫苗的志愿者均产生了稳定的免疫应答.若这些志愿者的某免疫反应蛋白M 的数值X (单位：，电/乙)近似服从正态分布(1 5,(n-3)(21-)则”(14 一 )3)(21-)，解得 6.3：故当“/(n-1)；当 6.3时，/()/(-1)；故当=6 时，/()取得最大值.即当 =6 时，/()取得最大值.例 8.甲口袋中装有2 个黑球和I 个白球，乙口袋中装有3 个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X“，恰有 2 个黑球的概率为p“，恰有 I个黑球的概率为久.(1)求

6、Pi,和 p2,%；(2)求 2P“+%与 2 p,i+q,i的递推关系式和X”的数学期望E(X“)(用表示).1 7 1 7 1 7【解析】解：(1)由题后、可知：=一，q、=,则“2 =-1+x-彳=；3 3 3 3 3 272 2 2 1 1 16%=寸1 +(-x-+-x-)=J J。1 J 乙 /1 7 1 1 9(2)由 题 意 可 知:=P+x%=丁”+.%，2 2 2 1 1 2 1 2%+i=三幺+(7*工 +工 乂 3)%+-(l-pn _%)=一工/+工，7 1?1?两式相加可得2外”+q,i=-pn+-q+-=-(2A,+，)+,1 2则：2P“+%=3(2p,i+%T

7、)+，所以，2P“+q“-1 =；(2p,i+q.f-1),因为2月+1-1 =；,数列 2 4+%-1 是首项为：，公比为g 的等比数列，所以 2P“+/-1 =(9,即 2Pzi+4“=(；)”+1,所以 E(Xn)=2P n+%+Ox(1-pn-q)=(9+1.例 9.袋中装有10个大小相同的黑球和白 球.已知从袋中任意摸出2 个球，至少得到1个白球的概率（1）求白球的个数；（2）从袋中任意摸出3 个球，记得到白球的个数为X,求随机变量X 的分布列和数学期望.【解析】解：（1）设黑球的个数为x,则白球的个数为10-x.记两个都是黑球得的事件为A,则至少有一个白球的事件与事件A 为对立事件

8、所 以 八 A）W解得x=5,所以白球的个数为5.（2）离散型随机变量X 的取值可能为：0,1,2,3,P(X=0)=C；c；=1又 一 12%=5%12尸(X=1)=C2Cl 5p(x=2)=上兽=3,品12 X =3)=4.X的分布列为:X0123p112512512112(X)=0 x +1X +2x +3x =12 12 12 12 2例 1 0.我们知道，在”次独立重复试验（伯努利试验）中，每次试验事件A 发生的概率均为P，则事件 A 发生的次数X 服 从 二 项 分 布 事 实 上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件A首次发生时试验进行的次数丫，显然尸（

9、y=Q=p（i-p）i,k=,2,3,.我们称y 服I_从“几何分布”，经计算得E（y）=L.由此推广，在无限次伯努利试验中，试验进行到事件A 和 A 都发生后P停止，此时所进行的试验次数记为Z,则/亿=幻=2（1-2）1+（1-2*1,k=2,3,，那么E(Z)=【解析】解：由题意可知A 发生的概率为/，则生的概率为l-p,设事件首次发生时试验进行的次数为W，则 由“几何分布”的定义可知,尸(W=m)=(l_ p)p i,m=i,2,3,所以 E(W)=,1-P因为 E(W)=L(l-p)p +2-(l-p)p +3-(l-p)p 2+能1 p)p.T+，m=l.2,3,又E(y)=HE(y

10、)=l-p(l_p)+2-p(l-p)+3-p(l_p)2+h p(l_ p)J+，k=T,2,3.P所以 E(Z)=2-p(p)+2-(1 p)p+3-p(l p)+3-(1 p)/?+.+Z c -/?(1 /?)*+k-p)-pkk=2 9 3,，即 E(Z)=E(y)+E(W)_l.p(l_p)_l.(l_p)pO+一 _ p_+p=-1.P P P(l-P)故答案为:川 一P)【同步练习】选择题1.设随机变量g 的分布列为P(g=g)=成(k=l,2,3,4,5),则下列说法错误的是()A.15a=1 B.尸(0.5 J0.8)=0.2C.P(0.l0.5)=0.2 D.P=l)=0

11、.3【解析】解：由题意可得a+2a+3a+4“+5a=l，则。=工，则15a=1,故 A 正确：153P(0.5 g 0.8)=P(g=0.6)=3=管=0.2,故5 正确；1 1 3P(0.14 o时，(1 -p)Af.p+.1-PE(Z)=-p+p+-=-1 p 1-p p(l-p)故选：A .5.设X只取两个值0,1,并且P(X=0)=l-，P(X=1)=，p e (0,1),则。(X)的最大值为(A.-B.-C.-D.-9 4 3 9【解析】解：E(X)=0 x P(X=0)+l x P(X=l)=0 x(l-p)+l x p =p ,则 D(X)=MI-P),(P +7)=；，4 4

12、当且仅当p =；时.，等号成立，故可知。(X)的最大值 为:.故选：B.6.盒中装有标记号码为1,2,3,4,5,6,7的 7张卡片(卡片除标记号码外，大小质地都相同)，现从中任取两张卡片，取后不放回，直到取出两张卡片的号码之和不超过1 0 时停止，用 X 表示取卡片终止时取卡片的次数，则 E(X)=()A 6 R 1 0 6 c 1 6 1 535 1 0 5 2 1 0 1 0 5【解析】解：随机从7张卡片中任取两张，两个数字之和超过1 0 组合有4种：(4,7),(5,6),(5,7),(6,7),则 X 的可能取值为：I,2,3,当X =1 时，满足条件的分别为：当两张卡片数字为1,2

13、,3,4,5 中的任意两张时，则有C；=1 0 种，当 1 张卡片数字为6时，另一张卡片数字为1,2,3,4中的任意一张时，则有C：=4种,当 1 张卡片数字为7时，另一张卡片数字为1,2,3中的任意一张时，则有C；=3 种,P(X=1)=1 0 +4 +3 1 7C；2 1当X =2 时，满足条件的分别为:当第一次取到卡片数字为(4,7)或(5,6)时，则只会剩余一种大于 1 0 的情况,则有C-l)x 2 =1 8 种,当第一次取到卡片数字为(5,7)或(6,7)时，则不存在大于10的情况,则有C；x 2=20种,P(X=2)=18+20 19CCj-105当 X=3时，满足条件的分别为:

14、前面两次抽取只可能为(4,7),(5,6)或(5,6),(4,7)两张情况,2 1则“中=面,E(X)=g+2 嗜+3 x 袅(故选：A.7.从装有2 个白球和3 个黑球的袋中无放回任取2 个球，每个球取到的概率相同，规定:(a)取出白球得2 分，取出黑球得3 分,取出2 个球所得分数和记为随机变量。；(b)取出白球得3 分，取出黑球得2 分,取出2 个球所得分数和记为随机变量&.则()A.。)=。(刍)C.=B.E记J E记2)，。)E )，。)E 6),)=&).3 9X=10 253 9x =10 25故选：C.8.根据国家关于加强禁毒教育要求，龙港中学举办了“禁毒知识竞赛”，采用抽题问

15、答形式.设抽题盒中。道简单题，b 道中等题，。道难题，且规定：抽中简单题并回答正确得1分，抽中中等题并回答正确得 2 分，抽中难题并回答正确得3 分.现在从盒子中取出1道题并回答正确，记 所 得 分 为 若 C)=|,O=；,则 4：0：C=()A.4:1:1 B.5:2:1C.6:3:1D.6:3:2【解析】解：由题意可得，J 所有可能的取值为1,2,3,则 PC =1)=-y，P=2)=-y，尸 e=3)=；a+b+c a+b+c a-b+c二/八 .a-b-cE()=1 x-+2x-F3X-a+b+c a+b+c a+b+ca+2b+3c 3-a+b+c 2OR)=(1-%-+(2-)2

16、 -+(3-)2 -2 a+b+c 2 a+b+c 2 a+b+cJ_ a 1 b 9 c4 a+b+c 4 a+b+c 4 a+b+c2所以。=/?+3c,lc=a+b,即h=2c,a=5c y故 a:：c=5:2:l.故选：B.9.若随机变量4 N(2,20212),且 PC京 4)=P C。).点 在椭圆G：二+y 2=i上，G 的左焦点为aF,。为曲线C2：x、y2_4&x+20y+107=0 上的动点，则|M 2I-|的最小值为()A.2 B.3 C.4 D.5【解析】解：随机变量J N(2,2021?),且 P(既巾)=(g a),a=3 t2则椭圆a 为5+丁=1,设椭圆G的右焦

17、点为月，由椭圆的定义可得，|用用+|加4 1=24=6,:.MF=6-MFt,曲线 G 的方程为/+/-4 夜 x+20y+107=0,即(x-2 物 2+(y+10)2=1；.Q 在以点G(2夜,T O)为圆心，1 为半径的圆上，MF=6-MFt|,:.M Q-M FH M Q +MFl-6,(MQ+MFt H C I-r =1 0-1=9,即(|历。|+1 班|-6),=3，故的最小值为3.故选：B.1 0.设随机变量J N(,4),函数/。)=犬+2 告没有零点的概率是0.5,贝 1 尸(1 3)=()附：随机变量&服从正态分布 N(,4)，P(-a +0)=0.6827,-2cr J

18、+2cr)=0.9545.A.0.1587 B.0.1359 C.0.2718 D.0.3413【解析】解：由/。)=/+2 -彳没有零点的概率是0.5,由f(x)无零点得=4+魅 0,得 自-1,可知 P C l)=0.5,故=一1,结合 b =2,尸(1 以 3)=尸(-2b +2G-P(-b q O,M N二对应的概率分别为p j乩 0,设满足4.的有/，左阚n n,meN,k0eN*,P(X?a)=p i,i=ka匕(大)=i=l=i=%i=la a a因为乙.a,所 以 工.，a 也=j +尸(X廊)尸(X?a).a故选：D.1 2.某中学高一年级和高二年级进行篮球比赛，赛制为3 局

19、 2 胜制，若比赛没有平局，且高二队每局获胜的概率都是p(g p l),记比赛的最终局数为随机变量X,贝 11()A.P(X=2)=p2 B.P(X=3)=p(l-p)C.E(X)-2 4【解析】解：赛制为3 局 2 胜制，比赛没有平局，因此随机变量X 的可能取值为2 或 3,所以 P(X=2)=p 2+(l-p)2=2 p 2-2 p +l,故选项 A 错误;P(X=3)=(1-p)p，+p(l-p)p+p(l-p)2+(1-p)p(l-p)=-2p2+2p,故选项 B 错误;E(X)=2(2p2 2p+1)+3(-2p2+2p)=-2(p-1)2+|.因为所以(X)e(2,|),故选项C

20、正确；记，=-2/+2 p +2,则fe(2,|),所以 E(X?)=4 x(2/-2 p +l)+9 x(-2/+2p)=-10p2+10p+4=5f-6 ,a X)=E(X 2)*(X)=十+?因为 f e(2,|)所以O(X)l)=0.9 C.E(X+1)=3.8 D.D(X)=I.O9【解析】解：由分布列的性质可得，-+-+-+-=1 ,解得f=1 0,故A 正确，t t t tX的分布列为：X1234P1To3To_525P(X1)=尸(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=0.9,故B 正确，13 12E(X)=lx +2x +3 x-+4 x-=2.9,10 10 5 5则 E(

21、X+1)=E(X)+I=2.9+1 =3.9,故 C 错误，D(X)=(1-)2x-+(2-)2x +(3-)2x 1+(4-)2x-=1.09,故。正确.10 10 10 10 10 5 10 5故选：AB D.14.已知0 a L,随机变量J 的分布列如下，当。增大时，()g-101p0.750.25-aaA.E)减小 B.增大【解析】解：由题意得：C.。倍)减小D.。(4)增大3E()=-lx0.75+0 x(0.25-a)+lx=a-,.当。增大时E(J)增大；c 匕、/1 3、2 3 3、2 /I、3、2 2 5 3.5、2 7/)(4)=(1 Cl H )X F (0 U.H )-

22、X(Cl)+(1 Cl H )X Q=-Cl H Cl H =(Q)H ,4 4 4 4 4 2 16 4 4,0。一，4.当。增大时，增大.故选：BD.1 5.己知啜k x,(7)B.(y)(Z)C.E(X)E(Z)D.D(X)D(Y)【解析】解：由题意可知(*)=；(占+%+巧+匕)，EL 八(y八)=1l(/七芯+一为+上Z+甘匹 +x:+x+4 吃X4+X.)=言1 +ww)、，所以E(X)=E(y),故A错误；因为啜X%,匕=4.所以 E(Z)=+7 )E(Z),E(K)E(Z),故 3,C 正确;设 E(X)=E(y)=m,贝U O(X)=：(x,-ni)2+(X 2-ni)2+(

23、x,-/)2+(x4-;n)2=x,2+x,2+A,2+x42+4m:-2(x,+x2+x,+xjm=+x22+x2+x42-4m2),同理。(y)=J(咤 逗 产+(生 产 尸+(主 沪 +3产y _ 4柏，2 7 2 2 2 2 2 2因为卢+%)2 X、+“2 (电 +工3)2 X2+刍 (玉 +%)2 工3 +%(“4 +无I)2%+%2 22 22 22 2所以+()2 +o(y),故。正确.故选：BCD.16.为了防止受到核污染的产品影响民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为,，第二轮

24、检6测不合格的概率为上，两轮检测是否合格相互没有影响.若产品可以销售，则每件产品获利4 0 元；若产品10不能销售，则每件产品亏损80 元.已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则下列说法正确的是()A.该产品能销售的概率为34B.若g表示一箱产品中可以销售的件数，则4 8(4,C.若J表示一箱产品中可以销售的件数，则尸(X =4 0)=P(4 =3)=备2 7D.P(X=-80)=12 8【解析】解：选项A.该 产 品 能 销 售 的 概 率 为 卡)=，故选项A 正确.选项3.由A可得每件产品能销售的概率为3,4一箱中有4件产品，记一箱产品获利X,则5(4,3),故选项8 正确.4选项

25、C.由题意P e=3)=U x g)3 x；=2,故选项C不正确.选项O.由题意X =-8 0,即4件产品中有2 件能销售，有 2件产品不能销售，所以尸(X =-8 0)=盘 X (a*2 X (-1 )2=97,故选项力正确.故选：AB D.1 7.如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1,2,3,，6,用 X表示小球落入格子的号码，则()A.尸(X=1)=P(X=6)=2 B

26、.P(X=2)=P(X=5)=卷5 3C.P(X=3)=P(X=4)=n D.D(X)=-【解析】解：设 y=x i,依题意，y 8(5)，2所以 P(X=1)=P(X=6)=P(Y=0)=嵋(夕=，P(X=2)=P(X=5)=尸(丫 =1)=C；(g)5=A ,P(X=3)=P(X=4)=P(y=2)=C；(1)5=,D(X)=D(n =5x(1)2=.故选：BC.18.某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数 A=qa2a3%生，其中A 的各位数中为(4=2,1 o3,4,5)出现0 的概率为：，出现1的概率为(，记 X=4+6+/+6，则当程序运行一次时()A.X 服从两点分布

27、B.X 服从二项分布C.X 的均值E(X)=D.X 的方差O(X)=3 3【解析】解：由于二进制数A 的特点知每 个数位匕的数字只能填0,1,且每个数位上的数字再填时互不影响，故以后的5位数中后4 位的所有结果有5类:后4 个数出现4 个 0,X=0,记其概率为P(X=0)=d)4=,；3 81后4 个数位只出现1个 1,X=l,记其概率为尸(X=l)=C：(|)i(；)3=,后4 位数位出现2 个 1,X=2,记其概率为P(X=2)=C：(2)2(%=4,3 3 81O 1 70后4 个数为上出现3个 1,X=3,记其概率为尸(X=3)=C：()“y=t,3 3 81后4 个数为都出现1,X

28、=4,记其概率为P(X=4)=($4=!|,故*8(4,1),故 A 错误，8 正确；X8(4,|),.E(X)=4x|=g,故C 正确；.X8(4,|),r.X 的方差(X)=4xgxg=,故 O 错误.故选：BC.19.某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A=陷 23 4 6(例如10100)其中A 的各位17数中4(%=2,3,4,5)出现。的概率为(，出 现 1 的概率为:，记 X=4+/+%+4，则当程序运行一次时()QA.X服从二项分布 B.P(X =1)=8 1C.X的期望E(X)=D.X的方差O(X)=3 3【解析】解：由于二进制数A的特点知每一个数位上的数字只能填

29、0,1,且每个数位上的数字再填时互不影响，故以后的5位数中后4位的所有结果有5类:后4个数出现o,x=o,记其概率为尸(x=o)=dy =_ L ；3 8 1后4个数位只出现1 个 1,X =l,记其概率为P(X =l)=C：(|)(g)3=*后4位数位出现2个 1,X=2,记其概率为P(X=2)=C：(2)2(%=*,3 3 8 17 1后4个数为上出现3个 1,X=3,记其概率为尸(X =3)=(士 N(!)二.，3 3 8 1后4个数为都出现1,X=4,记其概率为P(X =4)=(3=3,3 8 1故 乂 8(4,),故A正确；X P(X =1)=C i (-)(-)3=.故 5 正确;

30、X 8(4,1),.E(X)=4 x|=g,故C正确；X 8(4,|),.【X 的方差 Q(X)=4 x|x g =,故。错误.故选：ABC.72 0.掷一个不均匀的硬币6次，每次掷出正面的概率均为：，恰好出现上次正面的概率记为匕，则下列说法正确的是()A.耳=&B./c.次 4=1 D.庶，6，2，兄中最大值为Bk=l【解析】解：由次独立重复试验的概率计算公式可知，号=以彳)，(1-1)6 勺.=(?.)5,8=或(3 5.(y，显然 ,只，尺中最大的为3 729 4 243 5 243 6 729即选项O正确.故选：B D.2 1.设随机变量J 的分布列如表:则下列说法正确的是()1232

31、0202021P%。2%。2020“2 0 2 1A.当“为等差数列时，生+生 侬=焉B.数列 ,的通项公式可能为勺=些一202b?(n +1)c.当数列 七 满足4=3(=1,2,2020)时，出 021=击D.当数列%满足P q,=公4 依=1,2),2021)04,(+1)4=(”1)%(-2)【解析】解：对于A，因为 凡 为等差数列，所以邑=2 02 1(：+*)=i,2.则打。2 +。2020=4+外0 2 1 =2021，故 A 正确;对于B，若数列 a,的通项公式为a=些一=(1 ,2021 n(n +l)2021 n n +1m il c则$2 02 =-2-0-2-2(八1-

32、1-1-1-1-1-1 -)、=-2-0-2-2(八1-1-)、=1,故.Bo I L f饱；2021 2021 2 2 3 2021 2022 2021 20221(1 1 )乂 寸 卜 C，闪为所以 2021=-4-+“2 0 2 1 =1-元+42021 =1 1-2则 有%)21=白 7，故 C 错误；对于。，令&=P(M 幻=/,则%+1 =&”-&=(%+1)2故%1 =_,所以2=巴(.2),即(+1)%=5-1)4-(n.2),故。正确.ak k+2 an_ n +1故选：AB D.22.若随机变量X服从两点分布，其中尸(X=0)=L E(X),D(X)分别为随机变量X的均值与

33、方差,3则下列结论正确的是()2A.P(X=1)=E(X)B.E(3X+2)=4 C.O(3X+2)=4 D.Z)(X)=-9【解析】解：随机变量X 服从两点分布，其中尸(X=O)=g,2 1 2 2 2 1 2 2 2P(X=1)=-,(X)=Ox-+lx-=-,D(X)=(O)2x-+(l)2x-=-,3 3 3 3 3 3 3 3 9在A 中，P(X=1)=E(X),故A 正确，9在 5 中，E(3X+2)=3(X)+2=3 x-+2=4,故 3 正确，2在 C 中，O(3X+2)=9O(X)=9x_=2,故 C 错误，在。中，D(X)=-,故 D 正确.故选：ABD.23.一个袋中装有

34、除颜色外其余完全相同的6 个黑球和4 个白球，现从中任取4 个小球，设取出的4个小球中白球的个数为X,则()A.随机变量X 服从二项分布 B.随机变量X 服从超几何分布3 8C.P(X=2)=3 D.E(X)=-【解析】解：由题意知：随机变量X 服从超几何分布，因此A 错误，B 正确；随机变量X 的所有可能取值为()，I,2,3,4,P(X=O)=P(X=1)=二8品21C2C2 3P(X=2)=-=-do P(x=3)=卑=&,P(X=4)=Z=-,C,35 C1 210因 止 匕 E(X)=0 x +l x +2x3+3x巴+4 x 一 =,所以C、。正确.14 21 7 35 210 5

35、故选：BCD.2 4.某商场举办一项抽奖活动，规则如下：每人将一枚质地均匀的骰子连续投掷3 次，记 第 1 次正面朝上的点数为q(i=l,2,3),若於%”，则算作中奖，现甲、乙、丙三人参加抽奖活动，记中奖人数为X,下列说法正确的是()A.若甲第1 次投掷正面朝上的点数为4,则甲中奖的可能情况有6 种B.若甲第3 次投掷正面朝上的点数为6,则甲中奖的可能情况有20种7C.甲中奖的概率为p277D.(X)=-9【解析】解：A 选项：第一次投掷的点数为4 的情况下，中奖的情况为：(4,4,4),(4,4,5),(4,4,6)(4,5,5)(4,5,6),(4,6,6)共计 6 种情况,故 A选项正

36、确；3选项：若第三次投掷点数为6,则仅需满足小,生，第一次为1时，共有6 种，第一次为2时，共有5种，故要满足小,共有6+5 +4 +3 +2 +1 =2 1种，故 5选项错误；C选项：记第i次 正 面 朝 上 的 点 数 为 1 ,2,3),发 生“靖心 生”的事件为A,则事件A包含以下3种情况：4，七，%互不相等，有 C；=2 0 种，q,a2,田有2个相等，有 C：=3 0 种，4，电，处都相等，有 C：=6 种，则尸=20+3+6=2,故 c选项正确；6x 6x 6 2 7。选项：现有三人参加此活动，每个人互不影响，故可视为二项分布，即中奖人数X 8(3,2)，t e E(X)=3 x

37、 =-,故。选项正确；2 7 2 7 9故选：ACD.2 5.“中小学生平安保险”是属于人身意外伤害保险的一种，是针对中小学生特点的一种保险.假设每名学生一年内发生意外伤害事故的概率为0.0 0 1,则下列说法正确的有()A.发生意外伤害事故的人数X服从二项分布B.发生意外伤害事故的人数X服从超几何分布C.10 0 0 名学生一年内发生意外伤害事故的人数的期望为1D.甲、乙两名学生一年内都发生意外伤害事故的概率为0.4 9 9 5【解析】解：由于每名学生是否发生意外相互独立，属于次独立重复试验，故发生意外伤害事故的人数X服从二项分布，故 A正确，B错误，按照二项分布的期望公式E(X)=/0 =

38、10 0 0 x 0.0 0 1=1 ,故 C正确，甲，乙两名学生一年内都发生意外伤害事故的概率为0.001x0.001=0.000001,故 O 错误.故选：A C .2 6.下列随机事件中的随机变量X 不服从超几何分布的是（）A.将一枚硬币连抛3 次，正面向上的次数XB.从 7 名男生与3 名女生共10名学生干部中选出5 名优秀学生干部，选出女生的人数为XC.某射手的命中率为0.8,现对目标射击1次，记命中目标的次数为XD.盒中有4 个白球和3 个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X 是首次摸出黑球时的总次数【解析】解：A.服从二项分布列：8.服从超几何分布列；C.服从二项分布列；D.不服从

39、超几何分布列；故选：ACD.2 7.甲盒中装有3 个红球、1个黄球、乙盒中装有1个红球、3 个黄球，同时从甲、乙两盒中取出近=1,2,3）个球交换，分别记交换后甲、乙两个盒子中红球个数的数学期望为g（X）,；.（7）,则下列结论正确的是（）A.E|（X）&（y）B.E2（X）=E,（y）C.l（x）+l（y）=4 D.2（X）3（X）【解析】解：x 表示交换后甲盒子中的红球数，y 表示交换后乙盒子中的红球数，CC 9当，=1 时，贝 Ijp（x=2）=尸（y=2）=4 =一，C4c4 16尸（x=4）=o）=黑 q，C C 3p（x =3）=p（y=i）=H-rx2=,CC 89 3 1 5E

40、,（X）=2x-F 3 xF 4 x =一16 8 16 2o 1 3 3g（y）=2x +0 x +lx _ =_,故 A 正确，C 正确;1 16 16 8 2当 i=2 时，P（X=l）=P（y=3）=!，P(X =2)=P(r=2)=-x -x 2 =1CC CC 1p(x =3)=p(y=i)=x=一c c：4E2(X)=lx l+2 x l+3 x-=2,4 2 4，,(D=3 x l+2 x l+lx l=2,故 8 正确:4 2 4C 3 c 3 1当 i =3 时，P(X=0)=P(r=4)=4-=C 4 c 4 16P(X=l)=P(y =3)4xx2=q,C4 C4 oC

41、2C CC2 QP(X=2)=P(y =2)=x-=-1 3 9 3E-i(X )=0 x-F 1 x h 2 x =一16 8 16 2.-.E2(X)E3(X),故。错误;故选：ABC.2 8.江先生每天9点上班，上班通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行.私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布N（38,72）,从停车场步行到单位要6分钟；江先生从家到地铁站需要步行5 分钟,乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需时间（单位:分钟）服从正态分布M 4 4 ,22）,下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟.从统计的角度出发，下列说法中合理的有（）参考数据：若 2可(,/),

42、贝 U P(-b Z,+b)=0.6 8 2 6,P卬 一 2 b v Z,+2 b)=0.95 4 4,P(JJ-3cr Z /+3b)=0.997 4A.若8:0 0 出门，则开私家车不会迟到B.若8:0 2 出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大C.若8:0 6 出门，则开私家车上班不迟到的可能性更大D.若 8:1 2 出门，则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到【解析】解：对于A,由题意，当满足P（Z.5 9）=1-P(1 7 Z 5 9)1-0.997 422=0.0 0 1 3时，江先生仍旧有可能迟到，只不过发生的概率较小，故选项A错误;对于3,若8:02分出门，江先生开私家车，由题意，当

43、满足P(Z,52)=1 -2 4 Z 52)+z 52)=0.9772,此时江先2生开私家车不会迟到；江先生乘坐地铁，由题意，当满足P(Z,48)=-4 Z 48)+尸(4。z P(Z 45)=1/(3 1z 4 5)+p(31 Z 0,则()A./(-x)=l-/(x)B./(2x)=2/(x)C./(x)在(0,”)上是增函数 D.P(|X|x)=2/(x)-l【解析】解：f (x)=P(X,x),.根据正态曲线的对称性可得，/(-x)=P(X x)=l-/(x),故A正确，/(2x)=P(X,2x),2/(x)=2P(X,x),故 3 错误，随机变量X服从正态分布N(0,l),正态曲线关

44、于直线x=0对称，f(x)在(0,y o)上是增函数，故。正确，P(|X|M)=P(-x X?x)=l-2f(-x)=l-2l-f(x)=2f(x)-l,故。正确.故选：ACD.3 0.设随机变量X N(0,l),/(x)=P(X,x),其中x 0,则下列等式成立的有()A./(-x)=l-/(x)B.f(2x)=2f(x)C./(x)在(0,一)上是单调增函数D.P(|X|x)=2/(x)-l【解析】解：随机变量X N(O,1),即 X 服从正态分布，二正态曲线关于直线x=0 对称，/(X)=P(X”x),其中 x 0，.(一 x)=P(X京!l-x)=P(X x)=l-/(x),故 A 选

45、项正确，当 x=l 时，f (I)=P(X”l)0.5,2 f(1)1,f (2)?满足题意,“1 0 1 0 0 1 0 x 1 0 x 1 1当&.2 时,%=尸(粼)%k-V)=k2at-(k-l)2ak.i,则(D a=(&?-1)4,所以k+1 11 1 1-X-9 1 0 01 11 0 x 9 x 1 0满足题意,当2 领 方 9 时,+1 /2 4-1 +2 +1 n+21 1 1 0 x 1 1 1 1 19 “一(-1)/1 0 0 1 1 0(-1)”则当掇女8 时，41110(-1)，因此选项。正确.方法二：令&=尸(晟)=公%(左=1,2,3.1 0),则以+|=SM

46、 SR=(左+1川一二必即 也=_,(k=,2,9),ak k+2于是彳J=.&幺 =flI -=-a(/2=1,2,10),%an-3 4 n+1 n(n+1)s”=4+/+4。=4+2 q(g-)=l，解得a=1 1,于是有凡=U-因此选项D 正确.故选：ACD.3 5.已知随机变量g 的分布列如表：g-101PPlPiP3其中|+P3=6P1P3，则卜列选项正确的是（）A.0强 归 B.颂归 C.领 JEO D.领 E O 3 2 3 3 3 3【解析】解:Pi+P3=6PP3，=6,PT 3P+外=J(Pi+Pi)(+-)=4(1 +)-4(2+2 J x-)=,6/A P,6 四 f

47、t 6 Y Pi 0 3当且仅 当 区=邑，即 03=口=，时取等号，Px Pi 32 蛋以十Pi 1，脸 归 ，故A选项正确，B 选项错误，又.E(4)=一 1 x +Ox 2 +1 x P3=3-P i，2(4)2=(P3-Pl y=(P3+Pl y 一 4Plp3 =(P3+用 月 -(Pl+3)，A(EO2G 0,-1，.E G)d 叵招,故 C 选项正确，。选项错误.故选：A C .三.填空题3 6.一个袋中共有5 个大小形状完全相同的红球、白球和黑球，其中红球有1 个.每次从袋中拿一个小球，不放回，拿 出 红 球 即 停.记 拿 出 的 黑 球 个 数 为 且 p(g=o)=，则随

48、机变量岁的数学期望4七.【解析】解：设白球个，显然。0,若 =1,则尸 =0).+/=；符合：1 A若儿.2,则 p(j =o)=r+心 +A 414n+-F -2 01 25黑球有3个,P C =1)=+器=；/匕=2)=5+冬 5 =因为尸e =0)=J,所以 P C =3)=l-：x3 =；,支 4 4 4 久 4 4 4 4E(9 =(0 +l +2 +3)x；=3 ,故答案为：23 7.在抗击疫情期间，某区对3位医生、2位护士和1 位社区工作人员进行表彰并合影留念.现将这6人随机排成一排，设 3 位医生中相邻人数为。(若互不相邻，则。=1；有且仅有2人相邻，则。=2；3人连在一起，则

49、。=3),2位护士中相邻人数为4，记 4 =泠 受,则 尸(。=3)=:【解析】解：当4=1时，其余人员随便排，将医生插空，p&=i)=LA,5当刍=2 时，将三位医生选取2人捆绑，其余护士和社区人员随便排，再将医生插空,CM&=3%=2)=F-=5A4 43 1当刍=3 时，将 3个医生捆绑看成一个人随机排列，P&=3)=竽=：,4 5当4=1 时，医生不相邻，护士也不相邻，P 4=1)=坐警+坐改=,A,4 6当4 =2时，只有两位医生相邻或医生不相邻且两位护士相邻，尸 =2)=?+土 多 =工,5 8 3 0当自=3 时，只有三位医生相邻，P(=3)=.故E Q)9-O1-32X+1-6

50、61一30=1-5故答案为：-；一.5 3 03 8.某同学从两个笔筒中抽取使用的笔，蓝色笔筒里有6支蓝笔，4支黑笔，黑色笔筒里有6支黑笔,4支蓝笔.第一次从黑笔筒中取出一支笔并放回，随后从与上次取出的笔颜色相同的笔筒中再取出一支笔,依此类推.记第次取出黑笔的概率为匕，则乙=_ g(l+).【解析】解：第次取出黑笔的概率为匕，则取出蓝笔的概率为1-月，.第八+1 次取出黑笔的概率为巴M，可能有两种情况，即第八次取出的是黑笔或篮笔，.第”+1 次取出黑笔的概率为匕|=三匕+(1 -勺)，即 以|=上巴+女，wN*,3 1 I I 数歹(),-为等比数列，公比为：，首项为，4=*犷=河)送r，.z