2023年高考数学一轮复习重难点训练：利用导数解决一类整数问题（含答案）.pdf

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1、专属教育考试复习专用考试参考习题一系统复习备考题库训练一习题强化考前模拟测试一模拟演练通关宝典梳理一真题体验技巧提升冲刺一技能技巧注：文本内容应以实际为准，下载前需仔细预览助你一战成名2023年数学一轮复习重难点专题突破专题利用导数解决一类整数问题(含答案)精 研 考 纲 归 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习2023 一轮复习重难点专题突破专题1 0 利用导数解决一类整数问题【题型归纳目录】题型一：整数解问题之分离参数、分离函数、半分离题型二：整数解问题之直接限制法题型三：整数解问题之虚设零点题型四：整数解问题之必要性探路【典例例题】题型一：整数解问题

2、之分离参数、分离函数、半分离例1.已知函数/(x)=x-lnx-2.(1)求函数在(1,/。)处的切线方程(2)证明：/(x)在区间(3,4)内存在唯的零点：(3)若对于任意的xe(l,+oo),都有xlnx+xZ(x-l),求整数4的最大值.【答案】(1)y=-1；(2)见解析；(3)3.【分析】(1)根据导数的几何意义即可切线；(2)先利用导数证明/(x)在(3,4)匕单调递增，再结合零点存在定理，得证；(3)参变分离得左V空，令g(x)=W M,原问题转化为求g(x)在(1，+8)上的最小值，结合(2)x-1 X-1中结论和隐零点的思维，即可得解.(1)v/(x)=x-lnx-2,=0，

3、在(1,-1)处的切线为y=-l；(2)第1页，共31页2/22023年数学轮复习重难点专题突破专题利用导数解决类整数问题(含答案)精 研 考 纲 归 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习证明：/(x)=xT nx-2,X当x e(3,4)时，/)=1-1 0,.J(x)在(3,4)上单调递增,：f(3)=3-ln3-2=l-ln 3 0,/(x)在区间(3,4)内存在唯一的零点.(3)vxlar+x (x-l),且x e(L+),.xwc+X:.k ,由(2)知，/(x)=x-ln x-2 在(1,m)上单调递增，且在区间(3,4)内存在唯一的零点，设该

4、零点为/e(3.4),则/(xJnXo-InXo-ZuO ,故当xe(l,x。)时，/(x)0,即短(x)0,即g x)0,g(x)在(%,+8)上单调递增，gd=g(%)=%卜。-2)+.i，4),%-1 x0-l=x()e(3,4),故整数上的最大值为3.【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点，以及不等式问题，考查转化与划归思想，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.例 2.已知函数/(x)=：e+ln x-(2+T卜，(0).(1)当 时，求函数“X)在点(1 J)处的切线方程：4(2)令尸(x)=(x)-x 2,若尸(x)l-2ax在xe(l,+8)恒成立，求整数a 的最大值.(参考数据

5、：、3 ,In 4 -).4【答案】(1)x-y-3 =0；(2)3.【分析】第2页，共31页2/22023年数学轮复习重难点专题突破专题利用导数解决类整数问题(含答案)精 研 考 纲 归 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习(1)(1)当a=1 时，得到x)=2x2+ln x-4 x,求得r(x)=4 x+-4,得出,(1)=1,且/=-2,2x结合直线的点斜式方程，即可求解.(2)把尸(x)l-2 o x在(1,+00)转化为“亨 在 X60.+8)恒成立，令(x)=手，利用导数求得函数Inx Inx的额单调性，零点的存在定理得到(X)在(1,与)上递

6、减，在(x0,+co)上递增，从而求得。即可求得整数a 的最大值.【详解】(1)(1)当。=，时，可得/(x)=2x2+ln x-4 x,则/(x)=4 x+1-4,2x可得可=1,f i/(l)=2+ln l-4 =-2,即函数 x)在点(1,-2)处的切线的斜率=1,所以切线方程为y-(-2)=x-1,即x-y-3 =0,函数/(x)在点(1 J)处的切线方程x-y-3=0.(2)由 F(x)=a f(x)-x2=alnx-(2a+l)x,因为 F(x)I-2ax 在(l,+oo)恒成立,即 anx-(2a+l)x l,可得力，x，Inx-hr x令*x)=ln x-2-l(x l),可得

7、r(x)在(l,y)上单调递增，且(3)0,X所以存在X。6(3,4),使得，(玉)=Inx。一 -1 =0,与从而力(X)在(L%)上单调递减，在(X。,+00)上单调递增，/卜/(X)m in =力(X。)=兴 把=牛 虫=X。e(3,4)所以 lnx0 J_+1,X。X+因为a;在(I，+00)恒成立，所以“),都有xlnx+x M x-l),求整数人的最大值.【答案】(1)证明见解析；(2)3.第3页，共31页2/22023年数学一轮复习重难点专题突破专题利用导数解决类整数问题(含答案)精研考纲归纳核心题海训练归纳总结体验实战梳理复习【分析】(1)先利用导数证明/(x)在(3,4)上单

8、调递增，再结合零点存在定理，得证；(2)参变分离得4 0,X /(x)在(3,4)上单调递增，/(3)=3-ln3-2=l-ln3 0,/(x)在区间(3,4)内存在唯一的零点.解：V xlnx+x A:(x-1),且 xc(l,+8),.,xlnx+x.k i,x-1(X-1)-由(1)知，/(x)=x-ln x-2 在(LKO)上单调递增，且在区间(3,4)内存在唯一的零点，设该零点为/e(3,4),则/伉)=/-1 叫-2=0,故当X G(1,X)时，/(x)0,即g )0,即g，(x)0,g(x)在(Xo，+oo)上单调递增,g(x)而.=8(/)=心产=+-2)+一川 3,4),x0

9、-l x0-=X0 w(3,4),故整数A的最大值为3.题型二：整数解问题之直接限制法例 4.已知偶函数“X)满足/(4 +x)=4-x),且当xe(0,4 时，/(均=色 效，关于x 的不等式X/2(x)+a f(x)0 -200,200 上有且只有300个整数解，求实数。的取值范围【解答】解：/(x)是偶函数，.-x)=/(x),v/(4 +x)=/(4-x),(8 +x)=/(4-(4+x)=/(-x)=f(x),./(x)的周期为7=8.第4页，共31页2/22023年数学轮复习重难点专题突破专题利用导数解决类整数问题(含答案)精 研 考 纲 归 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总

10、 结 体 验 实 战 梳 理 复 习当xe(0,4 时，J *,X.当 0 x 0,当4 时，在(0,上单调递增，在 弓，4 上单调递减.又/(1)=/20,f (4)=0,且/(x)是以8 为周期的偶函数,4 4.当x 为整数时，/(x)0,/(0+4 )0 在-200,200 上有300个整数解，.尸。)+4 3)0 在(0,4 上有3 个整数解，显然这三个整数解为I,2,3,即/(x)+a 0 在(0,4 上有三个整数解1,2,3.f/(3)+a01/(4)+ft.0BP.In6-a30里+4。4解得:31n2丁/6-5-4,例 5.已知函数/(工)=/-如。0),其中e为自然对数的底数

11、.(1)试讨论/(幻的单调性；(2)是否存在正整数“，使得/(x)./nx对 切 x 0 恒成立？若存在，求出。的最大值；若不存在,请说明理由.【解答】解：(1)/(x)=e-a(x 0).若a,I,则/(x)0 恒成立，“X)在(0,+00)上单调递增；若 a 1 ,令 f(x)=0,则 x=Ina 当 0 x/”a 时，/(x)/a 时，/(x)0,x)单调递增.综上所述，当a,1时，x)在(0,+oo)上单调递增；当a l时，/(x)在(0,/a)上单调递减，在(/。，伊)上单调递增.(2)要使/(x)=e*-a x.x)n r在(0,+oo)上恒成立，则 二-3 一 3.0 在(0,+

12、8)上恒成立，x xpx n令 h(x)=7-lnx(x 0),x*x则.(x)=4K+4=(X -2)e、；a -a)xjr x x x当a=2 时，(x)J FC、-x),X第5页，共31页2/22023年数学轮复习重难点专题突破专题利用导数解决类整数问题(含答案)精 研 考 纲 归 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习由/工 知，力(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+00)上单调递增.2h(x)mn=h(2)=J -/2-1 0,4.。=2 满足题意.当。2 时，当2 x a 时，函数A(x)的取值情况，2 x /.x-2 0,x-a x,(x-

13、2)ex (x-a)x,即(x)0,.当a 2 时，力(x)在(2,a)上单调递增.不妨取。=3,则函数A(x)在(2,3)上单调递增，2 c 0),其中aeR,e为自然对数的底数.x(1)若函数/(X)有两个零点，求 a 的取值范围；(2)是否存在正整数。，使得/(x).Wx 对一切x 0 恒成立？若存在，求出a 的最大值；若不存在.请说明理由.【解答】解：(1)f(x)=-a,r(x)=e*J),X X X令r a)o,得 x i,令 r a)o,得o x i,二函数x)在(0,1)上单调递成，在(1,+00)上单调递增，”(x)1 m”=/=e-a .函数“X)有两个零点，f (1)0)

14、,x x贝.二 生 克 十 二 二事二七也，X X X X当 a=2时，(x)=a -2)(f-X),x第6页，共31页2/22023年数学轮复习重难点专题突破专题利用导数解决类整数问题(含答案)精 研 考 纲 归 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习由，x 知方(x)在(0,2)单调递减,在(2,+Q O)单调递增，2h(x)mn=h(2)=J -/2-1 0,4:.a=2 时满足题意；当。2 时，考查。x 2 时，函数M x)的取值情况：a x 2,x-2 0,x-a x,(x-2)ex (x-a)x,即(又 0，.当a 2 时，力(x)在(2,a)上

15、单调递增，取。=3,则函数%(x)在(2,3)上单增,2 c 0,集合 8=x*-2 a T-L 0,a0.(I)若。=I,求；(I D 若 力 中 恰 含 有一个整数，求实数a 的取值范围.【解答】解：(I)4=+2x-30=x|x l或 x v-3,当 o=1 时，由 一 一 2x-L 0，解得：l-V I x.1+0,即 8=1-&，+y/2,;.始 8=(1，1 +伪；(H).函数y=/(x)=x2-2ax-l 的对称轴为x=0,/(0)=-1 0,即 1 ,9-6 tz-l 0解得：a 0的解，从而可得函数的单调增区间.21(2)利用导数结合虚设零点可求-:力(幻.0),x所 以 丑

16、),+“-4=d+4。二1)=皿-(可 妇1)0。),X X X X当”0时,由夕(x)o,解得x 0；当al时，由“(X)O,解得x ；a当0 0,解得x 0；当4 =1时，由解得工0;当av O时，由e (x)0,解得0 x l时，夕(x)的 增 区 间 为,+0,/(!)=l n 1-l 0,故h(x)在(0,+8)上有且只有一个零点七,1 x0 2第8页，共31页2/22023年数学轮复习重难点专题突破专题利用导数解决类整数问题(含答案)精 研 考 纲 归 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习3z且 l n/二-1 且 工 0,/)时，0 ,xo故

17、力(x)在(0,x 0)上为减函数，在(X。,”)上为增函数，故力(x)m i =/)=(X。-3)I n%=(%-3)(-1 =6 -1/+2,3 1 3 9 2 0因为彳与2，所以彳工0 +丁，2 2 x0 3上一 2 J 9)1所以一彳6-|x()H -,3I x(J 2而整数又，使得关于x的不等式2 4 2力(x)有解，故2/1 2 0,故存在整数4满足题意，且义的最小值为0.【点睛】思路点睛：利用导数求函数的坡值时，如果导数的零点不易求得，则可以虚设零点，利用零点满足的关系式化筒最值，从而得到最值的范围或符号.例9.已知函数/(x)=x l n x +h-3%,求：(1)当斤=1时，

18、求曲线/(x)在点(1，/)处的切线方程；(2)当x 3时，总有幻1,求整数2的最小值.【答案】(1)2 x-y-4 =0(2)-3【分析】(1)先对函数求导，计算出斜率，再用点斜式即可；(2)分离参数转化为函数的最值问题.(1)当 =1 时，/(x)=x l n x +x-3f(x)=I n x +2./(1)=2/(1)=-2.-./(x)在点(1，/)处的切线方程为 +2 =2(x -1)即2 x -尸4 =0(2)由 题 意,由外1,即x l n x +A x-3 A l,即4(x-3)l-x l n x,1 x l n x .又x 3,：.k-恒成立.x-3令 g(x)=1-x l

19、n xx-3g(x)=(x-3)23 I n x -x +23 x令M x)=3 1 n x-x+2,则 l(x)=0,A(9)=3ln9-7 0,当%(/,+)时，g/(x)g(x)z，且 丘Z,二1 2-3,即整数上的最小值为-3【点睛】方法点睛：对于零点不可求问题，可以设而不求，整体替换从而求出范围。例1 0.已知函数/(x)=(x-l)(其中e为自然对数的底数).(1)当k=-1时，求函数/(x)的极值；(2)若函数g(x)=/(x)+/在xe(0,+o)有唯一零点，求实数A的取值范围;(3)若不等式/(x)3x对任意的x e R恒成立，求整数的最大值.【答案】(1)极小值为-1,无极

20、大值;e(2)2Ue2-l,+()；(3)-2.【分析】(1)利用导数可确定/(x)单调性，由极值定义可求得结果:(2)利用导数可确定g(x)的单调性：当A40时，可知g(0)0时，根据g(x)m,n=g(A),分别在g(4)0,g=0和g(%)0三种情况下,根据g(x)在x0,+oo)有唯零点可构造不等式求得结果；(3)将恒成立不等式化为A令/=得，(x)=e+j 3,令加(x)=e+3x-3可确定加使得山伍)=0,由此可得(x)1nm=方仁)，进而得到。伉)的范围，从而得到h(1)当人=一1 时，f(x)=xex t 则/(x)=(x+l)/,当 xw(-8,-l)时,fx)0；/(X)在

21、 上 单 调 递 减，在(-1,+8)上单调递增，第10页，共31页2/22023年数学轮复习重难点专题突破专题利用导数解决类整数问题(含答案)精 研 考 纲 归 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习/(X)的极小值为/(-1)=，无极大值.e(2),g(x)=(x-A-l)e +/,：.g(x)=(x-k)ex,.当x e(-8 时，g,(x)0；.g(x)在(-8 上 单 调 递 减,在(%,+8)上单调递增;当情“时,g(x)在(0,+8)上单调递增，若g(x)在(0.+8)上有唯一零点，则g(0)0,BP-k-+e2 e2-l 0 (舍)：当%0

22、时,g(x)在(0,无)上单调递减,在(+8)上单调递增：当g(A)0,即0%0,则g(x)在(0,+巧上无零点,不合题意;当g(A)=0,即4=2时，g(x)在(0,+8)上有唯一零点x=2,满足题意；当 g 2 时，由 g(A +l)=e20 得：g(A)g 优+1)3 x 对 xeR 恒成立，即(x-l)e、3x 对 xeR 恒成立，则=,e令A(x)=x-1*,则(x)=l-之 声=巴 烹 士令 m(x)=ex+3x-3,则m(x)=+3 0,/./n(.r)在 R 上单调递增,=(；)=加-:0，使得 5)=0，即 eXn+3x0 3=0,则当xe(-oo,x(,)时，/z(x)0；

23、在 卜.单 调 递 减，在(-%,+8)上单调递增，=(%)=%T -r =%T =%T =%T +，%(x-l),求整数人的最大值.【答案】(I)y 1 ；(2)见解析；(3)3.【分析】(1)根据导数的几何意义即可切线；(2)先利用导数证明/(x)在(3,4)上单调递增，再结合零点存在定理，得证；(3)参变分离得人生半，令8(工)=也 半，原问题转化为求g(x)在(1，+8)上的最小值，结合(2)x-1 X-1中结论和隐零点的思维，即可得解.(1)v/(x)=x-liu-2,./=-i，r a m+./=0，./(X)在(1,1)处的切线为y=-l；(2)证明：=当xw(3,4)时，/(x

24、)=l-0,X在(3,4)上单调递增，*.*J(3)=3 ln3 2=1 ln3 0,第12页，共31页2/22023年数学轮复习重难点专题突破专题利用导数解决类整数问题(含答案)精 研 考 纲 归 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习“(X)在区间(3,4)内存在唯的零点.(3)vxlnr+x A r(x-l),且xw(l,+x),fxnx+x:.k 1 ,由(2)知，/(x)=x-ln x-2 在(l,+oo)上单调递增，且在区间(3,4)内存在唯一的零点,设该零点为/e(3,4),贝 lj/(x0)=x(,-lnxo-2=o,故当xe(l,x。)时,

25、/(x)0,即当(x)0,g(x)在(%,+8)上单调递增,=g(x。)=TH/e&4),%-1%T.g(x)+l 恒成立，求整数机的最小值.【答案】(1)，”g(x)+l 恒 成 立,即“-ln x-l 0 恒 成 立,当 x=l 时，melnl+2成立,解得故2 1.再验证机=1时，不等式成立即可得出答案.【详解】解：(1)令/(x)=g(x),即,西=山+1,则/n=已，函数f(x)与g(x)有公共点,即加=*有解.e第13页，共31页2/22023年数学轮复习重难点专题突破专题利用导数解决类整数问题(含答案)精 研 考 纲 归 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战

26、 梳 理 复 习人 1n x+m i l -In x -1令则火”=七一.令人(*)=一 l n x-1=-一 1-l n x ,当 x l 时，-1 0 ,所以*(x)0,当 0 c x 0,In A-0所以(x)在(0,1)上单调递增，在(1,内)上单调递减，所以=且当 xf 0 时，TOe所以e(2)不等式/(x)g(x)+l 恒成立，即,田-欣-1 0 恒成立.2则x =l 时，z c l n l +2 成立，解得小 展，由题意求满足条件的整数机最小值，下面验证卅=1 是否满足题意.当m=1 时，令加(x)=e X-l n x-2,W(x)=e*-L 且W(x)在(0,+8)上单调递增

27、.又M(l)0.府(g)0 ,X。即当m =l 时，不等式f(x)g(x)+l 成立.故整数加的最小值为1.【点睛】关键点睛：本题考查根据两函数图像有公共点求参数范围和不等式恒成立求参数范围，解答本题的关键是先根据x =l 时，不等式，e l n l +2 成立，求处一个参数的范围，然后根据题目要求再验证，=1 满足条件，从而得出答案.属于中档题.例 1 3.(2 0 2 1 北京北师大二附中未来科技城学校高三阶段练习)已知x)=s i n x,g(x)=l n x,/z(.r)=x2-a r -1.(1)若x e O,l ,证明：/(x)2 g(x +l)：(2)对任意x w O,l 都有e

28、/(+/7(x)-g(x)0,求整数。的最大值.【答案】(1)证明见解析；(2)2.【分析】第14页，共3 1页2/22023年数学一轮复习重难点专题突破专题利用导数解决类整数问题(含答案)精研考纲归纳核心题海训练归纳总结体验实战梳理复习(1)利用二次求导求得存在唯零点x e(O,l),使得尸(x0)=0,尸(x)0在(0,1)上恒成立上可以证明尸(x)在定义域上的单调性，可知尸(x)2 0,便可证明结论.(2)先判断整数“42 可知 e+x2-o r-l-ln x N e M+x 2 _ 2 x-l-ln x，接着证明H(x)=e K x?-2x-1 -In x 0在区间(0.1 上恒成立即

29、可可出结论.【详解】解：(1)证明：设(x)=s in x-ln(x+l),(0 4 x 4 1),则F(x)=cosx.因为尸(x)=，-s i n x,且xw 0,l(x+1)则尸(x)在 0,1,单调递减，i-s in l 0,F(x)-；+cos?=0,F(0)=0所以k(x)0在(0,1)上恒成立上，所 以/(x)在 0,1 单调递增则尸(x)2 尸(0)=0,即尸(x)20,所以/(x)W g(x+l).(2)因为对任意的e/(，+M x)-g(x)0即 e+x?-ox-1 -In x 0 恒成立令x=l,则6疝|In 2,所以 2=*v e 0 整数，则“42因此 e 皿+x 2

30、-a x-l-ln x N e +x Z-Z x-l-Inx下面证明(x)=es,nv+x2-2 x-l-ln x 0,在区间(0,1 上恒成立即可.由(1)知sinxln(x+l),则en、x+liyr/(x)x+l+x2-2 x-l-ln x =x2-x-ln.r设G(x)=x 2-x-ln x,xe(O,l,则G，(x)=2 1 =(2x+l)(l).0,X X所以G(x)在(0 5 上单调递减，所以G(x)2G=0,所以(切0 在X(O,1 上恒成立.综上所述，的最大值为2第1 5页，共3 1页2/22023年数学轮复习重难点专题突破专题利用导数解决类整数问题(含答案)精 研 考 纲

31、归 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习例14.是否存在正整数。，使得e-a x f M x对一切x 0恒成立?试求出。的最大值.解:易知。-奴N/ln x对 切x 0恒成立，当x=l可得则。仅可取1、2er 2(x-2)(er-x)下证。=2时不等式恒成立，设g(x)=-lnx,g(x)=-x x xg(x)在(0,2)单调递减，(2,+8)单调递增，g(x)g(2)=(e2-4-4 in 2)0当a=2时，不等式恒成立，所以a最大为2.例15.X2#砂 巴 三，求k的最大整数值.x-2解:令 f(x)=-,显 然 左 -=4+-4x 2%2 x 2【过

32、关测试】1.(2022吉林长春市第二实验中学高二期中)设函数/(x)=e、-2ax-l,g(x)=x+l.讨论/(x)的单调性；(2)若。=；,且不等式(x-Q/(x)+g(x)0对Vxe(0,+oo)恒成立，求整数上的最大值.【答案】(1)见解析(2)2【解析】【分析】(1)先求导，讨论导数的实根个数，然后分别研究相应区间的导数符号从而确定函数单调性；(2)分离参数得上 皆1对Vxe(O,+a)恒成立，构造函数，研究其最小值，然后求出发的最大值.ex-l(1)/,(x)=ev-la,xe R当aMO时,在x e(F,+)上/(x)0恒成立，/(x)单调递增；当Q0时,令 尸(力=0,解得x=

33、ln(2a),在x7O,ln(2a)上,(x)0恒成立，/(%)单调递增.综上：当aVO时，/(x)在x e(70,+oo)上单调递增；当a 0 时，/(x)在x e(Yo,ln(2a)上单调递减，在xe(ln(2a),+co)上单调递增.(2)因为e、-l 0,所以原不等式等价于 0,所以(x)在xe(0,+8)上单调递增，因为(l)=e-3 0,/(2)-e2-40所以玉。1,2)使得，(x)=0,BPe-xo-2=O在xe(O,x。)上，(x)单调递减：在xw(%,+oo)上，(x)0,”(x)单调递增，所以，卜)1，(%)=等*=爆得乜+1又因为所以，(，而/(2,3),又k w Z,

34、所以上的最大值为2.【点睛】本题第一问的关键是分类标准的正确选择；第二问的关键是零点虚设，通过设而不求的思想解决问题.2.(2022河北衡水高三阶段练习)已知函数/(x)=(a-l)x+lnx(aeR).(1)讨论函数/5)的单调性与极值；(2)当。=0时，函数8。)=/。)-(2-幻/在 上 的 最 大 值 为 5,求使得Sw 上的整数A的 值(其 中 e 为自然对数的底数，参考数据：In0.5-0.7,In0.6 -0.5).【答案】(1)单调性见解析，极大值为-l-ln(l-a),无极小值(2)-4【解析】【分析】(I)对函数/(x)求导，并对。的取值范围进行分类讨论，利用导数研究函数的

35、单调性、极值即可求解；(2)对函数g(x)求导，构造新函数，利用导数研究函数的单调性、零点、函数值域即可求解.(1)第17页，共3 1页2/22023年数学轮复习重难点专题突破专题利用导数解决类整数问题(含答案)精 研 考 纲 归 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习fx)=a-+-,X G(0,+CO).x当即a.l 时，/(x)0 恒成立，则函数/(x)在(0,m)上单调递增，无极值;当a-l 0,即a 0,故函数/(x)在(0,占)上 单 调 递 增；当x e(白时，/,(x)0,故函数/*)在(6,+oo)上单调递减，所以当x =J时，函数/(x)

36、取得极大值，且极大值为/(1 匚 =-1+1 1 1 丁 匚=-1-历(1 a).-a 1 1 一。)1 一。综上所述，当a1时，函数/*)在(0,+0 上单调递增，无极值；当。o 在+上 恒 成 立,所 以 心)在 小上单调递增.又A(0.5)=eo 5-2 0,i 3I(所以存在x e J,1,使得Mx 0)=0,即e%=,-2 5J XQ则当时，h(x)0,所以函数g(x)在 上 单 调 递 增;当x e(x 0,l)时，A(x)0,则g(x).(1)当a=；,xw0,+oo)时，/(x)2 0 恒成立，求 6 的范围：(2)若/(x)在x=0 处的切线为x-y-l=O,且/(x)ln(

37、x+m)-2,求整数机的最大值.【答案】(1)-1,+8)；(2)2【解析】【分析】(1)求出当a=g,xe0,+a)时/(x)2 0,只需要/(x)111m与0；(2)先根据切线的条件求出参数a,6,在类 似(1)中用恒成立的方式来处理.(1)由/(x)=e，+asin2x+b，当 a=；时，得/(x)=e*+cos2x 当xe0,+8)时，l,c o s 2 x e-l,l,所以/(x)=e*+cos2x 0,即/(*)在0,”)上单调递增，所以x)皿=/(0)=l+b,由/(x)2 0 恒成立，得 1 +b N O,所以b N-1,即 的范围是-1,+8).(2)由 fix)=ex+as

38、in2x+b 得/(x)=ex+2acos2x,且/(0)=1 +6.由题意得/(O)=+2a=1 ,所以a=0,又(01+b)在切线x-y-l=O上.所以0 1-1-8=0,所以6=-2,BPf(x)=ex-2.因为因x)ln(x+m)-2,所以有e*ln(x+m).令 1 =犬 0，贝(Jeln(x+m)等价于，ln(x+掰)，即 x+m v d，从而 m.设g)=e _ ln z,则g )=e_；.第19页，共31页2/22023年数学轮复习重难点专题突破专题利用导数解决类整数问题(含答案)精 研 考 纲 归 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习易知

39、 g Q)在(0,”)上单调递增，且=2 0.所以，由函数零点存在性定理知，存 在 唯 一 的 使 得 g&)=0,即e=；,则4 =-In f。.*0当/G(o,%)时，gXt)g&)=0,g“)在&,内)上单调递增.从而 g(r)m i n =g(，o)=e-l n f o =，o+*0而。+在 团 上 是 减 函 数，所以4 +K，/因此g)的最小值g&)2,|.从而整数，的最大值是2.4.(2 02 2 全国模拟预 测)-知函数/(x)=(a +l)e-q-3,其中e 为自然对数的底数，aeR.e讨论函数/(x)的单调性；(2)当。=0 时，若存在x w R使得关于x的不等式%M(x)

40、成立,求k的最小整数值.(参考数据：e:2)【答案】(1)答案见解析；(2)0.【解析】【分析】(1)求出函数/(x)的导数，分-14。4 0,”0 三种情况讨论/(x)的符号求解作答.(2)构造函数g(x)=y(x),求出g(x)的最小值取值范围，再由不等式成立求整数的最小值作答.(1)函数/(x)的定义域R，求导得：/)=伍+1.-十(里一，若-1,由,、仅+*、恁卜一焉，得x=ln户,f(x)=-八-=0 脑+1当xe(-oo,ln时,7/(x)0,当x时,/,(x)0,若 a 0,当x J-o o,ln 时，/(x)0,V a -i-1)则X)在-8,In上单调递减，所以，当a 0时，

41、/(x)在(2)当 a=0 时,令 g(x)=(x)=贝|(、)=(x+2)e,贝i j当 xe上单调递增；昌)上 单 调 递 减，在 垢 旧;+0 0)上单调递增.：x(e-3),!)!i j g，(x)=(x+)e _3,令(x)=(x+l)e*-3,m(-2,+o c)时，(x)0,g)上单调递增,当xe(-a,-2)时，”(x)0,因g(0)=l-3 =-2 0又当X W(Y O,-2 时，g(x)0 ,则存在，使得g1 Xo)=(x(,+l)e%-3 =O,当 X(-2,Xo)时，g(x)0,所以当xe(-8,x()时,g(x)=g(Xo)=x 犷(X)成立，且k为整数,所以上的最小

42、整数值为0.【点睛】结论点睛：函数y=/(x)的定义区间为。，若玉使得，小使得加/(x)成立，则m f(x)min.2 ,x0 e f 0,o+l J I 4 J得a 2 0,/(x)成立，则，2时，恒成立，求整数”的最大值.【答案】(1)单调增区间为(,“)，单调减区间为(。，”)(2)2【解析】【分析】(1)求导，分别解不等式/(x)0,/(x)0解得x a ,由 f(x)=(a-x)eva,所以x)的单调增区间为(T O M),单调减区间为(a田)(2)当 x2 时，e*-2e e2-2e=e(e-2)0所以/(x)0 o”2时，hx)=er-2e0,所以h(x)=ex-2ex在(2,+

43、a)上单调递增,A(2)=e2-4e(0,/I(3)=e,-6e 0,所以存在x。2,3),A(xo)=O记 h(x0)=e&-2ex0=0，则 e*=2ex0 所以当xe(2,%)时，A(x)0,即g(x)0,此时当x)单调递减,当x e(%,+0,即g(x)0,此时g(x)单调递增所以当X =X。时，g(x)由最小值g(x0)=第2 2页，共31页2/22023年数学轮复习重难点专题突破专题利用导数解决类整数问题(含答案)精 研 考 纲 归 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习将代入可得g(x0)=/芈2 c x0(.%-l)2 ex0-2 e=xo所

44、以。1,x 0 ,(x-2)ev+lnx-a x(x-2)ev+lnx-x,只需b 2(x-2)e、+lnx-x对任意的xe停 1)恒成立即可.构造的数g(x)=(x-2)e*+l n x-x,g(x)=(x-l)e +g-l =(x-l)(e*3),.xe&l),且G)=e：单调递增，1-2 0 ,.一 定 存 在 唯 一 的 使 得()=0,第2 3页，共31页2/22023年数学轮复习重难点专题突破专题利用导数解决类整数问题(含答案)精 研 考 纲 归 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习t1即 e 0=一,x0=-l n x0,%且 当;工 /时，

45、f(x)0；当/x 0,即 g(x)0时，(L x)e、0 得x 0,由/(x)0 得x 0时，不等式(i-x)e*，+2等价于“+2,ex令 g(x)=W，则 g(x)=二7，由(1)得力(x)=e、-x-3在(0,+o o)上单调递增，又因为人 0,所以g(x)在(0,+o o)上有唯一零点七 ,且1。2 ,当xe(l,X o)时，g(x)0 ,所以g(x)的最小值为g(x。),由g(x0)=0 得e i+3所以g(X o)=x +?+2=x(,+,由于l X o 2,，所以2 V g(x0)3，因为；x g(x),求实数 I 的最小整数值.e*【答案】=-1(2)1【解析】【分析】(1)

46、求定义域，求导，得到尸(丁)在=J处取得极大值，也是最大值，进而列出方程，求出=-1；(2)参变分离后，利用隐零 点 得 到 力(切=式 辿 在 x=z 处取得极大值，也是最大值，令。)=空，c ex w(g,4),求出最大值的范围，确定实数，”的最小整数值.(1)尸(幻=四=处 4,定义域为(0,+8),X X产(x)当0 x 0,当x e时，尸(x)x(l n x-l),B P w ex_3 x(l n x-l),第25页，共31页2/22023年数学轮复习重难点专题突破专题利用导数解决类整数问题(含答案)精 研 考 纲 归 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳

47、理 复 习x(l n x-l)x(l n x-l)，定义域为(0,+。)，g)=I n A*-x I n x 4-x，令力(力=令3(x)=l n x-xl n x+x,x0则d(x)=l n x-1 +1 =I n x,可以看出(x)=-l n x在(0,+8)单调递减,x又(1)=1 0,(2)=1-l n 2 0,当xe(x(),+o o)时，s(x)0 ,(4)=4-6 1n 2 0,当x w(O,x J u&,+8)时，夕(x)0,所以(x)=5 +在x e(x”x,)上大于 0.在x e(0,x J u(x,+8)上小于 o,e所以MX)=*D在x e(x，X 2)单调递增，在(0

48、,占),(七,+8)上单调递减，且当x e 时，MX)=X(：T)0恒成立,所以刀5)=硬 工-在 x =七处取得极大值，也是最大值，其中l n x x/n x 2+X 2=0,第2 6页，共3 1页2/22023年数学一轮复习重难点专题突破专题利用导数解决类整数问题(含答案)精 研 考 纲 归 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习“(x)=当x s时,-I n x典 加 0,I n Z故 (五)丁2 1-3所以实数，”的最小整数值为1.【点睛】对于函数隐零点问题，要结合零点存在性定理得到隐零点的大致范围，然后对函数值进行变形，最后确定函数值的取值范围，确

49、定参数的取值范围.9.(2022全国哈师大附中模拟预测(理)己知函数/(x)=e-、+s i n x-a x ,g(x)为 的 导 函 数.证明：当。=0 时，函数g(x)在 区 0,1 内存在唯一的极值点,及 2c o s x.百;(2)若/(x)在(0,万)上单调递减，求整数0 的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)ami n=1【解析】【分析】(1)求导，根据导函数的符号以及零点存在定理可以证明:(2)求导后，参数分离，构造函数求最大值即可.(1)当a =0 时，/(x)=e,+s i n x ,g(x)=/(x)=-e-1+c o s x ,g (x)=e-x-s i n x，-0,

50、1,令(x)=g (x),则 h(x)=-e-I-C O S X e 3 =-=0,2 2 V?2g7 _e4 _l _1 0 ,g(x)在区间0,%上单调递增,当时，g(x)。，g(x)在 区 间 X0,y上单调递减，所以函数g(x)在 区 间 0，5内存在唯一的极值点飞,又x()，所以近 2cosx v/5；.6 4 _(2)若/(x)在(0,1)上单调递减，则/(x)=-e x+cosx-a x (0,),令夕(x)=-e-x+cosx,X E(0,I),即是求夕(X)在xe(O,乃)时的最大值，k(x)=(p(x)=eT-sinx,当 xe(0,/r)时，k(x)=-ex-cos x,