高等代数(一)期末试卷(B)答案.docx

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1、第2页共11页 高等代数(1)(信息与计算科学、统计学15级)中国民航大学高等代数（1）期末试卷得分n|p沿参考答案和评分标准题目序号二三四合计总分审核人签字得分评阅人签字传一、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）分K1多项式/（x）=x4-x3+x-2的所有有理根为II.Ax+y=O2.方程组1、有非零解，则入=1.-1.x+Xy=O43.矩阵A与8称为等价的，如果存在可逆矩阵P和。使得PAQ=B.!4.设A为x矩阵，试将A写为一对称矩阵与一反对称矩阵之和,A+AA-AA=+.阴；22想I.II5 .若二次型x）2+x；+2txx2-2x）x3+4x2x3是正定的，则t的取值范4围是v，

2、v05、单项选择题(共5小题，每小题3分，共15分)6 .卜列命题不正确的是(b)(a)任意一个级排列与排列12L都可经过一系列对换互变(b)一个矩阵只用初等行变换不一定能变成阶梯形矩阵(c)初等变换不改变矩阵的秩。(d)数域P上任一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵。7 .下列命题正确的是(d)(a)多项式/(x)有重因式的充分必要条件是/(x)与/(X)互素。(b)如果(力(外,力(幻)=1,B.(x)|g(x),f2(x)|g(x),WJ/i(x)/2(x)lg(x)不一定成立。(c)两个本原多项式的乘积可能是非本原的。(d)一个非零的整系数多项式如果能分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘

3、积，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积。8 .下列命题错误的是(a)(a)与基础解系等价的向量组也是基础解系.(b) 一个齐次线性方程组的基础解系所含解的个数为，则方程组的任意f个线性无关的解都是基础解系。(c) 一个有n个未知量的齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数为r,则该方程组的系数矩阵的秩一定是n-r.(d) 一个齐次线性方程组的任意两个解向量的差还是该方程组的解。9 .设A是一个X矩阵，则下列命题错误的是(d)第2页共11页高等代数(1) B期末试题120分钟2016年07月15日星期五(a)秩4=当且仅当A是非退化的。(b)秩A01226000005433-10

4、00006分故r(A)=z(才)=2,方程组有无穷多组解，且X5+匕，x2=6+2x3+2x4,其中*3,*4是自由未知量。又丫=(-5,6,0,0)是方程组的一个特解，而Q=(1,2,1,0),712=(1，2,0,1)其导出组的基础解系，所以方程组的一般解是：(-5,6,0,0)+k,(1,2,1,0)+&(1,2,0,1),其中占，&是任意数。10分13 .化二次型f(xl,x2,x3)=x-2xtx2+2X1X3-6x2x3为标准形，并写出所作的非退化线性替换.(10分)第6页共11页高等代数(D B期末试题120分钟 2016年07月15日星期五第10页共11页 高等代数（1）（信息

5、与计算科学、统计学15级）第7页共11页 高等代数（1） B期末试题120分钟 2016年07月15日星期五-1I-3-3-3000100I1000-400-2010分四、证明题（共3小，每小题10分，共30分）14 .向量组a1,a2，L,a,线性无关，而。1，。2，匚,%,0线性相关，判断向量3是否可以由a,。2，匚,%唯一地线性表出，并证明你的结论。证明：向量B是一定可以由唯一地线性表出。2分因为a“a2，L,a,，B线性相关，所以存在一组不全为零的数4左2,L,幺，&第7页共11页高等代数（1）B期末试题120分钟2016年07月15日星期五第8页共11页 高等代数（1）（信息与计算科

6、学、统计学15级）使得ka+k2a2+krar+那=0.假如k=0,则占%+k2a2+krar=0.又由于。,。2，匚,见线性无关,所以4=左2=1=0.这与女1，攵2，L，&r，火不全为零矛盾，因此�,从而即B是可以由唯一地线性表出。6分如果0=Xjttj+x2a2+L+xrar=以+y2a2+L+yrar,则（XXM+（彳2-J2）a2+L+（七yrr=。再由。1。2，匚,的线性无关性，王一%=x2-y2=1_=七一%=0,即$=%,/=y2,I-.,xr=yr.于是P是一定可以由。1。2，匚,见唯一地线性表出。10分15 .设B是一个X”矩阵。如果A6=。，那么秩（A）+秩（B）K.

7、证明：设b=（国，n，l,b“），其中P，B2，l，B”是B的列向量，则第10页共11页高等代数（1） B期末试题120分钟2016年07月15日星期五第10页共11页 高等代数（1）（信息与计算科学、统计学15级）48=(4国,碓,匚,邓“)=0,进而AB,=0,j=l,2,L,.4分故国是以A为系数矩阵的齐次线性方程组AX=。的解，故国,区,1,巴的秩-秩(A).8分即秩(8)4一秩(A).进而秩(A)+秩(B)410分16 .证明：设是一个正整数。证明：刈/*(外当且仅当刘/(回.证明(充分性)如果x|f(x).,则又所以xx)。4分(必要性)如果xx),令f(x)=anxn+a“_XT

8、+匚+。/+。0.则(x)的常数项是a：.由于所以a：=0,8分进而。0.=0,x|/(%).第9页共11页高等代数(1)B期末试题120分钟2016年07月15日星期五10分五、应用题（共1小题，共10分）17 .一种早餐麦片的包装罐通常列出每份实用量包含的卡路里、蛋白质、碳水化合物与脂肪的量。两种常见的麦片的营养含量如下表。营养素每份食物营养素含量GeneralMillsCheeriosQuaker100%天然麦片卡路里110130蛋白质化合物（克）43碳水化合物（克）2018脂肪（克）25设这两种麦片的混合物要求含热量295卡路里，9克蛋白质，48克碳水化合物和8克脂肪。（I）建立这个问题的一个向量方程，并给出方程变量表示的含义。（2）写出等价的矩阵方程，并判断所希望的两种麦片的混合物是否可以制造出来。解：（1）设混合物中GeneralMillsCheerios的含量为X1克，Quaker100%天然麦片的含量为9克。则这个问题的一个向量方程为10、(130、（295、439再20+X)18一482/517875分（2）与之等价的矩阵方程为由于110130295258439011201848000258000A=故方程组有唯一解，即所希望的两种麦片的混合物是否可以制造出来，且只有一种。10分第13页共11页 高等代数（1） B期末试题120分钟 2016年07月15日星期五