2023年高考数学大招1构造函数解不等式.pdf

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1、大招1构造函数解不等式大招总结遇到函数与导数不等式的题目，一般将不等式移项构造一个新函数，然后找到其原函数，从而判断其单调性.类型一直接利用求导的四则运算法 则1 ：/(x)g(x)=/(x)g(x).(可推广到多个函数)法则3:4 4法则 2:/(x)g(x)=1(x)g(x)+g(x)/(x).gO类型二构造可导积函数若条件是/(x)g(x)+g(x)/(x)N O,可构造 F(x)=/(x)g(x),则尸(x)单调递增；若条件是f(x)+/(x)0,可构造F(x)=exf(x),则F(x)单调递增；若条件是4(x)+/(%)0,可构造F(x)=xf(x),则尸(x)单调递增；若条件是才3

2、 +4(x)2。，可构造尸(x)=xV(x),则 尸(x)=xT 4(x)+W(x)，若白 o,则/(X)单调递增；若条件是/(X)+叭x)N 0,可构造e(x)=*(叭x)+r(x);若条件是/(x)cosx-/(x)sinxN O,可构造/(x)cos司=fx)cosx-f(x)sinx0；若条件是/(x)sinx+/(x)cos%2 0,可构造/(x)sinx=fx)sinx+/(x)cosx0.类型三构造可导商函数若条件是广双幻一 f Mgf(x)o,可构造F(X)则/(x)/0g.(冗(x)g *O说明尸(X)单调递增了(X)/(x*0/(x)=4 ,Jtf(x)-f(x)o,/(%

3、)=3 ；若条件是xfx)-mf(x 0,则构造若条件是f-mfx 0,则构造才(力 一 时(x)./(x)cos x+/(x)sin xyr(x)sinx-/(x)cosx若条件是/(x)cosx+/(x)sinx20,可构造若条件是/(x)sinx-/(x)cosxN O,可构造cos2 xsin2 x类型四构造函数结合函数奇偶性有的题目是一个函数和一个代数式组合，往往可以构造成一个奇函数，从而利用函数的单调性求解.典型例题例1 ,已 知 函 数/(X)的 定 义 域 为 实 数R.7(X)是 其 导 函 数，对 任 意 实 数X有f(x)+xf(x)0,则当时，下列不等式成立的是()A

4、.af(b)bf(a)B af(a)bf(b)C bf(a)af(b)D hf(b)af(a)解：对任意实数x有/(%)+于 0,令F(x)=xf(x),F(x)=f(x)+xf(x)0.F(x)=V(x)在 R 上单调递增，若 ab,则 F(a)F(b),即 af(a)bf(b)，故选 B.例2.设/(x)、g(x)分 别 是 定 义 在R上 的 奇 函 数 和 偶 函 数，当无0,且g(-3)=0,则不等式/(x)g(x)0的 解 集 是()A .(-3,0)。(3,+8)B.(3,0)。(0,3)C.(x),3)D(3,+oo)D.(oo,3)u (0,3)解：设/(x)=/(x)g(x

5、),当 X 0,E(x)在当x 0时为增函数.F(-x)=/(-x)g(-x)=-/(x)g(x)=-F(x).故/。)为(-8,0)u(0+oo)上的奇函数.尸(x)在(0,+00)上亦为增函数.已知g(-3)=0,必有/(一3)=/(3)=0.构造如图/(x)的图象，可知E(x)0时,x f X x)-f(x)0成立的x的取值范围是()A.(-oo,-l)u(0,l)B,(0,l)u(l,4w)C.(1,0)51,+8)D.(-00,-1)5-1,0)解：设g(X)=，则g(x)的导数为g(x)=灯(?；/,.当x 0时总有4(x)0时，g(x)恒小于0,当x 0时，函数g(x)=为减函数

6、，X又：g(-x)=正。=二 丛。=旦D=g(尤)，.函数g(x)为定义域上的偶函数，X-X X又.f(T_)Z=o，函数g(x)的大致图象如图所示.一1数形结合可得，不等式/(X)0等 价 于g(x)0,x0 fx0即 或 ，解得o x i或x 0成 立 的x的取值范围是g(x)O g(x)09-1)5 0,1).故选A .例4.定 义 在0弓 上 的 函 数/(x),导 数 为 八%),且/(x)/(x)tanx,则下式恒成立B.1)2/闱sinlD.解：因为/(x)0,cosx构造尸。)=丛 雪 则F(x)sinxsin2(x)0,所以产(x)单调递增,/(x)sinx-/(x)cos

7、xsr l所以尸C目7m故选D,例5.已知函数/(x)定义域为(0,+8),且满足/(x)0,x fX x)-f(x)b时，下列不等式一定成立 的 是()A.af(b)bf(a)B.af(a)af(b)C af(a)hf(b)D.bf(b)af(a)解：令尸3 =岂,=二/(*),X Xx f(x)-f(x)0,所以 F(x)b0 时，F(a)F(b),所以/h 3).故选B.自我检测1 .设函数/(X)满 足/广(x)+24(x)=一,则当/(2)=x 0时，/(%)()XoA.有极大值，无极小值C.既有极大值又有极小值B.有极小值，无极大值D.既无极大值也无极小值答 案：D由已知得/(x)

8、=-.设g(无)=ev-2x2/(x),2ex ev求导得 g(x)=ev-2x2f(x)-4xf(x)=ex 一一=(x-2),易得 g(x)g=0 在x0且x#2是恒成立，因 此/(x)=二2；/3 0在Q O且x 0 2是恒成立，而/(2)=0,说明/(x)在x0时没有极大值也没有极小值故选D2.已知/(%)的定义域为(0,+8),fM为/(%)的导函数，且满足/(%)-xf(x),则不等式+的 解 集 是()A.(0,4)B.(1,4)C.(l,+oo)D.(4,+oo)答 案：D设 g(x)=x f(x),贝 I J g(x)=xf(x)+f(x)0时，函数g(x)=4(x)单调递减

9、，g(6 +l)g(x-l),x-l 0，解得x 4,则不等式的解集为(4,+8).故 选D.V4-1 0时，(/+1)/(幻+2 4。)0的解 集 是()A.(1,4w)B.(1,0)u(l,+8)C.(YO,1)D.(-oo,-l)u(0,l)答 案：D令 令 x)=(x2+l)/(x),则 F x)=(x2+l)r (x)+2xf(x),当 x0 时，(x2+1)f(x)+2xf(x)0 时，F x)0,F(x)=(x2+l)/(x)在(0,+oo)上单调递减，/(x)是定义在R上的奇函数，/(-1)=0,/(l)=o,.当0 “0,在/(%)0;又 F(-x)=(%2+l)/(-x)=

10、-(x2+l)/(x)=-F(x),/.F(x)=(x2+l)/(x)为奇函数,又 x 0 时，F(x)=(x2+1)/(%)在(0,+oo)上单调递减，.x 0,从而/(x)0；由#0 x l或 Q.不等式/(x)0的解集是(0,1)。(7,-1).故 选D.4.已知函数/(幻定义域为(0,+8),且满足x)+W(x)=二 /(e)则下列结x e论正确的是()A./(x)有极大值无极小值 B./(%)有极小值无极大值C./(%)既有极大值又有极小值 D./(x)没有极值答 案：D依题意由于矿(x)+x)=,整理得r(x)=.X X此时令 g(x)=In X-xf(x)(x 0),故此时 g，

11、(x)=-/(x)-矿(x)(X 0),X将 八X)带入导函数，即g，(x)=L /(x)-史迎。=上 也(0),X X X当0 x 0,此时函数g(x)单调递 增；当xe时，函数g(x)0时，无极值.故选D.5.已知/(x)的定义域是(0,+8),/(X)为/(x)的导函数，且满足/(x)e f/的 解 集 是()A.(-oo,-2)(l,4-oo)B.(-2,1)C.1)LJ(2,+oo)D.(1,2)答 案：A设g(x)=(x o)，,/(X)0,.g(x)在(0,+8)单调递增，r 2.f(x2+%)f(2,由+%)/2/Q),得_ 5 _ _L,即g(f+g(2),ex+*ex2+x

12、 2,解得 x 1 .不 等 式 (幺+1)J 2/的 解 集 是(_0),_2)51,”).故选A.6 .定义在区间(0,+8)上 的 函 数/(幻，使不等式2/(%)小(%)3/(%)恒成立,其中r(%)为%)的 导 数,则()A .8 瑞 16 瑞 8 C,3 Z g 4 D.2瑞 3答 案：B令g(x)=2，贝ljg(x)=广(X)d 3/矿 3/x6X4V Xfx)3/(x),即 xf(x)-3/(x)0,g(x)0 在(0,+8)恒 成 立，即有 g(x)在(o,+a)递 减，可得 g(2)g(l),即“2)J。)8 1由2 f(x)0,则也”1)2/(x),即 4(X)2/(x)

13、0,.(x)0在(0,y)恒成立,即有(x)在(0,+8)递增，可得(2)在1),即/坦/(1),则4 2 4 .即有4 4 2 8.故选B.4/(!)”1)7.已知偶函数/(x)是定义在 x w R I x/O 上的可导函数，其导函数为/(幻，当x 1,或 己a=4./(：+l)x m+1b=2m-f 2/m j,c=+则/b,c的大小关 系 为()A .abbc C .bac答 案：A令 g(x)=z n,(x.0).AX,.x w 恒成立，即 x 0 时，xfx)-f(x)0,J.x 0时，g(x)ac二 g(r)=，=一/=-g(x)，g(x)是奇函数，g(x)在(0,+8)递减,-X

14、 Xm +1 2m 4/nm +1g(加+l)g(2 标)g4mm+1即/(m+1)m +1 14m(4mI+14mm +1/.a b/(x)有恒成立，且/=d (e为自然对数的底数)，则下列结论正确的是()A ./(0)=1 B./(0)1 C ./(2)e6答 案：C令函数8(X)=/学，由题意，则g(x)=/a)；3/(x)0,从而g(x)在R上单调递e e减,.gg，即卑粤=1,./e6.故选C.e e9.已 知 函 数f(x x3-2 x +e-,其 中e是 自 然 对 数 的 底 数.若e/(-1)+/(22)0,则实数。的取值范围是.答 案：一1,工2函数/(x)/一2%+1-5

15、的导数为7(%)=3/-2 +5 2 2+20,可得/(x)在R上递增；41又/(X)+X)=(-X)+2x+e-x-e+2x+e、-j =0,可得/(X)为奇函数,则/(-D+/(2a2)0,即有/(2a2)-/(a-1),由了(一一1)=一/(a 1),/(2a2)/(1-a),即有 2 x.若/(2-a)-/(a)N 2 2 a,则实数 a 的 取 值 范 围 是.答 案：(f令 g(x)=/(x)-；x2 g(_x)+g(x)=/(_ x)_；x2+/(x)_；x2=0,，函数g(x)为奇函数.xe(0,+8)时，g(x)=/(x)x 0,故函数g(x)在(0,+00)上是增函数,故函数g(x)在(-8,0)上也是增函数，由/(0)=0,可得g(x)在R上是增函数./(2-a)-/()2-2a,等价于2a)。)一,即 g(2-a)2g(a),2 a 2 a,解得a K 1 .故答案为(，.11.设/(x)是 R 上的可导函数，且r(x)2/(x),/(0)=1,八2)=4，求”1)的值.e答 案:-e构造尸(x)=e(x),则r(x)=e(r(x)+/(x)0,所以产(力单调递增或为常函数,而 F(0)=e/(0)=1 ,F(2)=e2/(2)=l ,所以尸(x)=1 ,故 F(l)=ef(l)=1 ,得/(1)=1