2023年高一下数学必修二：球的体积和表面积.pdf

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1、2023年高一下数学必修二：球的体积和表面积一、基础巩固1.如果两个球的半径之比为1 ；3,那么这两个球的表面积之比为（）A.l：9 B.1；27C.1/3 D.l/I|解析：|设两球的半径分别为忆3尸，则表面积之比为需，=g g A2.若把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为（）A.R B.2R C.3R DAR|解析：|设圆柱的高为人则献243 X *3,所以h=4R.答案:|D3.若用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为兀，则球的表面积为（）o321T r 8n n 8或 冗A.8；l B.C.D.-3 3 3|解析：|作轴栈面如图所示，则。=1.设截面圆

2、的半径为尸，球的半径为R.由已知可得冗产=兀,所以r=l,R=V2.故S球=4T I必=8兀答案:|A4.如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为（）第1页 共5页A.18兀B.3 0 兀俯视图C.3 3 兀D.4 0 兀I解 析 由三视图可知该几何体是上面为半球、下面为圆锥的组合体,所以表面积 5=X4TTX 32 4-7TX3X5=3 3 7 T.答案:C5.若圆柱的高与底面直径都和球的直径相等，则圆柱的表面积与球的表面积之比是（）A.6 /5 B.5 ：4 C.4 /3 D.3 ：2解初设球的半径为R,则圆柱的底面半径为凡母线长为2R,则圆柱的表面积为2兀 尺 2+

3、2兀 及 2火=6 成 2,球的表面积为4 兀心所以圆柱的表面积与球的表面积之比是6JI7?2:4 成 2=3 ；2.答案:D6.已知棱长为2 的正方体的体积与球O的体积相等，则 球 O的半径为.解析:设球0的半径为r,则1nr3=23,解 得r=书-3 /i t7.若长方体/8 C D/B C D 1 满 足/炉+久：=1,则其外接球的表面积为廨称因为外接球的半径；=1JAB2+BC2+c C j=所以外接球的表面积为4Kx C），=IT.8.已知一种空心钢球的质量是14 2 g,它的外径是5.0 c m,求它的内径.（钢的密度是7.9g/c n?,最后结果精确到0.1）|设空心钢球的内径为

4、2x c m,第 2 页 共 5页由题意得7.9 y X5,2.3 47T 3-Tx二142,则x 3=03-142x37.9x411-11.3.：m2.24.：2F4.5,即所求钢球的内径约为4.5 cm.二、能力提升1.已知长方体共顶点的三条棱长分别是3,4人且它的8个顶点都在同一个球面上.若这个球的表面积为125砥则x的值为（）A.5 B.6 C.8 D.10|解析：|设球的半径为尸,则4兀户=125兀,.：产=子,又32+42+x2=(2r)2,.：9+16+X2=125,.：X2=10 0,X=10.2.如图是一个几何体的三视图,根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）隆狗该几何体的

5、上部是一个球，其表面积是4兀xp=4兀;下部是一个圆柱，其表面积是2兀xi X3+2T I X12=8兀故该几何体的表面积是4兀+8兀=12兀答案:D3.球面上有三点4 6,C组成这个球的一个截面的内接三角形的三个顶点，其中N6=18,8C=24MC=30,球心到这个截面的距离为球半径的一半，则该球的表面积为（）A.1 2007：B.l 40071 C.l 60071 D.1 800兀解析：|：S2+SC2=182+242=302=（?,.：ABC为直角三角形，且其外接圆的半径为年=215,即截面圆的半径片15.又球心到截面的距离为d=g/?（R为球的半径）,.：相一 6R）=152,R=10

6、V3.第3页 共5页.:球的表面积S=4兀 犬2=4兀*（10国）2=1 20 0兀IgA4.表面积为16无的球的内接正方体的体积为（）AA.8o DB.16 rC.64百 nD.16（9 9解近设表面积为16兀的球的半径为人则4兀户=16兀，解得r=2.设内接正方体的棱长为a,则V 3 a =2r,所以a=-y=.所以内接正方体的体积V=（f（，）=ggc5.已知圆柱。O的底面半径为4,高为与，球M的体积等于圆柱。的体积,则球M的半径等于.|解析：|设球M的半径为r,则gnZ =I T x 42 x y,解得片4,即球V的半径为4.6.已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的

7、正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形,那么该球的表面积是.|解析：|由三视图可知边长为2的正方体内接于球，则球的半径r=A/3.所以球的表面积为4兀7=12兀.答案：12兀7,已知盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为5 c m,两个直径为5 c m的玻璃小球都浸没于水中.若取出这两个小球，则水面将下降多少厘米？固设取出小球后,容器中的水面下降了 4 c m,两个小球的体积为 珠=2 yX（|）=F（c/）,该体积等于它们在容器中排开水的体积2=无、5 2、,所以子=7 1 x 52 xh,解得力=|.故取出这两个小球，水面将下降|c m.8.已知一倒置圆锥的母线长为

8、1 0 c m,底面半径为6 c m.（1）求该圆锥的高；第4页 共5页(2)若有一球刚好放进该圆锥(球与圆锥的底面相切)中，求这个球的半径以及此时圆锥剩余空间的体积.解(1)设圆锥的高为h cm,底面半径为R cm,母线长为/cm,则 h=V/2-/?2=V102-62=8,所以圆锥的高为8 cm.(2)球放入圆锥后的轴载面如图所示,设球的半径为rem.易得 AOCDSAACOI,OD oc贝”=,OXA AC即：=解得 r=3.o 1U圆锥剩余空间的体积为圆锥的体积减去球的体积，即修圆锥球=x IT X 6?x 8 x 33=96T T 36T T=60ii(cm3).故此时圆锥剩余空间的体积为60K cm3.第5页 共5页