2023年秋经济数学形成性考核册及参考答案.pdf

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1、经济数学基础形12成性考核册及参考答案作 业（一）（一）填空题 x-s i n xl.l im-z O X.答案：o2.设/(x)x1+1,xw O.一 +，在x =0处连续，则左、k,x =0.答案：i3.曲线y =J 7在（1,1）的切线方程是.答案：y=-x-2 24.设函数 f(x+1)=x?+2 x +5，则/(x)=.答案:2 x5.设/(x)=x s in x,则小华 71.答案:一一2（二）单项选择题1.函数yX-1厂+%2的连续区间是（）答案:DA.(o o,l)D(1,+8)B.(-00,-2)U(2,+00)C.(o o,2)D(2,1)D(l,4-o o)D.(-o o

2、,-2)D(-2,+o o)或(-o o,l)U(l,+o o)2.下列极限计算对的的是（）答案：B x X TO Xx W XC.l im x s in =1X s in x ID.l im-=13 8 x3.设则 d y =().答案:BA.LxlxB.-x l n l Od rIn l OC.-d xx1D.-d xx4.若函数/（x）在点沏处可导，则）是错误的.答案：BA.函 数，（x）在点不）处有定义B.l im f(x)=A,但 Aw/(尤0)K 0C.函数/在点的处连续D.函数/（x）在点X。处可微5 .当 -0时，下列变量是无穷小量的是（）.答案:CA.2Vs in xB.-x

3、C.l n(l +X)D.c o s x(三)解答题1.计算极限.x 3x+2 .(x 2)(x 1)(1)l im ；-=l im -i 无 一 T(x-l)(x +l)=li m 2Z (X+l)2.x 5 x +6(x _2)(x _3)(2)l i m-.=h m-1 2%2-6 x +8 x _ 2 (x -2)(%-4)l im 三 巨，T2(x 4)_2A/1 -X 1 r(3)l im-=l imA 0 X KT0(V 1 -x -1)(J 1 -x +1)X(A/1-X+1)=l im-T=-=l imi。x(VPx+1)-0(J1 -X+1)i_2.x 3x+5 (4)l

4、im -=l imi s 3x+2 x +4 XTOO,3 51一+-1X x _ 1X X s in 3x 5 x s in 3x 3 3(5 )l im-=l im-=x-*s in 5x 3 x s in 5x 5 5“、r /-4 r(x -2)(x+2)，(6)l im-=l im -=4x f 2 s in(x 2)1 2 s in(尤一 2)xsm +b,x 0 x2 .设函数/(x)=0问：(1)当a 力为什么值时,/(x)在 x =0 处有极限存在?(2)当 为 什 么 值 时,/(x)在 x =0 处连续.答案：(1)当b=,a任意时，/(x)在 x =0 处有极限存在;(

5、2)当a =8=1 时,/(x)在 x =0 处连续。3 .计算下列函数的导数或微分：(1 )y =犬+2 +l o g 2 x-2 2,求 y 答案:y =2 x +2 l n 2 +1x l n 2/ax+b 4，(2)y =-求)cx+a答案：y=Q(C X+d)-cax+b)a d cb(cx+cl)?(c x+d)2，二百求1-答案:y =(3 x -5)2.A/3X-5y=1 32)(3X-5)3(4 )y =yx 一 x e，,求 yf答案：y=尸 一(x +l)e 2y1 x(5 )y =eax s in bx，求 dy答案：y =(ea v),s in +ea v(s in

6、Z?x),=ae s inbx+ea v c o s Z?xb=eax(asinbx-bcosbx)dy=e (a s in +。c o s bx)dx(6)y =eJ+x V x ,求d y答案：d y =(|V x -yev)(Lx(7)y=cosyfx-ex,求d y答案:,c-F s in V x.,d y =(2xe-j=)d x2yx(8 )y =s in x +s in 几 x,求 y 答案:y=nsin xcosx+cosnxnn(smn xcosx+cosnx)(9)y =l n(x +Jl +x ),求 y 答案yf=-:)(x +Jl +x 2 y =%+Jl +x*1

7、2y-x eA V+c o s(x+y)5.求下列函数的二阶导数:答案：)，=-；r r(1 +x2)21 Y(2)y ，求 y 及)，T X3 /1 N答案:八尸(1)=11X+Jl +厂1_L(l +-(l +x2)22x)X+Jl +(1+V l +x*1i+x2cot-(1 0)y=2*+yx/2x 4,-求yi2 、In 2 1 -1 -答案：y =4 _芋 ：犬2+3犬62 .1 2 6x s in x4.下列各方程中y是X的隐函数，试求)，或d y(1 )+y 2 _ 盯+3 x =,求 d y答案：解：方程两边关于X求导：2 x +2yy-y-xy+3=0(2 y -x)y=y

8、-2 x-3 ,dy=y32-dx2y-x(2)s in(x+y)+exy=4x,求 y 答案：解:方程两边关于X求导c o s(x +y)(l +/)+exy+肛)=4(c o s(x +y)+exyx)y-4-yexy-c o s (%+y),4一年“J-c o s a+y)(1)y =1 1 1(1 +/),求 y 作业（二）（一）填空题1 .若 J/(x)d r =2*+2 x +c,则/(x)=.答案:2 In 2 +22.J(s in x y d x =.答案：s i n x+c3.若 J./(x)d x =F(x)+c,则 J 4(1 )d x =.答案：尸(1 )+c4 .设函

9、数一J l n(l +x 2)d x =.答案：0fo 1 15 .若 P(x)=f i 则 P (x)=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.答案:一-J i+d（二）单项选择题1.下列函数中，（）是 邓i n x 的原函数.A.c o s X22B.2 c o s x2C2 c o s xD.1 CO S X2答案:D2.下列等式成立的是().A.s in r d x =d(c o s r)C.2vd x =d(2r)l n 2B.In xdx=dd)。XD.-7=d-=y/X答案:C3.下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（）.A.jc o s(2 x +l)d r,B.J x

10、Vl-x2d xC.x s in 2 x d xD.r -X-dixJ 1 +x2答案：C4.下列定积分计算对的的是（A.J 2 x d x=2C.（x2+x3）d r =0J-7 t答案：D5.下列无穷积分中收敛的是（).).(1 6B.J|d r =1 5D.s in A d x =0J-71r+o o 1 r+1 ,A.I d x B.I -d xJi%Ji x2答案:B(三)解答题1.计算下列不定积分r 31(1)4-20021100121100 1(2)+(3)X2)3)+(l)x2(2)+(3)(-l)7.1001-301001-30000012 )0112 61112 61001

11、0120013 0-130AI)=1235-5 2002A 12-7-100001 20I2设矩阵4=101325,B=1223，求解矩阵方程X4=B.0(2)+6 x(-3)121 00-1-3 1(D +(2)X21001 32I(2)x(-l)102013-1X=BA-11-10四、证明题1.试证：若31,当 都与A可互换厕4+g,4层 也与A可互换。证明:(4 +B2)A=BA+B2A=AB+AB2=A(B+B2),B1B,A=BAB、=AB B22.试证：对于任意方阵A,A +AT,A 4TMTA是对称矩阵。提 醒：证 明(A+A，T=+(心7 =AT+A=A+AT(A4T)T=(A

12、T)rAT=AAT,(ATA)T=AT(Ar)r=ATA3 .设 A,5 均为阶对称矩阵，则AB 对称的充足必要条件是:A3=B A。提醒:充足性：证明：由于A B=A 4；.(A 8)T=E4=必要性：证明：由于A8对称，A 8 =(A B)T=夕 4=区 4,所以AB =B 44.设4 为阶对称矩阵,B为n阶可逆矩阵，且B =8,证明3一%3是对称矩阵。证明：(万 四 3=BTAr(B-i)T=B A作业(四)(一)填空题1 .函数f(x)=x +，在区间 内是单调减少的.答案：(1,0)。(0,1)X2.函数y =3(x-l)2的驻点是，极值点是，它是极_ _ _ _ 值点.答案:x =

13、l,x=1,小3 .设某商品的需求函数为q(p)=1 0e 苫，则需求弹性E=.答案：一2 1 1 14.行列式。=-1 1 1=.答 案:4-1 -1 11 1 1 6一5.设线性方程组AX=。，且0-1 3 2，则r 时，方程组有唯一解.答案：。10 0/+1 0(-)单项选择题1 .下列函数在指定区间(-8,+8)上 单 调 增 长 的 是(。).A.sin x B.e x C.x D.3-x答案:B2 .已知需求函数式p)=1 0 0 x 2 4。，当 夕=1 0时，需求弹性为().A.4 x2 I n 2 B.4 I n 2 C.-41 n 2 D.-4x 2-1 1 1 2答案:C

14、3 .下列积分计算对的的是().A.r i -e-v-e-x dx=O B,Ir i -e-x-dx=OJ-i 2 L 2C .J：x s in jir=O D.J (jr2+x3)d r=O答案:A4.设线性方程组A,“*“X=b有无穷多解的充足必要条件是().A.r(A)=r(A)m B.r(A)C,m n D.r(A)=r(A)=1 e x+-12 2(2 )盯+y -e =0,=01 ex 1答 案：yr+y =一，尸(x)=A X Ay =e l =enx f -el n AW x+cJ x J Xy =(e v 4-c),C=e ,y=(ev-e)X x4.求解下列线性方程组的一般

15、解：X1 4-2X3-x4=0(1)X +/3X3+2X4=02xt-x2+5X3-3X4=02-dx 广 -f I d re x j 2 s in 2xe Jx dx+c=e,n vj 2 x s in 2xeJ dx-i-cs in 2xd2x+c产+c,把 y(0)=0代入e =g e +c,C=,e,Q(X)二 一，代入公式得X-1 I rex=|xdx+c,把 y(l)=0 代 入xJ X答案:A”2*3 +/（其中的，乙 是自由未知量）x2=x3-x4I-1201-12-35-12-3T1 00 10-12-111 10所以，方程的一般解为%,=-2X3+X4（其中为,巧是自由未知

16、量）x2=x3-x4(2)2玉 一%2+%3+*4 =1X1 +2X2-X3+4X4-2X +7X2-4X3+1 l x4=5答案-2 -1 1 1 1 -(A 份=1 2 -1 4 21 7 -4 1 1 5 1 2 -1 4 20-53-7 -3(3)+(2)0 0 0 0 01),(2)1 2-1 4 2 2 -1 1 1 1(2)x1:T7 -4 1 1 512-143 70 1 5 50 0 0 0f 1 6 4(l)+(2)x(-2)（其中占,2是自由未知量）2350(2)+(l)x(-2)+(1)x(1)1002-552-334-53-504776-57-50X1 =一(刍 +?

17、3 7 32=-X3-X4+-5.当4为什么值时，线性方程组有解,并求一般解。答案:F l-1 -5 4 2 11 -1 -5 4 2一(2)+(l)x(-2)2-1 3 -1 10 1 1 3 -9 -3(A b)=(3)+(l)x(-3)3 -2 -2 3 30 1 1 3 -9 -3(4)+(l)x(-7)7 -5-9 1()2 J0 2 2 6-1 8 A-1 4-1 -1 -5 4 2F l 0 8 -5-1(3)+(2)x(-l)0 1 1 3 -)-3(1)+(2)0 1 1 3 -9 -3(4)+(2)x(-2)0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0%8 0 0 0

18、 0/I-8-当;I =8有解,M =-8当+5%4 1%2=1 3工3+9工4 3（其中的,%是自由未知量）5.。为为什么值时，方程组王一工2 一 元3=1%)+x2-2X3-2xl+3X2+ax3=b答案1A=11 1 11 -2 23ab(2)+(l)x(-l)(3)+(l)x(-l)-1 -1 -1 10 2-1 10 4 a+1 b-(3)+(2)x(-2)-1 -1 -1 10 2 -1 10 0 a+3 b 3当a=3且时，方程组无解;当a w 3时，方程组有唯一解；当”=一3且b =3时，方程组无穷多解。6.求解下列经济应用问题:（1 ）设生产某种产品q个单位时的成本函数为：C

19、 =1 00+0.2 5q2+6q（万元），求：当q=1 0时的总成本、平均成本和边际成本;当产量q为多少时，平均成本最小？答案：0(1 0)=1 8 5(万元)。(0)=侬=股+0.2 59 +6令，6(1 0)=1 8.5 (万元/单位)q qc(q)=0.5 q +6,C (1 0)=1 1 (万元/单位)tc(q)=3=_ +()2 5,+6,c(q)=一 季+0 2 5 =0，当产量为2 0个单位时可使平均成本达成最低。(2).某 厂 生 产 某 种 产 品q件 时 的 总 成 本 函 数 为C(g)=2 0 +4 g+0.0 1 72 (元)，单位销售价格为p=1 4-0.0 0

20、(元/件)，问产量为多少时可使利润达成最大?最大利润是多少.答案:R (q)=1 4 q-0.0 1 q 2,L(q)=-c(y)=1 0 -0.0 2 2-2 0,Z/q)=1 0 0.0 4 q =0当产量为2 5 0个单位时可使利润达成最大，且最大利润为L(2 5 0)=1 2 3 0 (元).(3 )投产某产品的固定成本为3 6(万 元)，且边际成本为C (q)=2 g+4 0 (万元/百台).试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达成最低.解:当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为答案：A C =C(6)-C(4)=(2q+40)dq=(q2+4 0(/)|=1 0 0 (万元)c(q)=1Q q+4 0)d q +3 6=+4 0 +3 6,c而=3 =+4 0 +,Jo1 q q_ O/SC (9)T =0,当x =6(百台)时可使平均成本达成最低.(4)已知某产品的边际成本C (q)=2 (元/件)，固定成本为0,边际收益R (q)=1 2-0.0 2 q,求：产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产5 0件，利润将会发生什么变化？答案：L(9)=R)一c(q)=1 0 -0.0 2 4 =0,当产量为5 0 0件时，利润最大.L =(10-0.02)=(10-0.012)|=-25(元)即利润将减少2 5元.