2023年高考数学强基计划模拟试卷含答案（十四）.pdf

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1、2023年 高 考 数 学 强 基 计 划 模 拟 题(十 四)(满 分 100分，测 试 时 间：60分 钟)一、填 空 题(每 小 题 10分)1.整 数 p,q满 足 p+q=218,/+q=。有 整 数 根，则 满 足 这 样 条 件 的 整 数 对(p,q)的 个 数 为.2.ABC的 三 个 顶 点 分 别 对 应 复 数 Z2,Z3,已 知 寒 1=1+2 则 ABC的 面 积 与 其 最 长 边 长 的 平 方 的 比 等 于.3.不 等 式 彳+；1 且 xN3,y N 3 的 正 整 数 解(x,y)的 个 数 是.4.令 斯 表 示 距 离 赤 最 近 的 正 整 数，已

2、 知 2+上+白 2020,则 n的 值 等 于 5.有 种 方 式 可 以 将 正 整 数 集 合 N+分 拆 成 两 个 不 相 交 的 子 集 的 并，使 得 每 个 子 集 都 不 包 含 无 穷 等 差 数 列.6.设 数 列 即 满 足%=6,an+i=%，则 以 下 几 个 结 论 中：(l)Vn N*,an(n+I)3;(2)Vn e N*,an 消 2020;(3)3n G W*.a”为 完 全 平 方 数；(4”nN*,与 为 完 全 立 方 数.正 确 的 有.二、解 答 题(每 小 题 20分)7.设 4(%,。2,，。2。)是 一 个 整 数 数 列，其 中 由 e-

3、1000,1000.+a2+-+。2000=1，求 证：存 在 4 的 一 个 非 空 子 数 列，其 和 为 零.8.设 出=1,即+T=(l+；)3(n+an),neN*.求 证：(l)an=n3(l+Sfc=ip)；(2)n k(l+$3.答 案 1.【答 案】4【分 析】本 题 考 查 了 根 与 系 数 的 关 系，属 于 基 础 题.设 方 程 的 两 个 根 为 X2,(X!由 韦 达 定 理 结 合 条 件 可 得 一 01+犯)+X1%2=218,整 理 成(%-1)(%2-1)=219,即 可 分 析 得 结 果.【解 答】解：设 方 程 的 两 个 根 为 勺，不，0 1

4、 4 必)，所 以 由 韦 达 定 理 得：；：2 q P，故 两 根 都 是 整 数，再 由 p+q=218,可 得-(X1+x2)+%!%2=218,则 01-1)(血-1)=219,即 01-1)(&-1)=1 x 219=3 x 73=(-1)x(-219)=(-3)X(-73),易 知 结 论 为 4.故 答 案 为 4.2.【答 案】1【解 析】由 复 数 除 法 的 几 何 意 义 可 知 泞 1=1+2i的 辅 角 主 值 表 示 以 为 为 顶 点，以 F，彷 为 边 的 角，把 AABC对 应 的 Z1移 到 坐 标 顶 点，再 利 用 相 似 的 三 角 形 相 关 比

5、不 变 性 质，构 造 一 个 边 长 石 石 为 1的 三 角 形，进 而 易 求.3.【答 案】5【分 析】本 题 考 查 了 不 等 式 的 性 质，属 于 基 础 题.利 用 不 等 式 的 性 质，得(x-2)(y-2)3,不 等 式“l=2y+2xxy xy 2%2y 0(x-2)(y 2)1且 x 2 3,y 2 3的 正 整 数 解(x,y)为(3,3),(3,4),(3,5),(4,3),(5,3),x y故 正 整 数 解(x,y)的 个 数 是 5.4.【答 案】1021110【分 析】本 题 考 查 了 数 列 的 求 和，属 于 中 档 题.分 别 求 出 a2 a3

6、,a4,a5,a6,a7的 值，可 得 a2,即 按 照 这 样 的 规 律 取 值：2个 1,4个 2,6个 3,，2k个 k,从 而 可 求 和.【解 答】解：由 题 意 可 得%=1,a2=1,a3=2,a4=2,a5=2,a6=2,a7=3,即 的,a2,an按 照 这 样 的 规 律 取 值：2个 1,4个 2,6个 3,，2k个 匕,所 以 有(：+：)+(之+之+:+)+(g+?)+=2020=2+2+2=2020.共 有 1010组 2构 成 等 式，故 n=2+4+2 x 1010=1021110.5.【答 案】无 穷 多【解 析】将 正 整 数 集 合 N+分 拆 为 4

7、8,B=N+/A任 取 一 正 整 数 放 入 集 合 B 中，设 为 元 素 a,以 此 为 初 始 元 素 开 始 构 成 集 合 B,a+2作 为 集 合 8 中 的 第 二 个 元 素，a+5作 为 第 三 个，间 隔 的 距 离 以 每 次 在 前 一 个 长 度 上 再 增 加 一 个 长 度 为 基 准 依 此 类 推，得 到 的 集 合 B 则 是 满 足 题 意 的 一 种 分 法，由 于 a的 任 意 性，故 有 无 穷 多 利 L6.【答 案】(1)(2)【解 析】利 用 数 列 的 递 推 方 法，可 求 得 的=6,an+1=彳 即 的 通 项 公 式 为 即+1=n

8、(n 4-l)(n+2),显 然 可 得(1)和(2)成 立.下 面 考 虑(3)(4)不 成 立.若(3)成 立，则 存 在 一 个 正 整 数 m,满 足 n(n+l)(n+2)=巾 2.由 于 n+1与 n，n+2均 互 质，则 有 n+1与 n(n+2)必 均 是 完 全 平 方 数，但 是 由 于 小，在 任 意 两 个 连 续 的 完 全 平 方 数 之 间 不 存 在 其 他 完 全 平 方 数，故 无 论 n为 何 值，an都 不 可 能 是 完 全 平 方 数 洞 理，即 也 不 可 能 是 完 全 立 方 数.7.【答 案】可 以 采 用 构 造 法，若 存 在 一 项 为

9、 0,则 命 题 成 立;若 任 一 项 均 不 为 0,则 任 取 整 数 数 列 4 中 一 项 a作 为 瓦.令 S=瓦，不 妨 设 瓦 0,瓦 1,1000.若 瓦=1,则 余 下 的 项 的 和 满 足 题 意.若 瓦 2,由 于%+a2+.+a2000=1,故 余 下 的 项 中 必 存 在 取 值 为 负 整 数 的 项，从 中 任 取 一 项 作 为 庆 6-1000,-l.S2=瓦+，则 52 6 一 999,999若 52 0,则 一 定 存 在 负 整 数 项，令 其 为 坛.若$2 0,则 必 有 后 续 数 为 负.若 S2 0,则 必 有 后 续 数 为 正.如 此

10、，若 Si，S2,S1999有 某 值 为 0,则 命 题 成 立;若 有 某 值 为 1，则 后 续 数 和 为 0,命 题 成 立.若 无 0,1,贝 52,，S1999 e-999,-1 U 2,1000,且 由 抽 屉 原 理 和 1 6 Z可 知 必 存 在 Si=廿，i*j,i,j e1,2,1999,二 者 之 差 则 是 符 合 题 意 的 结 论.8.【答 案】由 归 纳 法 易 得.或 令 勾=簿 则 与+1=如+1，由 累 加 法 知 垢=1+2 k+，即 an=4（1+仁；/）.(2)因 为 以=炉(1+优&)=/c3+fc3-S5=14-/c,所 以 誓=1：*；1k 1+%=1二 n 1,4 n 1+Z-1-7n(1+4)=i1l.n 二 1=1 ak%IJi+器 乌 11+2(1172 A.1=21 1 1 1+1+1-+一 可+3.