2023年高考数学大招3柯西不等式.pdf

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1、大招3 柯西不等式大招总结在求二元（或多元）代数式最值或者二元（或多元）不等式的证明的题目中，巧用柯西不等式会比较方便快捷.二维形式：+0 2）卜2+仇7）2 ,等号成立条件：ad.扩展：（a；+a；+a：乂；+优+b；+髭）.+ajb、+%4+滴）等号成立条件：q:%:4=a:bn（当4 =。或2=0 时，生和都等于0,不考虑：2/=1,2,3,/）二维形式的证明：（a2+Z?H +d2）（a,0,c,d G R）=a2c2+唐+a2d2 +/=a2c2+2abcd+b2 d?+a2d2 2abcd+b2c2=（ac+bd）2 +（ad-be?.（ac+bd）2等号在且仅在加 be=0,即

2、加=0c时成立.向量形式的证明：令2=（%,%，%，q）=（A 也 也，-也）m n=ab+%4+。也 =|m|n|cos(/n,n)=Ja；+；+；+J/?；+/?；+b；+h：cos(m,)cos （肛力,1 ,ah+a 2仇+生打+a“。”Ja；+a；+a g+a；Jb:+b；+b；+b；典型例题例1 .实数尤、y满足3X2+2/=6,则2 x+y的最大值是,解方法1:由柯西不等式得（3 f+2 y 2）（g+g）.（2 x+y）2,1 1故（2 x+y/”6 x上=1 162 x+y V1 T,，2 x+y的 最 大 值 是 而.故答案为而.方法2:万能上法令2 x+y-k,y-k-2

3、 x,3 x2+2（k-2 x）2=63 x?+2（左2一4+4?）=6,I L?8 6+2 左 2 6 =0A,-VTT 点 旧2 2方法 3：3 x2+2 y2-6,+1,2 3令2 x+y =z，直线2 x+y -z =0与椭圆相切时有最值由硬解定理（见圆锥曲线）得2 x4 +3 z 2=0,z =Vn,所以最大值为日方法4：三角换元2 2+=1,令元=J cos a,y =G s in a,2 3辅助角公式2 /2C O S6 Z +V3 s in（7=J T T s in（a +0）,所以最大值为J F T例2.已知实数x,y满足+1 +J 2 y +3 =4,则x+y的最小值是,解

4、方法1：实数x,y满足J 2 x+l+j 2 y +3=4,由柯西不等式可得，(2 x+l +2 y +3)(l +l).(j 2 x+l xl +j 2 y +3 xl)2,即 4 x+4 y+8.1 6,求得 x+y.2 ,当且仅当J 2 x+1 =J 2 y+3 =2时,取等号，故x+y的最小值是2.故答案为2.方法2:1 2 x+l +J 2 y+3 =4,令 J 2 x+1 =a,J 2 y+3 =b,x=，y=2,题目转换为a +8=4,求 广4+生二3 =+6 2)-2的最小值，2 2 2V 7I I A-A-/A /1 b 3 1 /7 .O _ _地位等价法，a=b=2,-4

5、-=a+h)-2 =2.2 2 2V 7方法 3:，2 x+l +J 2 y+3 =4,令 J 2 x+I =q,J 2 y+3 =b,x=?1,y=?-4 +b =4,c i l b-3 1/2 2 c(a+b)2 ab.1 6 2,cib,-+-=-la+b-2 =-2 =-2 =6-ab2 2 2V 7 2 2，H”2.例3.函数y =54 2 x-I +V1 0-2 x的最大值为，此时x=,解由柯西不等式得52 +12(岳=I?+(J 1 0 2 x)2 (5 岳=I +1 x J 1 0-2 x)2(5j 2 x-1 +V1 0-2 x)2,2 6 x9,5j 2 x1 +4 10

6、2 x”3 J 2 6 ,当且仅当5j l 0-2 x=1 xy2 x-l时,取等号，即x=2-吐取等号.52故答案为3 /2 6,-.52例文证明柯西不等式：+仁+储/团+加 了；(2)若e R+且a+b =1,用柯西不等式求J 3 a +1 +J 3 b +1 的最大值.解证明：(片+尸)(/+屋)一(a c+6/y=(a d-he)2.0,.(a2+b2)(c-2+J2).(C+M)2.(2)由柯西不等式可得(+2)(.+)2 +(病 1)2 .(J 3 a +1 +3 b+l)2.a+b=l,:.(y/3 a+l+y/3 b+)2 1 0,;.，3 a +l+j 3 +l 的最大值为

7、J i6.例 5.(2 0 1 9-全国卷 H I)设x,y,z wR,且无+y +z =l.(1)求*-1)2 +(y +1)?+(z +1)2 的最小值；若(犬 2 尸+(y -1)+(z d).成立，证明：3或a.1.解 x,y,z R,且 x+y +z =1,由柯西不等式可得(F +2 +2)(_)2 +(y +)2 +(z +l)2.(x-l +y +l +z +1)2=4,可得(x_ l)2+(y +l)2+(z +l)2.g,即有(x-I p +(y +1)?+(z +1)2的最小值为I.(2)证明：由x+y +z =l,柯西不等式可得(l2+l2+l2)(x-2)2+(y-l)

8、2+(z-a)2.(x-2 +y-l +z-)2=(+2)2,可得(尤 2)2 +(y _ 1)2 +(z _a)2.但 产,即有(-2)2 +-1)2+(2-。)2 的 最 小 值 为 史 卢,由题意可得(“；2);，解得a._ 1 或 -3.自我检测1 .已知定义域在R 上的函数 x)=k+l|+|x2 的最小值为a.(1)求a的值；若 p,为正实数,且p+q+r-a,求证：p2+q2+r2.3.2 .设正数a,),c 满足出?c =a+/?+c,求证：ab+4 bc+9 ac.3 6,并给出等号成立条件.3.设 a,b,m,n R,.a2+b2=5,ma+nb=5,P JiJ m2+n2

9、 的最小值为二TT4.己知E，K 是椭圆和双曲线的公共焦点，P是 它 们 的 一 个 公 共 点.且 则 椭 圆 和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()4gA.一32百B.-3C.3D.25.设a,0,c 为互不相等的正整数,求证：1 +,，a+2 3b c1 .(1)解：k+岫-2|.J(X+1HX-2)1 =3,当且仅当T瓢2时，等号成立，“X)的最小值为3,即a=3.(2)证明：由知，+4 +-=3,又 4为正实数，由柯西不等式得,(p 2+/+，)(1 2+1 2+1 2).(pxl+qxl +rxl)2=(P +q+r)2 =3?=9 ,即/+g 2 +产.3A人“b +c,+=l

10、2 .证明：正数兄2 c 满足 ab be ac(ah+4bc+9 ac)(+|.(1 +2 +3)2=3 6再由柯西不等式可得I ab be ac)当且仅当。=2、b=3、c =l 时,取等号，故 必+4 Z?c+9 ac.3 6 成立3,由柯西不等式得,(+勿2 (+一)3+6)a2+b2=5,imi+nb=5,:.m2+2 j.5,/.yJm2+n2的最小值为蓬.故答案为班.4.设 椭 圆 的 长 半 轴 为 气 双 曲 线 的 实 半 轴 为 半 焦 距 为。，由椭圆和双曲线的定义可知,设归耳|=4，|%|=&，|耳 周=2：一 7 1ex,e2,-；NFPF,=椭圆和双曲线的离心率分

11、别为 3 ,4 c 2 =(r,2+(n)2-2 rnc os由余弦定理可得-3,(D3 住 _ 1“_ 在椭圆中，化简为即4 0=4 a 2-3 口 即 4 c 2 e：，r.r 1 ,I 2=-F 1在双曲线中，化简为即4 c =4 q2+g即 4 c 2 e；，(113联立(2)(3)得,-1-=2 2q e2,由柯西不等式得1 +13)4e出J化+U 4 1 6 1 1 叵 一 述 G f-ee 3=T。”八一？e =F，4=、3即%)3,即 4%v，J，当且仅当 3 时取等号.1+1 史故 4 C2 最 大 值 为 3 .方 法 2:设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为-4%,半焦距为

12、C,由椭圆和双曲线的定义可知，设 电 1=4 呐=5归 闾=2：71q,/,.NFPF =椭圆和双曲线的离心率分别为 3,由 余 弦 定 理 可/=耐+(力 一 小 天 面+面-V 24 +=2%小=4+%1 +1 _ a,+2 _ r由/一4=2%,得 弓=4一生 G 羯 c cC2 2r+弓住令4/、21+殳-殳4(1、2a _ l+31 4 2 J 4弓-1 m 6 d _4后一 彳 犯 回?一 不，一 _二-当 4 2 时，3 c Jm ax?31+迪即 4 的 最 大 值 为 3 .m +n=2 a J_ 1 a,+a2 m方法3:设 阀 卜 八 闸 卜 则 1 加一=24,则0,+%=%则1+/丁F,由正m _ 2csin(120-0 sin60弦定理得 艮言皆喝e)=20叫寻券故选A.当且仅当/*,即有=1，6=2,。=3时,上式取得等号1 1 1 b c1 +,，6 Z +r故不等式 2 3 2-32成立.