2023年高考数学压轴题及答案解析.pdf

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1、2023年高考数学压轴题2 2%y1.设椭圆C：葭+记=1 (a h 0)的左、右焦点分别为F i (-c,0),F2(C,0),动点P(x,y)在椭圆C上运动，当 P F F 2面积最大时，SAPF1F2=C2.(1 )求椭圆C的离心率;(H)若 c=l,延长尸B，尸 尸 2分别交椭圆C于 4,B(A,8 不重合)两点，设 屈 1 =AF；P,BF2=IF2P,求 人+”的最小值.【解答】解：(1 )由题意当尸为尸2面积最大时，尸为椭圆短轴的端点,所以 s PF1F2=1 尸百卜b=b c=d,所以可得6=。，所以 6 2=0 2=0 2-。2,可得 0 2=2。2,则 a=&C,所以椭圆的

2、离心率e=。=卷=乎：(I I)由题意得，点 P不在x轴，不妨设点尸(m,)(W 0),A(x i，yi),(必”)，F i (-1,0),F i(1，0),由4%=AF P,得(-1 -x i,-yi)=入(加+l,n)fx i =-痴-入-1,yi =-M,又 由(I )及 c=l 知椭圆C的方程为：万+/=1Q i n+a+l)2.尸-_ _ Y +)=1，2又-+2=1,联 立 可 得(3+2加)入2+(2刃+2)入-1,第1页 共5页即（3+2加）A-1!（1+A）=0,由题意知人 0,入+1 W 0,所以入=豆 先 1同 理 可 得 =打 痂（no）,所以入+u=多 急+=苴 忌

3、2故当阳=0,入+p取到最小值2.已知抛物线炉=2川（p 0）上一点尸的横坐标为4,且P到焦点厂的距离为5,直线/交抛物线于4B 两 点（位于对称轴异侧），且。小。B=*（I ）求抛物线的方程；（I I ）求证：直线/必过定点.【解答】解：（I ）由题可得点尸到抛物线准线的距离为5,抛物线的准线方程为x=-*由抛物线的定义知4+5=5,解得p =2,故抛物线的方程为f=4 x；（I I）证明：易知直线力8的斜率不为0,设 直 线 的 方 程 为l=吁3A（.，.），B（.，为），且yi y2V o,联立方程+t 消去X可得“-4 f=0,则=1 6 m2+i 6 f 0,且yi+y2=4加，y

4、y2=-4/,-*Q（ViV*?）2 9由 0 4 =4得 +yry2=解得-1 8或2（舍去），Q所以-4 f=-1 8,可得Z=2，即直线N 8的方程为xfy+宏Q令y=0,则 x=2，9所以直线/必过定点（5,0）.第2页 共5页3.已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y 轴，且过/(0,-2),8(3,-1)2两点.(1)求 E的方程；(2)设过点尸(1,-2)的直线交E于，N两点，过用且平行于x轴的直线与线段48 交于点7,点满足M T=TH 证明：直线N过定点.2 2【解答】解：(1)设E的 方 程 为 三 三=1，4=in b将A(0，-2),-1)两点代入得 9 i ，,

5、2 *,2=14 a b解得2=3,房=4,2 2故E的 方 程 为 工 上 =1；3 4 由 A(0,-2),B 得,-1)可得直线AB：y=-1x-2 若 过 P(l,-2)的直线的斜率不存在，直线为x=l,代 入 号 片=1 可得M(l，婴)，N(l,将y=2季代入AB：可得T (、后+3,乙；$_)，由 而=而，得H(2B+5,平)，O易求得此时直线HN：y=(2-)X-2-过 点(0，-2)；3 若 过 P(l,-2)的直线的斜率存在，设 丘-y-(H2)=0,M(x i,川)，N(X 2,”)，kx-y-(k+2)=0联立 2 2，得(3 乒+4)x2-6k C2+k)x+3k(%

6、+4)=0,第3页 共5页故有，6 k(2+k)x 1+x 2=-3-k92-+-4-_ 3 k(4+k)x 1 X 2-3 k9%-8(2+k)yi+y2=3 k92+4 -24 k 4(4+4 k-2k2 且勺丫2+乂2丫 广 叁J，),4-3 k2+47 3 yl联乂，2，可得 T (一-+3,y 1)y=yx-2 2H(3 y 1 +6-x j Yj)可求得此时HN：y-y=力-72(x-x)，2 3 y 1+6-xX2 2将(0,-2)代入整理得 2 (x i+x 2)-6 Cy+y2)+x i/+x 2 _y i -3 y ly 2 -1 2=0,将(*)代入，得 2 4 Z+1

7、2庐+9 6+4 8 Z -24k-4 8 -4 8左+2 4庐-3 6/-4 8=0,显然成立.综上，可得直线H V过 定 点(0,-2).4.己知函数/(x)=ln(1+x)+axe x.(1)当。=1时，求曲线y=/(x)在 点(0,/(0)处的切线方程：(2)若/(x)在 区 间(-1,0),(0,+8)各恰有一个零点，求。的取值范围.【解答】解：(1)当。=1 时，/(x)=加(1+x)+xex,则 f，(x)=+e-x.1+x：.f(0)=1+1=2,又/(0)=0,.所求切线方程为y=2 x；若 a 2 0,当-1 V x V O 时，f(x)0,f(x)单调递增，则/(x)/(

8、0)=0,不合题意；故。0,解得或 X1W L 令 g(x)0,解得1-V 2x l 时，g(x)0,若g (0)=l+a2 0,当x 0时，g(x)0,f(x)单调递增，不合题意；若 g (0)=l+a 0,g(0)g(1)0,则存在 x o6 (0,1),使得g (x o)=0,且当 x e (0,x o)时，g(x)g (0)=0,f(x)单调递减，则/(x o)1时，f(x)ln(1+x)+a 0,/(一。-1)0,则由零点存在性定理可知/(x)在(1,e a-)上存在一个根，当 1-&X O0力 g (x)f(0)=0,当时，/(x)ln(1+x)-ae0,f(eae-1)0,则由零点存在性定理可知/(x)在(e ae-l,1-亚)上存在一个根.综上，实数。的取值范围为(-8,-1).第5页 共5页