高中数学竞赛真题9平面几何（学生版+解析版50题）.pdf

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1、竞赛专题9平面几何（50题竞赛真题强化训练）一、填空题1.（2 0 1 8天津,高三竞赛）凸六边形A B C D E F 的 6条边长相等,内角A、B、C分别为1 3 4。、1 0 6。、1 3 4。.则内角E 是（用度数作答）.2.（2 0 2 0江苏,高三竞赛）在 平 面 直 角 坐 标 系-中，直线）=人与圆C：&-2 7+（），-3 6）2=5 交于人，8,则|。4|0 目=3.（2 0 2 1.全国高三竞赛）在“8 c 中，N A 8 c 所对的旁切圆与边八C相切于点。，乙48 所对的旁切圆与边A 8 相切于点E.若|A8|=1 A C|=2,则 史 面 积 的 最 大 值为.4.（

2、2 0 2 1 浙江高三竞赛）在“8 c 中，A B A C BC,在 例，N 为A 8 上两点，且AN =AC,B M =8C,点,P 为 A A B C 的内心.若 N M P N =7 5 ,则/AC 8=.5（2 0 2 1 全国高三竞赛）设三个不同的正整数“、氏 c成等差数列，且以久、护、c5为三边长可以构成一个三角形，则的最小可能值为6.（2 0 1 9 贵州侑三竞赛）如图，在/W C 中，八/3=3（）,八 C=2 0,S C=2）0,I）、E分别为边4 3、八 C的中点，N/3 AC 的平分线分别与“、8 c 交于点A G,则四边形li G i D的面积为-7.（2 0 1 8

3、山东高三竞赛）若直线6*-5.-2 8=0交椭圆*+与=1 （“（）,且cr b-a 为整数）于点A、C.设8（0,。）为椭网的上顶点，而 8 c 的重心为椭圆的右焦点人，则 椭 圆 的 方 程 为.8.（2 0 1 8河北高三竞赛）在A A BC 中,A C =3,s i n C=2）,则 A BC 的面 积 最 大 值 为.9.（2 0 2 1全国高三竟赛）已知直角梯形A8c。中，AB H C D,对角线A C、8。相交于O,N O A 8 =9 0。，P、Q分别是腰A。、8 C上的点，且4 B P A=N DP C,N AQB=NOQC,若 2 AB =3 C D,则 而=.10.（20

4、19.山东高三竞赛）A 8c 中，A8=16,8C=5 6,C 4 =9.在A A B C外部,到点8、C的距离小于6的点蛆成的集合，所 覆 盖 平 面 区 域 的 面 积 是.二、解答题II.（2021,全国高三竞赛）已知 A 8 C满足乙4=60,E、F分别为A8、A C延长线上的点，且8E=C尸=8CAAC的外接圆与E k交于不同于E的点K证明：点K在N M C的角平分线上.12.（2021全国高三竞赛）如图，在平行四边形A8C。中，A、G分别是边A8、反 上的点，线段A G、C A交于点P,&A47和A C C f的外接圆的第二个交点。位于 4 8的内部.证明：N P D A M Q

5、B A.13.（2021全国高三竞赛）如图，设0、分别为/4 8 c的外心与垂心，M、N分别为BH、C H的 中 点.8 8 是AA8C的外接圆的一条直径，如 果 是 一 个 圆 的 内 接 四边形，证明：B N =-A C214.（202卜全国.高三竞赛）如图，已知锐角AA8 c的外接圆为，过8、C分别作圆的切线交于点尸，?在 直 线3 C、AC.A 8上的投影分别为。、F,A。防的外接圆与8 c交于点N（不同于点D）,A在8 c上的投影为M.求证：B N =C M .ArN DE15.（2021全国高三竞赛）如图，已知等腰三角形A B C中，A8=A C,M 为 8 c 的中点.。为线段8

6、 上一点，E、F 分别为AC、A8上的点，且四边形AE。尸为平行四边形.8 0 交D E 千点.P.CO的延长线交。厂的延长线于点。，d 8 C 的外接圆。交 ADM的外接圆于A、K 两点.求证：K、Q、P、。四点共圆.16.（2021全国俗三竞赛）如图，A E.人尸为圆的两切线，A 8 c为圆的一条割线,E/,.为切点连线，。为过C、8 关于圆的切线的交点，证明：。、E、尸共线.17.（2021.全国高三竞赛）如图，在心AA8 c 中，N4C8=90。，C 为重心，P 为射线A G 上一点，满足Z C M =N C 4 8,。为射线8 G 上一点，满足/CQB=N A 8 C,证明：AAQG

7、、ABPG的外接圆的另一个交点在A B上.1 8.（2 0 2 1 全国高三竞赛）如图，设圆内接四边形/W C 7）的对角线八C与/）交于点P,并且/M 与C 8 交于Q.若 P Q.L A C,且 是八8 的中点.求证：P E 1 B C.1 9 .（2 0 2 1,仝国高三竞赛如图，在AA8 c 中，B C 最 短,D、分别在4 8、4C上满足 B D=CE=BC,设/是AA8 c 内心，。是AAOE夕 卜 心，求证：O!1.B C.2 0.（2 0 2 1 全国高三竞赛如图，锐角AA8 c 中，D 为边B C 中点、.A8D内切圆与边/W切一点AAC。的内切圆与边A C切于点F,若四边形

8、以）；为平行四边形，求证：G在 用 C的平分线上.2 1.（2 0 2 1 全国高三竞赛）如图，已知圆。是“WC的外接圆，切线8P、C P交于点匕。是 8 c 的中点，K、4分别在线段A&A C上，过 满 足 切 一 Z J D,连结K P、LP .求证：N B P C =2 N K P L.ADP2 222.（2021.全国高三竞赛）点 P 为肺例+与=1（八 0）外一点，过。作椭圆两条a b 切 线 而、PB,切点分别为A、8,连结A8,点例、N 分 别 为 南、A8 中点，连结M 2 并延长交I f f i 圆于点C，连结P C 交椭圆于另一点。，连结M）并延长交户8 于。，证明：。为

9、P8的中点.23.（2021 全国高三竞赛）如图，在锐用4 A 8 C 中，A B A C,D、E 分别是八/八AC的中点，的外接圆与A8（芯的外接圆交于点P（异于E）,“力 的外接圆与8C 7）的外接圆交于点Q（异于D）,证明：AP =AQ.24.（2019江西高三竞赛如图所示,B E、C F 分别是锐角三角形A 4 8 C 的两条高,以4,为宜径的圆与直线C F 相交于点M、N,以A C为直径的圆与直.线/明相交于点P、25.（2019山东府三竞赛）已知：正方形A 8C/）的边长为1点”是边A。的中点以“为圆心A/）为直径作圆，点 A在线段4,上，且直线。与圆相切.求。用的面积.26.（2

10、018江西岛三竟赛）如图，AABC的内心为/,D、E、G分别是边8 C、CA s A3 的中点，证明：直线。平分/）的周长.27.（2018福建高三竞赛）如图，在锐角”8。中，、是边8 c上的点，“8 C、AB D、AA/）C的外心分别为0、P、Q.证明：（1）“尸QSAA B C；（2）若 EOJ.PQ,IAHQO.LP E.28.（2019全国高三竞赛）在A 48c中，设/C=90。，C D 1 AB ,垂足为D,P、Q分别为A W C、&3QC的内心，PQ与C D交于点K,记AA8C的面积为S.证明：1 1 _ IC Kr c i y=s 29.（2018全国高三竞赛）如图，O Q与。：

11、的半径相等，交于X、Y两点.A48C内接于。且其垂心H在。?上，点Z使得四边形C XZY为平行四边形.证明：AB、XY、HZ三线共点.30.（2021全国高三竞赛）如图，以4 8为直径的圆上有C、。两点，AC,8。两点的中点为、”，直线 厂与宜线人/）、8C分别交于G、H,求证：以由为直径的圆和以“为直役的圆有一交点在8 匕HD31.（2021.全国两三竞赛）如图所示，在等腰“8 c中，A 8=A C,设点。是边人CI二一点.点E是线段/）的中点,延长A E与底边3 C交于点尸.证明：若 B F=E F,求证：AE2=AB AD.32.（202卜全国高三竞赛）如图，在锐角6ABe 中，已知点D

12、反尸分别是点A、及C在边A C、C 4、A 8上的投影，.A E F、。尸的内心分别为L、,“。门 的 外 心分别为Q、q,证明：33.（202卜全国两三竞赛）如 图,A 8是。O的一条弦，A 8的垂直平分线交（3。于M、N两点，交 A B于点/）.尸为O O内一点，/）历户外接圆交P N于点E.AABE的外接留交 P于 点 且 点M、P、瓜尸在宜线A 8同侧.证明：E F 1.P N.M34.（2021全国向三竞赛）如图，锐角AA8C的外接圆为.。是 A 在8 c 上的射影，假设A =8C,点 M为。C 中点，/A O C 的角平分线与八C 交于点N,上一点P 满足 8户 A C.直线。N

13、与AM交 于 点 儿 直 线/V 与圆再交于点Q.直线人C 与VPNQ的外接圆再交于点证明：NOQE=90。.35.（2021浙江高三竞赛）如图，。是“18 c 的外接圆，。是弧8 c （不含A）上一点，S为弧8八 C 的中点./为线段5。上一点，过户作0 8 的平行线交A 8于点,过作。的平行线交AC于点尸，过。作S。的平行线交弧8OC于点兀已知。上的点。满足NQA。被 A7平分.证明：QE=QF.36.（2021全国高三竞赛）在锐角AA 8C中，。为边8 c 上一定点，P 为 4）边上一动点，直线C P 交 4 3 千点Q,D Q 交 B P 于点X.B C X、ACAX、”AX 的三个外

14、接圆分别交。于 X 外的另三点X、X、匕，过X、为、八分别作。垂线4、4、4,证明：4、4、/,均过定点.37.（2021全国高三竞赛）在A/W C中，点 9、Q、K 分别位于边8 C、CA,A 8 上，%、为、气分别是“Q、B R P、A Q的外接圆，线 段 的 与 以、%分别38.（2021全国高三竞赛）点。是A/W C的外接圆圆心，含点A的/3c的中点为S,点7 在不包含点A的8 c 上.点M 在圆。上且S M。了 .点，在线段SM上.过点/,作M B的平行线交A 8 于点/：过点。作 M C的平行线交AC于点E.点Q 在圆。上，使得A 7.是N P A Q 的角平分线.证明：Q E=Q

15、 F.AM39.（2021 仝国高三竞赛）如图，在“8。中，N4NN8NNC,且为“。边上的高，M为/1C边上的中线，CP为NC的平分线，人D与C A 块:分别交于P、K 两点,B E 与C F 交于Q 点,令=2.求证：且，是最好的界（即可以无限接近5 6 640.（2021全国高三竞赛）设A8 C的内心为点/,内切园分别切8C、C4、A 8于。、E、F.直线。厂与/?/交于点N.连结并延长/加，交A C于 点 用.求 证：M是A C中点.41.（2021.全国高三竞赛）已知。上依次四点A、4（、。，射线A8、ZX;交于点P.射线,4。、8 c交于点Q,弦4 C、8交于点R,点M为线段PQ的

16、中点.过点。作M R的垂线，分别/Q、M R 于点、U、R过 点。作。的切线UK,与。切于点K.u证 明:(l)匕 明K O B I点共圆:(2)K、M、K三点共线.42.(2020全国高三竞赛如图，在等腰“8 C中，A8=8 C,/为内心，M为由的中点，户为边人C匕一点，满足A尸=3pC,P/延长线上一点，满 足 胸/_LP，Q为A8C的外接圆上劣弛A 8的中点.证明：B H 1 Q H .43.(2020全国两三竞赛如图，在锐角 A 8 c中，M是8 c边的中点点P在/WC内，使得人P平分N 8八C.直线MP与 AB P、A C P的外接圆分别相交于不同于点P的两点。、证明：若 l)E=M

17、 P,则8c=28P.44.(2019.江苏.高三竞赛)如图所示，。是/U3C中，边8 c的中点，K为 A C 与 八8”的外接圆。的交点，E K平行于A H且与网0交于E,若A 1 H D E、求证：AB +A K =K C.KC45.（2019,广西高三竞赛）如图所示，AI）.人”分别是A8C（其中43AC）的角平分线、高线，点M是A O的中点，M OH的外接圆交C M于点 求证：ZAB=90.46.（2019福建高三竞赛）如图，O、H分别为锐知 A 8 c的外心垂心，AZ）_L8C于D,G为4”的中点点K在线段G“上，且满足G K=O,连结K。并延长交人8于点E.（1）证明：E K J/

18、H C；（2）证明：G E L G C.47.（2019,全国高三竞赛）如图，点 人 从C、/）芭在一条直线上顺次排列,满足B C=CD=y jAB D E.点?在该直线外，满足P8=PD点K L分别在线段P8、P。上，满足 K C 平分 Z.B K E,LC 平分 ZALI).证明：4 K L K四点共圆.48.（2021全国高三竞赛）如图，给定两个相交的圆。Q与。2，A、B为 的、。的交点，一动直线经过8与O Q交于点C,与。仇交于点，且B在线段C。内，过C的。/KJ切线与过D的。2的切线相交于点M,连结AM交C。于点E,过点E作D M的平行线交A。于点K,求点K的轨迹.A/（2021全国

19、高三竞赛）AA8C的外接圆与内切圆分别为、Q.C”为 A-旁切圆.49.证 明：存在唯一圆叫,叫与a 内切、与Q外切,并且与内切于点A.50.设圆电与Q,、Q 的切点分别为P、Q.如果N%IQ=N C 4 P,求证：AB =AC.竞赛专题9平面几何(50题竞赛真题强化训练)一、填空题I.(2()1 8 天津高三竞赛)凸六边形A B C D E F 的 6条边长相等，内角A、B、C分别为】3 4。、1 0 6 1 3 4。.则内角E是(用度数作答).【答案】1 3 4。【解析】【详解】不妨设边长为I,设 A C、DF的中点分别为M、N,且 A在 DF上的射影为K,则Z B A M=3 7 ,N

20、M 4 F =9 7,Z A?K =8 3,即 P K =co s 8 3,A W =AM=co s 3 7 0乂 设乙 EFN=.v,则 FN=co s x,利用 FN =FK +KN,我们有 co s t =co s 8 3 0+co s 3 7 =2co s 6 0 co s 23 =co s 23 0.因此x =23 .即等腰ADEF的底加为23。，可见其顶加E为 1 3 4。.故答案为1 3 4。2.(20 2()江苏高三竞赛)在平面直角坐标系屹)-中，苴 线 门息与圆C：(x-27 f +(.y-3 6 y =5 交于 A ,B,则|(汹|0 埋=.【答案】20 2()【解析】【详

21、解】解析：=20 2().故答案为:20 2().3.(20 21 全国高三竞赛)在AA8c 中，Z/1 8 C 所对的旁切圆与边人C相切于点。，Z A C 8 所对的旁切圆与边A8相 切 于 点 .若 A 8|=1 AG=2,则“A Z 把面积的地大值为【答案】迎8【解析】【详解】设边BC、C4、A8的长度分别为“、6、则I A O|=；(“+-c)J AE|=+c-/),故 S,.,戊=A D A E n A-S-c)s in A=1.(a2-b2-c2bc+1 s in A-2/?c8 I=-(l-c o s A)s in A-4 =1.2 s in2-2 c o s-s in -=2

22、s in*4 c o s -8 2 2 2 2 2 2.2 A .3 A .A“，A A s in -s n r-s t ir-4入(S 亚)2 =4 s in6 c o s2 =4 x 2 7 x-x-x-x c o s2 皿 2 2 3 3 3 2 A.,A .,Asin sinsin A2 7 2 2 A-十-4+-上+COS 3 3 3 242 76 4故3乎（等号在A*时取到）.故答案为：84.（2 Q 2 I-浙江高三竞赛）在AA8C中，A B A C B C,在何，N为A8上两点，且AN=AC,BM=B C,点 P为 B C的内心若NMPN=7 5 ,则/A C 8=【答案】1

23、0 5【解析】【分析】【详解】证明：连接例、PB、PC及PM、PN.山已知易证M P C W/M P N,M PC注ABPM.从而 PC=PN,PC=PM,即 PM=PN=PC.故P为 CMN的外心，此时有4MPN=2 N MCN.而/A CN=90 -!/A,Z B C M=9 0 0-Z B,2 2故 NACN+Z BCM=y 8 0 -；(N A+N 8),即 NMCN+N A CB=1 8 0 -1(Z A+Z B),则 ZMCN=ZMCN+NACli-ZACB=(180。-Z 4 C fi)-(/A+NB)=(NA+/8)-g(N A+N 8)=g(/A+N B).故乙”夕心2 N

24、MCN=NA+N/，=180-N C所以 N C=180-N MPN=180-75=105.故答案为：105.5.(2O2I全国而三竞赛)设三个不同的正整数“、氏 c成等差数列,且以2、h e为三边长可以构成一个三角形，则。的最小可能值为【答案】I0【解析】【分析】【详解】设“M-A,c =+A为正整数，由于 以 八按、o 为三边长可以构成一个三角形，则 S-Q +hs(h+A)5 o b 10*+20/rk3+2ks,所以l0Z/A10,于是,a=l，-k 9k，U|：W9A-+I)0.故答案为：10.6.(2019贵州高三竞赛)如图，在ABC 中,48=30,八 C=20,S M Q 2

25、1 0,1)、E分别为边A3、AC的中点，NBAC的平分线分别与。、8C交于点八 G 则四边形8G/)的面积为【答案】等【解析】【详解】如图,在 B C 中，由AG平分N/3AC知=:.故 声 改=照=BG AH 3 5“如 BC 5GDB3 3又 SAA3C=210,则“的=/皿=x 2 1 0=1 2 6.由。、E分别为边A 8、AC 的 中 点 知 48c.所以8 G.由声 2=得到.8 =奥,故 边 船 刖二=1 2 6-警=等.Q G 4 2 2.2.故答案为：号.7.（2 0 1 8.山东.高三竞赛）若直线6 x-5 y-2 8 =0 交 椭 圆 工+与=1 且“-b-、/,为整数

26、）于点A、C.i 殳8（0,）为椭圆的上顶点，而AAAC的重心为椭圆的右焦点6,则椭圆的方程为洛 案】【解析】【详解】设A(s),c(M，由题意AABC的重心为椭圆的右焦点号，整理得出+%=3 r，/+H =-.由A（qX）,C（三,布直线6X-5.V-28=0上,得 到：二？=,由哈3 CH M在 椭 圆 今/叱。）上，得到+营 印，两式相减并整理得-7=(丹+乂6(x2+X)(,v:-.V)3 c 5整理得2/=5 因为A(.r”y j,C(.r2,力)在直线6A-5J-2 8=0 .所以有6 人 -5 y -2 8 =0,6 x2-5 3-2-2 8 =0.将*+a=3c,凹+.*=-代

27、入得6 x 3 c-5(-%)-5 6 =0,整理得 1 8 c+5=5 6 .联立，且注意到。、b为整数，解得c=2,6=4,/=2 0.故所求的椭圆方程为 二+=I.20 168.（2018河北高三竞赛）在A A B C中,AC=3,sinC=Asin A（k 2）,则A A B C的面 积 最 大 值 为.【答案】3【解析】【详解】山正弦定理将sinC=AsinA变形为c=A.其中c=AB.a=B C以线段A C所在直线为x轴,以A C的中点O为坐标原点建立平面自用坐标系，则两边平方整理得伊-1卜2+伊-1）_（3+3）+萍 一 1）=0因为北.2,所以上述方程川化为为d+/_（3七+3

28、）,+2=ok2-4由此可知点B的轨迹是以扣 胃.（）为圆心，以=日3 k为半径的圆所以当点B在3*圆上运动时，点B到x轴 的 最 大 距 离 为 半 径 所 以 金C的面枳c 3Z 乙9 I 9 IS x Bx g伏 二 丁 丁 在八2上单调递减,所以九、=3kl 2-29.（202卜全国高三竞赛）已知出用梯形A8CO中，A B H C D ,对角线A C、8。相交于O,ZMB=90,P、Q分别是腰A。、8 c上的点，且O PN B P A=ZDP C,2 AQB =N D Q C ,若 2A8=3C。，则 而=【答案】I【解析】【分析】【详解】如图所示，记尸为过。点在A/）上的垂线的垂足,

29、。为过户点在B C上的垂线的垂足，下 证 儿。即为所求.对。,白 布=-1所以有 ACDPGBAP,从而 N C P D =ZB P A.AP O B AB对Q,PQ 工B C ,所以P、。、C、/）,P、。、8、A均四点共圆，所以 Vl N D QC=乙 CPD=ZBPA=N AQ8.设A。、8 c交于T,K为7 P的中点.不妨设AD=5,则 DT=10,DP=2.AP=3.TP=12.K P=6.K1)=4,TK =6,从而芸=舁=，所以OKBT,所以。KT OB 3OP由K P=K Q,所以OP=O。，从而 右 而=I.故答案为：I.10.（2019山东高三竞赛）A8C中,八/，=】6院

30、?=5五,。八=9.在乙48。外部，到点8、C的距离小于6的点组成的集合，所 覆 盖 平 面 区 域 的 面 积 是.【答案】54万 +四 叵4【解析】【详解】分别以点8、C为圆心，6为半径作圆，交于三角形外一点“，连结/）、CD-.53 53cos4=.cosZflDC=,故 A、B、C四点共圆，所以N A8O+/AC）=.72 72乂易知人8与圆C相而，故所求的面积为2个圆的面积去掉半个圆的面积再加上48。的面积等于54万 +龙变.4故答案为：54”+力陛.4二、解答题1 1.（2021 全国高三竞赛）已知，8。满足4=60。，、F分别为A8、A C延长线上的点，且 BE=CT=8CAAC

31、E的外接圆与上/交于不同于的点K.证明：点K在皿。的角平分线上.【答案】证明见解析【解析】【详解】设BF与CE相交F点7.连 结 题、CK.由 NBCE+NBEC=NABC,及 BC=BE,得 NBCE=LNABC,2类似可得NC8F=；N AC 8.故ZCTF=NBCE+Z.CBF=-(ZABC+ZACB)=6()。，2因此，八、B、T、C四点共圆.进而，4EBF=Z4CE=ZAKE.8尸=180-ZEBF=180O-NAKE=NA KF.所以A、8、K、/；四点共圆.山乙EBK=NCFKNBEK=a FCK,及 BE=FC,得 K B E K F C.干辿KC=KE.因此，KC=KE,即A

32、 K是N8AC的角平分线.12.(2021 全 国 高三竞赛)如图，在平行四边形A8CO中，A、G分别是边A8、8 c上的点，线段AC,、C 4交于点尸，AA A/和C C 7的外接圆的第二个交点。位于A CO 的内部.证明：NPDA=NQBA.【答案】证明见解析【解析】【详解】对完全四边形8GCPAA,用密克定理，知Q、A、民C四点共圆，所以Z.QC13 =ZAA.Q=ZAP Q.又因为 Z P A Q=NPAQ=NC8Q,所以 APAQS AC。,AP B C A D因 此 而=加=丁,结合 N P A D =N P CIB =A P Q C 知 P ADP QC.因 1）匕 N P DA

33、=N P C Q=N48Q.13.（2021全国高三竞赛）如图，设0、分 别 为 的 外 心 与 垂 心，M.N分别为BH、CH的 中 点.8 8 是AA8 c的外接圆的一条直径，如果ON仞是一个圆的内接四边形，证明：B N =-AC.2【答案】证明见解析【解析】【分析】如图，设尸为AC的中点.连接9/、4?,8匕片0,9。尸,0仞,0.可证尸、A、0、四点共阴，从而可证明四边形8W C 为等腰梯形.故可证8N=，AC.2【详解】如图，连接 A,A8.8CAO,A H L B C.B C L B C,故 AH/B C，同理 A HC,故四边形A H C B）为平行四边形设/,为AC的 中 点,

34、故。、F、，共线,且 尸 为 的 中 点，连接F M O F,结合N 为 CH的中点可知，FN U f f C.连接。例。,则。“8，故二F H O =NH OM=兀一4 H N M =加一4 H C B .另一方面，容易得到 NB4O=-N A 8 C=NC 8,故 N F H O+N F A O =万，从 而 八 八、。、四点共圆，从而可知 N FB C=ZFHA=AFO A=ZA8C=1-ZAB C=ZN CB.从而四边形r w c 为等腰梯形，进而8N=CF=；A C，证毕.【点睛】思路点睛：竞赛中的平面几何，大多数与四点共圈相关，因此需要结合三角形中各类角的性质进行大小关系的转化.1

35、4.（2,21全国高三竞赛）如图，已知锐角d 8 C 的外接圆为，过 8、C 分别作画的切线交于点尸，P在直线8C、AC.A 8 上的投影分别为。、E、F,）所的外接圆与BC交于点N（不同于点D）,A 在 8 c 上的投影为M.求证：B N =C M.A*【答案】证明见解析【解析】【分析】【详解】连结 A P、E F、D E、FN .因 为 叩_L 8 C,P”1 A 8,所以N D P =48C.因为 P8、。与。相切，所以 N8 A C=NgCP=NC8 P.因此Z.P CE=1 8 0 0-ZAC8-C B=1 8 0 0-Z AC-N8 AC=Z.AHC=4 D P F .又因为户。，

36、8 c.P E L A C,所以 N P C E =N P D E .所以 P F/DE,因此 Z P F E =Z D E F.乂因为尸、/）、N四点共圆，所以N8 N尸=N。上 方.乂因为户、E、八、/四点共圆，所以N B N F=N P FE=N P A C.乂因为NP CE =48C,所以NACPnNMBU,故 A B FN h CP A 1所以=石,5 j）t B N =A C =A C=ACco s ZP B F=A C cos N A C8 =G W.CP B P1 5.（2。2 1全国诲三竞赛）如图，已知等腰三角形A8 C中，AB =A C，M为8c的中点.“为线段8M上一点，

37、E、F分别为A C、A8上的点，且四边形A E D厂为平行四边形.B O 交D E 于点P*CO的延长线交/）尸的延长线于点Q,AA8c的外接圆。交ADW的外接圆于八、K两点.求证：K、Q、P、。四点共圆.【答案】证明见解析【解析】【分析】【详解】因为 08=OA.A E=尸 =B F.N O B A=Z.O AB=ZE40.所以 A OA E g A OBF ,所以 Zfi/O =ZAEO，所以八、F、。四点共顷I,记该圆为乂N O P E =N O B A =N O A E ,故 行 尸 在 做 上，同理。也在回匕Z S A D M的外接圆圆心/V为A D的中点，即E F的中点.乂 O E

38、=O F,故有。V.L F，所以（入N与”的圆心共线.所以三圃关于直线OZ对称，故人也在”上.所以K、Q、P、。四点共圆.16.（2021全国高三竞赛）如图，A E,行 为圆的两切线，A 8 c为例的一条割线,厂为切点连线，/）为过C、8关于圆的切线的交点，证明：/）、E、F共线.【答 案】证明见解析.A【解 析】【分 析】【详 解】法 一：共同证法.作 圆 心0,连 结A 0 n E F=例，连 结M3、0C.由 于D C、为 圆。的 切 线，故 、C、/）、8四点共圆.对RtAOF用射影定理n AM-AO=AF2.y.A F2=AB AC=AM AO=AB AC,即“、0、C、8 四点共圆

39、.=（）、C、/）、从 例 五 点共圆，故。、C、例、8四点共圆.=ZAMB=ZOCB=ZOBC=ZOMC=/W 平分 NCMB.乂 CD=BD=MF 过 D，即。、E、F 共线.法 二：塞瓦定理.对F及0）8用塞瓦定理,对 上 及 久 加）用塞瓦定理,sinZBDF sin ZFCD sinNCBF-X-X-=1sin Z.CDF sin ZBCF sinZFBDsin Z Ex sin ZDCEx sin ZEfiC=1sin ZCDE sin ZECB sinZEBD,由 -Z.FCD=4C B F/B C F=Z.FBD nsinZBDFsinZCDFfsin Z F B D ainZ

40、C BF)由于 ZDCE=180。一 NEBC ZEBD=180。一 NECB=w i/B D E (丝/E 8 csin ZCDE(sin/C 8sin ZFBD _ _ sin Z.EBC CF 二 CEsin ZCBF-sin Z.ECB=茄 一 族 CF AC AC CF由 AA8FS AAFC.AA8S AAC=曰=3=2=匕.BF AF AE BE从 而D、F共线.17.（2021.全国高三竞赛）如图，在 肋“8C中，NAC8=90,G为重心，P为射线AG上一点，满 足NCa4=NC48.Q为 射 线8 G上一点，满 足NCQ8=N A 8 C,证明：AAQG、A8&的 外 接 网

41、 的 另 一 个 交 点 在A 8上.【答 案】证明见解析.【解 析】【分 析】【详 解】如图，延 长CG与A 8交 于 点J,则/为A 8的 中 点,故NC7%=N 6 8 =NACG.从而“C G s d P C n A G A P=A C2.同理，B G -H Q =13 C2.设A8PG的 外 接 圆 圆 仞 与A H的 另一个交点为K.由圆然定理知：A K A B A G-A P A C2 0=x1-2A-HT-l-AN+1 +九 X+Z*i+z,故竽+*=匕(、一 五 0)(3+/%)(K-2%)()；+，”)a2 b2=产 3+芳-石 仁+台=1，1 一人b cr bp所以K 在

42、出线A 8匕，即K 与K重 合.结论成立.卜面证明原题：由梅涅劳斯定理可知 里 竺=1，N M AP K C又由A=；A P,明 知 得=簧，由电线上托勒密定理可知,C D K P=C K P D +CP D K,自 P、/）、K、。四点调和可知，C K P D =CP D K .m 9 CK故S=2CK，）,即 士 二 W P D K P结合、可知，=.检.N D 11P M .NM P D乂 N为A 8的中点，所以。为。的 中点.2 3.（2 0 2 1全国高三竞赛）如图，在锐角“8c中，A B A C,D、分别是A 8、A C的中点，AADE的外接圆与A8C的外接圆交于点尸（异于E）,A

43、A/5E的外接圆与 88的外接圆交于点。（异于。），证明：AP =AQ.【答案】证明见解析【解析】【分析】【详解】连结8P、D E、Q C、P E、D Q、P。，山于/)、E分别是边A 8、A C的中点可知D E H B C.则Z A P D=1 8()-Z A E =Z D A E +Z A D E =D A E+乙 D B C=1 8 0。-/。+1 8()。一/。=/。.N B P D =N B P E-N D P E =180 0-N A C B-N D A E=N A B C =Z A D E =Z A P E=Z.AQE,ZAP B =Z A P D +N B P D =N E Q

44、 C +NQ A =N A Q C ,1 4：APBP-BP S m八 户 1PH-PD 图过7 作内切圆的出径 水，过 K 作。/的切线分别交A C、A 8 于M、N,则N M|BC.由 F。/是 A4 WN 的旁切圆，A K=A K2,因 A/K =M叫，N K =N K 所以有 A M+MK=A N +N K.延长AK交8 C于G,则8 G=C7 ,因U匕。7 =3 G,故D I是J G K的中位线,所以。P|AC.因四边形8 OE F 为平行四边形，所以ADPS AA8G,相似比为一挤二彳.AB 2D F 1同理，Q E PS AACG、相似比 为 充=Q.又注意AAA/KS AA C

45、G,a A N K s SBG,相似比均为 反，A G既然有 A A/+/WK =A N +N K,所以 A C+CG=A 8 +8 G,因此，D F +/-P=D E+E P,即所证结论成立.附注在几何延中用到三角形内切圆的一个基本性质.如图，在AA8c 中，内切圆。/切 8c 于。.设D H是。/的直径，若A H 交 B C T M,则B M =CD.证明：过，作 EF|8 C，点 、P分别在A3、A C匕设。/的半径为1，H F=x,C D =y,E H =z，B M =t.MD =（l.连结 小、Cl x E l、H ,山于6 7、/分别平分一对互补角N8 CF、ZA C.所以 N C

46、/F =9（）,且ACO/S”/,则工=,KV=，./A同理A8/S A/,则 山=E,z（/+d）=，f z所以一 9=z。+”），则2=上 4.z y又由EF|/，C,得义=黑=三，所以=士，y+d A M t z t根据式得，=所以5+/=.F +y ，即（y-/）（F+/+4）=0,由此得，T=。，即/=y,也就是8 M=8.（同时也有C M=80.）2 7.（2 0 1 8 福建高三竞赛）如图，在锐角AA8c 中，E、是边8c 上的点，“8。、AB D、AAOC的外心分别为。、P、Q.证明：pQ/7/o B D E（1）AAPQS 他C：（2）若 E O L P Q,则 QOJ.P

47、E.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【详 解.】（I）如图，连结尸。、QD.因为P、。分别为AA8/）、AAOC的外心，所以PQ为线段A的垂宜平分线.所以 ZAPQ=-APD=ZABD=ZA fiC,ZAQP=-ZAQD=NACD=ZACB.2 2故 AAPQS 4 ABe.（2）如图，连结04、08、OP.PB、QC.延长0 Q与AC相交于点尸.山0、P、。分别为AA8C、I B、AAOC的外心，知OP、OQ、PQ分别是线段A3、AC、AO的垂出平分线.所以幺PB=ZAPD+BPD=2（480+N 8 A。）=2 ZA DC=ZAQC.又 ZOBP=R A P,NAQF=AQC=-N

48、APB=乙APO.2 2所以A、P、。、。四点共画，40Ap=4OQP.乂 EO 1 PQ,OQJ L PQ,所以 0|/M,E C =ADC=NAPB=NBPO.2所以 P、8、E、。四点共圆，ZOEP=ZOI3P.设 0、QO的延长线分别与PQ、P E相交于何、N,则 NOEPuNOS PuNOV uN。.取 M、N、E、。四点共圆.乂 E O L P Q,所以 NQNE=4QME=90。.故 Q O LPE.2 8.（2 0 1 9 全国两三竞赛）在A4 3 c中，设N C=9 0。，6_ 1_ 48,垂足为D,P、Q分别为A4OC、AfiDC的内心，PQ与C D交于点K.记A A 8c

49、的面积为S.证明:I 1 1cF-czF=s-【答案】见解析【解析】【详解】如图，延长P Q.分别与AC、BC交于点M、N,联 结DP、DQ、CP分别过M、N作C D的平行线与BC、AC的延氏线交于点F、E.易知，RtMDC-RtCDB.乂 P、Q分别为AAQC、ABOC的内心.DP故症=丽=RtMCB Rt&PDQ=2QPD=NBA C=4 D、户、加 四 点 共 硼=/。=乙位）户=45=。何=。.易证 RiACPM 三 RfACPD-于是，CM=CD=CN.由 Z EMC=ZACD.CM=DC=R M C M n RtMDC=A/F=AC.类似地，NE=BC.根 据1平彳/线定理得-1-

50、=-1-n v=7 1-1-7CK MF NE AC BC CK2 AC?AC BC BC229.（2018全国高三竞赛）如图，与0。2的半径相等，交于X、Y两点.A4BC内接于。,，且其垂心H在0。?上，点Z使得四边形C XZY为平行四边形.证明：AB.XY、H Z三线共点.【答案】见解析【解析】【详解】如图，设O Q、0。2的半径为R,X Y的中点为M.则点Z与C关于M对称，点0与02关于M对称.因此，点Z在。上.记 的 外 接 圆 为G。、，其半径为A,.oAB AB AB 门D llJ R y =-7-r=R2sinNAH8 2sin（乃-NAC8）2SinNAC8 接卜来证明：Z为O