福建省龙岩市2021-2022学年高一上学期期末教学质量检查数学试题.pdf

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1、第一学期期末高一教学质量检查数学试题考试时间：120分钟 满分150分第 I 卷(选择题共60分)一、单项选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.请把答案填涂在答题卡上.1.已知集合4 =6 1*|X 10,02 .设“x)=1 则/(9)=()J(x+6),x 1 0A.1 3 B.1 2 C.1 1【答案】A【解析】【分析】将x =9代入分段函数 解析式即可求解.【详解】/(9)=/(1 5)=1 5-2 =1 3,故选：AD.1,2,3 D.1 03 .已知 l o g 2。3。=3 2,c=0.32.则()A.a h cB.a

2、 c bC.c a bD.h c a【答案】B【解析】【分析】由对数函数y=l o g2 X、指数函数y=3、y=0.3”的单调性，可以得到a l,0 c l,可得到大小关系【详解】n =l o g,0.3 3。=1，0 0,32 0,3 =1.则0 c l，所以a c，故选：B【答案】A【解析】【分析】利用函数 定义域，单调性以及特值，结合选项得到答案.【详解】函数定义域为 x|x w l/（一%）=二 千 =/（x）,则“X）为奇函数，排除选项C,D1 -X-2又/（2）=_ 1，2所以 0一-,满足：/(x)在。内是单调函数；存在区间，使“X)在 目 上 的值域为,则称函数”力 为O上的

3、优越上函数”.如果函数/(司=一 凶+2是“(0,+。)上的优越攵函数”，则实数攵的取值范围是()A.(-1,0)B.-1,0)C.(0,1 D.(0,1)【答案】D【解析】【分析】由于/(x)=-U I+2是“(0,+8)上的优越女函数”且函数在(0,+8)上单调递减，由题意得ba0 f.k一。+2 =一a,c k-/7 +2 =b问题转化为y =Z与y =M 2-x)在工 o时有2个不同的交点，结合二次函数的性质可求.【详解】解：因为f(x)=T x|+2是“(0,+00)上的优越Z函数”且函数在(0,+8)上单调递减,若 存 在 区 间 目，使/(X)在目 上的值域为由题意得h a 0，

4、：，,八 k b+2 =b所以 Z =a(2-),k=b(2-b),即V =4与y=x(2-x)=-(x-l)2+1在0时有2个不同的交点，根据二次函数单调性质可知0%3x0”的否定是“V x e R,/+l V 3 x”D.若基函数/(x)=y(a eR)经过点&,2),贝i j 2 7)=；【答案】CD【解析】【分析】A根据对数运算性质判断；B根据充要条件概念判断；C根据特称命题的否定定义判断；D函数事函数性质判断.【详解】对于A：I g 2 +l g 8 =l g l 6#l,故A错误；对于 B：由a二尸n si n a=si n/?,si n。=si n 不 能 得 到。=/?,故“a

5、=/?”是“si n a=si n/?”成立的充分不必要条件，故B错误;对于C：因为“玉0 R,x：+1 3x(J 否定是“VX ER Y +IKBJ:，故C正确；对于D：因为寨函数x)=xa(ae R)经过点，,2,所以=2%=2,即。=1 _1 -3 1 1即/(%)=一，故/(2 7)=2 7-3=3一=；，故 D 正确.故选：CD【点睛】命题的否定与否命题：否定为条件不变，结论否定；其中含量词的命题的否定为量词转变，结论否定；否命题为条件与结论都要改变.1 0.已知函数/(x)=si n(2 x+e)-e 9 的图象关于直线尤=?对称，则()乩 0)=；jr rrB.函数/(x)在正,

6、可 上单调递增D.若|/(内)一/()|=2,则 上 一 的 最 小 值 为【答案】BD【解析】【分析】首先利用函数的值求出函数的关系式，进一步利用正弦型函数性质的应用判断A、B、C、D的结论.【详解】解：对于函数/(x)=si n(2 x+)的图象关于x=对称，7 7 2 7 r故/()=si n(-+*)=i,TC 7C 7 7C 2 T C由于一一 0 一，所以一 十 0 0 力 0,且一+一 二 1,则下列不等式成立 是（）a bA.b3B.ab 0 即可求出b 的范围；对于选项B C D,利用基本不等式以及“1”的代换即可求解，判断是否正确.c c 22 3【详解】对于选项A,因为

7、0力 0,且一+=1,则一 3,a b 1 一7b2由a 0,则,即1一亡 0,解得力 3,故 A 正确，1一 丁 hb2 3/9 3 2 3 1对于选项B,因为 0力 0,所以*+=1之2 1*2 ,当且仅当一=一=时取等号，此时a b a b a b 2J 0,/?0,且 I =1,则一 z-H z-H =1,即一2 T=1-9 由选项 B 可得：a b a b ab a b ab4 9 1?1?1 1 9 3 1 i=i一一=,当且仅当一=时取等号，故 c 正确；cT 及 ab 2 4 2 2 a b 2选 项 D：因为2 a+b=（2 a+b）jZ +3 =7+丝+”2 7+2、二 =

8、7+46，当且仅当生=学ya b）a b a b a b时取等号，故 D 错误.故选：AC.+4x x 012.已知函数x)=-5，若关于x的方程4/2(x)-4a./(x)+2a+3=0有5个不同的实2 1,x 0,根，则实数a的取值可以为()3 4 5 6A.-B.-C.-D.-2 3 4 5【答案】BCD【解析】【分析】作出函数f(x)的图象，结合图象可知关于/(x)的一元二次方程根的分布，根据一元二次根的分布列出不等式求解即可.+4x x 0,解得a 3,若 4,则一2 4 1 V 0 或一1 0 2)=19+10 0/.g(-1)=7+6。0 或2a+3=0,解，g(-1)=7+6。

9、0 得一3。0 g =2a+30”3 3当2a+3=0时解得a=，此时4产+6r=0,解得4=0,r,不符合题意，故舍去;2123 7*综上可得。.2 6故选：B C D第II卷（非选择题共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.1 3 .写出一个定义域为R,周期为兀的偶函数/（x）=.【答案】c os2 x （答案不唯一）【解析】【分析】结合定义域与周期与奇偶性，写出符合要求的三角函数即可.【详解】y =c os2 x满足定义域为R,最小正周期7 =亨=兀，且为偶函数，符合要求.故答案为：c os 2%1 4 .东方设计中的“白银比例”是1：、历，它的重要程度不亚于西方文化

10、中的“黄金比例（逐-1）:2 ，传达出一种独特的东方审美观.折扇纸面可看作是从一个扇形纸面中剪下小扇形纸面制作而成（如图）.设制作折扇时剪下小扇形纸面面积为5,折扇纸面面积为S?,当5 :S2=1：、/伤时，扇面看上去较为美观，那么原扇形半径与剪下小扇形半径之比的平方为【答案】V 2 +l#l +V 2【解析】【分析】设原扇形半径为x,剪下小扇形半径为丁，Z A O B =a,由已知利用扇形的面积公式即可求解原扇形半径与剪下小扇形半径之比.【详解】解：由题意，如图所示，设原扇形半径为X,剪下小扇形半径为y,Z A O B =a,则小扇形纸面面积A =-y2a ,折扇纸面面积22 2由于S：s,

11、=i：J 5时，可得，2,2。=2 _/0一 _ 2 ,可得=j 5+i,1 2 2 2 2 y原扇形半径与剪下小扇形半径之比的平方为：V 2 +1.故答案为：V 2 +1 1 5.若函数/(x)=e +l n(x-a)在(0,+8)上存在零点，则实数a的取值范围是【答案】(-,+8)e【解析】【分析】分a.O和。0并结合图象讨论即可.【详解】解：令f(x)=e*+ln(x-a)=O,则有-e*=I n(x-a),原命题等价于函数y =-e*与y =ln(x-a)在(0,+8)上有交点，又因为y =-e 在(0,+)上单调递减，且当x =0时，y =-l,y =ln(x-a)在(“,+)上单调

12、递增，当a()时，作出两函数的图像，则两函数在(0,+8)上必有交点，满足题意;当a 0时，如图所示，只需ln(a)1,解得-q 0）的图象相交，若自左至右的三个相邻交点依次为A、B、C,且满足21A M =忸 ,则 实 数。=.【答案】上1 或巳32 2【解析】27r【分析】设点A、B、C的横坐标依次为为、巧、与，由题意可知一玉=，根据题意可得出关于3。s i%）、co s（%）的方程组，分 1、4 l时，因为21A M=忸。|,所 以，X 2 =,即0（九2-%）=3co 3兀因为/（X 2）=si n cox2+I 3+1 =si n （啰 +1）+1 =1 -si n（0 x j 1

13、,得 si n（69 x j 0,7T因为 X 1）=S 叫 叫+彳3/1 I 冗+1,贝ij si n cox1+3=-si n（69 X 1）,B ill2siinn王）+半co s（/x j =-si n（G x J，可得C OS（G XJ =_Gs i n（69 x J ,所以，co s（G XJ=一百 si n （G XJco s2（69 X,）+si n2 cox）=0,可得si n（Gx J =一,si n （町）03所以，a=/（）=1 -si n （y x!）=；当a l时，因为21A B i=|B C ,所以，x2-x1=,即必 超 一 内 六 ，3ct）3因为/（x2）=

14、si n （y x2+y +l =si n（x1+乃）+1 =1 -si n（s j 0,因为/（玉）=si n coxl H +1,则 si n cox+=-si n（69 x）,百即55皿（0%）+-（：05（啰刃）=-5111（0%），可得 C OS（GX ）=-6 s i n（G%）,所以，co sco s（69 X j）=-V 3 si n 侬玉）2（6y x1）+si n2（6y x1）=O,可得si n（Gx J =/,si n （叫）0 一所以，a=/（x2）=1 -si n （d）x）=-1 3综上所述，。=或一.2 2故答案为：:1 或 一3.2 2四、解答题：本大题共6

15、小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设函数/(x)=lg(x-3帆)的定义域为A ,函数g(x)=的定义域为反(1)求8;(2)若AAB=0,求实数加的取值范围.【答案】(1)B =x|0 x 0【分析】(1)由题知 ，即得；x 0(2)根据A D 3 =0,得3根2 2,即求.【小 问1详解】由题知 一，x 0解得：0 x 42,B =1x|0 x 3/n ,若A 5=0,2则 3m 2 2,m ,3二实数m的取值范围是1，+8).兀、18.如图，以x轴的非负半轴为始边作角。与 0/不 。的解集.3 5【答案】(1)。=1,函数/(用为R上的增函数，证明见解析(4

16、 7 T Cx|+2k兀 x【解析】【分析】(1成x)是R上奇函数，则火0)=0，即可求出a；设片,e R,且 办 ，作差化简判断/(),/(x2)大小关系，根据单调性的定义即可判断单调性；3(2)/(1)=-,根据(1)中单调性可去掉“尸，将问题转化为解三角不等式.【小 问1详解】V/(x)的定义域是R且/(x)是奇函数,/(0)=0,即 0 =1./(x)=1-一4一为R上的增函数，证明如下:4 +1任取玉,e R，且 芭 ，2 2则/)-)=_ 罚-1 +/2(4 4金)(4 7+1)(4*+1)y=4”为增函数，xt x2,：.0 4 0,4处 +1 0,4*一4*2)，即/(玉)/(

17、!)-又/(x)在 R上是增函数，.,.2 s i n(x-?)l,即s i n(x-?)g,7C .7C 5 _ .+2归 万 c X-F 2k7T，6 3 6JT 74，原不等式的解集为 乂彳+2后乃 x/3.(1)求函数y =/(x)的最小正周期；(2)将函数y =/(x)的图象向左平移看个单位长度得到函数g(x)的图象，若关于x的方程JTx)+g(x)-a =0在0,-上 有2个不等的实数解，求实数。的取值范围.【答案】(1)万(2)V 3,2 x/3)【解析】【分析】(1)利用三角恒等变换化简f(x),由周期公式求解即可;IT(2)先求出g(x)的解析式，再把所求转化为方程/(x)+

18、g(x)=a在 0,上有2 个不等的实数解，令(x)=/(x)+g(x),根据图象即可求得结论.【小 问 1 详解】解：f M =2 s i n(x-i-y)s i n x-2 V 3 c o s2 x+6=2 c o s x-s i nx-/3(2 c o s2x-1)=s i n2 x-/3 c o s2x=2 s i n(2 x-),即/(x)=2 s i n(2 x),3 3所以函数/*)的最小正周期为.【小问2详解】IT jr解：由己知可得 g(x)=2 s i n 2(x+=)；=s i n 2 x,6 3jr方程/(x)+g(x)-。=0 在 0,工 上有2 个不等的实数解，2T

19、T即方程/(X)+g(x)=。在 0,-上有2 个不等的实数解.令h(x)=f(x)+g(x)=2 s i n(2 x-)+2 s i n2x=3 s i n2x-/3 c o s 2 x=2 /3(s i n2x c o s 2 x)=2 /3 s i n(2 x-),3 2 2 6.、,r e 兀 r 7T _ 7V 57T _ ._ TC,_ 1 1因为 X 0,2.x-G ,s i n(2 x-)G ,1 ,2 6 6 6 6 2令，=2 x-，则6 6 6TT要使方程/(X)+g(x)=a在 0,上 上有2 个不等的实数解,2贝 心 百,2 我.2 1.2 0 2 1年1 2月9日1

20、 5时4 0分，神舟十三号“天宫课堂”第一课开讲！受“天宫课堂 的激励与鼓舞，某同学对航天知识产生了浓厚的兴趣.通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，火箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具.早在1 9 0 3年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的最大理想速度公式：v =0 l n四，被称为齐奥尔科夫斯基公式，其mk中。为发动机的喷射速度，加。和机 分别是火箭的初始质量和发动机熄火（推进剂用完）时的质量.mk被称为火箭的质量比.（1）某单级火箭的初始质量为1 6 0吨，发动机的喷射速度为2千米/秒，发动机熄火时的质量为4 0吨，求该单级

21、火箭的最大理想速度（保留2位有效数字）；（2）根据现在的科学水平，通常单级火箭的质量比不超过1 0.如果某单级火箭的发动机的喷射速度为2千米/秒，请判断该单级火箭的最大理想速度能否超过第一宇宙速度7.9千米/秒，并说明理由.（参考数据：l n 2 0.6 9,无理数 e =2.7 1 8 2 8 ）【答案】（1）2.8千米/秒；（2）该单级火箭最大理想速度不可以超过第一宇宙速度7.9千米/秒，理由见解析.【解析】【分析】（1）由题可知。=2,，%=160,=40,代入即求；（2）利用条件可求x=2 In 1 0,即得.【小问1详解】Q y =2.m o =1 6 O,“=4 0,./,）1 6

22、 0.u =/l n=2 x l n =2 1 n 4 =4 1 n 2 2.8,/4 0该单级火箭的最大理想速度为2.8千米/秒.【小问2详解】詈4 1 0,27.9 27=128)7.9 =In e7-9 In 1 2 8 In 1 0 0 =2 In 1 0,.vm ax=2 1 n l 0 e）对 所 有 仔 一1都成立.若存在，求出s i n 夕 一 co s 夕 （4 ）加的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）JW I2（2）m=5或加=一1（3）存在，的取值范围为（手+2,+8）【解析】【分析】（1）先化简，再代入进行求解；（2）换元法，化为二次函数，结合对称轴分类讨论

23、，求出最小值C I时，的值；（3）换元法，参变分离，转化为 一 T二 在/（）,、/，恒成立，根据单调性求出-1tZ+8 一 取 得 最 大 值 述，进而求出机的取值范围.7T 6【小 问1详解】f（8）=sin2 6-（2）（sin。一cos6）+8 =sin2。一忘（2-根）sin（。一；）+8，当 m =l 时，f（）=sin-/2（sin-）+81 2 6 1 2 4=4一 夜sin 哈 一 今 +8 =工+后 sin 工+8=+&2 1 2 4 2 6 2【小问2详解】设/=5由。一cos。，则展0 ,2 sin6 cose =-/+1/(6)=。)=-尸一(2-加+9，t 7-值向

24、,其对称轴为，=-1 +，当-1 +g 20,即，2 2时，于(8)的最小值为2(-72)=7+20-42m=7-3 0,则 m =5；当-1+5 v 0,即z /2)=7 2,/2 +yplm=7 3 2 ；则?二 1综上，团=5或6=一1【小问3详解】由I：T /(。),对 所 有。(乙,兀)都成立.sin 0-cos 0 4设才=sin6-cos6,则 八(0,0 ,/.-+9,f e (0,a 恒成立，t8 产 ()1 (+厂在f G(O,0 恒成立，-tt8r+J-当，(0,虚 时，递减，则 8 在递增，t一tt.=J I时+彳 二 取 得 最 大 值 逆 6得2-2一0,6rn A/2+26所以存在符合条件的实数加，且?的 取 值 范 围 为(逆+2,+8)