高三数学第八章平面解析几何讲义.pdf

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1、第 八 章 平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线方程内容要求考题举例考向规律1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式2.掌握确定直线位置的几何要素3 .掌握直线方程的几种形式（点斜式、截距式、两点式及一般式），（解斜截式与一次函数的关系20 1 9全国 I I I卷疗2 1（直线过定点）20 1 8全国 I I卷不中）（直线方程）20 1 7浙江高考士 （直线的斜率）20 1 4四川高考（最值问题）考情分析：直线是解析几何中最基本的内容，对直线的考查一是在选择题、填空题中考查直线的倾斜角、斜率、直线的方程等基本知识；二是在解答题中与圆、椭圆、双曲线、抛物线等知识进

2、行综合考查核心素养：直观想象教材回扣基础自测自主学习知识积淀 基础纤）梳理 说 *&1 .直线的倾斜角（1）定义：当直线/与X轴相交时，取X轴作为基准，X轴正向与直线/向上方向之间所成的角叫做直线/的倾斜角。（2）规定：当直线/与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0。（3）范围：直线/倾斜角的取值范围是 此 过）。2.斜率公式（1）定义式：直线/的倾斜角为j a司 则 斜 率-t a n a。（2）坐标式：R（x”）,P2（x2,”）在直线/上，且 为/松，则/的 斜 率 及=三 普。檄提蕉1 .当直线的倾斜角为 时，斜率不存在。2.斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和两横坐标在公式中的次序

3、可以同时调换，就是说，如果分子是力一，那么分母必须是一X；反过来，如果分子是乃一2,那么分母必须是X|1 2。3 .直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式 _ 迨=依一殉）不含垂直于.i轴的直线斜截式y=kx+b不含垂直于工轴的直线两点式yy _ x-xy2y x2-x不含直线X=X（Xi r处）和直线 y=y i（y W y 2）截距式=1(而 W O)不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式A r+8 y+C=0(A2+52 0)平面内所有直线都适用.侬 提 醒“截距式”中截距不是距离，在用截距式时，应先判断截距是否为0,若不确定，则需分类讨论。x小题长演练一、常规题I.直线工一小），+1=

4、0的倾斜角为（）A.30 B.45C.120 D.150解 析 由题得，直线），=乎 +率 的斜率为坐，设其倾斜角为a,则l an a=坐，又0。180。，故a=30 o故选A。答 案A2.若过点。（1一4 1+4）和。（3,方）的直线的倾斜角为钝角，则实数。的取值范围是（）A.（-2,1）B.（-1,2）C.（一8,0）D.（一8,-2）u（l,+）7/1-I -n/-I解析 由题 意 知 .,0,即亍1*0,解得一2 1。故选A。3-1+a 2-ta答 案A3 .已 知 三 角 形 的 三 个 顶 点4一5,0）,8（3,3）,C（0,2）,则BC边上的中线所在直线的方程为解析 由已知，得

5、8 C的中点坐标为佳，一；），且直线BC边上的中线过点A,则BC边上中线的斜率太=-1V 故3 C边上的中线所在直线的方程为y+；=gx一卷 即x+13y+5=0。答案 x+13y+5=0二、易错题4.（混淆倾斜角与斜率的关系）若直线x=2的倾斜角为a,则a的值为（）A.0 B.；熠D.不存在解析 因为直线x=2垂直于4轴，所以倾斜角Q为名答 案C5.（忽视斜率与横距对直线的影响）如 果A C 0,且8 c 0,那么直线A r+8 y+C=0不经过第象限。A r A解析 因为A C 0,B C 0,0,所以一方 0,所以直线/U+B.y+C=0经过第一、二、四象限。答 案 三6.（忽视截距为0

6、的情况）经过点尸（4,1）且 在 两 坐 标 轴 上 截 距 相 等 的 直 线 方 程 为。解析 设直线/在x轴、），轴上的截距均为d 若a=0,即/过点（0,0）和（4,1）,所以/的方程为y=%,即x-4 y=0 o若a#0,设/的方程为+%=1,因为/过点（4,1）,所以1+=，所 以。=5,所以/的方程为x+y 5=0。综上可知，所求直线的方程为x4.v=0或x+y 5=0。答案 x4y=0 或 x+y 5=0考 点 例 析 对 点 微 练互动课堂考向探究考 点 一 直 线 的 倾 斜角与斜率自主练习1.（多选）关于直线/：小xy 1=0,下列说法正确的有（）A.过点（小，-2）B,

7、斜率为小C.倾斜角为60 D.在y轴上的截距为1解析 对 于A,将（小，一2）代入/:3 x-y-1=0,可知不满足方程，故A不正确；对于B,由小4-y-1=0,可得），=小1一1,所以k=小,故B正确；对于C,由k=小,即t an a=小，可得直线倾斜角为60,故C正确：对于D,由小x-y 1=0,可得），=/工 一1,直线在），轴上的横距为一 1,故D不正确。故选B C。答 案B C2.如图所示，直线小l2,A的斜率分别为由，近，依，则（）A.k k ik i B.k 3 k k iC.七 岛%2 D.k yk z k 解析 由题图可知h f e 0,所以&2七 尢，故选C。答 案C3.(

8、2021 石家庄模拟)直线x+(/+l)，+l=O的倾斜角的取值范围是()A.o,B 序 兀)C.o,月U&n)暗,纵 印,J解析 由直线方程可得该直线的斜率为一黄大，又一1或一意力 左 0,b 0),则+=1。2 1 1 2 I 1 I又因为N+萨 2、j 证=记 疝 2 4,当且仅当=石=手 即=4,=2 时，AAO 8的面积S=ab有最小值,为4。此时直线/的方程是点十=1,即4+2 -4=0。(2)解法一：因为人(失1,0)，伏0/-2 制伐-2 啦=0。(2 k I 1(3)因为,0 ,6(0,1-2&)(4 3喏,2 D.,y 解析 直线Zxcos ay3=0的斜率=2cos a,

9、因为 仁去 枭 所以aWcos aW坐，因此攵=2cos I,小。设直线的倾斜角为仇 则有ia n 9 l,曲。又。0,n),所以9需，却 即倾斜角的取值范围是ft-5。答 案B(2)直线/过点P(l,0),且与以4(2,1),8(),5)为 端 点 的 线 段 有 公 共 点,则 直 线/斜 率 的 取 值 范 围 为。解析 设 以 与P B的倾斜角分别为a,0,直线刑 的斜率是公/=1,直 线P B的斜率是左陟=一 小，当直线/由 雨 变 化 到 与y轴平行的位置P C时，它的倾斜角由a增 至9()。，斜率的取值范围为1,+8)。当直线/由P C变化到08的位置时，它的倾斜角由90。增至从

10、 斜率的变化范围是(一8,一 回 故直线/斜率的取值范围是(-8,y(3 U 1,4-)o答 案(一8,-V 3JU 1,+8)【例2】(配合例1使用)在平面直角坐标系中，。为坐标原点，A(8,0),以Q A为直径的圆与直线y=2 r在第一象限的交点为5,则直线A 4的方程为()A.x+2y 8=0C.Z r+y 16=0B.x-2 y-8=0D.2x y 16=0解析 解法 一:如图，由题意知O 4_LA 8,因为直线0 8的方程为，=2一 所以直线A 8的斜率为一上 因为4(8,0),所以直线A B的 方 程 为 厂0=一笈一8),即 叶2)，-8=0,故选A。f(j：-4)2r=8+y=

11、1 6,I x 5f解法二：依题意，以OA 为直径的圆的方程为(X-4)2+)?=16,解方程组=得J 1 61 6或；=：(舍去)，即 雄，学)，因为48,0),所 以 酎=/=一；,所以直线A B的方程为厂 0=一如一8),即.r+2 y 8=0。故选 A。答 案 A第二节两条直线的交点与距离公式内容要求考题举例考向规律1 .能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标2.掌握点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离3 .能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直2 01 8,北京高考*(点到直线距离的最大值)2 01 6 全国n卷T 4(点到直线的距离)考情分析：本节知识高考要求难度不

12、高，一般从下面三个方面命题：是利用直线方程判定两条直线的位置关系：二是利用两条直线间的位置关系求直线方程；三是综合运用直线的知识解决诸如中心对称、轴对称等常见的题目，但大都是以客观题出现核心素养：直观想象教材回扣基础自测自主学习知识积淀 基、k-劣 梳理 加 也 心*K 杈1 .两条直线平行与垂直的判定两条直线平行：对于两条不重合的直线八，/2,其斜率分别为h，心，则有人俗&=女2。特别地，当直 线 心 6的斜率都不存在时，人与b 平行。与4 x+B.y+C=0平行的直线，可设为A x +B y+m=0(/z O(2)两条直线垂直：如果两条直线八，/2 斜率存在，设为心，心，则0 条公=一 1

13、。特别地，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两直线垂直。与A x+B y+C=0 垂直的直线可设为8 x A E =0。2 .两直线相交|A i x+8 y+G=0，(1)交点：直线h Ad+Sy+G=0 和 京 A M+%y+C 2=0 的公共点的坐标与方程组L Lo 八|A 2 X+8 2.V+C 2 =0的 解-i 对应。(2)相交台方程组有唯一解,交点坐标就是方程组的解。(3)平行O方程组无解。(4)重合O方程组有无数个解。3 .三种距离公式(1)点A(x i，y),8(处，力)间的距离为依阳=、/(乃一宝)+(、，2 刈 口。(2)点 P(x o,加)到直线/：A v+B.

14、y+C=0的距离为I A v =纵+历，则直线/|/2人 的充要条劭之岳，件 是 女|饱=1。2 .设 h A述+8 i y+G=0,/2：A K+&y+C 2=0,则 G /?的必要条件是 4%=4囱(不充分)；+8 8 2=0。考点二两条直线的交点【例1】(1)求证：动直线(加+2机+3 r+(l+m病)y+3/+i=o(其中?R)恒过定点，并求出定点坐标。解 解法一：令m=0,则直线方程为3x+y+l=0 。再令机=1时，直线方程为6 x+y+4=0 。3x+y+l=0,|x=-1,和 联 立 方 程 组,.n 得l 6 x+.y 4-4=0,1尸2。将点A(1,2)代入动直线(加+2

15、m+3)4+(1 +一 户)，+3产+1=o中，Q/+2帆+3)X(1)+(1+?一M)x 2+3 M+|=(3 1-2)/+(2+2)6+2+1-3=0,故此点A(1,2)坐标恒满足动直线方程，所以动直线炉+1=0恒过定点A(1,2)。解法二：将动直线方程按？降解排列整理，得 加a-y+3)+M(2 r+)，)+3x+y+l=0 ，不论相为何实数，式恒为零，X-y+3=0,所以有“2 x+y=0,.3x+y+l=0,故动直线恒过点A(1.2)。(2)求经过两条直线2 x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点，并且垂直于直线3x+4)，7=0的直线方程。2 i+3)，+l=0,解解法一：由 方

16、 程 组”八|x 3y+4=0,v=-1,尸2。所以交点为7-95万因为所求直线与3犬+4,，-7=0垂直,4所以所求直线的斜率由点斜式，得y一5-3故所求直线的方程为4x 3y+9=()o解法二：设所求直线的方程为4.r-3y+zn=0,将解法一中求得的交点坐标5-3哥代人上式得4X5-3-7-9所以6=9。故所求直线的方程为4x3y+9=0。解法三：设所求直线的方程为(2 x+3y +1)+i(x-3y+4)=0。即(2+办丫+(33力)，+1+4%=0。又因为直线与3 x+4 y-7=0 垂直。则有 3(2+力+4(332)=0,所以 2=2。代人式得所求直线的方程为4x-3v+9=0o

17、1.过定点问题的解决方法(1)找过定点的两条特殊直线方程，求其交点即可。(2)提取参数，令参数的系数为0。2 .求过两条直线交点的直线方程的方法(1)列方程组解出交点，根据条件求出直线方程。(2)采用过交点的直线系方程求解。【变式训练】(1)方程仅一1一厂1 2 4+1=03 11)所表示的直线恒过()A.定点(一2,3)B.定点(2,3)C.点(一2,3)和点(2,3)D.点(一2,3)和点(3,2)I-X-y+1 =0,x=-2,解析 他一l)xy+2 +1 =0 可化为一xy+1+4(X+2)=0,由|.八 得。lx+2=0,1丫=3。答 案 A(2)经过两直 线 小 x-2 y+4=0

18、f n/2：%十 一2=0 的交点P,且与直线A 3 x-4 y+5=0垂直的直线/的方程为。A2 v+4=0,x=0,4解析 由 方 程 组,得 即尸，2)o 因为小脑 所以直线/的斜率仁一或 所以直 x+y 2=0,ly=2,34线/的方程为 y 2=一即 4x+3y 6=0o答案 4x+3y 6=0考 点 三 距离问题 例 2)当点P(3,2)到直线的一)，+1-2/=0的距离最大时，机的值为(A.3C.-1B.0D.1解析?xy+1 2 rn=0可化为y=?(x2)+1,故该直线过定点0(2,1),当直线PQ和直线y+I2 12 w=0 垂直时，点P到直线“ay+1 2/?z=0的距离

19、取得最大值，此时m-k p Q=nv_=nv 1 =I,解得m=1 故选 C。答 案 C(2)两条平行直线3x+4y-2=0.3x+4y-12=0之间的距离是()A.2c 14BTC.2 5D.5解析 由两平行直线间的距离公式可得所求距离=匕标导创=2。故选A。答 案 AI.点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式去求，注意直线方程应为一般式。2.运用两平行直线间的距离公式 4=IG-Cd的前提是两直线方程中的x,)，的系数对应相等。)A2-i-B2【变式训练】(1)已知点P(4,.)到直线4彳 一 3)，-1=0 的距离不大于3,则 a的取值范围是.解 析 点P到直线4x-3 y-1 =0

20、 的距离为|4X 4-3X d-l|15 一 3。|55,由U 5：3%3,即|153。区 15,得O W a W l O,所以4 的取值范围是 0,10。答 案 0,10J(2)若两平行直线3 x-2 y-l=(),6 x+ay+c=0之 间 的距离为嘴，则c的值是.解析 依题意知，解得。=4,c W 2。由 6 x+纱+c=0,可得3x2 y+，=0,又两平行直线之间的距离为喈,5+1,解得c=2 或 c=6。,所以 =噜答 案 2或一6考 点 四 对 称 问 题 微 专 题微考向1：基本的对称问题【例 3】已知直线/：2 x3)，+l=0,点A(1,-2)o 求：点A关于直线/的对称点A

21、的坐标；(2)直线in：3.r2 厂 6=0 关于直线/的对称直线tn的方程;(3)直线/关于点4 一1,-2)对称的直线/的方程。解(1)设A )，)，由已知 4-2 2.r+lX3=-X 1 y-2 ,八2X3X=-+l=0,所 以A-13 目v=3-3-X 4尸 15。解得R(2)在直线m上取一点M(2,0),则M(2,0)关于直线/的对称点M必在直线/上。+1=0,解 得 借,1?)设直线，与直线/的交点为M则由口 3)，+1=0,3 x-2 y6=0,得 N(4,3)。又因为/经过点M 4,3),所以由两点式得直线w的方程为9、-46)，+102=0。(3)设 P(x,y)为i上任意

22、一点，则尸(兑y)关于点4 一1,-2)的对称点为P (2 x,-4-y),因为尸在直线/上,所以 2(2-%)3(4一田+1 =0,即 2 x-3y 9=0。解决两类对称问题的关键解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键要抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓 住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解。微考向2：对称的应用【例 4】光线从点4 一4,-2)射出，射到直线y=x 上的点8后被直线y=x 反射到)，轴上的点C,又被)，轴反射，这时反射光线恰好过点

23、。(一1,6),求 8 c 所在的直线方程。解 作出大致图象，如图所示，设 A关于直线y=x 的对称点为4,。关于)，轴的对称点为。，则易得4 (一2,-4),(1,6)。由入射角等于反射角可得A D所在直线经过点8与 C。故 B C 所在的直线方程为送=串。即 10 x-3y+8=0。光线反射问题具有入射角等于反射角的特点，有两种对称关系，一是入射光线与反射光线关于过反射点且与反射轴垂直的直线（法线）对称，二是入射光线与反射光线所在直线关于反射轴对称。【题组对点练】1.（微 考 向1）若点他，份关于直线y=2 r的对称点在x轴上，则 小满足的条件为（）A.4a+3b=0 B.3a+4力=0C

24、.加+3人=0 D.3+2力=0h-0ZZyX2=-1,解得4。+36=0。故选A。b+0 a+t亍尔丁答 案A2.（微考向2）已知点A（4,-1）,5（8,2）和直线/：工 一），-1=0,动 点P（x,y）在 直 线/上，则仍4|+|PB|的最小值是。解析 设点4与A关于直线/对称，为4 8与直线/的交点，所以|/il=|M|o在aAiPB中，附i|+|PB|2A说=困尸。|+岛阴=俨0川+岛8|,所以照|+仍训冽岛A|+仍同=|A倒。当尸点运动到九时，|以|十俨8|取得最小值向用。设 点A关 于 直 线I的 对 称 点 为4 3,yi）,则 由 对 称 的 充 要 条 件 知，y +_X

25、|-4*八 fxi=O,.-一解得,所以 Ai（0,3）。所以（|例+|PB|）min=|A8|=M84了=病。xi+4 y,-l 5=3。I 2-1=，答 案 65邑 教师备用题【例 （配合例2使用）已知曲线=音 在 点 尸（2,4）处的切线与直线/平行且距离为2小，则直线/的方程为（）A.2x+y+2=0B.Zx+y+2=0 或 2x+y-18=OC.2A-1 8=0D.2x-y+2=0 或 Z t-y-1 8=02cx1）9 o解析 y=-（_ ）2=_Q._）2,当x=2时，-（2 _ =-2,因此卜=-2。设直线/的方程为y=一法+九 即2x+y匕=0,由题意，得艮 皆二磔=2小,解

26、 得8=1 8或力=一2,所以直线/的方程为2x+y一18=0或小:+），+2=0。故选 B。答 案B【例2】（配合例4使用）在等腰直角三角形ABC中，|AB|=|AQ=4,P是边人8上异于A,B的一点。光线从点P出发，经BC,CA反射后又回到点P（如图）。若光线QR经过ABC的重心，则AP的长度为（）2A.8-3C4-D.3B解析 以A 8所在直线为工轴，AC所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知8（4,0）,C（0,4）,4（0,0）,则直线BC的方程为x+.v4=0,设A1,0）（0匹4）,由对称知识可得点尸关于8 c所在直线的对称点P的坐标为（4,4一。，点P关于），轴

27、的对称点尸2的坐标为（一L0）,根据反射定律可知P/2所在直线就是光线RQ所在直线。由P,e两点坐标可得P1P2所在直线的方程为），=柒。+。，设4ABC的重心为G,易知Go因 为 重 心 器,才 在 光 线RQ上，所以有方=笠/+“，即3产 4f=0。所 以/=0或t因4-V74 4为 0 1 注：确定圆心位置的方法：圆心在过切点且与切线垂直的直线上；圆心在圆的任意弦的垂直平分线上；两圆相切时，切点与两圆圆心共线。3 .圆的一般方程当 Z +E Z-d Q O 时，方程F+,2+0 x+E y+F=O 叫做圆的般方程，它的圆心是（二g 二另，半径是屏一记C 4=8 W 0,、照 4H 二元二

28、次方程A f+B U+D H-6+F=0表 示 圆 的 充 要 条 件 是 八。4 .确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤为：（1）根据题意，选择标准方程或一般方程；（2）根据条件列出关于a,b,r或 D,E,产的方程组；（3）解 出 小b,r或 D,E,尸代入标准方程或般方程。小题微演练 小 题 演 练 提 知 能.一、常规题1 .圆放+4 y=0的周长是 o解析 配方，得3）2+6+2）2=1 3。所以r=小，所以圆的周长。=2 兀/=2 行兀。答 案 2 回 7 T2 .方程/+产+小城2 y+5?=0 表示圆的充要条件是 o解 析（x+2 M?+（y 1

29、 =4 -一+I 表示圆，则 4 m25 阳+1 0,解得或 m 1 答 案?13 .圆C与*轴相切于点7 U,0),与y轴正半轴交于A,B两点，且H B|=2,则 圆C的标准方程为。解析 由题意，得 圆C的 半 径 为 护Z=啦，圆心坐标为(1,啦)，所 以 圆C的标准方程为(X-1)2+。一 何=2。答 案(*-1)2+(，一也 =2二、易错题4 .(错用点与圆的位置关系)若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部，则实数a的取值范围是()A.-a B.0z z +5。因为所以当y=l时，f+4 y取得最大值4。答 案4考点 例 析 对 点微练互动课堂考向探究考 点 一 求圆的

30、方程【例1】(1)求圆心在直线上一2)-3=0上，且过点A(2,-3),4(一2,5)的圆的方程。解 解法一：设 点。为圆心，因为点C在直线工一2 一3=0上，所以可设点C的坐标为(2 a+3,a)。又该圆经过A,5两点，所以|CA|=|C8|,印(2 a+3-2)2+(。+3)2=4(=+3+2)2+(a+5)2,解得。=一2,所以圆心C的坐标为(一 1,-2),半 径r=4而。故所求圆的方程为(x+1)2+0+2)2=1 0。解法二：设所求圆的标准方程为(x-a)2-i-(yb)2=r,(2)?+(3 6)2=户，由题意得”(2)2+(5 6)2=/，.4 2 人 -3=0,a=t解 得

31、衿 一2,r=1 0,故所求圆的方程为a+1 y+。+2)2=i 0o解法三：设圆的一般方程为炉+9+。工+6+/=0,则圆心坐标为；一，一切。由题意得“4+9+2 D-3 E+=0,、4+2 5 2 D5 E+/=0,D=2f解得|E=4,F=-5 o故所求圆的方程为+)2+2 r+4 y-5=0,即(x+l)2+(y+2)2=1 0。(2)已知圆C与直线/：x+y 1=0相切于点P(3,-2),且圆心在直线y=4元上，求 圆。的方程。解解法一：设 圆C的标准方程为(x-a p+G，一加2=/，=一 他 g=i,则有1(3一“+(-2，=/，解 得 g f所以圆C的方程为(X-1)2+()，

32、+4)2=8。解法二：过切点P(3,2)且与直线x+y 1=0垂直的直线方程为y+2=x-3,与)，=一以联立可求得圆心坐标为(1,-4)所以半径r=(l-3)2+(4+2尸2啦,所以所求圆的方程为(X1)2+G，+4)2=8。总结反思求圆的方程有两种方法1 .几何法：即通过研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位置关系，进而求得圆的基本量(圆心、半径)和方程。2.待定系数法：(1)根据题意选择方程的形式标准形式或一般形式。(2)利用条件列出关于a,b,r,或E,广的方程组。(3)解 出 小 儿r或。，E,F,代入标准方程或一般方程。【变式训练】(1)(多选)已知 A 8 C的三个顶点的坐标分别为4

33、一2,3),8(2,-1),C(6,一1),以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为()A.A24-J2=1 B.x2+j2=-yC.9+产4D.9+产3 7解析 依题意，直线AC的 方 程 为 署=直 段，化为一般式方程x+2 y-4=0,点0到直线x+2 y-4=0的距离d|-4|4 5.I,义直线A8的方程为尸=一2,直 线8c的方程为，=一1,因此点O到直线A B的距离为2,到直线8。的距离为1,当以原点为圆心的圆与直线8c相切时，能满足圆与此三角形有唯一公共点，此时圆的半径为1,所以圆的方程为炉+2=1；又|0川=4(-2)2+3 2=行,|0阴=4(-2)2+(-1)

34、2=小,|0=、6 2+(-1)2=炳 由以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，可得圆可以与三角形交于点C(6,-1),即圆的半径为厮，则圆的方程为r+9=3 7。故选A D。答 案A D(2)(2 02 1山东聊城第一中学月考)已知圆C与直线y=r 及x+厂4=0都相切，圆心在直线产”上，则圆C的 方 程 为()A.(x-i y+G-1=2B.(X 1)2+0+1户=2C.(x+l)2+(y-l)2=4D.(x+1)2+。+1)2=4解析 解法一：因为圆心在直线x-y=0上，所以圆心的横、纵坐标相同，排 除B,C;D中，圆心(一 1,1)到直线x+y=0的距离是1代=也，圆心(一1,1)

35、到直线x+y 4=()的距离是故D不符合题意。故选A。解法二：由圆心在直线y=x上，设圆心为(a,a),因为圆C与直线1y=3及x+y-4=0都相切，所以圆心到两直线),=x及x+y 4=0的距离相等，即M=E1生 所 以 圆 心 坐 标 为(1,1),R=巾,则圆C的标准方程为(xl)2+(y 1)2=2。故选A o解法三：(数形结合法求解)由于直线)，=-x与x+y-4=0平行，且圆心在直线)，=x上，设直线y=x与两条切线的交点分别为A,B,则两点的坐标为(0,0),(2,2),由已知条件可得，A8为圆的直径，所以圆心坐标为(1,1),半径为R=啦，因此圆的方程为(%1)2+。-1)2=

36、2。答 案A考 点 二 最 值 问 题 微 专 题微 考 向1:借助几何性质求最值【例2】(1)(2 0 2 0北京高考)已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为()A.4B.5C.6 D.7解 析 设该圆的圆心为(a,b),则该圆的方程为(xa)2+(y b =1,因为该圆过点(3,4),所以(3。)?+(4一加2=1,此式子表示点(，切在以(3,4)为圆心，1为半径的圆上，则点(。，加到原点的最小值为小不?-1=4。故选A o答 案A(2)已知 M(m,)为圆 C：.P+y24xI4y+45=0 上的任意点，求 根+2的最大值；求 合 的 最 大 值 和 最 小 值

37、。解 因为圆1+9-4 1一14，+4 5=0的圆心C(2,7),半 径r=2啦，设机+2=，将?+2=/看成直线方程，因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离d=*%；*W 2啦,解 得162亚W/W 16+2四,所以，所求的最大值为16+2回。f i-3记点。(-2,3)。因 为 方1表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为了一3=%。+2),n-3即 Z r y+2 2+3=0,则“不；=晨由直线MQ与圆C有公共点,所以|2/1-7+2+3|W2啦。可得2 小 W k W 2 十小,所以启方的最大值为2+5，最小值为2一审。总结反思与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略1.与圆有关的长

38、度或距离的最值问题的解法。一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解。2 .与圆上的点(,)，)有关代数式的最值的常见类型及解法。(1)形如=导 型 的 最 值 问 题，可转化为过点(小3和点(x，)，)的直线的斜率的最值问题。(2)形 如，=奴+力 型 的 最 值 问 题，可转化为动直线的截距的最值问题。(3)形如(X 4)2 +。-b)2型的最值问题，可转化为动点到定点(，b)的距离的平方的最值问题。微考向2：借助代数法求最值【例3 设点P(x,y)是圆:+(丁-3)2=1上的动点，定点42,0),8(2,0),则 中 瓦 的 最 大 值 为。解析 由题意，知或=(2 x,

39、-y),P&=(-2 x,y),所以两闻=/+)?-4,由于点P(x,y)是圆上的点，故 其 坐 标 满 足 方 程3)2=1,故；二一。-3)2+1,所 以 限 国=一()，-3)2+1+3 2 4=6y 12。由 圆 的 方 程/+&-3)2=,易知2 W y W 4,所以，当)，=4时，成风的值最大，最大值为6X 4 12=12。答 案12总结反思根据题中条件列出相关的函数关系式，再根据函数知识或基本不等式求最值。【题组对点练】I.(微考向I)已知x,y满足x+2 y-5=o,则(工一1)2+。一)2的最小值为()解 析(%l)2+(y 表示点尸(x,y)到点Q 1.1)的距离的平方，由

40、已知可得点P在直线x+2 y 5=0上，所以|P Q|的最小值为点Q到直线/的距离，又点Q到直线/的距离 方；12r二 唔 所以(刀一)2+(),一41)2的最小值为=5。故 选A。答 案A2 .(微 考 向1)从 点P(加,3)向圆C。+2)2+，+2)2=1引切线，则切线长的最小值为()A.2*B.2 6 C.4+/2 D.5解析 设切点为“，则C M _ L M P,于是切线M P的长知户=。2 2一 =一 于 +2)2+(3+2)2 1,显然,当机=一2时，MP有 最 小 值 加=2击。故选A。答 案A3 .(微考向2)已知圆C：。-3)2+。-4)2=1,设P是 圆C上的动点。记d=

41、|P 8 F+|%F，其 中A(0,l),8(0,-I),则d的最大值为。解析 设P(%o,.%),1=仍8|2+|必|2=焉+(0+1)2+就+(泗一1)2=2(焉+另)+2。焉+4为圆上任一点到原点距离的平方，所 以(就+办 皿=(件 值+1)2=3 6,所以d m、=7 4。答 案 7 4考 点 三 与圆有关的轨迹问题【例 4】(1)(2 0 2 1.“四省八校”联考)平面内到两定点A,8的距离之比等于常数处 0 且 拄 1)的动点P的轨迹叫做阿波罗尼斯圆。已知A(O O),8(3 0),|%|=；用，则点尸的轨迹围成的平面图形的面积为()A.2 兀 B.4 兀_ 3 itC.7 D.y

42、解析 设 P(x,y),由|以|=)P 5|,得 2+y=乩丫-3)2+,4J2+4/=(X-3)2+-2,x2+.r=-2X+3,(x+l)24-r=4,则点。的轨迹是以(-1.0)为圆心，2为半径的圆，所以所求面积S=4TU答 案 B(2)已知 R t Z X A BC 的斜边为 A 8,且 A(1,0),8(3,0)。求：直角顶点C的轨迹方程；直角边BC的中点M的轨迹方程。解 解法一：设 C(x,y),因为4,B,C三点不共线，所以)，关0。因为A C L B C,所以以c 依 c=-l,又-=击，砧=之,所以=-1化简得/+)2 一女-3=0,即(X 1)2+9=4。因此，直角顶点C的

43、轨迹方程为(x-l)2+r=4(j0)o解法二：设A8的中点为。，由中点坐标公式得0(1,0),由直角三角形的性质知|8|=：依阴=2。由圆的定义知，动点C的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A,B,C三点不共线，所以应除去与工轴的交点)。所以直角顶点C的轨迹方程为。-1)2+)2=4()，0)。设 M(x,)C(xo,比)，因为B(3,0),M是线段B C的中点，由中点坐标公式得x=,y o+0产丁，所以沏=2 x3,y o=2 y。由知，点C的轨迹方程为。-1)2+)，=4 0#0),将沏=2%3,o=2 y 代入阳2 x4)2+(2 y)2=4,即(彳-2)2+尸1。因此动点M

44、的轨迹方程为(x2 +产=1()，W 0)。总结反思求与圆有关轨迹问题的3种方法1 .直接法：当题目条件中含有与该点有关的等式时，可设出该点的坐标，用坐标表示等式，直接求解轨迹方程。2 .定义法：当题目条件符合圆的定义时，可直接利用定义确定其圆心和半径，写出圆的方程。3 .代入法：当题目条件中已知某动点的轨迹方程，而要求的点与该动点有关时，常找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求轨迹方程。【变式训练】自圆C(X-3)2+()，+4)2=4 外一点y)引该圆的一条切线，切点为Q,P。的长度等于点P到原点。的距离，则点夕的轨迹方程为()A.8 x6 y 2 1 =0B.8 x+6 y

45、-2 1=0C.6 x+8 y-2 1=0D.6 x-8 y-2 1=0解析 由题意得，圆心C的坐标为(3,-4),半径r=2,如图。因为|尸。|=俨0|,且 P Q _ L C Q,所以|P O+/=伊。|所以 f+2+4=(X3 +U+4)2,即 6%8 y 2 1=0,所以点 P 的轨迹方程为 6 x8 y 2 1 =0。故选D o答 案D区教师备用题【例1】(配合例1使用)(1)已知圆心在与轴上，半径为小的圆位于y轴右侧，且截直线x+2 y=0所得弦的长为2,则圆的方程为。解析 根据题意，设圆的圆心坐标为(。,0)(公 0),则圆的标准方程为。一。)2+尸=5(),则圆心到直线x+2

46、y=0的距离=害a。又该圆城直线x+2 y=0所得弦的长为2,所以可得12+；坐4 2=5,解得a=2小。故圆的方程为(x 2小)2+式=5。答 案(x-2 y/5)2+y2=5(2)若不同的四点A(5,0),B(-1,O),C(-3,3)D(a,3)共圆，则a的值是_ _ _ _ _ _ _ _。2 5+0+5Q+0+尸=0,解析四 点 共 圆，设 圆 的 方 程 为/+产+以+)，+尸=0,则1 1+0。+0+户=0,解得9+9-3 D+3 E+F=0,D=4,=-y,所以 圆 的 方 程 为 一M-gy 5=0,将 (6 3)代入得苏一4 -2 1=0。解 得。=7或a=F=-5,一3(

47、舍)。答 案7【例2】(配合例2使用)已知实数,)，满足(x-I p+y W l,则z=3x 4 y+2的最大值为。解析 设 点P(x,y),因为实数x,y满足a-l p+y W l,所以点P在圆。-1)2+产=|上 或 圆 内。因为z=3x 4 y+2,所以 3x 4 y+2 z=0,令直线方程为 3x 4 y+/=0(m=2 z),则当直线 3x 4 y+?=0 与圆(x 1 +)2=1相切时，m取得最值，此时圆心(1,0)到直线3x 4 y+/=0的距离d=I3+MA/32+(-4)2=1,所以|3+/川=5,解得根=2或/=8,所以用的最小值为一8,所以z 2=/的最大值为8,所以z的

48、最大值为10。答 案10【例3】(配合例3使用)若尸为圆f+V=l上的一个动点，A(-LO),8(1,0)为两个定点，则 如I+IP8 I的最大值为()A.2 B.2 7 2C.4 2 D.4解析 由已知得，线段A 8为圆的直径。所以|以|2+甲 加=4,由基本不等式得悍然1空幽苧效=2,当且仅当|以|=|PB|时取等号，所以照|十甲用W 2 v L答 案B深 度 探 究 素 养 达 成课外阅读增分培优从课本习题看“阿波罗尼斯圆”历史背景：阿波罗尼斯(Ap olloni ng,约公元前2 6 0 17 0),是古希腊著名的数学家，与欧几里得、阿基米德起被称为亚历山大时期的数学三巨匠，他对圆锥曲

49、线有深刻而系统的研究，主要的研究成果集中在他的代 表 作 圆锥曲线一书中，“阿波罗尼斯圆”是他的研究成果之一。【例】已知点M与两个定点0(0,0),A(3,0)的距离之比为:，求点M的轨迹方程。【解】如图所示，设动点M(x,y),连接M。，M4,得|M A|=2|M 0 ,即个口-3)?+)*=2.x2+)，,化简得 F+V+2 x-3=0,即（X+1）2+2=4，则方程即为所求点M的就迹方程，它表示以C（一 I,0）为圆心，2为半径的圆。推广延伸：若对此题进行二次开发，从系统的高度切入，可以进行从特殊到般的推广探究，还可以分析挖掘出这道题的几何背景，题中所求出的圆，我们习惯上称这种圆为“阿波

50、罗尼斯圆”。“阿波罗尼斯圆”不仅是具有数学文化的探究素材，而且在高考中以它为背景的考题也经常出现。【课本题目】（必 修2 P.4 4 B组T?）已知点M（x,y）与两个定点M，此距离的比是一个正数】，求 点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形（考虑m=和?W1两种情形）。【解】以 线 段/此 所 在 的 直 线 为x轴，线 段 的 垂 直 平 分 线 为y轴，建立平面直角坐标系，设M（一，,0）,此（。,0）（。0）,M（x,y）o则 依 题 意 可 得 加（加 ），由距离公式得7（x+a）2+y=r j（x a）2+一,化简得（1 一，21+（1 评）尸+2。（1 +加）X+（1 M）/=O（