高三数学第4节三角函数的图象与性质讲义.pdf

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1、第4节三角函数的图象与性质考 试 要 求1.能画出三角函数y=sin尤，y=c o s尤，y=t a n x的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大（小）值；2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在 0,2兀 上，正切函数在（甘，舒上的性质.I基础知识修断 回顾教材，夯实基础知 识 梳 理1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 正 弦 函 数 产sin x,尤0 0,2兀 的图象中，五个关键点是：（0,0）,俘1）,（7 1,0）,（挈，-1）,（2K,0）.（2）余 弦 函 数 产co s x,x 0,2兀 的图象中，五个关键点是：（0,1）,&0）,（7 1,1）,（苧，0）,（2T

2、I,1）.2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中e z）函数y=sin xy=cosxy=ta n x图象木二tHp定义域RR1x|x G R,T T且xW E+q值域Ll，11IT，11R最小正周期2兀2兀Tt奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间j r i r2%兀-5，2E+12%兀 一兀,2&兀 递减区间兀 3兀2 Z兀+3,2%兀+才 2攵 兀,2 2兀+兀无对称中心(E,0)俘。)常用结论与微点提醒对称轴方程x=ku无1.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是1个周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.三

3、角函数中奇函数一般可化为y=A sin co x或y=A ta n co x的形式，偶函数一般可化为y=Acos cox+b的形式.3.对 于y=ta n x不 能 认 为 其 在 定 义 域 上 为 增 函 数，而是在每个区间方，E+?(z e z)内为增函数.诊 断 自 测思考辨析、1.判断下列结论正误(在括号内打“J ”或“X ”)(1)余弦函数旷=85%的对称轴是y轴.()(2)正 切 函 在 定 义 域 内 是 增 函 数.()(3)已知y=k sin x+l,xER,则y的最大值为+1.()(4)y=sin国是偶函数.()解 析(1)余弦函数旷=85%的对称轴有无穷多条，y轴只是其

4、中的一条.(2)正切函数产ta n x在每一个区间(也甘，左兀+却:匕)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.(3)当 Q0 时，ym a x =A+l；当 攵 0 时，ym a x=A+1.答 案(1)X (2)X (3)X (4)V教材衍化、2 .(新教材必修第一册P 2 13 T 3改编)下列函数中，是奇函数的是()A.y=|co sx+l|B.y=l-sin xC.y=13 sin(2 x+7 r)Dj=lta n x解析 选项A中的函数是偶函数，选项B,D中的函数既不是奇函数，也不是偶函 数;因为y=-3 sin(2 x+it)=3 sin 2 x,所以是奇函数，选C

5、.答 案C3.（老教材必修4 P 3 6 T 2改编）函数y=-5 c o s&-野+3的最小正周期为T,最大值为A,贝4()3A.T=?r A =29兀B.T=A=9C.T=4n A=23D.T=2 兀 A=22TT 3 9解析 T=了=4兀，4=2+3=,2答 案C考题体验、4.(2 0 17.全国 I I I 卷)函数兀x)=g sin(x+1)+co s(x*)的最大值为()A.1 B.l C.1 D.g解析 co s 一=c o s (x+j=sin(x+如，则./(x)=g sin(x+,+sin(x+|sin x+,函数的最大值为.答 案A5 .（2 0 19北京卷）函数於）=s

6、in 2 2 x的最 小 正 周 期 是.解析 由降察公式得於）=si n2 2 x=2-=；c os4 x+*所以最小正周期T2 7 t 7 1T=2,答 案36 .（2 0 18 江苏卷）已知函 数 产si n（2x+j-，S局 的图象关于直线x=对称，则p的值是.解析 由函数y=si n（2 x+s）（江冶）的图象关于直线尸三对称，得si n停+“27r jr jr jr jr=1.所以与+8=1+也伏62）,所以 9=5+E（&e Z）,又一 s 0,si n x 0,函数有意义，贝 U 1 即c osx-c os 2 左 兀 v x 兀+2 女兀(&WZ),解得1 T T T T(%

7、Z),j r所以 2 E v 尢WQ+2E(%Z),所以函数的定义域为卜|2 所 g+2 加 上 e z.答 案(1)卜氏工彳+桁，且(2)1.r|2 7 i x +L当 f=l 时，y max=l；当 f=也 时，y min=lg 一啦.函数的值域为一J 一霹，1 .答 案(1)?7 1 (2)1考 点 三 三 角 函 数的周期性与对称性多维探究角 度 1三角函数的周期性【例 3 1(1)函数 x)=|t anx|的最 小 正 周 期 是.(2)函数 x)=co s2s in21的最小正周期是.解 析(l)y=|tan卫的图象是 =1 2 1 1 x的图象保留x轴上方部分，并将下方的部分翻折

8、到x轴上方得到的，所以其最小正周期为兀出函数人幻=(：052|犬一5足*=以 第3彳，最小正周期T=竽.答 案(1)71(2)y规律方法 三角函数周期的一般求法：(1)函 数/(x)=Asin(x+a)+Z和 函 数/(x)2兀=ACOS(G X+S)+攵的最小正周期T=；(2)函数/(x)=Atan(x+/)+Z的最小正7 T周 期 丁=合；)不能用公式求周期的函数，可考虑用图象法求周期.I角 度2三角函数图象的对称性【例3 2 (1)已知函数兀x)=asinx+cos x(a为常数，x6R)的图象关于直线x=,对称，则函数g(x)=sin x+acos x的图象()A.关于 点 停0)对称

9、 B.关于点 伶，0)对称C.关 于 直 线 尸 翔 称 D.关于直线尤=热 称(2)若函数/(x)=sin cox小cos 0 x(e 0)图象的一个对称中心为M佯，0),距离点5兀M最近的一条对称轴为直线x=/，则 8=_ _ _ _ _ _ _ _.1 O解 析(1)因为函数,*x)=asin x+cos x(a为常数，xCR)的图象关于直线=不 对称，所 以1 苦+；，a=*,所以 g(x)=sinx2小T T T T JT函数g(x)的对称轴方程为x+4=E+5(A ez),即尤=E+g(Z 6 Z),当=0时，7T7T对称轴为直线x=,所以g(x)=sinx+acosx的图象关于直

10、线龙=对称.函 数fix)=sin cox 小cos cox=2sin(cox一鼻)，因 为 图 象 的 对 称 中 心 为A T倍，0），距离点M 最 近 的 一 条 对 称 轴 为 所 以 相 Y=，即 7=空.故0y J lo lo v 4 3答 案（1）C （2）3规 律 方 法 1.对于可化为方:）=A s in（0 x+s）形式的函数，如果求人处的对称轴，只J T需令X+9=+E（&Z）,求 x即可；如果求/U）的对称中心的横坐标，只需令 x+9=A 兀（&W Z）,求 x即可.2.对于可化为/（X）=ACOS（G X+9）形式的函数，如果求“X）的对称轴，只需令外式+勿7T=E（

11、A e z）,求 x；如果求人幻的对称中心的横坐标，只 需 令 s x +s =2 +E（Z W Z）,求x即可.【训练3】（1）（角度1）已知函数,/（x）=s in（w x+s）（6o 0,初 方）的最小正周期为4 兀，且V x G R,有人外或号|成立，则_/U）图象的一个对称中心坐标是（）从音,0）B.,0）C .停 o）D .停,o）（2）（角度2）（2 0 2 0.武汉调研）设函数段）=si n&+f c o s&+0）（|。回 的 图象关于 y轴对称，则。=（）兀 兀A飞 B6解 析（1）由兀r）=s i n（y x+9）的最小正周期为4兀,1仔 co=2-恒成立，所以/（X）m

12、 a x=d|TT TT即/XQ+9=2+2 桁(ZGZ),又磔所 以 夕=小I 兀 2兀令，x+=E（“e Z）,得 x=2 Ey（eZ）,故7 U）图象的对称中心为（2所一生，o）（z w z）,当上=0时，x）图象的对称中心坐标为（一系，0）.（2求*）=s i n（$+，）一*co s（$+=2s i n（x 十 夕 一 ）,由题意可得fi0）=2s i n（。一W=2,（兀、IT JT即 s i n（。一1 J =1,.e_ q=1+E（Z Z）,.0=+kTi（k Z）.二I4专 攵=-i时，e=一专答 案（1）A （2）A考点四 三角函数的单调性.多维探究角度1求三角函数的单调区

13、间【例4一1】（1）（20 20岳阳质检涵数产s i n牛 用，仲 一2兀，2汨的单调递增区间是（）5兀 兀 5兀 7兀 一A-L-T 3J B.一不，y j兀 2兀4兀C.y 2兀 D.一百，y（2）函数/U）=t an（2无 十 胃 的 单 调 递 增 区 间 是.解 析 由2 E-畀 升 畀2航+界e Z）得，57 r 7 T4 E 京 W x W 4 E+g（Z Z）,57 r IT又x 2兀，2用，所以一故 尸 s i n 住+部 X 引一2无，2兀 的单调递增区间为y,|.故选A.71717r由攵兀一 2x+铲 E+/（攵 Z）,得冷-济 既+韧 小所以函数段）=t an（2x+1

14、）的单调递增区间为X.*仅 兀 5兀 左 兀 兀、答 案（1）A仁一五，万+同（%e z）规律方法求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=As i n x+e）形式，再求）；=As i n（s x+s）的单调区间，只需把v+夕看作一个整体代入y=s i n x的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数.角 度 2根据三角函数的单调性求参数【例 42】已知0 0,函 数 於）=s i n（ft x+）在 俘 兀）上单调递减，则 3 的取值范围是.7E解析 由 盘 兀，ct O 得CD71.71 71 712 I 4GX 1 48 兀 4，7 T 3兀又 y=s i n x 的单调递减区间为

15、2桁+,2桁+彳，kZ,等 十 注/2E,所以.kEZ,兀 7 3 兀 _ .co 兀 十 十 2E,解得4女+吴 W 2 Z+akGZ.又由4人+%(2%+翥W 0,女 S Z 且 2Z+沁 kEZ,得k=0,所以e 1 .规律方法 对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数to的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.【训 练4】(1)(闲 度1)已知函数ZU)=2sin仔-2 x),则函数段)的单调递减区间为()3兀 7兀 A.9+2也，9+2E(Z Z)B一

16、.一兀1+2也，3兀+271一(ZGZ)-371,7兀，一C.g+E,亘+E (A6Z)7 1 .,3兀，D.g+E,至+E (&Z)(2)(角度2)(2018.全国II卷)若/(x)=cosxsinx在 a,a是减函数，则a的最大值是(),兀 r 兀 -3兀 一A.B，2 C.彳 D.n解 析(1)函数的解析式可化为人尤)=-2sin(2xJ.IT IT 7T JT 37r由 2 E W 2E+(Z G Z),得一r+EW x W w+E(女C Z),即函数/(x)的ir 3冗单调递减区间为一g+祈，w+E (%Z).(2)/(x)=cos%sin x=y/2cox+,jr Jr由题意得a0

17、,故一。十丁不因为_ZW=/cos(x+；)在 a,a是减函数，a+。,所以%兀，解得。嗡 所以。的最大值是去0,答 案(1)D(2)A分层限时训练分层训练，提升能力A级 基 础 巩 固一、选择题1.函数y=S s i n 2 x+co s 2 x的最小正周期为（）AA-兀2门BT2 兀C.71D.2 兀解 析 、=2 惇 as i n 2 x+1co s 2 xJ=2 s i n（2 x+J,2,2 兀7=3=兀.答 案 cA2.函数於）=-2 t an（2 x+看C.*W E+看（M Z）解析 由正切函数的定义域，得 2 尤+/桁+畀GZ）,即 x鬻+加e z）,故选D.答 案 D3 .若

18、函数=面 x+在 x=2处取得最大值，则正数口的最小值为（）.兀A-2c 兀B.gc 兀D6解析 由题意得，2。+*=升 2 E 伙GZ）,解得4 十E伙e z）,.,.当人J T=0 时，（y m i n=d，故选 D.答 案 D4 .若兀0 为偶函数，且在（0,?上满足：对 任 意 X I 0,则人 犬）可以为（）A./x）=co s Cr+J B./（x）=,i n（兀 +x）Cy(x)=tanxD./(x)=1 2COS22X解析 7（x）=cos（x+*yJ=sin x 为奇函数，.排除A；/（x）=tan x 为奇函数，排 除 C；fix）=1 2cos2 =cos 4 x 为偶函

19、数，且单调增区间为jzjr L q r jr（jry+4 （Z：eZ）,排 除 D；f i n（兀+x）|=|sin x|为偶函数，且在（0,9 上单调递增.答 案 BT T5.（2019昆明诊断）将函数/（x）=cos 2 x的图象向右平移个单位后得到函数g。）的图象，则g（x）具有性质（）A.周期为无，最大值为1,图象关于直线=方对称，为奇函数B.周期为兀，最大值为1,图象关于点爵，0）对称，为奇函数C.周期为兀，最大值为1,在（一言，目上单调递减，为奇函数D.周期为无，最大值为1,在（0,5 上单调递增，为奇函数解 析 将函数凡r）=cos2x的图象向右平移 个单位后得到函数g（x）=c

20、os（2x一耳=sin 2x的图象，则函数g（x）的周期为兀，最大值为1,在（0,野上单调递增，且为奇函数，故选D.答 案 D二 填空题6.函数y=cosq一的 单 调 递 减 区 间 为.解析 由y=cos（点 一 司=3（2九 一7 T得 2攵 兀 2尢一2也+兀（左 2）,jr解得 （攵 Z）,O Ojr 57r所以函数的单调递减区间为E+g,E+（ZCZ）.答案 E+方，kn+（Z：GZ）7.（2018.北京卷）设函数/U）=cos（s方）（y0）.若 段 长 信）对任意的实数x 都成立，则 的 最 小 值 为.解析 由 于 对 任 意 的 实 数 都 有 成 立，故 当 时，函 数

21、有 最 大 值，.（出 neo 兀 12T 2故人=1，彳 d=2E（&Z）,=8Z+g（&Z）.又 0,Gmin=g.答 案 I8.（2020 合肥调研）已知函数段）=tan（1x一季），则 下 列 说 法 正 确 的 是（填序号）.刨 x）的周期是全/）的值域是|y R,且yWO；直线x=于是函数危）图象的一条对称轴；Ax）的单调递减区间是12E于，2E+1,kGZ.解析 函数人x）的周期为2兀，错；v）的值域为 0，+8）,错；当 尤=苧时，7=,%e z,，x=等不是 y（x）的对称轴，错；令 71 W E,k e z ,可 得 2左兀一牛0）的最小正周期为兀.（1）求函数y=/（九）

22、的图象的对称轴方程；JT（2）讨论函数段）在|_ 0,引上的单调性.解（x）=sin coxcos x=&sin（s争，且 T=兀，Aco=2,f（x）=啦 sin（2人 一 令 2%-3=E+4（A0Z）,得工=与+金&W Z）,即函数於 溷象的对称轴方程为 广 竽+引 心 及 令 2桁 一 打 2%一 牌 2也+会 正 为,得 函 数 以）的单调递增区间为T T SjT 7 T 7TE g,E+至（女 W Z）.注意到xS 0,1,所以令Z=0,得函数./U）在 0,上的3 i r IT i r 2 7 r单调递增区间为 o,y _|；令升学+2EgZ）,得函数危）的单调递减区间为 E+管

23、3 7 r ，E+号7 7 r 伙ez）,令攵=i0r,得段）在0,为上的单调递减区间/囱三一B级能力提升s i n x,xW?则下列结论正确的是（）兀C O S X,A.y u）是周期函数B.#X）是奇函数C人X）的图象关于直线尤=:对称D./U）在了处取得最大值解析 作出函数7 U）的图象，如图所示，由图象可知函数Z U）不是周期函数，所以A不正确；同时图象不关于原点对称，所以不是奇函数，所以B不正确；=2 （c o s x-s i n X）,若 x 0,则 詹+x)=c o s佯+x此时册+x)=;(j _ q；若 xWO,贝!；+x)=s i n仔+J=(c o s x+s i n x

24、),此 时 年+x）=7（?J,综上,恒有4+%）=/售即图象关于直线尤=对称，所以C正确；当 尸 争时，O=cos:=0不是函数的最大值，所以D错误，故选C.I21T-:b i I Wl2答 案c1 2 .(2 0 1 9 长沙模拟)已知P(l,2)是函数危)=A s i n(u x+9)(A 0,0)图象的一个n 3最高点，B,C是与P相邻的两个最低点，设N B P C=O,若ta n 5=不则凡r)图象的对称中心可以是()A.(0,0)B.(l,0)c Q,0)DQ,0)解析 由已知作出图形，连接B C,过P作B C的垂线，如图所示.由题意知A=2.又N 3 P C=0,C2BX1-22

25、3-4。-2高，又解得&=?所以兀x)=2 s i n(1 x+，.将点P(1,2)的坐标代入函数解析式，得2 s i n(j+可=2,解得s=d+2 E(Z W Z).令2=0,得 8=%,所 以/)=2 s i n住 龙 十 袭).令$+2=m(?e Z),解得 x=3机一；O 6 Z).令 m=l,得 x=|,即x)图象的对称中心可以是(|,0).故选D.答 案D1 3.若函数g(x)=s i n(2 x+1)在区间(),夕和 而，部:均单调递增，则实数a的取值范围是.一 7T IT 7T解 析 由 2ETT TT可得 A 兀 一Z),IT7T，g(x)的单调递增区间为E号(ez).又

26、函数g(x)在区间0,f和 4a,f上均单调递增,(1)求人尤)的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程段)=,在(0,口)上的解为xi,X2,求cos(xi 的值.解(l)/(x)=cos xsin x(2COS2X 1)斗心一当(兀)cos 2x=sinl 2x2 I.T T T T 5当2xg=/+2 E/Z),即1=五 兀+攵 兀(攵 Z)时，函数段)取最大值，且最大值为 1.(2)由(1)知，函数火x)图象的对称轴为*=卷兀+桁仅e Z),当 x (0,兀)时，对称轴为工=卷兀.又方程兀r)=|在(0,兀)上的解为x i,X2.1 1+1 2=焉 兀，则 为=/兀一尢2,/.co

27、s(xi X 2)=COSTI_2x2)=sin(2x2-y713/2又 2)=sin”X2一争=故 COS（X 1 X 2）=Tc级创新猜想1 5.(多选题)已知函数火x)=s i n与一c o s%,则下列说法正确的是()A./(x)的最小正周期为兀B：*x)的最大值为2C月x)的图象关于y轴对称TT TTD./U)在区间匕，R 上单调递增解 析,.(x)=s i n4x-co s与n s i/x co s 2%=co s 2x,函数/(x)的最小正周期 T=71,/)的最大值为 1./X)=COS(2 x)=COS 2%=%)，./U)为偶函数，其图象关于y轴对称.y=co s 2 x在

28、 不 上 单 调 递 减，於)=co s 2 x在 不 上单调递增.故选ACD.答 案A C D1 6.(开放题)已知函数x)=d 5 s i n 2 x 2COS2A:+1,将巩x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的右 纵坐标保持不变，再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函 数y=g(x)的图象，若g()g(x 2)=9,则|一%2|的 值 可 以 是(答 案 不 唯一，写出一个即可).解 析./(x)=q s i n 2 x 2COS2X+1 =/3 s i n 2 x co s 2 x=2 s i n(2 x一卷)，将函数於)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的去 纵坐标不变，则所得图象对应的解析式为y=2 s i 4 4 x一方，再将所得的函数图象向上平移1个单位长度，得到函数g(x)=2 s i 4 4 x一方)+1的图象，则函数g(x)的值域为-1,3 ,又g(x i)g(X 2)=9,所以g(X l)=g(X 2)=g(X)m a x =3,则由一无2|=T(N,T 为 g(x)的最小正周期)，又 T=全 故|x i x 2|=(eN),故可填去答 案 与 答案不唯一)