高中数学4-4-2第2课时对数函数的图象和性质（学案）.pdf

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1、4.4.2 第 2 课 时 对 数 函 数 的 图 象 和 性 质【学 习 目 标】【自主学习】一.对数型复合函数的单调性课程标准学科素养1.会进行同底对数和不同底对数大小的比较(重点).2.会解简单的对数不等式.3.掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法(重、难点).1.数形结合2.数学运算复合函数y=/g(x)是由=/(%)与歹=8()复合而成，若/(x)与 g(x)的单调性相同，则其复合函数./l g(x)为；若大x)与 g(x)的单调性相反，则其复合函数./g(x)为.对于对数型复合函数y=l o g 4 x)来说，函数y u l o g A x)可看成是y=l o g “

2、与=/)两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减 的规律即可判断.另外，在求复合函数的单调区间时，首先要考虑函数的定义域.二.对数型复合函数的值域对于形如夕=1%危)(。0,且 存 1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：(1)分解成v=io g“”，=/a)两个函数；(2)解/(x)0,求出函数的定义域；(3)求的取值范围；(4)利用y=l o 须”的单调性求解.【经 典 例 题】题型一比较对数值的大小点拨：比较对数值大小时常用的4种方法1 .同底的利用对数函数的单调性，如 例 1(1).2 .同真的利用对数函数的图象或用换底公式转化，如 例 1(2).3 .底数和真数都不同，找中间

3、量，如 例 1(3).4 .若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论，如 例 1(4).例 1比较下列各组值的大小：(l)k g 5(与 l o g51；(2)l o g i2 与 l o g i2；3 5(3)l o g 2 3 与 l o g s 4.(4)l o ga3.L l o ga5.2(a 0,且#1).【跟踪训练】1 下列不等式成立的是(其中aQ且。#1)()A.l o gu5.1 l o g-2.2 C.l o g i.i(a+l)l o g i,ia D.l o g 3 2.9 l o g o.52.2题 型 二 解 对 数 不 等 式点拨：两

4、类对数不等式的解法(1)形如 l o g/(x)l o g g(x)的不等式.当0 4 g(x)0;当a l时，可转化为0/(x)g(x).(2)形如l o g x)b的不等式可变形为l o g,4 X)。=ogaab.当0 4 ab-,当a 时，可转化为0勺例 2 已知I o g 0,3(3 x)0,且 aW l).(1)求函数s(x)=/(x)+g(x)的定义域；(2)试确定不等式/(x)伞(x)中x的取值范围.题型三对数型复合函数的单调性点拨：对于函数y=l o g j(x),如果定义域为D例3求函数y=l o g o,3(3 2 x)的单调区间。y=l o队/(x)的增区间y=l o

5、g,J(x)的减区间al定义域内Hx)的单调增区间定义域内人X)的单调减区间0a +o o)D.(4,+o o)题型四对数型复合函数的值域点拨：与对数函数有关的复合函数值域：求与对数函数有关的复合函数的值域，一方面，要抓住对数函数的值域；另一方面，要抓住中间变量的取值范围，利用对数函数的单调性来求其值域(多采用换元法).例4求下列函数的值域：(l)=l o g2(x2+4)；(2)y=l o g j_ (3+2 x x2).2【跟踪训练】4函数/(x)=l o g 2(3 +l)的值域为(A.(0,+o o)B.0,+o o)C.(1,+o o)D.1,+o o)【当堂达标】1.设 a=l o

6、 g 3 2,b=l o g 52,c=l o g 2 3,则()A.ach B.bca C.cba D.cab2.已知兀0=1 0须(8 3办)在-1,2 上是减函数，则实数”的 取 值 范 围 是()A.(0,1)B.0,才 C.4)D.(1,+o o)3 .(多选)设函数/(x)=l n(l+x)l n(l x),则/(%)是()A.奇函数 B.偶函数C.在(0,1)上是增函数 D.在(0,1)上是减函数4.函数/(x)=l n(3+2 x f)的 单 调 递 增 区 间 是,单调递减区间是5.函数y u l o g x26 x+l l)的值域为.26 .(1)已知l o g g l,求

7、。的取值范围；（2）已知 I o g 0.7（2 x）l o g 0.7（x 1）,求 X 的取值范围.7.求函数/)=l o g“(2 x 2 3 x 2)的单调区间.【参考答案】【自主学习】增 函 数 减 函 数【经典例题】例1(1)法一(单调性法)：对数函数y=l o g5 X在(0,+o o)上是增函数，而(/，所以l o g5(0,3 4所以 l o g5 a|，所以 0 l o g2；l o g2 ,所以一 二7，所以 Io gl 2 l o gl 2.Io g2 l o g2 g 3 5法二(图象法):如图，在同一坐标系中分别画出=l o gix及y=l o gix的图象，由图易

8、知:l o gi2 k g2 2=l=l o g5 5 k)g5 4,所以 Io g2 3 l o g5 4.(4)当 时,函 数 y=l o go X 在(0,+o o)上是增函数，又 3.1 5.2,所以 1。&3.1 1 0 85.2；当 0 l o g5.2.【跟踪训练】1 B解析：对于选项A,因为。和1大小的关系不确定，无法确定指数函数和对数函数的单调性，故A不成立；对于选项B,因为以3为底的对数函数是减函数，所以成立；对于选项C,因为以1.1为底的对数函数是增函数，所以不成立；对于选项D,l o g32.90,l o go.52.2 0,x+l 0,解3 x x+1,/口 1得 x

9、 2.x-1 0,【跟踪训练】2(1)由1c八 解得l x 0,(2)不等式/(x)S g(x),即为 l o ga(x l)l o g,(6 2 x),l x 3,7当时，不等式等价于 解得1 立!；l x 1 6 2 x,3 l x 3,7当O VaVl时，不等式等价于 解得袅6-2 x,3综上可得，当时，不等式的解集为(1，I；当O VaVl时，不等式的解集为最3).例 3 解：由3 2 x 0,解得设/=3 2 x,8,习，函数y=l o go.3/是减函数，且函数/=3 2 x是减函数，函数y=l o go,3(3 2 x)在(一8,号上是增函数，即函数y=l o go.3(3 2

10、x)的单调递增区间是(一8,|),没有单调递减区间.【跟踪训练】3D解析：要使函数有意义，则：x22 x 80,解得：4,结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则，可得函数的单调增区间为(4,+o o),故选 D.例4解：(l=l o g2a2+4)的定义域为R.n x2+44,U l o g2(/+4)Ko g2 4=2.W=l o g2(f+4)的值域为 y匠2 .(2)设 u=3+2xx2,则 u=-(x-1)2+4 0,0()l o gl 4=-2,2 2 2 y=l o gj _ (3+2 r x2)的 值 域 为2 .2【跟踪训练】4 A解析：口3 +1 1,

11、且加)在(1,+o o)上单调递增，l o g2(3Y+l)l o g2 1=0,故该函数的值域为(0,+o o).【当堂达标】1.D 解析：a=l o g3 2 k)g2 2=l,由对数函数的性质可知 Io g5 2 l o g3 2,，b a 0,%-1,2 ,.,.8+3 a 0,86。0,一 铲&0,4且 存1,.Ov a v l或 此 时 可 知 函 数g(x)=8 3 a x是减函数.若./(x)在 1,2 上是减函数，则必有A1.所以实数。的取值范围为(1，.故选B.H x 23 .A C解析：由题意可得，函数/(x)的定义域为(一1,1),且/(x)=l nj G=l nq 7

12、*-l)，易知夕2=七 一 1在(0,1)上为增函数，故於)在(0,1)上为增函数，又./(x)=l n(1 一力一 l n(1+x)=/(x),故/(x)为奇函数，选A C.4 .(1,1)(1,3)解析：.,3+2 x x2。，A x22 x3 0.l x 2,l o g-x26 x+1 1 )l得l o啊1 0助 工当a l时，有 此 时 无 解.当00,(2)因为函数歹=l o go.7X在(0,+c o)上为减函数，所以由l o go.7(2 x)x 1,解得X 1.即X的取值范围是(1,+o o).7.解：由正 Bx ZX)得函数)的定义域为卜x 2或x l时，=2%2 3 x 2在(2,十8)上为增函数，在(一8,一3上为减函数，在(2,+8)上为增函数，在(一o o,一，上为减函数.0 t z 1时，/（X）的单调增区间为（2,+o o）,单调减区间为（一8,一3；当0 a l时，7 U）的单调增区间为（一0 0，0，单调减区间为（2,+o o）.