高三数学培优版-规划问题-教师版讲义.pdf

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1、教师姓名学生姓名年 级高三上课时间学 科数学课题名称规划问题规划问题唯知识图谱知识分析一、知识梳理1.二元一次不等式表示平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax+8y+C0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=O某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界线.不等式Ax+Sy+C2 0所表示的平面区域(半平面)包括边界线；(2)对于直线Ax+3y+C=0同 一 侧 的 所 有 点 使 得Ar+gy+C的值符号相同.因此，如果直线Ax+3y+C=0一侧的点使Av+5y+C 0,另一侧的点就使Ar+By+C 0(或Ar+By+C 0)所表示的平面区域时，只要在直线Ax+By+C=0的一侧任意

2、取一点(,村)，将它的的坐标代入不等式，如果该点的坐标满足不等式，不等式就表示该点所在一侧的平面区域；如果不满足不等式，就表示这个点所在区域的另一侧平面区域;高中数学冲刺培优(3)由几个不等式组成的不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.2.线性规划(1)基本概念名 称意义线性约束条件由X,y的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是 对 的 约 束 条 件目标函数关于X,y的解析式线性目标函数关于x,y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解可行域所有可行解组成的集合叫做可行域最优解使目标函数达到最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束

3、条件下的最大值或最小值的问题(2)用图解法解决线性规划问题的一般步骤：设出所求的未知数；列出约束条件(即不等式组)；建立目标函数；作出可行域；运用图解法求出最优解.3、简单线性规划的图解法的拓展和迁移。二、典型例题题 型1、基础题目例1、(1)如图、三条直线2x-y=3,x-y+l=0,x+y=3将平面区域划分为六部分(不包括边界),试写出表示每部分的不等式组22x-y3答案：I：；x+y32x-y3I I：x-y；x+y3I I I：2 x-y 3；Ix-yI V：2x-y 3x-y 3x-yx+y 3 2x-y ；x+y32 x-y 3解析：画出可行域，得在直线x+y =3 与直线x-y

4、=-l 的交点。(1,2)处，目标函数z 最大值为8题型：可行域为封闭区域，目标函数为距离解析：|2 x+3 y+4 k m 吆警L 也 答 巴 表 示 点(x,y)到直线2 x+3 y+4 =0的距离，结合图形，1 3 /1 3得答案为1 1.高中数学冲刺培优4题型2、整点问题x 0例 2、设不等式组，y()(e N*)所表示的平面区域D 的整点(即横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为您，则 高 6(/+%+?。|。)=。答案：3 0 1 8此题重难点在于读题，具体解答如下：y -n x +4 n =(4 -x)x n，所以X 只能取 1,2,3x 取 1 时候，1 W 蟀 3 n ,即此列个

5、数为3 n同理x 取2 时候,个数为2nx 取3 时候,个数为n.a,=3 n +2n +n =6 n贝 U 20 1 0(勾+.+a3 H(i)=(1 2+24 +3 6 +.6 x 20 1 0)=3 0 1 8题型3、综合题目1 x+y 0)仅在-2 x-y 0 )仅在点A(3,l)处取得最大值。则直线=-a x+z 过 A 点且在直线x +y =4,x =3 (不含界线)之间。即 a 51、已知x,y 满足以下约束条件，X-y +5 W(),使 z=x+a y(0)取得最小值的最优解有无数个，则x0)取得最小值的最优解有无数个，则将/向右上方平移后与直线x+y =5 重合，故。=1,选

6、 Dx+2y-40例 4、当实数,y满足，x-y-l1答案：1|方法 1：lzza iz,X X X X6方法2：最优解可能在A（l,0）,B（2,l）,C0-1例 5、若,y满足，x-+2 x+y-7 1+上XX函数Z =-在 W1 +Mr6上单调递减值 域 为上11 137 14题型4、易错点、主观认为可行域必为封闭区域而出错例 6、（20 1 4 浦东三模文）若实数X,满足，2x-y0y 2 X 且 z =2x+y的最小值为3,则实数b 的值y-x-b为.答廿案4：-94解析：可行域如图，因此z=2x+y的最小值在y +x =与2x y =0 的交点处取得，即点b 2b39T处，所以2

7、x +殳=3,解得，h =l3 34高中数学冲刺培优题型5、目标函数的其他常见形式目标函数为不，的形式x+J 3例7、设 变 量 满 足 条 件：i x-y -l,求目标函数z=封 的最大值和最小值2 x-y 3答案：2 0,2解析：最大值只可能在边界取得试一试：实 数 满 足 时4 1,|“+耳4 1 ,则S +l)(b+l)的取值范围是()答案:-_9-4解析：设 a+l =x,+l =y,则f k-3|.r+y-2|1提示：化简题目为,4+23 1 224 ,求+84-/的取值范围，设+&/-1=a ,则q =/_ 8 d +a2a,+1 W 底 2 次 +丫?高中数学冲刺培优x+43y

8、方法2：L 2 可以看做点（x，力到直线x+6.V =0的距离2方 法3：(D=r=yjx2+y2,齐次化原理r+i试一试:函数x)=|c o s a +V 5 sin a 卜一闽Jx2-2/2x c o sa +2x e R,a 微的最大值是（）B、g C、2 D、石答案：B*关键：/（x）=|(c o sa +/2 s i n i z j x-Kxco sa-夜)+(x sin a)闾/x-2/2x c o sa+2 yjxcosa y/2j+(x sin a)2,设x c o s a-0 =A x sin a =B表示点（1,&）到直线的A x+8 y=0距离，画图，可知当（1,血）为直

9、线A r+By=O的法向量时，距离最大，最大为例1 1 1 2 0 1 8上 海 卷12】已知实数为、巧、外 为满足：才+4=1,后+为=i,国 超+升乃二；，则中+3的最大值为答案：V 2 +V 3关 键1：Xj+y；=1,君=表示点A（X1,yJ、5（巧,旷2）；xx2+yy2=OA-OB=|o A|OB|C O S ZAOB=；,故 Z.AOB=yW+x T 旧+y2 T l分别表示点A（和）、B（巧,）到直线x+y-l=O的距离,当A、B位于直线x+y-l =O的同侧时,12较 大,表 示A B的中点M 到直线x+y-l=O的距离，2（a V 2）M的轨迹为以O为原点，更 为半径的圆，

10、当圆上的点、圆心、投影点三点共线，且圆心在圆上的2点与投影点之间时，中点M到直线x+y-l=0的距离最大.（为+应）2+（凶+%）2 =3xl+X 2+y+y2|)间的距离的平方，而 点A(a+5,a)的轨迹为直线x y-5 =0 ；点5 =(3|c o sb|,2卜in硝表示椭圆x y,k +-=1在第一象限的部分，点3到直线x y 5 =0的距离为9 4|3c o sZ?-2sin/?-5|_ 5-V 13c o s(Z?+0)V2-V2b&呜71此 函 数 在o,-上单调递增，在人=0时 取 得 最 小 值,故答案为2.试一试：(20 16年虹口二模14)已知对任意的x e(YO,0)U

11、(0,加 ),昨 卜1,1,不等式+一2孙一/二7恒成立，则实数a的取值范围为.X X答案：(一8,8 4夜 解析：根据题意一+1 1 2肛J 丘 之。恒成立,即求不等式左边的最小值，左边=X X()+$足)/)_1,而(x _ y)2+(：J l _ y 2)表示点(x,g)与点 卜,了)的距离的平方，结合图像可知，距离的最小值为2&-1,.a W(2五一 1-1 =8-4近14例14.已知M=-4一丝”冶 卡 (a,6 e R,a H 0),则M的取值范围是a-acosO+l题型:表示y=y(x),s=g(r)图像上两点连线的斜率x-t选自:青浦二模12题答案:4-/7 4+773 3关键

12、:1 .八ci 4-s inUM-p-(a,。e R,a 于 6，IS tz+=xe。+C O S 3 aa(YO,_2U2,+OO),则 知=七 型 攻 数形x-sin茴课堂练习2 x-j +2 01、如果点尸在平面区域 x 2y+iw o上，点Q在曲线f +(y+2)2=l上，求|PQ|的最小值x+y-2 4 0答案：V5-1高中数学冲刺培优X-j 02：若不等式组|2 +2,表示的平面区域是一个三角形，则。的取值范围是j 0 x+y 03、在约束条件J*。下，当3 S 5 时，目标函数z =3x+2 y 的最大值的变化范围是y+x sy+2x4A、6,1 5 B、7,1 5 C、6,8 D、7,8解析：画出可行域，当s =3时，目标函数z =3x+2 y 在 A(l,2)处取得最大值7；当S =5 时，数 2 =31+2 丫在点6(0,4)处取得最大值8,选 D()目标函16