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1、4.2利用导数求单调性(精练)(提升版)题组一单调区间1.(2022天津崇化中学)函数y =x 2.e-的递增区 间 是()A.(0,2)B.y,o)C.(-8,0),(2,+8)D-(-co,0)U(2,+o o)【答案】A【解析】由题意,函数=可得令/即x(x-2)0,解得O x 0 得0 x ,故选:C.x x x 23.(2022北京首都师范大学附属中学三模)下列函数中,既是偶函数又在(o,)上单调递减的是()A.y=2 B.y =_%3C.j/=co s D.y =I n-22+x【答案】C【解析】对于A,函数=2同的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=2H=2M=/(X)-所以
2、函数/(x)为偶函数,当x e(0,2)时x)=2,函数x)单调递增,故A不符合题意;对于B,函数/(外=_3的定义域为R,关于原点对称,A f(-x)=-(-x)3=x3=-/(x)所以函数/(x)为奇函数,由基函数的性质知函数、=/在R上单调递增,所以函数x)=_x 3在R上单调递减,故B不符合题意;对于C,函数/(x)=co s 的定义域为R,关于原点对称,且/(-x)=co s(-j)=co s =/(x),所 以 函 数 为 偶 函 数,当一。,2)/(0,),又(O J)H所以函数/(x)=co s 5在 上 单 调 递 减,故C符合题意;对于D,函数/(x)=I n=的定义域为Q
3、 Z2),关于原点对称,2+x且 x)=I n=I n(公 尸=一 I n W=-/(X),z.X/十X Z.-V X所以/(“)是奇函数,又/(x)=1 1 _ 2x2 x 2+x(2 x)(2+x)令 八x)0=-2 x0=0 x 0,即l-2 sm x 0,解得o x,6令/即l-2 sm x 0,解 得 烈x 0,即l n x l,解得0 x 0 在(0,)上恒成立,/.l-2s i n2 x-a s i nx 0 1 因为x E(0,乃),所以s i nx c(0,1 令 s i n x,则/(0川,即-2/-R+1 N 0,r(O,l B-2t+-,令8(。=_2,+1,/(1 ,
4、则 g (f)=_2y 故选:A.2.(2022 广东东莞)若函数/(“=改+8$在(_8,+8)上单调递增,则实数。的取值范围是()A.(-1,1)B.。收)C.(-1,+o o)D.(-1,0)【答案】B【解析】=a -s i nx ,由冠忠倚:/(x)=a s i nx 2 0,a 2 s i nx 在.(_8,+8)上恒成年,因为y =s i nx e-l,l 所以“2 1恒成立,故实数。的取值范围是曾 田).故选:B3.(2022天津一中)已知函数/()=必 3+3(加一 八2 一 加 2+(o)的单调递减区间是(0,4),则?二()11A.3 B.-C.2 D.532【答案】B【解
5、析】函数/(X)=加 工 3+3(加一1)2 _加2 +(加 0),则导数/,(%)=3血 2+6(加 一 1)工令 f ,叩 3m/+6(加一l)x 0,/(x)的单调递减区间是(0,4),4 是方程3加+6(阳_1卜=0 的两根,0+4=2。-加),0*4=0,二 吁;故选:B.m4.(2022 山 东 聊城)若函数f(x)=ln(x+l)_ 加 x 在区间(0,+8)上单调递减,则实数机的取值范围是()A.(-o o,-l B.(-oo,-l)C.(l,4-oo)D.l,4-oo)【答案】D【解析】f(x)=ln(x+1)-/nx,f x)=-m,则/(x)=-机 W0 在(1 8)上恒
6、成立,即机二一二恒成x+1 x+1 X+1立,又 =!在(,+00)上单调递减,故一/,当初-1时,导数不恒为0,故选:D.rfl,1 ni 15(2022福建宁德)若函数/a)=x+2sin在戈 四 兀 上单调递增,则实数”的取值范围是()4 2A.h0B.b0C-b-y2 D-h-y/2【答案】A【解析】由题意2co s x 20在 国 上恒成立,.4 2.N-2 c o sx,J史时,、=-2 c o sx是增函数,4=0(三 时取得),所以故选:A._ 4 2 26.(2 0 2 2 黑龙江 齐齐哈尔市第八中学校)若函数*)=11 1*+“父-2 在区间(;)内存在单调递增区间,则实数
7、。的取值范围是()A.(一吟 在xe,1)上有解,即a -苴 在 xe1,1 上有解.设 g(x)=_.,x e d,由 g(x)=x-3 0 在 上恒成立,所以g(x)在单调递增,所以.所以a g(1)=_ 8,故选:D7.(2 0 2 2 河北唐山)已知函数/(刈=/_ 冰 _ xln x,a c R,若/()在 1,+8)单调递增,”的取值范围是()A.(-o o,l)B.(-8,1 C(l,+8)D.l,+o o)【答案】B【解析】因为/(x)=x2-办-xln x在 1,+8)单调递增,故/(幻=2 X-4-1 1 1-1 2 0在区间1,+0 0)恒成立,g pa 2 x-ln x
8、-l令旗x)=2 x-ln x-l,(x刈 则(x)=2=2o,故始)在L+劝 单调递增,X X则(x).=1,故“4 1,。的取值范围为(-0 0,1 故选:B.8.(2 0 2 2河南 南阳中学)若函数/人 日+小?在区间(1,3)上单调递增,则实数力的取值范围是()A.-;收)B.-l,+0 0j C.T+8)D.(f T【答案】A【解析】由x)=+ln 2 x,得/,(x)=%+LX因为函数x)=h +ln 2 x在区间(1,3)上单调递增,所以,(幻=&+l 20在区间(1,3)上恒成立,即恒成立,XX因为x e.3),所以_ ,所以2,x 3 3所以实数人的取值范围为-;,+8),
9、故选:A9.(2 0 2 2福建泉州高二期 中)已知函数x)=q x2 _|n(x+2)为减函数,则的取值范围是()A.f-0 0,-1 1 B.S 3 C.D.T-1,+0 0)I 2 2 2 )【答案】C 解析由 /(X)=ax2-ln(x+2),得I x -2f(x)=la x-(),x+2因为函数/(x)=or2-ln(x+2)为减函数,所以/(X)4 0在(-2,+oo)上恒成立,即/(x)=2 a x 4 0在(乜+功 上恒成立,x+2所以2ax。+2)-1 4 0 即 2ax?+4 一140当a=0时,-140成立,当a/0时,y=2ax2+4ax-l的对称轴为x=-2,所以要2
10、aV +4办-1 4 0在(-2,+8)上恒成立,只要满足P 0,解得-,4 a 0,综上,-0 时,f(x)=-f(-x)因此x 为 nx)/,所以山工 I,0 x /(+2)的解集为()A-(-8,-1)U(2,+CO)B(-1,2)C,(-OO,-2)U(1,-KO)D,(-2,1)【答案】B,x _ l-e2x/-4e2x/(x)R【解析】解:因 为 “尸 育 不 i,所 以/=缶 2,+1)2 所以 在 上 单 调 递 减,则/卜 2)/+2)等价于-x +2,解得-l x 0,则函数歹=/(力 在 0,+司 上为增函数,由偶函数的性质得/(|1 _巾2)由于函数y =x)在他+8)
11、上为增函数,则 卜 怕 1 一 2小即一广整理得3/-2,,解得因此,实数 的取值范围是1 0,2.3 3 故选:B.5.(2022河南)已知x 0,y 0,且e?-e s i n 2x-s i n y,则()A-2x y C-x y D-x 0 ft)=e cost f 当 f 0 时,/(f)0 恒成/,所以/(f)在(0,+8)上是增函数,原不等式变形为e -s i n 2x e,-s i n y,即/(2x)/(_y),所以2x y.故选:B.6.(2022湖南邵阳市第二中学模拟预测)已知函数/()=吕,若不等式/(1-)+/(1)*2 对Vx e(0,+8)恒成立,则实数0 的取值范
12、围【答案】(-00,2【解析】/(x)=2(1 +e t)-2=2.V 1 +e、1 +e*1 +e 因为y =l +e 在R上为增函数,所以/(x)=2-1在R上为增函数,因为/(x)+/(-x)=2-4+2-*=2,所以/(1 _依)+/,)4 2 可化为/(1-X)2-/(X2)=/(-X2)1因为,在 R上为增函数,所以对Wx(0,+o o)恒成立,所以“4 x +_l对Wx e(0,+8)恒成立,X因为“0,所以+1*2 口=2,当且仅当x =1,即、=1 时取等号,X X x所 以 心 2,即实数。的取值范围(YO,2故答案为:(-*2题组四 单调性应用之比较大小1.(贵州省毕节市
13、2022届)己 知。=上7 ,b-e,P jJ(,为 自然对数的底 数),则a,h,C的大小ln 3 2关 系 为()A,c ab B。cb a a cb b c a【答案】A【解析】令/(x)=二,(x),所以/,(x)=g,In x (In x)当x w(O,e)时,/”(x)0,函数/(x)单调递增;所以。=/(3)=名3,eb=eIn e所以c a ”故选:A-2.(广西贵港市高级中学2022届)已知夕=27 d n 5,b=5 nn2.c=1 01 n 兀,则下列结论正确的是()A.b c a B.a b cC.b a c D.c b a【答案】D【呻析】=7 dn 5痴 25 b=
14、7 t ln 27 r ln 3 2 由 于 7 d n 25j d n 3 2 所以a ”设 力=小,则=l,当 x e,+8)时,/(x)0,所以/(x)在x o,e)单调递增,在x e(e,+8)上单调递减,所以),wln 4 =ln 2ln n 即/俳/(),所以曲 2 21 皿4 2兀得:57 r ln 2 1 01 n j t L!|JhbcB.c a bC.a c bD.c b a().【答案】B【解析】由y(x)=X-1lnx=/f(x)=Inx(l+-)+(l-)当x e(0,1)时,/(x)0,/(x)单调递减,因为/(五)=/(%)=;(五-七),所以c=/1+)因为0
15、爰|1)/(令,故c 6,故选:B4.(江西师范大学附属中学2022届)设a=C,6 =3,c=e2-W.贝!|a,b,c 大小关 系 是()2ARC*cha bca*ha b【解析】由/=en2.7182.25=-=6 2,后 士,故;42I 2_3 aca=e2=e/一&=c,故;D.ahc假设e?一 无 -,有/-仄 -2-V eln-In V e-ln l),则/对=1 0,所以(x)在(L+00)上单调递增,X而 正|,则 (相 呜)所以e2M c,故i b+B.b-a b C,b v a v b +1 D,a 0,则 g(x)=/-1 0,则 g(x)在(0,+)上单调递增,且g(
16、x)g(0)=0,因此g(_!_)=e/_ 0,即e表 ,U021J 2021 2021贝 IJ。=2021e砺 2021 x=2022=b 2021令 A(x)=ev-2 x-l,当时,(x)=e-2 0,则(x)在(叫上单调递减,即/(x)A(0)=0,即 e*2x+l,取=焉,得e募 3+i,2021 2021则2021e人 y z B.x z y C y x z D y z x【答案】D1 i z 1 1 i【解析】由X=后,=/,2=汗尸,得111%=一1112了=一111,2=1111,2eTV令/(x)=l (x o),则k)=匕 号(0),当 (,时,/门)0,当 e 时,r(
17、x)0,所以函数/(X)在(o,e)上递增,在 e,+0 0)上递减,又因 l nx=L n 2=L n 4,3 3)4),即 l n l nz l nx2 4所以y z x 故选:D.7.(新疆乌鲁木齐地区2 0 2 2 届)设。=与,b ,c =,则()e2 2 3A,abc ach。c ab bc 0,外力单调递增;当xw(e,+o o)时,/z(x)/(4)/(e2),所以 故选:A.8 .(新疆乌鲁木齐地区2 0 2 2 届)设。=e 2-l,6 =I nl.2,c =,则()A Racb,bacr,D bca*cb I),则/,(x)=e i-(x l),因为函数了=。1 j=-_
18、 L在a”)上递增,所以函数,(切=&1-工在(1,+0 0)上递增,X X所以r(x)=e,T-B,(i)=o(x i),所以函数x)在(L+8)上递增,所以/(1.2)/(1)=0,即,即。人令g(x)=I n,+1 _(1 5)令,=-,/!令人(1)=1 1 1/+;-1。1),则)=1-y=-l-j O(r l)所以函数/,在(1,+8)上递增,所以6(/?(1)=0,所以g(x)=l n2一(1-FOGNS),故-!(),即l nl.2 ,所以6c,综上所述,故选:D.9.(河南省郑州市2 0 2 2届)已 知 =e;Z)=1 1 L +1,c =4?,则它们的大小关系正确的是()
19、2A,abc B,a c b b a c c b a【答案】B【解析】由6 =野+1 =卜 代+1令/()=卜 +X,则y,(x)=g _ l,x e(0,1)(/(x)0:当 xe Q+o o)/(x)0:所以x)=l nx+l-x在(0,1)上单调递增,在(1,+o o)上单调递减,且/=0则/(疮)0,因此l n a 7 +l-疝0,所以又因为c =J H 1,3,所以l n?+l 疝1.3,得I nJ i7 c b 故选:B10.(陕西省西安中学 2 0 2 2 届)已知 a/,c (L+o o,且 等=5 1 nn,野=3 1 n6,=-2 I nc,则bc aB.cbaa c o
20、,此时人防单调递增,当x w(O,l ,r(x)0,此时“)单调递减,由题曲2 =-5 1 na,=3 1 n6 ,=2 I nc 得tzl na =I n,6 1 nZ 7=-l n,c l nc =I n=I n,因为一 一 一 I n -l n,则5 5 3 3 2 2 4 4 5 4 3 e 5 5 4 4 3 3anacncbnb,4-co,所以故选:A.11.(湖北省省级示范高中2 0 2 2 届)己 知:a =e0.42,6 =20.5,c =io g 45,则。、b、。大小关系为()b a cc a b【答案】B【解析】令/(x)=e,-x-l,则/0 时,r(x)0,所以函数
21、 x)在(0,+8)上递增,所以/(0.42)/(0)=0,即 e 0,42+1,1.422=2.0164 2 所以e2 0,42+1 2心,所以ab,f 5 Y 25 0os 5 1024又 彳=而 7,5_ 5=5一 41吗 5=1。&4 5-唾 尸=幅 625 0,4 4 4 4 4所以205电5,所以“:故选:B.1 2.(吉林省吉林市2022届)已 知”即 _ 1,6=sinO.l,c=ln l.l,则()AR*a bc*b c D.cah ch 0 时,e 1,e cosx 0,/(X)H 调递增,.-./(o.l)/(o)j 即0 一 1一 5110.10,二0 一 1$布0.1
22、,即。b,令 g(x)=ln(x+l)-sin x,,/、1 l-(x +l)cosx 1-xcosx-cosxv(x)=-cosx=-乙-=-)X+l X+l X+1令(x)=1-xcosx-cosx,?.(x)=(x+l)sinx-cosx令力(x)=(x+l)sinx-cosx,/.(x)=2sinx+(x+1)cosx 9当0 x二时,夕,(x)单调递增,6,“(X)(需1+1 +=叫2一)0/j(x)在x 0,0.1)上单调递减,.4(工)%(0)=0,,g (x)0,g(x)隹x e(O,O,l)上单调递减,g(0,1)g(0)=0 t I H nl.1 s inO.l 0 :.c
23、b 综上:c 6。.故选:D,题组五含参单调性的讨论1.(2 0 2 2 云南省师范大学附属中学)已知函数 x)=xnx_ o r,讨论切的单调性;【答案】/(x)在(0,尸)上单调递减,在(,+8)上单调递增【解析】函数y(x)的定义域为xw(0,+8),f ,(x)=l nx+1-1 2 令/)=0,解得 x=eJ则有当Ovxve -1 时,,(工)0;当x任 时,f (x)0;所以x)在 e“T)上单调递减,在(e T,+8)上单调递增.2.(2 0 2 2 天津市河东区)已知函数(x)=2 _ 2 1 n x 且.a =2,求函数x)在(2J(2)处的切线方程.(2)讨论函数/(x)的
24、单调性:【答案】(l)y=x-2 1 n2;(2)答案见解析:【解析】当 2时,/(x)=-2 1 n x,所以/=2-21n2/(x)=x-彳,所以/=2-5 =1.所以函数/(X)在(2,/(2)处的切线方程为y-(2-2ln2)=x-2,即y=x-21n2.(2)x)的定义域为(0,+8),/(X)=-a x当a0时,/(x)0恒成立,所以f(x)在(,+8)上单调递减:当心0时,/,0)=子 _:=为+伺 卜-伺.在(。,伺 上,/,(X)0,所以/(x)单调递增.78.(2022天津市南开中学)已知函数/(x)=ae2、+(a_2)e=x,讨论/(x)的单调性:【答案】当aVO时,/
25、(x)在A上单调递减,当a 0时,则x)在(-co,-Ina)上单调递减,在(_na,+oo)上单调递增【解析】/(x)=ae+(a-2)ex-x定义域为凡/,(x)=2e2v+(a-2)ex-l=(aet-l)(2eI+l)当a0时,/,(x)=(ae、-l)(2e、+l)0 时,当 xv-lna 时,/力-lna 时,则/(%)在(-a,-Ina)上单调递减,在(-M凡+上单调递增,综上:当aWO时,/(x)在R 上单调递减,当a 0 时,则f(x)在(f o,-I na)上单调递减,在(_ 所4,+8)上单调递增.4.(20 22四省八校)设函数其中“,”为常数,讨 论 的 单 调 性;
26、【答案】答案见解析【解析】/(x)=x2-a2=(x-a)(x +a),当 a0 ,x _ a或x a,/,(x)x a,当a 0 时,/,(x)0 ,x a 或x _ a,r(x)x a,当a=0 时,综上,肖a 0 时,在(T O,-a)和(a,+8)上单调递增,(-a,a)上单调递减;当 =0时,/(x)在(f o,+)上单调递增.5.(天津市南开中学20 22届)已知函数 x)=g f+a x-(办+l)lnx(ae R),记外的导函数为g(“,讨论g(x)的单调性:【答案】(1)答案见解析【解析】由已知可得g(x)=x-L-alnx,故可得g,(x)=l +-V,=一?+1 .xX2
27、 X X2当 a e(-o o,2 时 g(x)之0,故g(x)在(0,+8)单调递增;当a2,+8)时,由 g,(x)=o,解得X=L-4,或 a+J a j,221,+8单调递增.6.(安徽省皖江名校20 22届)己知函数/(x)=lnx +犷-,叫讨论函数小)的单调性;【答案】答案见解析【解析】显然,函数A x)的定义域为(,+8),且/(x)=L办_。=竺 上 色 土1,X X若a=0,显然/(x)单调递增.若令/(x)=,有?1 储-4“,2a易知 O+J/-4 0 /(x)当X w时,2a单调递增;a-la2-4a /(x)0 f (x)当x e -五,+时,单调递减.若0 4,令/(力=,有,易知 0 勿 一4。0 x)当x e ,一而,单调递增;a-Ja。-4a a+yja2-4a)/(x)0 J(x)当X 亢,*时,单调递增.综上所述,0/(x)f a-yla2-4a a7a2-4a若,的增区间为,-1-,减 区 间 为-工-若0 4 a 4 4,y(x)的增区间为(0,+功;a4若/(x)(a-la2-4a的增区间为1 ,一五一a+yja2-4a-,+0 02a 7f a 7 a 2 -4 a+Ja2-4a减区间为吃 一,吃 一
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