高中数学7空间几何中的平行与垂直（精练） （提升版）.pdf

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1、7.1空间几何中的平行与垂直（精练）（提升版）题 组 一 平行问题1 （2022 四川宜宾）如图，正方形N8EZ）的边长为1,G,F 分别是EC,8D 的中点，求证：GF平面ABC【答案】证明见解析；【解析】如图，连接/E,因F 是 正 方 形 对 角 线 BQ的中点，则F 是Z E 的中点，而 G 是 CE的中点,则 G F/C 乂 C u 罔GF(z ABC,所以 GF平面4 8 c.2.（2022辽宁抚顺）在正方体力 BCD-4 8 C Q 中，M,N,P 分别是4）*0 和g C 的中点求证:(DNP/平面(2)平面M N P/平面C C R D -【答案】(1)证明见解析(2)证明见

2、解析【解析】(1)连接8 C 1，G。，因 为 四 边 形 为 正 方 形，尸为AC中点，所以尸为8G中点，又因为N 为8。中点，所以N尸 CQ 因为N P U 平面C C Q Q,CQ u平面CG4。，所以凡尸平面CCQ Q，(2)连接/c,CR，因为四边形力8 C Z)为正方形，N 为B D 中 点 所以N 为/C中点.又因为A f 为/幺 中点，所以N C R 因为A/N0平面CCyDXD,CD,c 平面CQ D Q 所以“N /平面CQ 4。由(I)知NP/平面CGR。，又M N c P N =N，M N、P N u平面M N P，所以平面M N P/平面CCD、D.3.(2 0 2

3、2 江西南昌)两个全等的正方形488和N 8 E F 所在平面相交于N8,M&AC，NCK B，且AM =FN，过M作于，求证:平面A/N，/平面8C4（2）M N/平面 B C E.【答案】（1）证明见解析：（2）证明见解析.【解析】（I）在正方形8 C 中，B C 1 W则披乂平面8CE，8 C u 面B C E B C E .M H I IB C AM A H ,AM =F N A C =F B 2七 M C=NB,因此 平面，由 ，得=,而，则有，即M C H BF N =-A-M-=A H ，于丁是日得小 J NH/1A F /IB E ，又 N H ，因此，B C H PA D -

4、(2)证明：连接4 c交8 0卜点N,连接A/N,因为四边形工8 8为平行四边形，ACc B D =N，则N为4 c的中点，又因为A/为PC的中点，则尸Z A/N，-1 A P =/。，所以又BC u平面PBC,A D fz平面PBC,则力。/平面PBC；取%1点尸，连接产”，且叫皿由吟皿则 昉 3C且EF=5 C，则四边形8CE尸为平行四边形，则CE，又3 F u平面尸Z B，CE平面PAB，贝iJCE/平面0 8.9.（2 0 2 2 全国高一）如图，在几何体N8 C Z）跖 中，四边形/8 C。为平行四边形，G为FC的中点，平面平面 C D E F=E F证明:/尸 平面5 Z）G（2）

5、证明尸【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析.【解析】（1）连接/C交 8。于 连 接 OG.因为四边形488为平行四边形，所以N C、8。互相平分.又 G为尸C的中点，所以O G为三角形/C 尸的中位线，所以/因为O G U 面 B A G,/尸a 面B D G,所以 尸平面BD G-（2）因为四边形/8 C O 为平行四边形，所以4 B C D因为C D u而C D E F A B （t面C D E F，所以“台平面C ZJ E 尸因为力 8 U 面EF,而 C D E F Q i ftl A B E F =E F.所以/8/E E题组二空间几何中的垂直1.（2 0 2 2 全国高三专

6、题练习）在平行四边形/8 C Z）中Z8 =6,B C =4,过A点作C Z）的垂线交。的延长线于点E,4E=2百,连接EB交4 D于点、F,如 图 1,将A/D E 沿 折 起，使得点E 到达点P 的位置.如图2.证明：直线平面团7片【答案】证明见解析【解析】证明：图 中，在.放AB/EIL N8=6,/E =2 G,所以4 E 8 =60”所以8E=4QV：也是直角三角形，.DE=y/AD2-A E2=2：,些=些=显AB AE 3 ZAED=/EAB=90。:.AEB E D Z.EAD=Z.ABE/DAB+ZABE=/DAB+ZEAD=90 BE 工 A D，在图2 中，PF L 4D

7、,BF上4D,PF c BF=F，所以4D工面8F P2.（2022 全国高三专题练习）如图，四棱锥8 _/7）C 中，平面/E O C 1 平面/8 C，尸为8 c 的中点，P 为8。的中点，且 N E/O C，4 4 8 =90。，DC=AC=AB=2AE.证明：EP_L 平面BCZ)BD -匕【答案】证明见解析【解析】证明：如图,连接力由题意知A/8 C为等腰三角形，而产为BC的中点，所以NFL 8 c.乂因为平面 AED C 半面 A B C，H,ZACD=90，平面 ZEACIT平面 ABC=A C，DC u 半面 AEDC 所以。_平面4 8。而 AF a 平面ABC 所以F尸_

8、L C 而s c n o c =c，3C,Z)C u 平面BCZT 所以/F_L平面3CZT连、.母接 PF，则.PF/DC，PDFt7 =-1 D八C二,AEHDC，广 1 心、AEHPF.AE=PFH U ,AE=-D C,所以 H ,2所 以 是 平 行 四 边 形，Ar rL因此EP/4F，故EP L平面BCD-3.（2022全国高三专题练习）在四棱锥2 _ 4 8 c o中，底面ABCD,CD AB,AD=DC=CB=l,AB=2,DP=5 证明：BDX.PA【答案】证明见解析；【解析】证明：在 四 边 形/机 作0万,相:后，CF LAB F,因为 CD4B,4D=CD=CB=1,

9、4B=2,所以四边形/B C D为等腰梯形，所以力=8尸=,，2故DE=昱，8D=JC E+朝=6,2所以4/+8。2 =8 2 所以A D 1 B D 因为。_L 平例/B C D，BDu面A 8 C D，所以P DLBD，入 P D c A D =D，所以3 DJ L 平面 力。,又因为P/u平面P助以B D V P A 4.(2 0 2 2 上海松江二模)如图，在四棱锥产一4 8 C 0 中，底面1 8 C O 是矩形，叽 平 面 4 B C D，PA =A D =,A B =y i 尸是尸。的中点，点E 在棱。上.(1)求四棱锥p _ 4 8 C D 的全面积;(2)求证:P E L

10、A F 【答案】（1）3+唯+且；（2）证明见解析.2 2 2【解析】（1）；3C 力。，4 D J L 平面4 B P,.8C_L平 面 尸,:B C ._B P,:N P BC =9 O、同理可得/PDC=90。，,S 全=S底+SAPAB+SPB C+S4尸 0c+SAPAD 1 X 5/3 4-x（1 X V3+1 x 2 +y/2,x V3+1x1）=+.22 2 2（2）以，平面4 8 8,CDu平面46。，J.C D L PA,又 48C。是矩形，：.C D A D,：PA C A D=At.C0J_平面以D.,4R=平面以。，：.A F L C D.我=4。，点尸是尸。的中点，

11、Z尸，尸D又 C D C P D=D,平面PDC.尸Eu平面尸。，：,PE L A F.5.（2022河南信阳高中）如图所示，直三棱柱力B C-4用G中，M为8 C中点.求证：48平面4 G A 7；(2)若三棱柱力8 C-4 8 1 cl上下底面为正三角形，4 8 =6，4 4 1=3，求证：平面_ L 平面【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】(1)连接4C，与工 相交于点E连接“尸，则尸为4c 的中点，因为M 为8c 中点，所以M尸是 48c 的中位线，所以M F3 4B，因 为 板 u 平面AM G，4 8 a 平面AM Ce所以4 8 平面A MC,-力 跖(2)因为直三棱

12、柱/S C-4 8 1 G 上下底面为正三角形，8 =6,A A=3 所以C G =C M=8 历=3，所以 ZC M C,=4 B M B、=4 5 所以 ZBtM Ct=9 0，即 工 M CX-由三线合一可得:AM LBC又 因 为 J.平面“8C,/M u 平面/8 C，所以581 J.N M，因为8 C n 8 4 =8，所以ZM _L平面8 C C 4，因为片M u 平面8 C C 4，所以ZM 1 B、M因为=M所以与M_L平面4 M ，因为与M u 平面/U俎，所以平面/8 附 _L平面力。也6.(2022北京大兴)如图，在四棱锥p _/8 C 0 中，P/J 平面N 8 C

13、O,底面/8C O 为菱形，瓦尸分别为BC，尸 的中点.(1)求证：平面 P/C；求证：C/平面PZE；若平面P/E_L平面尸/),求Z J8C的大小，答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)60。【解析】因为P/J.面Z5CZT BD ABCD,所以PNJLBZM又因为底面18CO为菱形，所以83 L/C 又因为p/f1 4 C =/，所 以 皿_L平面尸4C 取G为尸区的中点，联结EG,G尸.在PZD中，G,尸 分 别 为 尸 的中点，所以GF 力D,G尸=L/W.2因为底面Z8C。为菱形，且E为BC的中点，所以 C7D,CE=；/1。.所以 C E G F,C E =GF，所以四边形

14、GFCE为平行四边形.所以E G/W因为CF a 平面P/E,EG u 平面PA E ,所以CF 平面因为P 4 J,平面4 D u 平面280所以因为平面E4E _L平面P A D.且平面P/E fl平面PA D =PA,A D u 平面P A D，所以J.平面PA E -所以,因为底面/S C O 为菱形，且 E 为5 C 的中点，所以CE/4所以=90则“BC是等边三角形 所以N/8C =6（T题组三空间几何中的定理辨析1.（2022上海虹口二模）已知/,是平面a 内的两条直线，/是空间的一条直线，则“/_La”是“/口 且 3/的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件

15、D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当/_La时,4 u a，4 u a,所以/_1_/目 _L 4；当且u a u a，但小 乙 是否相交无法判断，所 以 可 能 成 立，也可能不成立.综上,“/_La”是“/口 且/_L4”的充分不必要条件.故选：A.2.（2022 全国高三专题练习（文）在正方体4 8 8-4 B C R 中，E，尸 分 别 为 的 中 点，则（）A.平面片所_ 1平面B.平面与后尸，平面4 8 0C.平面耳E尸平面4ZC D.平面q E/平面4G。【答案】A【解析】解：在正方体力 BCD_481G A中，/IC _ L 8。且 DR 1 平面 ABCD，又E尸u

16、平面N8C。，所以EF_LO），因为瓦尸分别 为 的 中 点，所以EFIM C，所以E F 1B D，又 BDCDD、=D，所以E/_L平面8。，又E F u 平面81E/，所以平面B、EF 1 平面BDD、，故 A 正确；选项BCD解法一：如图，以点口为原点，建立空间直角坐标系，设“8=2，则 B、（2,2,2）,E（2,l,0）,F（l,2.0）,5（2,2,0），4（2,0,2）,N（2,0,0）,C（0,2,0），G（022），则 际=（-1,1,0）,函=（0,1,2），丽=（2,2,0）,西=（2,0,2），卷=(O,0,2),太=(-2,2,0),布=(-2,2,0),设平面用E

17、 F的法向量为碗=(再,必当)，则有|玩而=_ 占+乂=0,可取机=(2,2,-1),i n-E B=必 +2 Z=0同理可得平面4双 的法向量为1=(1,-1,-1)，平面A.A C的法向量为稔=(1,1,0)，平面4G。的法向量 为&=(1,1,7)，则 m-n=2-2 +1 =1二。所 以 平 面 与 平 面480不垂直，故B错误;因为百与三不平行，所以平面B E F与平面A,A C不平 行,故C错误;因为 蓝 与 不 平行,所以平面巴E F与平面4G。不平行，故D错误,故选：A.选项B C D 解法二：解：对于选项B,如图所示，设4 8 n q E =M，EFCBD=N，则MN为平面片

18、下与平面/田。的交线，在 8 M N 内，除BP LM N 1点P，在AEMN内，作G P L M N 父EN点 G 连雄8G，则N 8 P G 或其补角为平面片欧与平面4 8 0 所成二面角的平面角，由勾股定理可知：PB+PN，=BN，PG2+PN2=GN2,底面正方形 8 C Z）中，E,尸为中点，则火工出），由勾股定理可得N 炉+N G?-BG2,从而有：NB2+NG2(PB2+PN2)+(PG2+PN2)=BG2 据此可得PB +P G1*B G2,即Z B P G*90，据此可得平面4 转 1 平面4B O 不成立，选项B 错误;对于选项C,取4 片的中点，则N Z/|8|E，由 于

19、 与 平 面 4 4 C 相交，故 平 面 尸平面力/C 不成立，选项C 错误;对于选项D,取力。的中点M,很明显四边形4 4 五忖为平行四边形，则/，由于4 邮 与平面4 G o 相交，故平面片 后 尸 平面4G。不成立，选项D 错误;故选：A.3.（2022安徽省舒城中学三模（理）设机，是不同的直线，a,0，/是不同的平面，则下面说法正确的是（）A.右a _ L p，a _ L y，则p/yB.若 a_L/?,ml la，则加 _LC m A-a /?则 a_l_pD-若，/u a，则加/a【答案】C【解析】A：由&j_/?，a _ L y，则e“丫或p y相交,错误；B：由a_L）0，m

20、l la i则，/6 或加u夕或叽？相交，错误;C：由,熊/，则存在直线/u夕 1/加，而加j_ Q则/j_ a，根据面面垂直的判定易知&j_6，正确;D：由机/，u a，则机/a 或加u a，错误.故选：C4（2022全国高三专题练习（理）已知a是正方体NBCZ）_/G Z）1的中心。关于平面481G A 的对称点，则下列说法中正确的是（）A.与4 c 是异面直线B.QG 平面 4BCAc-O.C,1 A DD-QG_L平面【答案】B连接4。、A C,交丁一点。，连接4 G、BR，交于点P.连接 N C、BD、4 2、R C、0,0由题可知，。在平面4 C C/匕 所以Q G 与4 c 共面

21、，故 A 错误：在四边形O O CC中，O|O C|C且。Q =C1C，所以四边形O O C C 为平行四边形.OXCXH O C.O C U 平面 A B C D ，C,a u a,b u p，则 a_L/?若a B，a u a,b u 0，则ab若a,a ua,6_L 夕,则；L石若夕，则a 夕其中为真命题的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】中，a b,a ua,b u/3,则平面。与平面?可 能 平行，可能相交也可能垂直，故错误;中，a B，a u a,b u。，直线。与直线b 可能平行，异面或者垂直，故错误；中，a 仇a u a 力，夕,则人，a,故；力故正确；中，a仇a l a

22、,b i p，则a 夕，故正确故选：C.6.（2022 湖北华中师大一附中模拟预测）如图，正方体/8 C O-4 4 G 2 中，P 是4。的中点，则下列说法正确的是（）A.直线尸8 与直线Z Q 垂直，直线尸8 平面耳2 cB.直线尸8 与直线q c 平行，直 线 网，平面4CQc.直线2 8与直线/c异面，直线尸8 _ L平面Z O C 4D.直线尸8与直线3a相交，直线尸8u平面4 B Q【答案】A【解析】连接。仇4瓦A 5 1,Z)I C,8 C：由正方体的性质可知5 4 =8。，P是4。的中点，所以直线P 3与直线4。垂直；由正方体的性质可知D B MD B、,A B”D、C，所 以

23、 平 面/平面8aC，正确;又P B u平 面 所 以 直 线 尸8平面，故A正确；,O：A B以“为原点，建立如图坐标系，设正方体棱长为1,丽=(g显然直线P 8与直线q c不平行，故B不正确；;为尸V、AUL BX直线网 与直线“0异面正确，E =(l,。,。)，丽而手。，所以直线P B与 平 面 不 垂 直，故c不直线尸8 与直线4 A 异面，不相交，故 D 不正确;故选：A.7.（2022全国高三专题练习）如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形月8。为正方形，E,F分别为 我，的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：直线BE与直线C尸异面；直线8 E 与直线力尸异面；直线后 尸 平面尸8C；平面8CE_L平面R1D其中正确结论的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】画出该几何体，如图所示，因为E,尸分别是以，的中点，所以EF/D,所以E F B C,直线8E 与直线C k是共面直线，故不正确；直线8 E 与直线/尸满足异面直线的定义，故正确；由,尸分别是以，的中点，可知E F“AD,所以E F B C,因为E F g 平面P8C,8C、u 平面P8C,所 以 直 线 平 面 尸 8 C,故正确；因为8 E 与我的关系不能确定，所以不能判定平面8 C E,平面以。，故不正确.所以正确结论的个数是2.p故选：B