高中数学选2第2课时函数的最大(小)值.pdf

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1、第2课时 函数的最大(小)值基础过关练题组一 函数最大(小)值的概念及其求解1.设f (x)是区间 a,b上的连续函数,且在(a,b)内可导,则下列结论中正确的是()A.f(x)的极值点一定是最值点B.f(x)的最值点一定是极值点C.f (x)在区间 a,b上可能没有极值点D.f(x)在区间 a,b上可能没有最值点2.(2 0 2 0北京清华附中高二下期末)函数f(x)=x-e的最小值是()A.-1B.-eC.-eD.不存在3.(2 0 2 0浙江杭州六校高二下期中)已知函数f (xh x T Z x,x e -3,3 ,则f(x)的最大值为()A.-9B.-1 6C.1 6D.94 .如图是

2、函数y=f(x)在区间 a,b 上的图象,写出函数的极大值、极小值、最大值和最小值.5 .(2 0 2 0 黑龙江佳木斯一中高二上期末)求函数f (X)=X3-12X+6,XG -3,3 的单调区间,并求函数f (x)的最值.题组二 含参函数的最大(小)值问题6 .若函数f (x)=as i n x+2 s i n 3 x在x音处有最大(小)值，则a等于()A.2 B.1 C.D.037 .若函数f (xh-x+m x+l (m/O)在区间(0,2)上的极大值为最大值,则m的取值范围是()A.(0,3)B.(-3,0)C.(-8,-3)D.+8)28.已知函数y=*(x l)有最大值-4,则a

3、 的值为()A.1 B.-1 C.4 D.-49.(2 0 2 0 浙江杭州高二下期中)函数f(x)=x3-3 ax-a在(0,1)内有最小值,则a 的 取 值 范 围 为.1 0.已知a 是实数,函数f (x)=x2(x-a),求 f (x)在区间 0,2 上的最大值.题组三 利用函数的最大(小)值解决不等式问题1 1.已知函数f (x)=x2-2 1 n x,若在定义域内存在x。,使得不等式f (X o)-m W O成立,则实数m的最小值是()A.2 B.-2 C.1 D,-11 2 .已知函数f(x)=上*在区间 1,+8)上为减函数,则实数a 的取值X范围为.1 3 .设函数 f (x

4、)=l n x-x+l.求函数f(x)的极值；证明：l n xW x-L1 4 .已知函数 f (x)=xl n x.求 f(x)的最小值；若对任意xl,都有f(x)2 axT,求实数a 的取值范围.题组四 利用导数解决生活中的优化问题1 5.某产品的销售收入力 （万元）是产量x（千台）的函数,且函数解析式为yi=1 7 x2（x 0）,生产成本丫2（万元）是产量x（千台）的函数,且函数解析式为y2=2 xL x2（x 0）,要使利润最大,则该产品应生产（）A.6千 台B.7千 台C.8千 台D.9千台1 6 .某批发商以每吨2 0元的价格购进一批建筑材料,若以每吨M元零售，销量N（单位:吨）

5、与零售价M（单位:元）有如下关系:N=83 0 0-1 7 0 M-M2,则该批材料零售价定为 元时利润最大，利润的最大值为 元.1 7 .时下，网校教学越来越受广大学生的喜爱,它已经成为学生课外学习的一种方式.假设某网校的套题每日的销售量y（单位:千套）与销售价格x（单位:元/套）满足关系式:y*+4（x-6）2,其中2 x6,m为常数,X-2已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题2 1千套.（1）求m的值；假设网校的员工工资、办公费用等所有开销折合为每套题2元（只考虑售出的套题）.试确定销售价格x为何值时，网校每日销售套题所获得的利润最大.（保留1位小数）1 8.将一块2 m X 6 m

6、的矩形钢板按如图所示的方式划线,要求至全为矩形,沿线裁去阴影部分,把剩余部分焊接成一个以为底,为盖的水箱,设水箱的高为x m,容积为y m:i.写 出y关于x的函数关系式；(2)当x取何值时,水箱的容积最大？能力提升练题组一函数最值问题的求解与应用1.(2 0 2 0重庆九校联盟高二上期末联考,)若直线l:x=a与函数f(x)=x 2+l,g(x)l n x的图象分别交于点P、Q,当P、Q两点距离最近时，a=()A.B.C.1 D.-2 2 22.(2 0 2 0重庆七校联盟高二上期末联考,)已知函数f(x)的定义域为T,5 ,部分对应值如下表：-1045f(x)1 2 2 1y=f (x)的

7、导函数y=f (x)的图象如图所示:给出下列关于函数f(x)的命题：函数y=f (x)是周期函数；函数f (x)在 0,2 上是减函数；如果当x T,t 时,f(x)的最大值是2,那么t 的最大值为4;当K a 0)xz+a在1,+8)上的最大值为今则a的值为()A.V 3-1 B.-C.-D.V 3+14 36.(2 0 1 9 吉林高二期末,*：)函数f (x)=a x,-4 a x3+b(a 0),x e l,4 ,f(x)的最大值为 3,最小值为-6,则ab=.7.(#?)已知函数 f (x)=-2 a l n x+T x 2+a x (a G R).若 a=l,求曲线y=f (x)在

8、点(1,f (1)处的切线方程；求函数f(x)的单调区间；当 a 0,恒有I n x W p x T (p 0),则p的取值范围是()A.(0,1 B.(1,+8)C.(0,1)D.1,+8)9.(#?)已知 f (x h l n G l),g(x)=Q m,若V x.e 0,3 ,3 X2e 1,2 ,使得f(X 1)V g(x，则实数m的取值范围是()A，+8)B,(-0 0,1C.I，+8)D.10.(多选)(*)定义在R 上的函数f (x),若存在函数g(x)=ax+b (a,b为常数)，使得f (x)晨x)对一切实数x 都成立,则称g (x)为函数f (x)的一个承托函数,下列命题中

9、正确的是()A.函数g(x)=-2 是函数f(x)。的一个承托函数B.函数g(x)=x T是函数f (x)=x+si n x 的一个承托函数C.若函数g(x)=ax 是函数f (x)=e”的一个承托函数,则a 的取值范围是 0,e D.值域是R 的函数f(x)不存在承托函数11.(2 0 2 0 河北保定高二上期末,)已知函数f (x)=si n x T,g(x)=l n x-x,若对任意 x R 都存在(1,e)使f (x)g(X 2)成立,则实数a 的 取 值 范 围 是.深度解析12.(2 0 2 0 北京西城高三第一学期期末,*?)已知函数f (x)=e、-ax+2,其中a-l.(1)

10、当a=0 时,求曲线y=f (x)在点(0,f (0)处的切线方程；当 a=l 时,求函数f(x)的单调区间；(3)若 f (x)|x2+x+b 对任意xGR 恒成立,求b-a的最大值.题组四利用导数解决生活中的优化问题13.(*：)某公司生产某种产品，固定成本为2 0 0 0 0 元,每生产一单位产品，成本增加10 0 元，已知总营业收入R(元)与年产量x(万吨)的关系是R(X)=4 0 W/，0工x 4 4 0 0,则总利润最大时,年产量是()18 0 0 0 0,%4 0 0,A.10 0 万吨 B.150 万吨C.2 0 0 万吨 D.3 0 0 万吨14.(*)现有一个帐篷,它下部分

11、的形状是高为1m 的正六棱柱,上部分的形状是侧棱长为3 m 的正六棱锥(如图所示).当帐篷的体积最大时，帐篷的顶点0到底面中心0.的距离为()3A.I m B.-m C.2 m D.3 m215.(*?)某厂生产x 件某种产品的总成本为c(x)=(12 0 0 +Q 3)(万元)，已知产品单价的平方与产品件数x 成反比,生产10 0 件这样的产品单价为50 万元,则产量定为 件时,总利润最大.16.(2 0 19山东泰安高三上期中，*)如图,A 0 B 是一块半径为r的扇形空地，Z B 0 G=J,N A 0 B=?某单位计划在空地上修建一个矩形的活动场6 2地 0 C D E 及一矩形停车场

12、E F G H,剩余的地方进行绿化.设N A 0 D=0 .记活动场地与停车场占地总面积为f (0 ),求 f (0 )的表达式；当 c o s 0为何值时,可使活动场地与停车场占地总面积最大？答案全解全析基础过关练1.C 根据函数的极值与最值的概念知，选项A,B,D都不正确.故选C.2.C 由题意得，f (x)=eX+x ex=(l+x)e.令 f(x)=0,得 x=-l.当 x -l 时,f(x)-l 时,f(x)0,f(x)单调递增.因 止 匕 f(x)在 x=-l处取得极小值也是最小值,且最小值为f 故e选 C.3.C 由题意得,f (x)=3x 2-12,令 f (x)=0,解得 x

13、=2,易知 f(x)在-3,-2 上单调递增,在-2,2 上单调递减,在 2,3 上单调递增，又f(-2)=16,f(3)=-9,所以f(x)的最大值为16,故选C.4 .解析 由题图可知y=f(x)在X i,X 3处取极小值,在X 2处取极大值,所以极小值为f(x j,f(x j,极大值为f 3);比较极值和端点值可知函数的最小值是f(x3),最大值在b处取得,最大值为f(b).5 .解析 依题意得 f(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2),令 f (x)=0,得 x=-2或 x=2,列表如下：X-3(-3,-2)-2(-2,2)2(2,3)3f(X)+00+f(X)15722-10/

14、-3所以函数f(x)在(-3,-2)和(2,3)上是增函数,在(-2,2)上是减函数,且函数f(x)的最大值是22,最小值是-10.6.A ；f(x)在xg处有最大(小)值，x三是函数f(x)的极值点.又f(x)=a c o s x+c o s 3x (x R),f O=a c o s g+c o s 弘=0,解得 a=2.7.A 由题得 f (x)=-3x 2+2mx,令 f (x)=0,得 X=”或 x=0(舍去)，因为f(x)在区间(0,2)内的极大值为最大值,所以等 (0,2),即0 竽2,所以0 m 3.8.B依题意得y，=(耳=义 平 警 M生等令y =0,解X-1 J(x-1)2

15、(x-1)2(x-l)2J得x=2或x=0 (舍去).若函数在区间(1,+8)上有最大值-4,则最大值必然在x=2处取得,所以手=-4,解得a=-1,此时y 二 笔，(X-1)2当lx 0,当x 2时,y 0,可以验证当x=2时y取得最大值-4,故选B.9.答 案(0,1)解析 由题意得,f (x)=3x 2-3a,令 f，(x)=0,得 x2=a.V x e (0,1),.要使f(x)在(0,1)内有最小值,只需0 迎 1,即0 al.当 oxV H时,f (x)o,可以验证当 x=V H时f(X)取得最小值,故a的取值范围是(0,1).10.解析 由题意得，f (x)=3x?-2a x.令

16、 f(x)=0,得 x=0 或 x号.当号w o,即a W O 时，f(x)在 0,2 上单调递增,从而f(x)ma x=f(2)=8-4 a.当早22,即a 2 3 时,f(x)在 0,2 上单调递减,从而f(x)ma x=f(0)=0.当0 y 2,即0 a 2).11.C由题可知，函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)=2x-.令Xf (x)=0,得 x=l 或 x=T(舍).当 x (0,1)时，f (x)0.所以当x=l时,f(x)取得极小值,也是最小值,且最小值为 1.由题意知m21,因此实数m 的最小值为1.12.答 案 e,+)解析 由题意得,f (x)=-x3；+lnx)

17、j(ma；lnx).因为 f&)在 口,+8)上为减函数,所以f(x)WO在 1,+8)上恒成立，即 lna 21-lnx 在 1,+)上恒成立,令g(x)=l-lnx,易知函数g(x)=l-lnx 在区间 1,+8)上单调递减,所以 g(x)ma x=g(l)=l,故 I na l,即 a 2e.13.解析 由题意得，函数f(x)的定义域为(0,+8),为(x)=l=X X令 f (x)=0,得 x=l.当X 变化时,f(X),f(x)的变化情况如下表：X(0,1)1(1,+)f(X)+0f(x)极大值因此,当x=l时，函数f(X)有极大值,且极大值为f(1)=0.证明：由可知函数f(x)在

18、 x=l处取得最大值,且最大值为0.即 f(x)=lnx-x+lW 0,得 I nx W x-l.14 .解 析(1)易知 f(x)的定义域为(0,+8),F(x)=l+lnx.令 f(x)0,解得 x-e,令 ef(x)0,解得 0 x 0),y =-6 xJ+36 x=-6 x (x-6).令 y =0,解得x=0(舍去)或x=6,经检验知x=6 既是函数的极大值点又是函数的最大值点，.应生产6 千台该产品.16 .答案 30:230 0 0解析 设该商品的利润为y 元，由题意知，y=N (M-20)5 0 M2+117 0 0 M-16 6 0 0 0,则 y =-3M 2-30 0 M

19、+117 0 0,令 y =0,得 M=30 或 M=-130 (舍去),当(0,30)时,y 0,当(30,+8)时,y*0,因此当M=30 时,y 取得极大值,也是最大值,且yma x=230 0 0.17 .解 析(1)由题意知当x=4 时，y=21,代入 y=+4 (x-6)得叫4 6=21,解得 m=10.X-2 2设每日销售套题所获得的利润为f(X)元.由可知,套题每日的销售量y=V+4 (x-6)2,2 x 6,x-2所以每日销售套题所获得的利润f(x)=(X-2)骂4-4(X-6)2=10+4(X-6)2(X-2)=4X3-56X2+240X-278(2X6),则 f(x)=1

20、2x-112x+24 0=4(3x-10)(x-6)(2 x 0,函数f(x)单调递增;当x (三,6)时 一,f (x)0,函数f(x)单调递减，所以x=?是函数f(x)在 6)内的极大值点，也是最大值点，所以当x 言 3.3 时，函数f(x)取得最大值.故当销售价格为3.3 元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.1 8 .解 析(1)由水箱的高为x m,得水箱底面的宽为(2-2 x)m,长为上=(3-x)m.2故水箱的容积y=(2-2 x)(3-x)x=2X3-8X2+6X(0X 0),则h，(x)=2 x-；学,令 h (x)=0,得 4x 2-1=0,解得 x 4(负值舍去).2

21、x 2x 2当x 在(0,+8)上变化时,h (X)与 h (x)的变化情况如下表：X(磺21修 十0 )h (x)0+h(x)极小值/因此，当I PQ I最小时a的值为今故选D.2.A由函数f (x)的定义域为 T,5,知函数y=f (x)不是周期函数，故错误；由题图知在 0,2 上 F (x)W 0,故 f (x)在 0,2 上单调递减,故正确;依题意可画出函数f (x)的大致图象如图所示：如果当x e -1,t 时,f(x)的最大值是2,那么t 的最大值为5,故错误；当x=2 时,f (2)的值不确定，故 l a 3,所以函数f (x)的单调递减区间为(-8,-1),(3,+8).(2)

22、因为 f(-2)=8+1 2-1 8+a=2+a,f (2)=-8+1 2+1 8+a=2 2+a,所以 f(2)f(-2).因为在(-1,3)上 f (x)0,所以f(x)在 上 单 调 递 增.又 f(x)在 上 单 调 递 减，所以f (2)和 f (-1)分别是f (x)在区间-2,2 上的最大值和最小值，于是有2 2+a=2 0,解得a=-2.故 f (x)=-X3+3X2+9X-2,因此 f(T)=l+3-9-2=-7,即函数f(x)在区间-2,2 上的最小值为-7.4.D 函数 f (X)X3+X2 T 的导函数为 f (x)=x，2 x,令 f (x)=0,得x=-2 或 x=

23、0,故 f (x)在(-8,2),(0,+8)上单调递增,在(-2,0)上单调递减，则 x=0 为极小值点,x=-2 为极大值点.由f (x)在区间(m,m+3)上存在最小值，可得 m 0 m+3,解得此时f (m)=|m3+m-l=|m?(m+3)-1 -I=f (0),因此实数m 的取值范围是(-3,0),故选 D.25.A 由 f (x)=M导,f (x)-a ,当 a l 时，若 x V ,则xz+a (xz+a)zxx,若 a=0,则 f (x)=x 0,f (x)的单调递增区间为(0,+8).若 a 0,f (x)0,f (x)单调递减,若Kx 0,f (x)单调递增,故当X=G

24、时，函数f (x)有最大值=得 a=0),x 1,4,f(x)=4a x -l 2 a x；令 4a x:i-1 2 a x2=0,解得 x=0 或 x=3,f (l)=b-3a,f(3)=b-2 7 a,f(4)=b,且 a 0,b-2 7 a b-3a 0,当 x (0,a)时,f (x)0,，f(x)的单调递减区间为(0,a),单调递增区间为(a,+8).由 知，当a 0 时,f(x)的单调递减区间为(0,-2 a),单调递增区间为(-2 a,+8).当-2 a W l,即彳忘水0 时,f (x)在 1,e 上单调递增,贝!Jf (x),ni n=f (l)=|+a;当 l -2 a e

25、,即时,f (x)在(1,2 a)上单调递减,在(-2 a,e)上单调递增，则 f (x)mi n=f (-2 a)=-2 a2l n (-2 a);当-2 a e,即a W-|时,f (x)在 1,e 上单调递减,贝U2f (x)mi n=f (e)=-2 a2+y+a e.综上，f-+a,-a 0,2 2f (x)*n=-2 a 2 1 n(-2 a),-|a 0 时，f(x)=l n x e (一 8,+8),-.f(x)g(x)=-2 对一切实数x 不一定都成立，故A 错误.令 t (x)=f (x)-g(x),则 t(x)=x+si n x-(x T)=si n x+1 2 0 恒成

26、立，函数g(x)=x-l 是函数f (x)=x+si n x 的一个承托函数,故B 正确.令 h (x)=ex-a x,则 h (x)=e -a,若 a=0,由题意知，结论成立.若 a 0,令 h (x)=0,得 x=l n a,.函数h(x)在(-8,i n a)上为减函数,在(In a,+8)上为增函数，当x=l n a 时，函数h (x)取得极小值,也是最小值,为a-a l n a,.,g(x)=a x 是函数 f(x)=e*的一个承托函数，.a-a l n a e o,.In a W l,0 a W e.若 a 0,此时 l n x 0,所以a 0,因此问题可转化为存在x e (1,使

27、则成立，a x设 h(x)坐 则h(x).x a对 h(x)求导得h(x)上粤,当 x (1,e)时,h(x)0,h(x)单调递增,所以h(x)2e,e a e所以实数a的取值范围是(2e,+8).解题模板易错警示分离参数求解不等式恒成立问题的步骤:12.解 析(1)当 a=0 时,f (x)=e+：x；贝 ij f (x)=e+x,所以f (0)=1,f (0)=1.所以曲线y=f (x)在点(0,f (0)处的切线方程为x-y+l=0.(2)当 a=l 时，f (x)=ex-x+|x 则 f (x)=e*T+x.因为f (0)=0,且 f (x)=e、T+x 在(-8,+8)上单调递增，所

28、以当x 0 时,f 以)0,f (x)单调递增，当x 0 时,f 以)-l).当x 变化时,g(x)与 g(x)的变化情况如下表所示：X(-8,I n(a+1)I n(a+1)(I n(a+1),+)g(x)0+g(x)极小值所以g(x)在(-8,i n(a+1)上单调递减,在(I n(a+1),+8)上单调递增.所以函数 g(x)的最小值为 g(I n(a+1)=(a+1)-(a+1)I n(a+1)-b.由题意,得 g(ln(a+l)20,即 b-a Wl-(a+1)I n(a+1).设 h(x)=l-x lnx (x 0),则 h(x)=T nx T.因为当0&己时,-1蚀-1 0;当*

29、升时,-1”-1 0,e e所以h(x)在(o,)上单调递增,在 +8)上单调递减.所以当 X时,h(X)m a x=h(i)=l+-.e e/e所以当 a+1 A b=a+l-(a+l)I n(a+1),即 a=-l,b 时，b-a 有最大值,e e e最大值为1+-e.13.D当年产量为x万吨时，总成本为(20 0 0 0+10 0 x)元，总利润为f (x)兀,；总利润、4 0 0X-X2-20 0 0 0-10 0X,0 x 4 0 0,即 f(x)=3 0 0 x-|x2-20 0 0 0,0 x 4 0 0,所以f (x)=r 3 0 0-%,0 x 4 0 0,当 0 W x W

30、 4 0 0 时，令 f (x)=0,得 x=3 0 0,由f (x)0得0 x 4 0 0时，f (x)是减函数，.f(x)6 0 0 0 0-10 0 X 4 0 0=20 0 0 0,.当x=3 0 0时，f (x)有最大值.故选D.14.C 设 0 0 1 为 x m,则 l x 4,设底面正六边形的面积为S m 帐篷的体积为V m3.则由题设可得,正六棱锥底面边长为4 3 2-0 1)2=4 8 +2%-%2位)，于是 S=6 X f(V 8 +2x-x2)2=(8+2 x-x)所以V=-X (8+2x-x2)(x-l)+X (8+2x-x2)=(8+2x-x2)(x-1)+3 =(

31、3 2 2 2 216+12x-x3)(Kx 4),则 v=在（12-3x2）.2令v，=0,解得X=2或x=-2（舍去）.当lx0,V单调递增;当2x4时,V 0.设总利润为y万元,贝I丫 二 平 X-1 2 0 0-X3=5 0 0 VX-X3-1 2 0 0,yX 75 75则 y=-x2.令 y=0,得 x=25.故当 0 x0;当 x25 时，y 0.因此当x=25时，函数y取得极大值,也是最大值.16.解 析（1）由题意得，在矩形0CDE中，ZA0D=9，:.OC=rcos 9,0E=rsin 9,矩形 0CDE 的面积为 S 矩 形O CDE=OC，0E=r2sin 0 cos

32、9.又NB0G=J四边形EFGH是矩形，6HG=rsin-=-,0H=rcos-=,6 2 6 2HE=OH-OE=r(y-sin。)，矩形 EFGH 的面积为 S 矩 形EFGH=HG-H E=y(-sin0),.f(0)=S 矩 形 O C D E+S 矩 形EFGI1=r2s i n 9 c o s 9 +y 管-s i n。)=r s i n0 c o s 0-|s i n0 +Y),0 4。*(2)由(1)可得，f (9 )=r2(c o s2 9 -s i n2 9 _|c o s 9)r2,(4 c o s-0 -c o s 9 -2),令 f (8 )=0,得 4 c o s2 9 -c o s 9 -2=0,解 得c o s 9 =空 至或c o s。=斗亘（不合题意，舍去），8 8令c o s 3上 汽 则0oG（O）.当 9 e（0,。）时,f （。）0,一。）单调递增;当 9 （。0，时，f（e）O,f（。）单调递减，.当0 =8。时,f（6）取得最大值，即c o s 0 =匕咨时,可使活动场地与停车场占地总面积最大.O