2020年四川省高考数学(理科)试题及参考答案.pdf
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1、2020 年全 国统 一高 考数 学试 卷(理科)(新课 标)一、选 择 题(共 1 2 小 题).1 已 知 集 合 A(x,y)|x,y N*,y x,B(x,y)|x+y 8,则 A B 中 元 素 的 个数 为()A 2 B 3 C 4 D 62 复 数 的 虚 部 是()A B C D 3 在 一 组 样 本 数 据 中,1,2,3,4 出 现 的 频 率 分 别 为 p 1,p 2,p 3,p 4,且 p i 1,则 下 面四 种 情 形 中,对 应 样 本 的 标 准 差 最 大 的 一 组 是()A p 1 p 4 0.1,p 2 p 3 0.4 B p 1 p 4 0.4,p
2、 2 p 3 0.1C p 1 p 4 0.2,p 2 p 3 0.3 D p 1 p 4 0.3,p 2 p 3 0.24 L o g i s t i c 模 型 是 常 用 数 学 模 型 之 一,可 应 用 于 流 行 病 学 领 域 有 学 者 根 据 公 布 数 据 建 立 了某 地 区 新 冠 肺 炎 累 计 确 诊 病 例 数 I(t)(t 的 单 位:天)的 L o g i s t i c 模 型:I(t),其 中 K 为 最 大 确 诊 病 例 数 当 I(t*)0.9 5 K 时,标 志 着 已 初 步 遏 制疫 情,则 t*约 为()(l n 1 9 3)A 6 0 B
3、6 3 C 6 6 D 6 95 设 O 为 坐 标 原 点,直 线 x 2 与 抛 物 线 C:y2 2 p x(p 0)交 于 D,E 两 点,若 O D O E,则 C 的 焦 点 坐 标 为()A(,0)B(,0)C(1,0)D(2,0)6 已 知 向 量,满 足|5,|6,6,则 c o s,+()A B C D 7 在 A B C 中,c o s C,A C 4,B C 3,则 c o s B()A B C D 8 如 图 为 某 几 何 体 的 三 视 图,则 该 几 何 体 的 表 面 积 是()A 6+4 B 4+4 C 6+2 D 4+29 已 知 2 t a n t a
4、n(+)7,则 t a n()A 2 B 1 C 1 D 21 0 若 直 线 l 与 曲 线 y 和 圆 x2+y2 都 相 切,则 l 的 方 程 为()A y 2 x+1 B y 2 x+C y x+1 D y x+1 1 设 双 曲 线 C:1(a 0,b 0)的 左、右 焦 点 分 别 为 F 1,F 2,离 心 率 为 P是 C 上 一 点,且 F 1 P F 2 P 若 P F 1 F 2 的 面 积 为 4,则 a()A 1 B 2 C 4 D 81 2 已 知 55 84,1 34 85 设 a l o g 5 3,b l o g 8 5,c l o g 1 3 8,则()A
5、 a b c B b a c C b c a D c a b二、填 空 题:本 题 共 4 小 题,每 小 题 5 分,共 2 0 分。1 3 若 x,y 满 足 约 束 条 件 则 z 3 x+2 y 的 最 大 值 为 1 4(x2+)6的 展 开 式 中 常 数 项 是(用 数 字 作 答)1 5 已 知 圆 锥 的 底 面 半 径 为 1,母 线 长 为 3,则 该 圆 锥 内 半 径 最 大 的 球 的 体 积 为 1 6 关 于 函 数 f(x)s i n x+有 如 下 四 个 命 题:f(x)的 图 象 关 于 y 轴 对 称 f(x)的 图 象 关 于 原 点 对 称 f(x
6、)的 图 象 关 于 直 线 x 对 称 f(x)的 最 小 值 为 2 其 中 所 有 真 命 题 的 序 号 是 三、解 答 题:共 7 0 分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。第 1 7 2 1 题 为 必 考 题,每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答。第 2 2、2 3 题 为 选 考 题,考 生 根 据 要 求 作 答。(一)必 考 题:共6 0 分。1 7 设 数 列 a n 满 足 a 1 3,a n+1 3 a n 4 n(1)计 算 a 2,a 3,猜 想 a n 的 通 项 公 式 并 加 以 证 明;(2)求 数 列 2na
7、n 的 前 n 项 和 S n 1 8 某 学 生 兴 趣 小 组 随 机 调 查 了 某 市 1 0 0 天 中 每 天 的 空 气 质 量 等 级 和 当 天 到 某 公 园 锻 炼 的 人次,整 理 数 据 得 到 下 表(单 位:天):锻 炼 人 次空 气 质 量 等 级 0,2 0 0(2 0 0,4 0 0(4 0 0,6 0 0 1(优)2 1 6 2 52(良)5 1 0 1 23(轻 度 污 染)6 7 84(中 度 污 染)7 2 0(1)分 别 估 计 该 市 一 天 的 空 气 质 量 等 级 为 1,2,3,4 的 概 率;(2)求 一 天 中 到 该 公 园 锻 炼
8、 的 平 均 人 次 的 估 计 值(同 一 组 中 的 数 据 用 该 组 区 间 的 中 点 值为 代 表);(3)若 某 天 的 空 气 质 量 等 级 为 1 或 2,则 称 这 天“空 气 质 量 好”;若 某 天 的 空 气 质 量 等级 为 3 或 4,则 称 这 天“空 气 质 量 不 好”根 据 所 给 数 据,完 成 下 面 的 2 2 列 联 表,并根 据 列 联 表,判 断 是 否 有 9 5%的 把 握 认 为 一 天 中 到 该 公 园 锻 炼 的 人 次 与 该 市 当 天 的 空 气质 量 有 关?人 次 4 0 0 人 次 4 0 0空 气 质 量 好空 气
9、质 量 不 好附:K2P(K2 k)0.0 5 0 0.0 1 0 0.0 0 1k 3.8 4 1 6.6 3 5 1 0.8 2 81 9 如 图,在 长 方 体 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 中,点 E,F 分 别 在 棱 D D 1,B B 1 上,且 2 D E E D 1,B F 2 F B 1(1)证 明:点 C 1 在 平 面 A E F 内;(2)若 A B 2,A D 1,A A 1 3,求 二 面 角 A E F A 1 的 正 弦 值 2 0 已 知 椭 圆 C:+1(0 m 5)的 离 心 率 为,A,B 分 别 为 C 的 左、右 顶 点(1)求
10、C 的 方 程;(2)若 点 P 在 C 上,点 Q 在 直 线 x 6 上,且|B P|B Q|,B P B Q,求 A P Q 的 面 积 2 1 设 函 数 f(x)x3+b x+c,曲 线 y f(x)在 点(,f()处 的 切 线 与 y 轴 垂 直(1)求 b;(2)若 f(x)有 一 个 绝 对 值 不 大 于 1 的 零 点,证 明:f(x)所 有 零 点 的 绝 对 值 都 不 大 于1(二)选 考 题:共 1 0 分。请 考 生 在 第 2 2、2 3 题 中 任 选 一 题 作 答。如 果 多 做,则 按 所 做 的 第一 题 计 分。选 修 4-4:坐 标 系 与 参
11、数 方 程 2 2 在 直 角 坐 标 系 x O y 中,曲 线 C 的 参 数 方 程 为(t 为 参 数 且 t 1),C 与坐 标 轴 交 于 A,B 两 点(1)求|A B|;(2)以 坐 标 原 点 为 极 点,x 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系,求 直 线 A B 的 极 坐 标 方 程 选 修 4-5:不 等 式 选 讲 2 3 设 a,b,c R,a+b+c 0,a b c 1(1)证 明:a b+b c+c a 0;(2)用 m a x a,b,c 表 示 a,b,c 的 最 大 值,证 明:m a x a,b,c 参考答案一、选 择 题:本 题 共 1
12、 2 小 题,每 小 题 5 分,共 6 0 分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中,只 有 一项 是 符 合 题 目 要 求 的。1 已 知 集 合 A(x,y)|x,y N*,y x,B(x,y)|x+y 8,则 A B 中 元 素 的 个数 为()A 2 B 3 C 4 D 6【分 析】利 用 交 集 定 义 求 出 A B(7,1),(6,2),(5,3),(4,4)由 此能 求 出 A B 中 元 素 的 个 数 解:集 合 A(x,y)|x,y N*,y x,B(x,y)|x+y 8,A B(x,y)|(7,1),(6,2),(5,3),(4,4)A B 中 元 素 的
13、 个 数 为 4 故 选:C 2 复 数 的 虚 部 是()A B C D【分 析】直 接 利 用 复 数 代 数 形 式 的 乘 除 运 算 化 简 得 答 案 解:,复 数 的 虚 部 是 故 选:D 3 在 一 组 样 本 数 据 中,1,2,3,4 出 现 的 频 率 分 别 为 p 1,p 2,p 3,p 4,且 p i 1,则 下 面四 种 情 形 中,对 应 样 本 的 标 准 差 最 大 的 一 组 是()A p 1 p 4 0.1,p 2 p 3 0.4 B p 1 p 4 0.4,p 2 p 3 0.1C p 1 p 4 0.2,p 2 p 3 0.3 D p 1 p 4
14、0.3,p 2 p 3 0.2【分 析】根 据 题 意,求 出 各 组 数 据 的 方 差,方 差 大 的 对 应 的 标 准 差 也 大 解:选 项 A:E(x)1 0.1+2 0.4+3 0.4+4 0.1 2.5,所 以 D(x)(1 2.5)20.1+(2 2.5)2 0.4+(3 2.5)2 0.4+(4 2.5)2 0.1 0.6 5;同 理 选 项 B:E(x)2.5,D(x)2.0 5;选 项 C:E(x)2.5,D(x)1.0 5;选 项 D:E(x)2.5,D(x)1.4 5;故 选:B 4 L o g i s t i c 模 型 是 常 用 数 学 模 型 之 一,可 应
15、 用 于 流 行 病 学 领 域 有 学 者 根 据 公 布 数 据 建 立 了某 地 区 新 冠 肺 炎 累 计 确 诊 病 例 数 I(t)(t 的 单 位:天)的 L o g i s t i c 模 型:I(t),其 中 K 为 最 大 确 诊 病 例 数 当 I(t*)0.9 5 K 时,标 志 着 已 初 步 遏 制疫 情,则 t*约 为()(l n 1 9 3)A 6 0 B 6 3 C 6 6 D 6 9【分 析】根 据 所 给 材 料 的 公 式 列 出 方 程 0.9 5 K,解 出 t 即 可 解:由 已 知 可 得 0.9 5 K,解 得 e0.2 3(t5 3),两 边
16、 取 对 数 有 0.2 3(t 5 3)l n 1 9,解 得 t 6 6,故 选:C 5 设 O 为 坐 标 原 点,直 线 x 2 与 抛 物 线 C:y2 2 p x(p 0)交 于 D,E 两 点,若 O D O E,则 C 的 焦 点 坐 标 为()A(,0)B(,0)C(1,0)D(2,0)【分 析】利 用 已 知 条 件 转 化 求 解 E、D 坐 标,通 过 k O D k O E 1,求 解 抛 物 线 方 程,即 可得 到 抛 物 线 的 焦 点 坐 标 解:将 x 2 代 入 抛 物 线 y2 2 p x,可 得 y 2,O D O E,可 得 k O D k O E
17、1,即,解 得 p 1,所 以 抛 物 线 方 程 为:y2 2 x,它 的 焦 点 坐 标(,0)故 选:B 6 已 知 向 量,满 足|5,|6,6,则 c o s,+()A B C D【分 析】利 用 已 知 条 件 求 出|,然 后 利 用 向 量 的 数 量 积 求 解 即 可 解:向 量,满 足|5,|6,6,可 得|7,c o s,+故 选:D 7 在 A B C 中,c o s C,A C 4,B C 3,则 c o s B()A B C D【分 析】先 根 据 余 弦 定 理 求 出 A B,再 代 入 余 弦 定 理 求 出 结 论 解:在 A B C 中,c o s C,
18、A C 4,B C 3,由 余 弦 定 理 可 得 A B2 A C2+B C2 2 A C B C c o s C 42+32 2 4 3 9;故 A B 3;c o s B,故 选:A 8 如 图 为 某 几 何 体 的 三 视 图,则 该 几 何 体 的 表 面 积 是()A 6+4 B 4+4 C 6+2 D 4+2【分 析】先 由 三 视 图 画 出 几 何 体 的 直 观 图,利 用 三 视 图 的 数 据,利 用 三 棱 锥 的 表 面 积 公式 计 算 即 可 解:由 三 视 图 可 知 几 何 体 的 直 观 图 如 图:几 何 体 是 正 方 体 的 一 个 角,P A A
19、 B A C 2,P A、A B、A C 两 两 垂 直,故 P B B C P C 2,几 何 体 的 表 面 积 为:3 6+2故 选:C 9 已 知 2 t a n t a n(+)7,则 t a n()A 2 B 1 C 1 D 2【分 析】利 用 两 角 和 差 的 正 切 公 式 进 行 展 开 化 简,结 合 一 元 二 次 方 程 的 解 法 进 行 求 解 即可 解:由 2 t a n t a n(+)7,得 2 t a n 7,即 2 t a n 2 t a n2 t a n 1 7 7 t a n,得 2 t a n2 8 t a n+8 0,即 t a n2 4 t a
20、 n+4 0,即(t a n 2)2 0,则 t a n 2,故 选:D 1 0 若 直 线 l 与 曲 线 y 和 圆 x2+y2 都 相 切,则 l 的 方 程 为()A y 2 x+1 B y 2 x+C y x+1 D y x+【分 析】根 据 直 线 l 与 圆 x2+y2 相 切,利 用 选 项 到 圆 心 的 距 离 等 于 半 径,在 将 直 线 与曲 线 y 求 一 解 可 得 答 案;解:直 线 l 与 圆 x2+y2 相 切,那 么 直 线 到 圆 心(0,0)的 距 离 等 于 半 径,四 个 选 项 中,只 有 A,D 满 足 题 意;对 于 A 选 项:y 2 x+
21、1 与 y 联 立 可 得:2 x+1 0,此 时:无 解;对 于 D 选 项:y x+与 y 联 立 可 得:x+0,此 时 解 得 x 1;直 线 l 与 曲 线 y 和 圆 x2+y2 都 相 切,方 程 为 y x+,故 选:D 1 1 设 双 曲 线 C:1(a 0,b 0)的 左、右 焦 点 分 别 为 F 1,F 2,离 心 率 为 P是 C 上 一 点,且 F 1 P F 2 P 若 P F 1 F 2 的 面 积 为 4,则 a()A 1 B 2 C 4 D 8【分 析】利 用 双 曲 线 的 定 义,三 角 形 的 面 积 以 及 双 曲 线 的 离 心 率,转 化 求 解
22、 a 即 可 解:由 题 意,设 P F 2 m,P F 1 n,可 得 m n 2 a,m2+n2 4 c2,e,可 得 4 c2 1 6+4 a2,可 得 5 a2 4+a2,解 得 a 1 故 选:A 1 2 已 知 55 84,1 34 85 设 a l o g 5 3,b l o g 8 5,c l o g 1 3 8,则()A a b c B b a c C b c a D c a b【分 析】根 据,可 得 a b,然 后 由 b l o g 8 5 0.8 和 c l o g 1 3 8 0.8,得 到 c b,再 确定 a,b,c 的 大 小 关 系 解:l o g 5 3
23、l o g 5 8 1,a b;55 84,5 4 l o g 5 8,l o g 5 8 1.2 5,b l o g 8 5 0.8;1 34 85,4 5 l o g 1 3 8,c l o g 1 3 8 0.8,c b,综 上,c b a 故 选:A 二、填 空 题:本 题 共 4 小 题,每 小 题 5 分,共 2 0 分。1 3 若 x,y 满 足 约 束 条 件 则 z 3 x+2 y 的 最 大 值 为 7【分 析】先 根 据 约 束 条 件 画 出 可 行 域,再 利 用 几 何 意 义 求 最 值,z 3 x+2 y 表 示 直 线 在 y轴 上 的 截 距 的 一 半,只
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- 2020 四川省 高考 数学 理科 试题 参考答案
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