2020年上海市高考数学真题试卷(含解析).pdf

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1、2 0 2 0 年全 国高 考数 学真 题试 卷及 解析（上 海卷）一、填 空 题（本 大 题 共 有 1 2 题，满 分 5 4 分，第 1-6 题 每 题 4 分，第 7-1 2 题 每 题 5 分）1 已 知 集 合 1 A，2，4，集 合 2 B，4，5，则 A B 2 计 算：1l i m3 1nnn 3 已 知 复 数 1 2(z i i 为 虚 数 单 位），则|z 4 已 知 函 数3()f x x，()f x 是()f x 的 反 函 数，则()f x 5 已 知 x、y 满 足2 02 3 00 x yx yy，则 2 z y x 的 最 大 值 为 6 已 知 行 列 式

2、12 63 0 0a bc d，则a bc d 7 已 知 有 四 个 数 1，2，a，b，这 四 个 数 的 中 位 数 是 3，平 均 数 是 4，则 a b 8 已 知 数 列 na 是 公 差 不 为 零 的 等 差 数 列，且1 1 0 9a a a，则1 2 91 0a a aa 9 从 6 个 人 挑 选 4 个 人 去 值 班，每 人 值 班 一 天，第 一 天 安 排 1 个 人，第 二 天 安 排 1 个 人，第 三 天 安 排 2 个 人，则 共 有 种 安 排 情 况 1 0 已 知 椭 圆2 2:14 3x yC 的 右 焦 点 为 F，直 线 l 经 过 椭 圆 右

3、 焦 点 F，交 椭 圆 C 于 P、Q 两点（点 P 在 第 二 象 限），若 点 Q 关 于 x 轴 对 称 点 为 Q，且 满 足 P Q F Q，求 直 线 l 的 方 程是 1 1 设 a R，若 存 在 定 义 域 为 R 的 函 数()f x 同 时 满 足 下 列 两 个 条 件：（1）对 任 意 的0 x R，0()f x 的 值 为0 x 或20 x；（2）关 于 x 的 方 程()f x a 无 实 数 解，则 a 的 取 值 范 围 是 1 2 已 知1a，2a，1b，2b，(*)kb k N 是 平 面 内 两 两 互 不 相 等 的 向 量，满 足1 2|1 a a

4、，且|1i ja b，2（其 中 1 i，2，1 j，2，)k，则 k 的 最 大 值 是 二、选 择 题（本 大 题 共 4 题，每 题 5 分，共 2 0 分）1 3 下 列 等 式 恒 成 立 的 是()A 2 22 a b a b B 2 22 a b a b C 2|a b ab D 2 22 a b a b 1 4 已 知 直 线 方 程 3 4 1 0 x y 的 一 个 参 数 方 程 可 以 是()A 1 3(1 4x tty t 为 参 数）B 1 4(1 3x tty t 为 参 数）C 1 3(1 4x tty t 为 参 数）D 1 4(1 3x tty t 为 参

5、数）1 5 在 棱 长 为 1 0 的 正 方 体1 1 1 1A B C D A B C D 中，P 为 左 侧 面1 1A D D A 上 一 点，已 知 点 P 到1 1A D的 距 离 为 3，P 到1A A 的 距 离 为 2，则 过 点 P 且 与1A C 平 行 的 直 线 相 交 的 面 是()A 1 1A A B B B 1 1B B C C C 1 1C C D D D A B C D1 6 命 题 p：存 在 a R 且 0 a，对 于 任 意 的 x R，使 得()()f x a f x f（a）；命 题1:()q f x 单 调 递 减 且()0 f x 恒 成 立；

6、命 题2:()q f x 单 调 递 增，存 在00 x 使 得0()0 f x，则 下 列 说 法 正 确 的 是()A 只 有1q 是 p 的 充 分 条 件 B 只 有2q 是 p 的 充 分 条 件C 1q，2q 都 是 p 的 充 分 条 件 D 1q，2q 都 不 是 p 的 充 分 条 件三、解 答 题（本 大 题 共 5 题，共 1 4+1 4+1 4+1 6+1 8 7 6 分）1 7（1 4 分）已 知 A B C D 是 边 长 为 1 的 正 方 形，正 方 形 A B C D 绕 A B 旋 转 形 成 一 个 圆 柱（1）求 该 圆 柱 的 表 面 积；（2）正 方

7、 形 A B C D 绕 A B 逆 时 针 旋 转2至1 1A B C D，求 线 段1C D 与 平 面 A B C D 所 成 的 角 1 8（1 4 分）已 知 函 数()s i n f x x，0（1）()f x 的 周 期 是 4，求，并 求1()2f x 的 解 集；（2）已 知 1，2()()3()()2g x f x f x f x，0 x，4，求()g x 的 值 域 1 9（1 4 分）在 研 究 某 市 场 交 通 情 况 时，道 路 密 度 是 指 该 路 段 上 一 定 时 间 内 通 过 的 车 辆 数 除以 时 间，车 辆 密 度 是 该 路 段 一 定时 间

8、内 通 过 的 车 辆 数 除 以 该 路 段 的 长 度，现 定 义 交 通 流 量 为qvx，x 为 道 路 密 度，q 为 车辆 密 度 1100 135(),0 40()3(40)85,40 80 xxv f xk x x（1）若 交 通 流 量 9 5 v，求 道 路 密 度 x 的 取 值 范 围；（2）已 知 道 路 密 度 8 0 x，交 通 流 量 5 0 v，求 车 辆 密 度 q 的 最 大 值 2 0（1 6 分）已 知 双 曲 线2 21 2:14x yb 与 圆2 2 22:4(0)x y b b 交 于 点(AA x，)Ay（第一 象 限），曲 线 为1、2 上

9、取 满 足|Ax x 的 部 分（1）若 6Ax，求 b 的 值；（2）当 5 b，2 与 x 轴 交 点 记 作 点1F、2F，P 是 曲 线 上 一 点，且 在 第 一 象 限，且1|8 P F，求1 2F P F；（3）过 点2(0,2)2bD 斜 率 为2b 的 直 线 l 与 曲 线 只 有 两 个 交 点，记 为 M、N，用 b 表 示O M O N，并 求 O M O N 的 取 值 范 围 2 1（1 8 分）已 知 数 列 na 为 有 限 数 列，满 足1 2 1 3 1|ma a a a a a，则 称 na 满足 性 质 P（1）判 断 数 列 3、2、5、1 和 4、

10、3、2、5、1 是 否 具 有 性 质 P，请 说 明 理 由；（2）若11 a，公 比 为 q 的 等 比 数 列，项 数 为 1 0，具 有 性 质 P，求 q 的 取 值 范 围；（3）若 na 是 1，2，3，m 的 一 个 排 列(4)m，nb 符 合1(1k kb a k，2，1)m，na、nb 都 具 有 性 质 P，求 所 有 满 足 条 件 的 数 列 na 参 考 答 案1 2，4【解 析】因 为 1 A，2，3，2 B，4，5，则 2 A B，4 故 答 案 为：2，4 2 13【解 析】1 11 1 l i m1 1 0 1l i m l i m1 13 1 3 0 3

11、3 3 l i mnn nnnn nnn n，故 答 案 为：133 5【解 析】由 1 2 z i，得2 2|1(2)5 z 故 答 案 为：5 4 3x【解 析】由3()y f x x，得3x y，把 x 与 y 互 换，可 得3()f x x 的 反 函 数 为1 3()f x x 故 答 案 为：3x 5-1【解 析】由 约 束 条 件2 02 3 00 x yx yy 作 出 可 行 域 如 图 阴 影 部 分，化 目 标 函 数 2 z y x 为 2 y x z，由 图 可 知，当 直 线 2 y x z 过 A 时，直 线 在 y 轴 上 的 截距 最 大，联 立2 02 3

12、0 x yx y，解 得11xy，即(1,1)A z 有 最 大 值 为 1 2 1 1 故 答 案 为：1 6 2【解 析】行 列 式12 63 0 0a bc d，可 得 3 6a bc d，解 得 2a bc d 故 答 案 为：2 7 3 6【解 析】因 为 四 个 数 的 平 均 数 为 4，所 以 4 4 1 2 1 3 a b，因 为 中 位 数 是 3，所 以232a，解 得 4 a，代 入 上 式 得 1 3 4 9 b，所 以 3 6 a b，故 答 案 为：3 6 8 2 78【解 析】根 据 题 意，等 差 数 列 na 满 足1 1 0 9a a a，即1 1 19

13、8 a a d a d，变 形 可 得1a d，所 以11 2 9 11 0 1 19 899 3 6 9 3 6 2 729 9 9 8daa a a a d d da a d a d d d 故 答 案 为：2 789 1 8 0【解 析】根 据 题 意，可 得 排 法 共 有1 1 26 5 41 8 0 C C C 种 故 答 案 为：1 8 0 1 0 1 0 x y【解 析】椭 圆2 2:14 3x yC 的 右 焦 点 为(1,0)F，直 线 l 经 过 椭 圆 右 焦 点 F，交 椭 圆 C 于 P、Q 两 点（点 P 在 第 二 象 限），若 点 Q 关 于 x 轴 对 称

14、点 为 Q，且 满 足 P Q F Q，可 知 直 线 l 的 斜 率 为 1，所 以 直 线 l 的 方 程 是：(1)y x，即 1 0 x y 故 答 案 为：1 0 x y 1 1(，0)(0，1)(1，)【解 析】根 据 条 件（1）可 得(0)0 f 或 f（1）1，又 因 为 关 于 x 的 方 程()f x a 无 实 数 解，所 以 0 a 或 1，故(a，0)(0，1)(1，)，故 答 案 为：(，0)(0，1)(1，)1 2 6【解 析】如 图，设1 1O A a，2 2O A a，由1 2|1 a a，且|1i ja b，2，分 别 以1A，2A 为 圆 心，以 1 和

15、 2 为 半 径 画 圆，其 中 任意 两 圆 的 公 共 点 共 有 6 个 故 满 足 条 件 的 k 的 最 大 值 为 6 故 答 案 为：6 1 3 B【解 析】A 显 然 当 0 a，0 b 时，不 等 式2 22 a b a b 不 成 立，故 A 错 误；B 2()0 a b，2 22 0 a b a b，2 22 a b a b，故 B 正 确；C 显 然 当 0 a，0 b 时，不 等 式 2|a b ab 不 成 立，故 C 错 误；D 显 然 当 0 a，0 b 时，不 等 式2 22 a b a b 不 成 立，故 D 错 误 故 选：B 1 4 B【解 析】1 3(

16、1 4x tty t 为 参 数）的 普 通 方 程 为：1 31 4xy，即 4 3 1 0 x y，不 正 确；1 4(1 3x tty t 为 参 数）的 普 通 方 程 为：1 41 3xy，即 3 4 1 0 x y，正 确；1 3(1 4x tty t 为 参 数）的 普 通 方 程 为：1 31 4xy，即 4 3 1 0 x y，不 正 确；1 4(1 3x tty t 为 参 数）的 普 通 方 程 为：1 41 3xy，即 3 4 7 0 x y，不 正 确；故 选：B 1 5 D【解 析】如 图，由 点 P 到1 1A D 的 距 离 为 3，P 到1A A 的 距 离

17、为 2，可 得 P 在 1A A D 内，过 P 作1/E F A D，且1E F A A于 E，E F A D于 F，在 平 面 A B C D 中，过 F 作/F G C D，交 B C 于 G，则 平 面/E F G 平 面1A D C 连 接 A C，交 F G 于 M，连 接 E M，平 面/E F G 平 面1A D C，平 面1A A C 平 面1 1A D C A C，平 面1A A C 平 面 E F M E M，1/E M A C 在 E F M 中，过 P 作/P N E M，且 P N F M于 N，则1/P N A C 线 段 F M 在 四 边 形 A B C D

18、内，N 在 线 段 F M 上，N 在 四 边 形 A B C D 内 过 点 P 且 与1A C 平 行 的 直 线 相 交 的 面 是 A B C D 故 选：D 1 6 C【解 析】对 于 命 题1q：当()f x 单 调 递 减 且()0 f x 恒 成 立 时，当 0 a 时，此 时 x a x，又 因 为()f x 单 调 递 减，所 以()()f x a f x 又 因 为()0 f x 恒 成 立 时，所 以()()f x f x f（a），所 以()()f x a f x f（a），所 以 命 题1q 命 题 p，对 于 命 题2q：当()f x 单 调 递 增，存 在00

19、x 使 得0()0 f x，当00 a x 时，此 时 x a x，f（a）0()0 f x，又 因 为()f x 单 调 递 增，所 以()()f x a f x，所 以()()f x a f x f（a），所 以 命 题2p 命 题 p，所 以1q，2q 都 是 p 的 充 分 条 件，故 选：C 1 7【解 析】（1）该 圆 柱 的 表 面 由 上 下 两 个 半 径 为 1 的 圆 面 和 一 个 长 为 2、宽 为 1 的 矩 形 组成，22 1 2 1 4 S 故 该 圆 柱 的 表 面 积 为 4（2）正 方 形1 1A B C D，1A D A B，又12D A D，1A D

20、A D，A D A B A，且 A D、A B 平 面 A D B，1A D 平 面 A D B，即1D 在 面 A D B 上 的 投 影 为 A，连 接1C D，则1D C A 即 为 线 段1C D 与 平 面 A B C D 所 成 的 角，而112 6c o s3 3A CD C AC D，线 段1C D 与 平 面 A B C D 所 成 的 角 为6a r c c o s31 8【解 析】（1）由 于()f x 的 周 期 是 4，所 以2 14 2，所 以1()s i n2f x x 令1 1s i n2 2x，故122 6x k 或526k，整 理 得 43x k 或543x

21、 k 故 解 集 为|43x x k 或543x k，k Z（2）由 于 1，所 以()s i n f x x 所 以21 c o s 2 3 3 1 1 1()s i n 3 s i n()s i n()s i n 2 s i n 2 c o s 2 s i n(2)2 2 2 2 2 2 2 6xg x x x x x x x x 由 于 0 x，4，所 以226 6 3x 1s i n(2)12 6x，故11 s i n(2)6 2x，故1()02g x 所 以 函 数()g x 的 值 域 为1,02 1 9【解 析】（1）qvx，v 越 大，x 越 小，()v f x 是 单 调 递

22、 减 函 数，0 k，当 4 0 8 0 x 时，v 最 大 为 8 5，于 是 只 需 令11 0 0 1 3 5()9 53x，解 得 3 x，故 道 路 密 度 x 的 取 值 范 围 为(3,40)（2）把 8 0 x，5 0 v 代 入()(40)85 v f x k x 中，得 5 0 4 0 8 5 k，解 得78k 11 0 0 1 3 5(),0 4 037(4 0)8 5,4 0 8 08xx x xq v xx x x x，当 0 4 0 x 时，q 单 调 递 增，4 011 0 0 4 0 1 3 5()4 0 4 0 0 03q；当 4 0 8 0 x 时，q 是

23、关 于 x 的 二 次 函 数，开 口 向 下，对 称 轴 为4807x，此 时 q 有 最 大 值，为27 4 8 0 4 8 0 2 8 8 0 0()1 2 0 4 0 0 08 7 7 7 故 车 辆 密 度 q 的 最 大 值 为2 8 8 0 072 0【解 析】（1）由 6Ax，点 A 为 曲 线1 与 曲 线2 的 交 点，联 立2 222 2 2144A AA Ax ybx y b，解得 2Ay，2 b；（2）由 题 意 可 得1F，2F 为 曲 线1 的 两 个 焦 点，由 双 曲 线 的 定 义 可 得1 2|2 P F P F a，又1|8 P F，2 4 a，所 以2

24、|8 4 4 P F，因 为 5 b，则 4 5 3 c，所 以1 2|6 F F，在 1 2P F F 中，由 余 弦 定 理 可 得2 2 21 2 1 21 21 2|c o s2|P F P F F FF P FP F P F 6 4 1 6 3 6 1 12 8 4 1 6，由1 20 F P F，可 得1 21 1a r c c o s1 6F P F；（3）设 直 线24:2 2b bl y x，可 得 原 点 O 到 直 线 l 的 距 离2224|2414bd bb，所 以 直 线 l 是 圆 的 切 线，设 切 点 为 M，所 以2O Mkb，并 设2:O M y xb 与

25、 圆2 2 24 x y b 联 立，可 得2 2 2244 x x bb，可 得 x b，2 y，即(,2)M b，注 意 直 线 l 与 双 曲 线 的 斜 率 为 负 的 渐 近 线 平 行，所 以 只 有 当 2Ay 时，直 线 l 才 能 与 曲 线 有 两 个 交 点，由2 222 2 2144A AA Ax ybx y b，可 得422 Abya b，所 以 有4244bb，解 得22 2 5 b 或22 2 5 b（舍 去），因 为 O M 为 O N 在 O M 上 的 投 影 可 得，24 O M O N b，所 以24 6 2 5 O M O N b，则(6 2 5 O

26、M O N，)2 1【解 析】（1）对 于 数 列 3，2，5，1，有|2 3|1，|5 3|2，|1 3|2，满 足 题 意，该数 列 满 足 性 质 P；对 于 第 二 个 数 列 4、3、2、5、1，|3 4|1，|2 4|2，|5 4|1 不 满 足 题 意，该 数 列 不满 足 性 质 P（2）由 题 意：11 1 1 1|n na a q a a q，可 得：1|1|1|n nq q，2 n，3，9，两 边 平 方 可 得：2 2 2 12 1 2 1n n n nq q q q，整 理 可 得：1 1(1)(1)2 0n nq q q q，当 1 q 时，得1(1)2 0nq q

27、 此 时 关 于 n 恒 成 立，所 以 等 价 于 2 n 时，(1)2 0 q q，所 以，(2)(1)0 q q，所 以 2 q，或 1 q，所 以 取 1 q，当 0 1 q 时，得1(1)2 0nq q，此 时 关 于 n 恒 成 立，所 以 等 价 于 2 n 时，(1)2 0 q q，所 以(2)(1)0 q q，所 以 2 1 q，所 以 取 0 1 q 当 1 0 q 时：1 1(1)2 0n nq q q，当 n 为 奇 数 时，得1(1)2 0nq q，恒 成 立，当 n 为 偶 数 时，1(1)2 0nq q，不 恒 成 立；故 当 1 0 q 时，矛 盾，舍 去 当

28、1 q 时，得1 1(1)2 0n nq q q，当 n 为 奇 数 时，得1(1)2 0nq q，恒 成 立，当 n 为 偶 数 时，1(1)2 0nq q，恒 成 立；故 等 价 于 2 n 时，(1)2 0 q q，所 以(2)(1)0 q q，所 以 2 q 或 1 q，所 以 取 2 q，综 上(q，2(0,)（3）设1a p，3 p，4，3 m，2 m，因 为1a p，2a 可 以 取 1 p，或 1 p，3a 可 以 取 2 p，或 2 p，如 果2a 或3a 取 了 3 p 或 3 p，将 使 na 不 满 足 性 质 P；所 以 na 的 前 5 项 有 以 下 组 合：1a

29、 p，21 a p；31 a p；42 a p；52 a p；1a p，21 a p；31 a p；42 a p；52 a p；1a p，21 a p；31 a p；42 a p；52 a p；1a p，21 a p；31 a p；42 a p；52 a p；对 于，11 b p，2 1|2 b b，3 1|1 b b，与 nb 满 足 性 质 P 矛 盾，舍 去；对 于，11 b p，2 1|2 b b，3 1|3 b b，4 1|2 b b 与 nb 满 足 性 质 P 矛 盾，舍 去；对 于，11 b p，2 1|2 b b，3 1|3 b b，4 1|1 b b 与 nb 满 足 性 质 P 矛 盾，舍 去；对 于11 b p，2 1|2 b b，3 1|1 b b，与 nb 满 足 性 质 P 矛 盾，舍 去；所 以 3 P，4，3 m，2 m，均 不 能 同 时 使 na、nb 都 具 有 性 质 P 当 1 p 时，有 数 列:1na，2，3，1 m，m 满 足 题 意 当 p m 时，有 数 列:na m，m，3，2，1 满 足 题 意 当 2 p 时，有 数 列:2na，1，3，1 m，m 满 足 题 意 当 1 p m 时，有 数 列:1na m，m，2 m，3 m，3，2，1 满 足 题 意 所 以 满 足 题 意 的 数 列 na 只 有 以 上 四 种。