全国各地中考数学试题分类汇编(第2期)专题22等腰三角形(含解析)_中学教育-中考.pdf

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1、1 等腰三角形 选择题 1.（2016 浙江省湖州市 分）如图 1，在等腰三角形 ABC中，AB=AC=4，BC=7如图 2，在底边 BC上取一点 D，连结 AD，使得 DAC=ACD 如图 3，将 ACD沿着 AD所在直线折叠，使得点 C 落在点 E 处，连结 BE，得到四边形 ABED 则 BE的长是（）A 4 B C 3 D 2【考点】翻折变换（折叠问题）；四点共圆；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质【分析】只要证明 ABD MBE，得=，只要求出 BM、BD即可解决问题【解答】解：AB=AC，ABC=C，DAC=ACD，DAC=ABC，C=C，CAD CBA，=，=，CD=，BD

2、=BC CD=，DAM=DAC=DBA，ADM=ADB，ADM BDA，=，即=，DM=，MB=BD DM=，ABM=C=MED，A、B、E、D 四点共圆，ADB=BEM，EBM=EAD=ABD，ABD MBE，=，2 BE=故选 B 2.（2016 广西百色 分）如图，正 ABC 的边长为 2，过点 B 的直线 l AB，且 ABC 与 A BC 关于直线 l 对称，D 为线段 BC 上一动点，则 AD+CD的最小值是（）A 4 B 32C 23D 2+3【考点】轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质【分析】连接 CC，连接 A交 y 轴于点 D，连接 AD，此时 AD+CD 的值最小，根据

3、等边三角形的性质即可得出四边形 CBA C为菱形，根据菱形的性质即可求出 A 的长度，从而得出结论【解答】解：连接 CC，连接 A 交 l 于点 D，连接 AD，此时 AD+CD 的值最小，如图所示 ABC与 A BC 为正三角形，且 ABC与 A BC 关于直线 l 对称，四边形 CBA C为边长为 2 的菱形，且 BA C=60，A C=223A B=23故选 C3.（2016 广西桂林 分）已知直线 y=3x+3 与坐标轴分别交于点 A，B，点 P 在抛物线 y=（x3）2+4 上，能使 ABP为等腰三角形的点 P 的个数有（）得点落在点处连结得到四边形则的长是考点翻折变换折叠问题四点共

4、圆等腰三角形的性质相似三角形的判定与性质分析只要证明得只要求出即可解决问题解答解即四点共圆故选广西百色分如图正的边长为过点的直线且与关于直线对 最小根据等边三角形的性质即可得出四边形为菱形根据菱形的性质即可求出的长度从而得出结论解答解连接连接交于点连接此时的值最小如图所示与为正三角形且与关于直线对称四边形为边长为的菱形且故选广西桂林分已知直线与 函数图象上点的坐标特征等腰三角形的判定分析以点为圆心线段长为半径做圆交抛物线于点点连接由直线可求出点的坐标结合抛物线的解析式可得出等边三角形再令抛物线解析式中求出抛物线与轴的两交点的坐标发现该两点与重合3 A 3 个 B 4 个 C 5 个 D 6 个

5、【考点】二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的判定【分析】以点 B 为圆心线段 AB 长为半径做圆，交抛物线于点 C、M、N 点，连接 AC、BC，由 直线 y=x+3 可求出点 A、B 的坐标，结合抛物线的解析式可得出 ABC 等边三角形，再 令抛物线解析式中 y=0 求出抛物线与 x 轴的两交点的坐标，发现该两点与 M、N 重合，结合 图形分三种情况研究 ABP 为等腰三角形，由此即可得出结论【解答】解：以点 B 为圆心线段 AB 长为半径做圆，交抛物线于点 C、M、N 点，连接 AC、BC，如图所示 令一次函数 y=x+3 中 x=0，则 y=3，点 A 的

6、坐标为（0，3）；令一次函数 y=x+3 中 y=0，则 x+3，解得：x=，点 B 的坐标为（，0）AB=2 抛物线的对称轴为 x=，点 C 的坐标为（2，3），AC=2=AB=BC，ABC 为等边三角形 令 y=（x）2+4 中 y=0，则（x）2+4=0，解得：x=，或 x=3 点 E 的坐标为（，0），点 F 的坐标为（3，0）ABP 为等腰三角形分三种情况：得点落在点处连结得到四边形则的长是考点翻折变换折叠问题四点共圆等腰三角形的性质相似三角形的判定与性质分析只要证明得只要求出即可解决问题解答解即四点共圆故选广西百色分如图正的边长为过点的直线且与关于直线对 最小根据等边三角形的性质即

7、可得出四边形为菱形根据菱形的性质即可求出的长度从而得出结论解答解连接连接交于点连接此时的值最小如图所示与为正三角形且与关于直线对称四边形为边长为的菱形且故选广西桂林分已知直线与 函数图象上点的坐标特征等腰三角形的判定分析以点为圆心线段长为半径做圆交抛物线于点点连接由直线可求出点的坐标结合抛物线的解析式可得出等边三角形再令抛物线解析式中求出抛物线与轴的两交点的坐标发现该两点与重合4 当 AB=BP时，以 B 点为圆心，AB 长度为半径做圆，与抛物线交于 C、M、N三点；当 AB=AP时，以 A 点为圆心，AB 长度为半径做圆，与抛物线交于 C、M两点，；当 AP=BP 时，作线段 AB 的垂直平

8、分线，交抛物线交于 C、M两点；能使 ABP 为等腰三角形的点 P 的个数有 3 个 故选 A 4.（2016 贵州安顺 分）已知实数 x，y 满足，则以 x，y 的值为两 边长的等腰三角形的周长是（）A 20 或 16B 20 C 16D以上答案均不对【分析】根据非负数的意义列出关于 x、y 的方程并求出 x、y 的值，再根据 x 是腰长和底边 长两种情况讨论求解【解答】解：根据题意得，解得，（1）若 4 是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形；（2）若 4 是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形，周长为 4+8+8=20 故选 B【点评】本题考查了等腰三角形

9、的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了 非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关 系对三边能否组成三角形做 出判断根据题意列出方程是正确解答本题的关键 5.（2016 湖北武汉 分）平面直角坐标系中，已知 A(2，2)、B(4，0)若在坐标轴上 取点 C，使 ABC为等腰三角形，则满足条件的点 C的个数是（）A 5 B 6 C 7 D 8【考点】等腰三角形的判定；坐标与图形性质【答案】A【解析】构造等腰三角形，分别以 A，B 为圆心，以 AB 的长为半径作圆；作 AB 的中垂 线如图，一共有 5 个 C 点，注意，与 B重合及与 AB共线的点要排除。得点落在点处连结

10、得到四边形则的长是考点翻折变换折叠问题四点共圆等腰三角形的性质相似三角形的判定与性质分析只要证明得只要求出即可解决问题解答解即四点共圆故选广西百色分如图正的边长为过点的直线且与关于直线对 最小根据等边三角形的性质即可得出四边形为菱形根据菱形的性质即可求出的长度从而得出结论解答解连接连接交于点连接此时的值最小如图所示与为正三角形且与关于直线对称四边形为边长为的菱形且故选广西桂林分已知直线与 函数图象上点的坐标特征等腰三角形的判定分析以点为圆心线段长为半径做圆交抛物线于点点连接由直线可求出点的坐标结合抛物线的解析式可得出等边三角形再令抛物线解析式中求出抛物线与轴的两交点的坐标发现该两点与重合5 6

11、.（2016 辽宁丹东 分）如图，在?ABCD中，BF 平分 ABC，交 AD于点 F，CE平分 BCD，交 AD于点 E，AB=6，EF=2，则 BC长为（）A 8B 10C 12D 14【考点】平行四边形的性质【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出 ABF=AFB，得出 AF=AB=6，同理可证DE=DC=6，再由 EF 的长，即可求出 BC的长【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形，AD BC，DC=AB=6，AD=BC，AFB=FBC，BF 平分 ABC，ABF=FBC，则 ABF=AFB，AF=AB=6，同理可证：DE=DC=6，EF=AF+DE AD=2，即 6+6 AD=2

12、，解得：AD=10；故选：B7.（2016四川内江）已知等边三角形的边长为 3，点P为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为()A 32 B 3 32 C 32 D 不能确定 答案 B 考点 勾股定理，三角形面积公式，应用数学知识解决问题的能力。解析 如图，ABC 是等边三角形，AB 3，点 P 是三角形内任意一点，过点 P 分别向三边AB，BC，CA作垂线，垂足依次为D，E，F，过点A作AHBC于H则得点落在点处连结得到四边形则的长是考点翻折变换折叠问题四点共圆等腰三角形的性质相似三角形的判定与性质分析只要证明得只要求出即可解决问题解答解即四点共圆故选广西百色分如图正的边长为过点的

13、直线且与关于直线对 最小根据等边三角形的性质即可得出四边形为菱形根据菱形的性质即可求出的长度从而得出结论解答解连接连接交于点连接此时的值最小如图所示与为正三角形且与关于直线对称四边形为边长为的菱形且故选广西桂林分已知直线与 函数图象上点的坐标特征等腰三角形的判定分析以点为圆心线段长为半径做圆交抛物线于点点连接由直线可求出点的坐标结合抛物线的解析式可得出等边三角形再令抛物线解析式中求出抛物线与轴的两交点的坐标发现该两点与重合6 BH 32，AH 2 2AB BH 3 32 连接 PA，PB，PC，则 S PAB S PBC S PCA S ABC 12ABPD 12BCPE 12CAPF 12B

14、CAH PD PE PF AH 3 32 故选 B 8.（2016 黑龙江龙东 分）若点 O 是等腰 ABC 的外心，且 BOC=60，底边 BC=2，则 ABC 的面积为（）A 2+B C 2+或 2 D 4+2 或 2【考点】三角形的外接圆与外心；等腰三角形的性质【分析】根据题意可以画出相应的图形，然后根据不同情况，求出相应的边的长度，从而可 以求出不同情况下 ABC 的面积，本题得以解决【解答】解：由题意可得，如右图所示，存在两种情况，当 ABC 为 1BC 时，连接 OB、OC，点 O 是等腰 ABC 的外心，且 BOC=60，底边 BC=2，OB=OC，OBC 为等边三角形，OB=O

15、C=BC=2，OA1 BC 于点 D，CD=1，OD=，=2，当 ABC 为 2BC 时，连接 OB、OC，点 O 是等腰 ABC 的外心，且 BOC=60，底边 BC=2，OB=OC，OBC 为等边三角形，OB=OC=BC=2，OA1 BC 于点 D，CD=1，OD=，A2BC=2+，由上可得，ABC 的面积为 或 2+，故选 C PBADEF答案图 C H得点落在点处连结得到四边形则的长是考点翻折变换折叠问题四点共圆等腰三角形的性质相似三角形的判定与性质分析只要证明得只要求出即可解决问题解答解即四点共圆故选广西百色分如图正的边长为过点的直线且与关于直线对 最小根据等边三角形的性质即可得出四

16、边形为菱形根据菱形的性质即可求出的长度从而得出结论解答解连接连接交于点连接此时的值最小如图所示与为正三角形且与关于直线对称四边形为边长为的菱形且故选广西桂林分已知直线与 函数图象上点的坐标特征等腰三角形的判定分析以点为圆心线段长为半径做圆交抛物线于点点连接由直线可求出点的坐标结合抛物线的解析式可得出等边三角形再令抛物线解析式中求出抛物线与轴的两交点的坐标发现该两点与重合7 9（2016 湖北黄石 3 分）如图所示，线段 AC的垂直平分线交线段 AB 于点 D，A=50，则 BDC=（）A 50 B 100 C 120 D 130【分析】根据线段垂直平分线的性质得到 DA=DC，根据等腰三角形的

17、性质得到 DCA=A，根据三角形的外角的性质计算即可【解答】解：DE 是线段 AC 的垂直平分线，DA=DC，DCA=A=50，BDC=DCA+A=100，故选：B【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质和三角形的外角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键10.（2016 湖北荆门 分）如图，ABC 中，AB=AC，AD 是 BAC 的平分线已知 AB=5，AD=3，则 BC 的长为（）A 5 B 6 C 8 D 10【考点】勾股定理；等腰三角形的性质【分析】根据等腰三角形的性质得到 AD BC，BD=CD，根据勾股定理即可得到结论【解答】解：AB=AC，AD

18、 是 BAC 的平分线，AD BC，BD=CD，AB=5，AD=3，BD=4，BC=2BD=8，故选 C11（2016 湖北荆门 分）已知 3 是关于 x 的方程 x2（m+1）x+2m=0 的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰 ABC 的两条边的边长，则 ABC 的周长为（）A 7 B 10 C 11 D 10 或 11 得点落在点处连结得到四边形则的长是考点翻折变换折叠问题四点共圆等腰三角形的性质相似三角形的判定与性质分析只要证明得只要求出即可解决问题解答解即四点共圆故选广西百色分如图正的边长为过点的直线且与关于直线对 最小根据等边三角形的性质即可得出四边形为菱形根据菱形的性质

19、即可求出的长度从而得出结论解答解连接连接交于点连接此时的值最小如图所示与为正三角形且与关于直线对称四边形为边长为的菱形且故选广西桂林分已知直线与 函数图象上点的坐标特征等腰三角形的判定分析以点为圆心线段长为半径做圆交抛物线于点点连接由直线可求出点的坐标结合抛物线的解析式可得出等边三角形再令抛物线解析式中求出抛物线与轴的两交点的坐标发现该两点与重合8【考点】解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角 形 的性质【分析】把 x=3 代入已知方程求得 m 的值；然后通过解方程求得该方程的两根，即等腰 ABC的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可【解答】

20、解：把 x=3 代入方程得 9 3（m+1）+2m=0，解得 m=6，则原方程为 x2 7x+12=0，解得 x1=3，x2=4，因为这个方程的两个根恰好是等腰 ABC 的两条边长，当 ABC 的腰为 4，底边为 3 时，则 ABC 的周长为 4+4+3=11；当 ABC 的腰为 3，底边为 4 时，则 ABC 的周长为 3+3+4=10 综上所述，该 ABC 的周长为 10 或 11 故选：D 12（2016 湖北荆州 分）如图，在 Rt ABC 中，C=90，CAB 的平分线交 BC于 D，DE 是 AB 的垂直平分线，垂足为 E若 BC=3，则 DE 的长为（）A 1 B 2 C 3 D

21、 4【分析】由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得 B=CAD=DAB=30，【解答】解：DE 垂直平分 AB，DA=DB，B=DAB，AD 平分 CAB，CAD=DAB，C=90，3 CAD=90，CAD=30，AD 平分 CAB，DE AB，CD AC，CD=DE=BD，BC=3，CD=DE=1，故选 A【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的 距离相等是解题的关键 填空题 得点落在点处连结得到四边形则的长是考点翻折变换折叠问题四点共圆等腰三角形的性质相似三角形的判定与性质分析只要证明得只要求出即可解决问题解答解即四点共圆故选广西百色分如图正的边长为

22、过点的直线且与关于直线对 最小根据等边三角形的性质即可得出四边形为菱形根据菱形的性质即可求出的长度从而得出结论解答解连接连接交于点连接此时的值最小如图所示与为正三角形且与关于直线对称四边形为边长为的菱形且故选广西桂林分已知直线与 函数图象上点的坐标特征等腰三角形的判定分析以点为圆心线段长为半径做圆交抛物线于点点连接由直线可求出点的坐标结合抛物线的解析式可得出等边三角形再令抛物线解析式中求出抛物线与轴的两交点的坐标发现该两点与重合9 1.（2016 吉林 分）在三角形纸片 ABC中，C=90，B=30，点 D（不与 B，C 重 合）是 BC 上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若 EF 的

23、长度为 a，则 DEF 的周 长为 3a（用含 a 的式子表示）【考点】翻折变换（折叠问题）【分析】由折叠的性质得出 BE=EF=a，DE=BE，则 BF=2a，由含 30角的直角三角形的性质 得出 DF=BF=a，即可得出 DEF 的周长【解答】解：由折叠的性质得：B 点和 D 点是对称关系，DE=BE，则 BE=EF=a，BF=2a，B=30，DF=BF=a，DEF 的周长=DE+EF+DF=BF+DF=2a+a=3a；故答案为：3a 2.（2016 江西 分）如图是一张长方形纸片 ABCD，已知 AB=8，AD=7，E 为 AB 上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（AEP），使

24、点 P 落在长方形 ABCD的某一条边上，则 等腰三角形 AEP 的底边长是 5sqrt2 或 4sqrt5 或 5【考点】矩形的性质；等腰三角形的性质；勾股定理【分析】分情况讨论：当 AP=AE=5 时，则 AEP 是等腰直角三角形，得出底边 PE=AE=5即可；当 PE=AE=5 时，求出 BE，由勾股定理求出 PB，再由勾股定理求出等边 AP即可；当 PA=PE 时，底边 AE=5；即可得出结论【解答】解：如图所示：当 AP=AE=5时，BAD=90，AEP 是等腰直角三角形，底边 PE=AE=5；当 PE=AE=5 时，BE=AB AE=8 5=3，B=90，PB=4，得点落在点处连结

25、得到四边形则的长是考点翻折变换折叠问题四点共圆等腰三角形的性质相似三角形的判定与性质分析只要证明得只要求出即可解决问题解答解即四点共圆故选广西百色分如图正的边长为过点的直线且与关于直线对 最小根据等边三角形的性质即可得出四边形为菱形根据菱形的性质即可求出的长度从而得出结论解答解连接连接交于点连接此时的值最小如图所示与为正三角形且与关于直线对称四边形为边长为的菱形且故选广西桂林分已知直线与 函数图象上点的坐标特征等腰三角形的判定分析以点为圆心线段长为半径做圆交抛物线于点点连接由直线可求出点的坐标结合抛物线的解析式可得出等边三角形再令抛物线解析式中求出抛物线与轴的两交点的坐标发现该两点与重合10

26、底边 AP=4；当 PA=PE 时，底边 AE=5；综上所述：等腰三角形 AEP 的对边长为 5 或 4 或 5；故答案为：5 或 4 或 5 3.（2016 黑龙江龙东 分）如图，等边三角形的顶点 A（1，1）、B（3，1），规定把等 边 ABC“先沿 x 轴翻折，再向左平移 1 个单位”为一次変换，如果这样连续经过 2016 次变 换后，等边 ABC 的顶点 C 的坐标为【考点】翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质；坐标与图形变化-平移【分析】据轴对称判断出点 A 变换后在 x 轴上方，然后求出点 A 纵坐标，再根据平移的距离 求出点 A 变换后的横坐标，最后写出即可【解答】解：解：AB

27、C 是等边三角形 AB=3 1=2，点 C 到 x 轴的距离为 1+2=+1，横坐标为 2，A（2，+1），第 2016 次变换后的三角形在 x 轴上方，点 A 的纵坐标为+1，横坐标为 2-2016 1=-2014，所以，点 A 的对应点 A 的坐标是(-2014，+1)故答案为：(-2014，+1)4（2016 黑龙江齐齐哈尔 分）有一面积为 5 的等腰三角形，它的一个内角是 30，得点落在点处连结得到四边形则的长是考点翻折变换折叠问题四点共圆等腰三角形的性质相似三角形的判定与性质分析只要证明得只要求出即可解决问题解答解即四点共圆故选广西百色分如图正的边长为过点的直线且与关于直线对 最小根

28、据等边三角形的性质即可得出四边形为菱形根据菱形的性质即可求出的长度从而得出结论解答解连接连接交于点连接此时的值最小如图所示与为正三角形且与关于直线对称四边形为边长为的菱形且故选广西桂林分已知直线与 函数图象上点的坐标特征等腰三角形的判定分析以点为圆心线段长为半径做圆交抛物线于点点连接由直线可求出点的坐标结合抛物线的解析式可得出等边三角形再令抛物线解析式中求出抛物线与轴的两交点的坐标发现该两点与重合11 则以它的腰长为边的正方形的面积为 20 和 20【考点】正方形的性质；等腰三角形的性质【分析】分两种情形讨论当 30 度角是等腰三角形的顶角，当 30 度角是底角，分别作腰 上的高即可【解答】解

29、：如图 1 中，当 A=30，AB=AC时，设 AB=AC=a，作 BD AC 于 D，A=30，BD=AB=a，?a?a=5，2=20，ABC 的腰长为边的正方形的面积为 20 如图 2 中，当 ABC=30，AB=AC时，作 BD CA 交 CA 的延长线于 D，设 AB=AC=a，AB=AC，ABC=C=30，BAC=120，BAD=60，在 RT ABD 中，D=90，BAD=60，BD=a，?a?a=5，2=20，ABC 的腰长为边的正方形的面积为 20 故答案为 20 或 20 5（2016 湖北黄石 3 分）如图所示，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 30方向，距离灯 塔 4 海里

30、的 A 处，该海轮沿南偏东 30方向航行 4 海里后，到达位于灯塔 P 的正东方向 的 B 处 得点落在点处连结得到四边形则的长是考点翻折变换折叠问题四点共圆等腰三角形的性质相似三角形的判定与性质分析只要证明得只要求出即可解决问题解答解即四点共圆故选广西百色分如图正的边长为过点的直线且与关于直线对 最小根据等边三角形的性质即可得出四边形为菱形根据菱形的性质即可求出的长度从而得出结论解答解连接连接交于点连接此时的值最小如图所示与为正三角形且与关于直线对称四边形为边长为的菱形且故选广西桂林分已知直线与 函数图象上点的坐标特征等腰三角形的判定分析以点为圆心线段长为半径做圆交抛物线于点点连接由直线可求

31、出点的坐标结合抛物线的解析式可得出等边三角形再令抛物线解析式中求出抛物线与轴的两交点的坐标发现该两点与重合12【分析】根据等腰三角形的性质，可得答案【解答】解：一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 30方向，距离灯塔 4 海里的 A 处，该海轮沿 南偏东 30方向航行 4 海里后，到达位于灯塔 P 的正东方向的 B 处 故答案为：4【点评】本题考查了等腰三角形的性质，利用了等腰三角形的腰相等是解题关键 6（2016 湖北荆门 分）如图，已知点 A（1，2）是反比例函数 y=图象上的一点，连接 AO并延长交双曲线的另一分支于点 B，点 P 是 x 轴上一动点；若 PAB 是等腰三角形，则点 P 的坐标

32、是（3，0）或（5，0）或（3，0）或（5，0）【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的性质【分析】由对称性可知 O 为 AB 的中点，则当 PAB 为等腰三角形时只能有 PA=AB或 PB=AB，设 P 点坐标为（x，0），可分别表示出 PA 和 PB，从而可得到关与 x 的方程，可求得 x，可求 得 P 点坐标【解答】解：反比例函数 y=图象关于原点对称，A、B两点关于 O 对称，为 AB 的中点，且 B（1，2），当 PAB 为等腰三角形时有 PA=AB 或 PB=AB，设 P 点坐标为（x，0），A（1，2），B（1，2），AB=2，PA=，PB=，当 PA=AB 时，则有=

33、2，解得 x=3 或 5，此时 P 点坐标为（3，0）或（5，0）；当 PB=AB 时，则有=2，解得 x=3 或 5，此时 P 点坐标为（3，0）或（5，0）；综上可知 P 点的坐标为（3，0）或（5，0）或（3，0）或（5，0），得点落在点处连结得到四边形则的长是考点翻折变换折叠问题四点共圆等腰三角形的性质相似三角形的判定与性质分析只要证明得只要求出即可解决问题解答解即四点共圆故选广西百色分如图正的边长为过点的直线且与关于直线对 最小根据等边三角形的性质即可得出四边形为菱形根据菱形的性质即可求出的长度从而得出结论解答解连接连接交于点连接此时的值最小如图所示与为正三角形且与关于直线对称四边形

34、为边长为的菱形且故选广西桂林分已知直线与 函数图象上点的坐标特征等腰三角形的判定分析以点为圆心线段长为半径做圆交抛物线于点点连接由直线可求出点的坐标结合抛物线的解析式可得出等边三角形再令抛物线解析式中求出抛物线与轴的两交点的坐标发现该两点与重合13 故答案为：（3，0）或（5，0）或（3，0）或（5，0）7.（2016 福建龙岩 分）如图，ABC 是等边三角形，BD 平分 ABC，点 E 在 BC的延长 线上，且 CE=1，E=30，则 BC=2【考点】等边三角形的性质【分析】先证明 BC=2CD，证明 CDE 是等腰三角形即可解决问题【解答】解：ABC 是等边三角形，ABC=ACB=60，B

35、A=BC，BD 平分 ABC，DBC=E=30，BD AC，BDC=90，BC=2DC，ACB=E+CDE，CDE=E=30，CD=CE=1，BC=2CD=2，故答案为 2 8.（2016 广西桂林 分）如图，在 Rt ACB 中，ACB=90，AC=BC=3，CD=1，CH BD于 H，点 O 是 AB 中点，连接 OH，则 OH=【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形【分析】在 BD 上截取 BE=CH，连接 CO，OE，根据相似三角形的性质得到，求得CH=，根据等腰直角三角形的性质得到 AO=OB=OC，A=ACO=BCO=ABC=45，等量代换得到 OC

36、H=ABD，根据全等三角形的性质得到 OE=OH，BOE=HOC 推出 HOE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论【解答】解：在 BD上截取 BE=CH，连接 CO，OE，ACB=90 CH D，AC=BC=3，CD=1，BD=，得点落在点处连结得到四边形则的长是考点翻折变换折叠问题四点共圆等腰三角形的性质相似三角形的判定与性质分析只要证明得只要求出即可解决问题解答解即四点共圆故选广西百色分如图正的边长为过点的直线且与关于直线对 最小根据等边三角形的性质即可得出四边形为菱形根据菱形的性质即可求出的长度从而得出结论解答解连接连接交于点连接此时的值最小如图所示与为正三角形且与关于

37、直线对称四边形为边长为的菱形且故选广西桂林分已知直线与 函数图象上点的坐标特征等腰三角形的判定分析以点为圆心线段长为半径做圆交抛物线于点点连接由直线可求出点的坐标结合抛物线的解析式可得出等边三角形再令抛物线解析式中求出抛物线与轴的两交点的坐标发现该两点与重合14 CDH BDC，CH=，ACB 是等腰直角三角形，点 O 是 AB中点，AO=OB=OC，A=ACO=BCO=ABC=45，OCH+DCH=45，ABD+DBC=45，DCH=CBD，OCH=ABD，在 CHO 与 BEO 中，CHO BEO，OE=OH，BOE=HOC，OC BO，EOH=90，即 HOE 是等腰直角三角形，EH=B

38、D DH CH=，OH=EH=，故答案为：9.（2016 贵州安顺 分）如图，直线 m n，ABC 为等腰直角三角形，BAC=90，则 1=45 度【分析】先根据等腰直角三角形的性质求出 ABC 的度数，再由平行线的性质即可得出结论【解答】解：ABC 为等腰直角三角形，BAC=90，ABC=ACB=45，m n，1=45；故答案为：45【点评】此题考查了等腰直角三角形和平行线的性质，用到的知识点是：两直线平行，同位角相和等腰直角三角形的性质；关键是求出 ABC 的度数4.（2016 黑龙江哈尔滨 分）在等腰直角三角形 ABC中，ACB=90，AC=3，点 P 为边BC 的三等分点，连接 AP，

39、则 AP 的长为 或 得点落在点处连结得到四边形则的长是考点翻折变换折叠问题四点共圆等腰三角形的性质相似三角形的判定与性质分析只要证明得只要求出即可解决问题解答解即四点共圆故选广西百色分如图正的边长为过点的直线且与关于直线对 最小根据等边三角形的性质即可得出四边形为菱形根据菱形的性质即可求出的长度从而得出结论解答解连接连接交于点连接此时的值最小如图所示与为正三角形且与关于直线对称四边形为边长为的菱形且故选广西桂林分已知直线与 函数图象上点的坐标特征等腰三角形的判定分析以点为圆心线段长为半径做圆交抛物线于点点连接由直线可求出点的坐标结合抛物线的解析式可得出等边三角形再令抛物线解析式中求出抛物线与

40、轴的两交点的坐标发现该两点与重合15【考点】等腰直角三角形【分析】如图 1 根据已知条件得到 PB=BC=1，根据勾股定理即可得到结论；如图 2，根据已知条件得到 PC=BC=1，根据勾股定理即可得到结论【解答】解：如图 1，ACB=90，AC=BC=3，PB=BC=1，CP=2，AP=，如图 2，ACB=90，AC=BC=3，PC=BC=1，AP=，综上所述：AP 的长为 或，故答案为：或 10（2016 山东省滨州市 分）如图，ABC 是等边三角形，AB=2，分别以 A，B，C 为 圆心，以 2 为半径作弧，则图中阴影部分的面积是 2 3【考点】扇形面积的计算；等边三角形的性质【分析】根据

41、等边三角形的面积公式求出正 ABC 的面积，根据扇形的面积公式 S=求 出扇形的面积，求差得到答案 得点落在点处连结得到四边形则的长是考点翻折变换折叠问题四点共圆等腰三角形的性质相似三角形的判定与性质分析只要证明得只要求出即可解决问题解答解即四点共圆故选广西百色分如图正的边长为过点的直线且与关于直线对 最小根据等边三角形的性质即可得出四边形为菱形根据菱形的性质即可求出的长度从而得出结论解答解连接连接交于点连接此时的值最小如图所示与为正三角形且与关于直线对称四边形为边长为的菱形且故选广西桂林分已知直线与 函数图象上点的坐标特征等腰三角形的判定分析以点为圆心线段长为半径做圆交抛物线于点点连接由直线

42、可求出点的坐标结合抛物线的解析式可得出等边三角形再令抛物线解析式中求出抛物线与轴的两交点的坐标发现该两点与重合16【解答】解：正 ABC 的边长为 2，ABC的面积为 2=，扇形 ABC的面积为=，则图中阴影部分的面积=3（）=2 3，故答案为：2 3【点评】本题考查的是等边三角形的性质和扇形的面积计算，掌握扇形的面积公式 S=是解题的关键三.解答题1（2016山东省菏泽市 分）如图，ACB 和 DCE均为等腰三角形，点 A，D，E 在同一直线上，连接 BE（1）如图 1，若 CAB=CBA=CDE=CED=50 求证：AD=BE；求 AEB的度数（2）如图 2，若 ACB=DCE=120，C

43、M为 DCE中 DE边上的高，BN为 ABE中 AE边上的高，试证明：AE=2 CM+BN【考点】等腰三角形的性质【分析】（1）通过角的计算找出 ACD=BCE，再结合 ACB 和 DCE均为等腰三角形可得出“AC=BC，DC=EC”，利用全等三角形的判定（SAS）即可证出 ACD BCE，由此即可得出结论 AD=BE；结合中的 ACD BCE 可得出 ADC=BEC，再通过角的计算即可算出 AEB 的度数；（2）根据等腰三角形的性质结合顶角的度数，即可得出底角的度数，利用（1）的结论，通过解直角三角形即可求出线段 AD、DE的长度，二者相加即可证出结论【解答】（1）证明：CAB=CBA=CD

44、E=CED=50，ACB=DCE=180 2 50=80 ACB=ACD+DCB，DCE=DCB+BCE，ACD=BCE ACB 和 DCE 均为等腰三角形，AC=BC，DC=EC 得点落在点处连结得到四边形则的长是考点翻折变换折叠问题四点共圆等腰三角形的性质相似三角形的判定与性质分析只要证明得只要求出即可解决问题解答解即四点共圆故选广西百色分如图正的边长为过点的直线且与关于直线对 最小根据等边三角形的性质即可得出四边形为菱形根据菱形的性质即可求出的长度从而得出结论解答解连接连接交于点连接此时的值最小如图所示与为正三角形且与关于直线对称四边形为边长为的菱形且故选广西桂林分已知直线与 函数图象上

45、点的坐标特征等腰三角形的判定分析以点为圆心线段长为半径做圆交抛物线于点点连接由直线可求出点的坐标结合抛物线的解析式可得出等边三角形再令抛物线解析式中求出抛物线与轴的两交点的坐标发现该两点与重合17 在 ACD 和 BCE 中，有，ACD BCE（SAS），AD=BE 解：ACD BCE，ADC=BEC 点 A，D，E 在同一直线上，且 CDE=50，ADC=180 CDE=130，BEC=130 BEC=CED+AEB，且 CED=50，AEB=BEC CED=130 50=80（2）证明：ACB 和 DCE 均为等腰三角形，且 ACB=DCE=120，CDM=CEM=（180 120）=30

46、 CM DE，CMD=90，DM=EM 在 Rt CMD中，CMD=90，CDM=30，DE=2DM=2=2 CM BEC=ADC=180 30=150，BEC=CEM+AEB，AEB=BEC CEM=150 30=120，BEN=180 120=60 在 Rt BNE 中，BNE=90，BEN=60，BE=BN AD=BE，AE=AD+DE，AE=BE+DE=BN+2 CM【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质、解直角三角形以及角的 计算，解题的关键是：（1）通过角的计算结合等腰三角形的性质证出 ACD BCE；（2）找出线段 AD、DE 的长本题属于中档题，难度不大，但

47、稍显繁琐，解决该题型题目时，利 用角的计算找出相等的角，再利用等腰三角形的性质找出相等的边或角，最后根据全等三角 形的判定定理证出三角形全是关键 2.（2016 湖北随州 10 分）爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发 现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN 是 ABC 的中线，AN BN 于点 P，像 ABC 这样的三角形均为“中垂三角形”设 BC=a，AC=b，AB=c【特例探究】（1）如图 1，当 tan PAB=1，c=4 时，a=4，b=4；如图 2，当 PAB=30，c=2 时，a=，b=；得点落

48、在点处连结得到四边形则的长是考点翻折变换折叠问题四点共圆等腰三角形的性质相似三角形的判定与性质分析只要证明得只要求出即可解决问题解答解即四点共圆故选广西百色分如图正的边长为过点的直线且与关于直线对 最小根据等边三角形的性质即可得出四边形为菱形根据菱形的性质即可求出的长度从而得出结论解答解连接连接交于点连接此时的值最小如图所示与为正三角形且与关于直线对称四边形为边长为的菱形且故选广西桂林分已知直线与 函数图象上点的坐标特征等腰三角形的判定分析以点为圆心线段长为半径做圆交抛物线于点点连接由直线可求出点的坐标结合抛物线的解析式可得出等边三角形再令抛物线解析式中求出抛物线与轴的两交点的坐标发现该两点与

49、重合18【归纳证明】（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想 a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并 利用图 3 证明你的结论【拓展证明】（3）如图 4，?ABCD 中，E、F 分别是 AD、BC 的三等分点，且 AD=3AE，BC=3BF，连接 AF、BE、CE，且 BE CE 于 E，AF 与 BE 相交点 G，AD=3，AB=3，求 AF 的长【考点】四边形综合题【分析】（1）首先证明 APB，PEF 都是等腰直角三角形，求出 PA、PB、PE、PF，再利用勾股定理即可解决问题连接 EF，在 RT PAB，RT PEF 中，利用 30性质求出 PA、PB、PE、PF，再利用勾股

50、定理即可解决问题（2）结论 a2+b2=5c2设 MP=x，NP=y，则 AP=2x，BP=2y，利用勾股定理分别求出 a2、b2、c2即可解决问题（3）取 AB 中点 H，连接 FH 并且延长交 DA的延长线于 P 点，首先证明 ABF 是中垂三角形，利用（2）中结论列出方程即可解决问题【解答】（1）解：如图 1 中，CE=AE，CF=BF，EF AB，EF=AB=2，tan PAB=1，PAB=PBA=PEF=PFE=45，PF=PE=2，PB=PA=4，AE=BF=2 b=AC=2AE=4，a=BC=4 故答案为 4，4 如图 2 中，连接 EF，CE=AE，CF=BF，EF AB，EF