福州屏东中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题含答案.pdf

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1、第1页/共6页 2023 年福州屏东中学高一期末试卷年福州屏东中学高一期末试卷一选择题（共一选择题（共 8 小题）小题）1.设复数11izi，那么在复平面内复数1z 对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.给定一组数据：2.1，3.0，3.2，3.4，3.8，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6，则这组数据的第 25百分位数是（）A.3.0B.3.2C.4.4D.5.33.如果一个水平放置平面图形的斜二测直观图是如图所示的直角梯形，其中2O A =，45B A O =,/B CO A .则原平面图形的面积为（）A 3 2B.6 2C.322D.344.如图所示，A

2、，B为正方体的两个顶点，M，N为其所在棱的中点，则异面直线AB与MN所成角的大小为（）A.30B.45C.60D.905.若()()3abc bcabc+=，且sin2sincosABC=，那么ABC是（）A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形6.如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB与平面 MNQ不平行的是（）的.第2页/共6页 A.B.C.D.7.如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为 4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点 P 出发，绕圆锥爬行一周后回到点 P 处，若该小虫爬行的最短路程为4 3，

3、则这个圆锥的体积为（）.A.153B.32 3527 C.128 281 D.8 338.如图，在四棱柱1111ABCDABC D中，底面ABCD为正方形，1AA 底面ABCD，12AAAB=，MN分别是棱1BB1DD上的动点，且1DNB M=，则下列结论中正确的是（）第3页/共6页 A.直线1AC与直线MN可能异面 B.三棱锥11AC MN体积保持不变C.直线AC与直线MN所成角的大小与点M的位置有关D.直线AD与直线MN所成角的最大值为3二多选题（共二多选题（共 4 小题）小题）9.(多选题)下列结论正确的是（）A.直线 a平面，直线 b，则 abB.若 a，b，则 a，b无公共点C.若

4、a，则 a或 a与 相交D.若 aA，则 a10.已知ABC的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，下列命题中正确的有（）A.若coscoscosabcABC=，则ABC一定是等边三角形 B.若22tantanaBbA=，则ABC一定是等腰三角形C.AB是sinsinAB成立的充要条件D.若2220abc+，则ABC一定是锐角三角形11.已知，是两个不同的平面，l，m 是两条不同的直线，则下列说法正确的有（）A.若/l，/m，则/l mB.若/l，/，l，则/lC.若l，m，则lmD.若，m，lm，则l 12.对于给定的ABC，其外心为O，重心为G，垂心为H，则下列结论正确的是（）A.

5、212AO ABAB=B.OA OBOA OCOB OC=C.过点G的直线l交ABAC、于EF、，若AEAB=，AFAC=，则113+=D AH与coscosABACABBACC+共线的.第4页/共6页 三填空题（共三填空题（共 4 小题）小题）13.如图，在四边形 ABCD中，13DCAB=，E为 BC的中点，且AExAByAD=+，则32xy=_ 14.已知()2,1a=与()1,2b=，要使atb+最小，则实数t的值为_.15.已知正三棱锥P ABC的顶点都在球 O 的球面上，其侧棱与底面所成角为3，且2 3PA=，则球 O的表面积为_ 16.如图所示，在棱长为 2的正方体1111-AB

6、CD ABC D中，E，F，G分别为所在棱的中点，P 为平面11BCC B内（包括边界）一动点，且1D P平面 EFG，则 P点的轨迹长度为_ 四解答题（共四解答题（共 6 小题）小题）17.已知向量()2,6a=，10b=.（1）若a与b共线且方向相反，求向量b的坐标.（2）若ab+与b垂直，求向量a，b夹角的大小.18.如图，在平面四边形ABCD中，23D=，6CD=，ACD面积为3 32求AC的长；的第5页/共6页 若ABAD，4B=，求BC的长 19.古人云“民以食为天”，某校为了了解学生食堂服务的整体情况，进一步提高食堂的服务质量，营造和谐的就餐环境，使同学们能够获得更好的饮食服务

7、为此做了一次全校的问卷调查，问卷所涉及的问题均量化成对应的分数（满分 100分），从所有答卷中随机抽取 100份分数作为样本，将样本的分数（成绩均为不低于 40 分的整数）分成六段：40，50），50，60），90，100，得到如表所示的频数分布表 样本分数段40，50）50，60）60，70）70，80）80，90）90，100 频数5 10 20 a 25 10（1）求频数分布表中 a的值，并求样本成绩的中位数和平均数；（2）已知落在50，60）的分数的平均值为 56，方差是 7；落在60，70）的分数的平均值为 65，方差是4，求两组成绩的总平均数z和总方差2s 20.如图，在四棱锥PA

8、BCD中，,ABCD AB 平面,24,2 7,PAD PAADDCABPDM=是PC的中点.（1）证明：BM面PAD（2）证明：平面ABM 平面PCD；（3）求三棱锥MPAB的体积.21.在ABC中，内角,A B C所对的边分别为,a b c，向量()()sinsin,sinsin,sinsin,sinmBCABnBCA=+=，且mn.（1）求角C的大小；（2）若3c=，求2ab+的取值范围.22.如图 1 所示，在矩形ABCD中，4AB=，6 2BC=，点E为线段AB上一点，1AE=，现将BCE沿CE折起，将点B折到点B位置，使得点B在平面AECD上的射影在线段AD上，得到如图 2所示的四

9、棱锥BAECD第6页/共6页（1）在图 2中，线段B C上是否存在点F，使得EF平面B AD？若存在，求B FB C的值，若不存在，请说明理由；（2）在图 2中求二面角BECD的大小第1页/共24页 2023 年福州屏东中学高一期末试卷年福州屏东中学高一期末试卷一选择题（共一选择题（共 8 小题）小题）1.设复数11izi，那么在复平面内复数1z 对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】【分析】先求出zi=，11zi=，即得解.【详解】由题得21(1)21(1)(1)2iiiziiii=+，所以11zi=，它对应的点的坐标为(1,1)，所以在复平面内复

10、数1z 对应的点位于第三象限.故选：C 2.给定一组数据：2.1，3.0，3.2，3.4，3.8，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6，则这组数据的第 25百分位数是（）A.3.0B.3.2C.4.4D.5.3【答案】B【解析】【分析】由百分位数的定义计算【详解】这组数据从小到大排列，共 10 个，由 1025%2.5，则这组数据的第 25百分位数是数据中的第三个数据 3.2，故选：B 3.如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是如图所示的直角梯形，其中2O A =，45B A O =,/B CO A .则原平面图形的面积为（）A.3 2B.6 2C.322D.34第2页/共24页【答案】

11、A【解析】【分析】作出原平面图形，然后求出面积即可【详解】45B A O =B O A =，则O A B 是等腰直角三角形，2A BOB=，又O CC B ，45C O B =，1BC=，在直角坐标系中作出原图形：梯形OABC，/OABC，2,1OABC=，高2 2OB=，其面积为1(2 1)2 23 22S=+=故选：A【点睛】方法点睛：本题考查斜二测法画平面图形直观图，求原图形的面积，可能通过还原出原平面图形求得面积，也可以通过直观图到原图形面积的关系求解：直观图面积为S，原图形面积为S，则24SS=4.如图所示，A，B为正方体的两个顶点，M，N为其所在棱的中点，则异面直线AB与MN所成角

12、的大小为（）为第3页/共24页 A.30B.45C.60D.90【答案】C【解析】【分析】由MN与正方体的面对角线平行，可得异面直线所成的角，此角是正三角形的内角，由此可得【详解】作如图所示的辅助线，由于M，N为其所在棱的中点，所以/MN PQ，又因为/AC PQ，所以/AC MN，所以CAB即为异面直线AB与MN所成的角（或补角），易得ABACBC=，所以60CAB=.故选：C 5.若()()3abc bcabc+=，且sin2sincosABC=，那么ABC是（）A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形【答案】B【解析】【分析】由给定边的关系式结合余弦定理求出角 A，再

13、由正弦定理角化边，结合边的关系式可得 c=b 即可推理作答.第4页/共24页【详解】由()()3abcbcabc+=，得22()3bcabc+=，化简得222bcabc+=，所以，由余弦定理得2221cos222bcabcAbcbc+=，因()0,A，所以3A=，因为sin2sin cosABC=，所以，由正余弦定理角化边得22222abcabab+=，化简得22bc=，所以bc=，即ABC为等边三角形 故选：B 6.如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB与平面 MNQ不平行的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析

14、】利用线面平行判定定理可知 B，C，D均不满足题意，A选项可证明出直线 AB与平面 MNQ不平行，从而可得答案.【详解】对于选项 B，如图 1，连接 CD，为第5页/共24页 因为 M，N，Q为所在棱的中点，所以 CD/MQ，由于 AB/CD，所以 AB/MQ，因为AB 平面MNQ，MQ平面MNQ，所以 AB/平面 MNQ，B选项不满足题意；对于选项 C，如图 2，连接 CD，因为 M，N，Q为所在棱的中点，所以 CD/MQ，由于 AB/CD，所以 AB/MQ，因为AB 平面MNQ，MQ平面MNQ，所以 AB/平面 MNQ，C选项不满足题意；对于选项 D，如图 3，连接 CD，因为 M，N，Q

15、为所在棱的中点，所以 CD/NQ，由于 AB/CD，所以 AB/NQ，因为AB 平面MNQ，NQ 平面MNQ，所以 AB/平面 MNQ，第6页/共24页 可知 D不满足题意；如图 4，取 BC的中点 D，连接 QD，因为 Q是 AC的中点，所以 QD/AB，由于 QD与平面 MNQ相交，故 AB 与平面 MNQ不平行，A正确.故选：A 7.如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为 4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点 P 出发，绕圆锥爬行一周后回到点 P 处，若该小虫爬行的最短路程为4 3，则这个圆锥的体积为（）.A.153B.32 3527 C.128 281 D.8 33【答案】C【解析】【

16、分析】作出该圆锥的侧面展开图，该小虫爬行的最短路程为1PP，由余弦定理求出123POP=求出底面圆的半径 r，从而求出这个圆锥的高，由此能求出这个圆锥的体积 第7页/共24页【详解】作出该圆锥的侧面展开图，如图所示：该小虫爬行的最短路程为1PP，由余弦定理可得22211111cos22OPOPPPPOPOP OP+=，123POP=设底面圆的半径为 r，则有2243r=，解得43r=这个圆锥的高为h=168 21693=，这个圆锥的体积为2111168 2128 23339381VShrh=故选：C 8.如图，在四棱柱1111ABCDABC D中，底面ABCD为正方形，1AA 底面ABCD，1

17、2AAAB=，MN分别是棱1BB1DD上的动点，且1DNB M=，则下列结论中正确的是（）A.直线1AC与直线MN可能异面 B.三棱锥11AC MN的体积保持不变 C.直线AC与直线MN所成角的大小与点M的位置有关第8页/共24页 D.直线AD与直线MN所成角的最大值为3【答案】B【解析】【分析】A选项，证明出四边形1CNAM为平行四边形，得到直线1AC与直线MN一定相交；B选项，作出辅助线，将三棱柱11AC MN体积分为两部分，证明出体积为定值；C选项，证明出线面垂直，得到线线垂直，确定直线AC与直线MN所成角的大小与点M的位置无关；D选项，作出辅助线，得到tanHMHNMNH=，其中 NH

18、为定值，求出 HM最大值为5a，得到直线AD与直线MN所成角的最大值不为3.【详解】连接 NC，MC，因为四棱柱1111ABCDABC D中，1DNB M=，底面ABCD为正方形，1AA 底面ABCD 显然四边形1CNAM为平行四边形，所以直线1AC与直线MN一定相交，A 错误；连接11,NC MC，取11AC的中点 O，连接 NO，MO，因为11NCNA=，11MCMA=，由三线合一可知：11NOAC，11MOAC，因为MONOO=，所以11AC 平面 MON，1DNB M=，设四边形11DBB D的面积为 S，则14MONSS=为定值，第9页/共24页 学科网（北京）股份有限公司故1111

19、1113AC MNAOMNCOMNVVVS AC=+=为定值，三棱锥11AC MN的体积保持不变，B正确；连接 BD，11B D，因为四边形 ABCD为正方形，所以 ACBD，又1DD 底面 ABCD，AC平面 ABCD，所以1DDAC，因为1BDDDD=，所以 AC11DBB D，因为 MN平面11DBB D，所以 ACMN，直线AC与直线MN所成角的大小与点M的位置无关，C错误；第10页/共24页 过点 N作 NHAD交1AA于点 H，连接 HM，则HNM为直线AD与直线MN的夹角，且90NHM=，其中tanHMHNMNH=，其中NH为定值，故要想直线AD与直线MN所成角的最大，只需 HM

20、最大，设正方形边长为 a，则 HN=a，显然当 N 与点1D重合，M 与 B 重合时，HM最大，最大值为()2225aaa+=，此时tan5HMHNMNH=，故 D错误.故选：B 二多选题（共二多选题（共 4 小题）小题）9.(多选题)下列结论正确的是（）A.直线 a平面，直线 b，则 abB.若 a，b，则 a，b无公共点C.若 a，则 a或 a与 相交D.若 aA，则 a【答案】CD【解析】【分析】根据线面关系，逐项分析判断即可得解.【详解】对 A，a 和 b 可以异面，故 A错误；对 B，b则 b和 可以相交，故 b 和 a可以相交，故 B错误；对 C，直线面外则直线和面相交或平行，故

21、C正确；在第11页/共24页 对 D，若 aA说明直线和面只有一个交点，故 D正确.故选：CD 10.已知ABC的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，下列命题中正确的有（）A.若coscoscosabcABC=，则ABC一定是等边三角形 B.若22tantanaBbA=，则ABC一定是等腰三角形C.AB是sinsinAB成立的充要条件D.若2220abc+，则ABC一定是锐角三角形【答案】AC【解析】【分析】根据正选定理和余弦定理在三角形中的应用对四个选项进行判断即可.【详解】根据正弦定理可知，sinsinsincoscoscoscoscoscosabcABCABCABC=，即tan

22、tantanABC=，所以在三角形中ABC=，ABC 一定是等边三角形，A正确；2222sinsintantansinsinsin2sin2coscosBAaBbAABABBA=，故222 ,ZABkk=+或222 ,ZABkk=+，在三角形中(),0,A B AB+故22ABAB=，或222ABAB=+=，故三角形是等腰三角形或者直角三角形，B错误；三角形中AB等价于ab，根据正弦定理可知sinsinabAB，充分性成立，sinsinAB根据正弦定理可知sinsinABab，故AB，必要性成立，故 C 正确；2222220cos02abcabcCab+=，可得角 C为锐角，但不可证明 A、B

23、 两角大小，不可判断ABC 一定是锐角三角形，D 错误.故选：AC.11.已知，是两个不同的平面，l，m 是两条不同的直线，则下列说法正确的有（）A.若/l，/m，则/l mB.若/l，/，l，则/lC.若l，m，则lmD.若，m，lm，则l 第12页/共24页【答案】BC【解析】【分析】由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系判断即可【详解】对于 A，若/l，/m，l和 m 可以相交可以异面，故错误；对于 B，若/l，/，l，则有/l，正确；对于 C，若l，则/l或l，又m，则lm正确；对于 D，若，m，lm，可能l，故不一定成立 故选：BC 12.对于给定的ABC，其外心为O，重心为G，垂

24、心为H，则下列结论正确的是（）A.212AO ABAB=B.OA OBOA OCOB OC=C.过点G的直线l交ABAC、于EF、，若AEAB=，AFAC=，则113+=D.AH与coscosABACABBACC+共线【答案】ACD【解析】【分析】根据外心在 AB上的射影是 AB 的中点，利用向量的数量积的定义可以证明 A正确；利用向量的数量积的运算法则可以OA OBOA OC=即OABC，在一般三角形中易知这是不一定正确的，由此可判定 B错误；利用三角形中线的定义，线性运算和平面向量基本定理中的推论可以证明 C 正确；利用向量的数量积运算和向量垂直的条件可以判定coscosABACABBAC

25、C+与BC 垂直，从而说明 D正确.【详解】第13页/共24页 如图，设 AB 中点为 M,则OMAB,AO cos OAMAM=()21coscos?22ABAO ABAO ABOABABAOOABABAB=,故 A 正确；OAOBOAOC=等价于()0OA OBOC=等价于0OACB=,即OABC，对于一般三角形而言，O是外心，OA不一定与BC垂直，比如直角三角形ABC中，若B为直角顶点，则O为斜边AC的中点，OA与BC不垂直.故 B 错误；设BC的中点为D,则()211111133333AGADABACAEAFAEAF=+=+=+，E,F,G三点共线，11133+=，即113+=,故 C

26、 正确；coscoscoscosABACAB BCAC BCBCABBACCABBACC+=+()coscoscoscosABBCBACBCCABBACC=+0BCBC=+=,coscosABACABBACC+与BC 垂直,又AHBC ,coscosABACABBACC+与AH共线，故 D正确.故选：ACD.【点睛】本题考查平面向量线性运算和数量及运算，向量垂直和共线的判定，平面向量分解的基本定理，属综合小题，难度较大，关键是熟练使用向量的线性运算和数量积运算，理解三点共线的充分必要条件，进而逐一作出判定.三填空题（共三填空题（共 4 小题）小题）13.如图，在四边形 ABCD中，13DCAB

27、=，E为 BC的中点，且AExAByAD=+，则32xy=_ 第14页/共24页【答案】1【解析】【分析】利用向量共线定理和向量的三角形法则及其多边形法则即可得出【详解】E为 BC 的中点，12BEBC=，又1233BCBAADDCABADABABAD=+=+=+，12112332BEABADABAD+=+，11213232AEABBEABABADABAD=+=+=+而AExAByAD=+，23x=，12y=322 11xy=故答案为：1 14.已知()2,1a=与()1,2b=，要使atb+最小，则实数t值为_.【答案】45【解析】【分析】先求出向量atb+的坐标，然后利用向量的模长公式得出

28、atb+关于t的表达式，利用二次函数的基本性质求出atb+的最小值以及对应的t值，可得出结果.【详解】()212atbtt+=+，()()222212=49555tatbtt+=+.当45t=时，atb+有最小值3 55，故答案为：45.【点睛】本题考查向量的坐标运算，同时也考查了向量模长的最值的求解，解题的关键就是将atb+转化为二次函数求解，考查运算求解能力，属于中等题.的第15页/共24页 15.已知正三棱锥P ABC的顶点都在球 O 的球面上，其侧棱与底面所成角为3，且2 3PA=，则球 O的表面积为_【答案】16【解析】【分析】作出图形判断外接球球心的位置，先求出相关线段的长度，然后

29、利用勾股定理求出外接球半径，代入球的表面积公式即可求解【详解】如图，正三棱锥P ABC中，设点 Q为ABC的中心，则 PQ平面 ABC，3PAQ=，3AQ=，PQ3 球心 O在直线 PQ上，连接 AO，设球 O 的半径为 r，则OAOPr=，3OQr=，在RtOAQ中，222OAAQOQ=+，即()()22233rr=+，解得2r=，球 O的表面积为2416r 故答案为：16.16.如图所示，在棱长为 2的正方体1111-ABCD ABC D中，E，F，G分别为所在棱的中点，P 为平面11BCC B内（包括边界）一动点，且1D P平面 EFG，则 P点的轨迹长度为_【答案】2【解析】【分析】根

30、据题意可证平面 FGE平面11ABCD，进而可得点 P 的轨迹为线段 BC，即可得结果.第16页/共24页【详解】因为11ADBC，则11,A B C D四点共面，连接11,CD AB，因为 E，F分别为所在棱的中点，则EF1AB，且EF 平面 FGE，1AB 平面 FGE，所以1AB平面 FGE，因为 F，G分别为所在棱的中点，则FG11AD，且FG 平面 FGE，11AD 平面 FGE，所以11AD平面 FGE，1111ABADA=，111,AB AD 平面11ABCD，所以平面 FGE平面11ABCD，且平面11BCC B 平面11ABCDBC=，可得当且仅当点 P 在棱 BC上时，即1

31、D P 平面11ABCD，满足1D P平面 EFG，所以点 P 的轨迹为线段 BC，长度为 2.故答案为：2.【点睛】关键点睛：根据题意利用面面平行转化线面平行，再结合平行关系分析求解.四解答题（共四解答题（共 6 小题）小题）17.已知向量()2,6a=，10b=.（1）若a与b共线且方向相反，求向量b的坐标.（2）若ab+与b垂直，求向量a，b夹角的大小.【答案】（1）()13b=，；（2）23=.【解析】【分析】（1）由已知设()2,6ba=，0.再由向量的模的表示可求得答案；（2）根据向量垂直的坐标表示可求得10a b=，再由向量的夹角运算求得答案.第17页/共24页()22101co

32、s22610a bab=+.0,，23=.【详解】（1）()2,6a=，且a与b共线且方向相反.设()2,6ba=，0.10=b，2243610+=，12=.()13b=，.（2）ab+与b垂直，()0abb+=，20a bb+=，10a b=，()22101cos22610a bab=+.0,，23=.18.如图，在平面四边形ABCD中，23D=，6CD=，ACD的面积为3 32求AC的长；若ABAD，4B=，求BC的长【答案】(1)3 2AC=(2)3 3BC=【解析】【分析】（1）由三角形的面积公式求得6AD=，再由余弦定理即可得到AC的长；（2）由（1）可得3BAC=，在ABC中，利用

33、正弦定理即可得BC的长【详解】23D=，6CD=，ACD的面积为3 321133 3sin62222ACDSAD CDDAD=6AD=由余弦定理得22212cos662 6()182ACADCDAD CDD=+=+=3 2AC=第18页/共24页 由（1）知ACD中6AD=，6CD=，23D=6DACABAD,3BAC=又4B=，3 2AC=在ABC中，由正弦定理得sinsinBCACBACB=即3 23222BC=,3 3BC=【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式在三角形中的综合应用，考查学生的计算能力，属于基础题19.古人云“民以食为天”，某校为了了解学生食堂服务的整体情况，进一步

34、提高食堂的服务质量，营造和谐的就餐环境，使同学们能够获得更好的饮食服务 为此做了一次全校的问卷调查，问卷所涉及的问题均量化成对应的分数（满分 100分），从所有答卷中随机抽取 100份分数作为样本，将样本的分数（成绩均为不低于 40 分的整数）分成六段：40，50），50，60），90，100，得到如表所示的频数分布表 样本分数段40，50）50，60）60，70）70，80）80，90）90，100 频数5 10 20 a 25 10（1）求频数分布表中 a的值，并求样本成绩的中位数和平均数；（2）已知落在50，60）的分数的平均值为 56，方差是 7；落在60，70）的分数的平均值为 65

35、，方差是4，求两组成绩的总平均数z和总方差2s【答案】（1）30a=，中位数为 75，平均数 74（2）总平均数是 62，总方差是 23【解析】【分析】（1）根据题意，由样本容量，求解a的值，再利用中位数和平均数公式，计算即可；（2）由表可知，分数在50，60）的问卷为 10 份，分数在60，70）的问卷为 20份，根据公式计算两组成绩的总平均数z和总方差 s2即可【小问 1 详解】由5 102025 10100a+=，解得30a=，第19页/共24页 前三段的频率之和，510200.350.5100100100+=()0.50.050.1 0.20.15+=，由成绩在)70,80段的频率为

36、0.3，所以中位数为7080752+=，51020302510455565758595100100100100100100 x=+2.255.51322.521.259.574=+=【小问 2 详解】由表可知，分数在50，60）的问卷为 10 份，分数在60，70）的问卷为 20 份，故10566520621020z+=+，()()222110566210 7206562204231020s=+所以两组成绩的总平均数是 62，总方差是 23 20.如图，在四棱锥PABCD中，,ABCD AB 平面,24,2 7,PAD PAADDCABPDM=是PC的中点.（1）证明：BM面PAD（2）证明：

37、平面ABM 平面PCD；（3）求三棱锥MPAB的体积.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）7【解析】【分析】（1）取PD中点N，连接,MN AN，证BMAN即可；（2）由PAAD=得ANPD，由AB平面PAD得ABPD，所以PD 平面ABN，从而得证；（3）MNAB，所以MN平面PAB，根据MPABN PABB NAPVVV=求解第20页/共24页【小问 1 详解】取PD中点N，连接,MN AN，1,2ABDC ABDC=,1,2MNDC MNDC=,MNAB MNAB=,ABMN为平行四边形，则BMAN，BM 面PAD，AN 面PAD，BM面PAD.【小问 2 详解】因为PAAD=

38、，所以ANPD，由AB平面,PAD PD 平面PAD，所以ABPD，又由ANABA=，且,AN AB 平面ABMN，所以PD 平面ABMN，又PD 平面PCD，所以平面ABMN 平面PCD，即平面ABM 平面PCD.【小问 3 详解】由（1）可得MNAB，且AB平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB，所以MPABN PABB NAPVVV=，因为AB平面PAD，可得13B NAPNAPVSAB=，又由4,7,APPNANPD=，所以213 7473,7322NAPANS=，所以13 72732B NAPV=，即三棱锥MPAB的体积为7.21.在ABC中，内角,A B C所对的边分别为,

39、a b c，向量()()sinsin,sinsin,sinsin,sinmBCABnBCA=+=，且mn.（1）求角C的大小；（2）若3c=，求2ab+的取值范围.【答案】（1）2C3=；（2）()3 2 3，.【解析】【分析】（1）根据向量mn得到22sinsin(sinsin)sin0BCABB+=，再由正弦定理将边化为角的表达式，结合余弦定理求得角 C的值（2）利用正弦定理求的ABC的外接圆半径，将2ab+表示成 A与 B的三角函数式，利用辅助角公式化为角 A的函数表达式；再由角 A的取值范围求得2ab+的范围【详解】（1）mn0m n=22sinsin(sinsin)sin0BCABB

40、+=222cabab=+1cos2C=又()0,C .23C=.（2）23C=，3c=ABC 外接圆直径 2R=2 24sin2sinabAB+=+4sin2sin3AA=+4sin3cossinAAA=+3sin3cosAA=+2 3sin6A=+0,3A,66 2A+1sin,162A+2ab+的取值范围是()3,2 3.第22页/共24页【点睛】本题考查了向量垂直的坐标表示，正弦定理、余弦定理的综合应用，辅助角公式化简三角函数表达式，知识点多，较为综合，属于中档题22.如图 1 所示，在矩形ABCD中，4AB=，6 2BC=，点E为线段AB上一点，1AE=，现将BCE沿CE折起，将点B折

41、到点B位置，使得点B在平面AECD上的射影在线段AD上，得到如图 2所示的四棱锥BAECD（1）在图 2中，线段B C上是否存在点F，使得EF平面B AD？若存在，求B FB C的值，若不存在，请说明理由；（2）在图 2中求二面角BECD的大小【答案】（1）存，14B FB C=（2）60【解析】【分析】（1）在B C上取点F，使得14B FB C=，过F作CD的平行线交B D于M点，连接EF，AM，利用平行线的性质可证明四边形AEFM为平行四边形，即可得到EFAM，再利用线面平行的判定定理证明即可；（2）记点B在线段AD上射影为O，过点O作CE的垂线，垂足为N，连接B N，利用线面垂直的判定

42、定理和性质定理可得CEB N，从而得到B NO为二面角BCED的平面角，在三角形中利用边角关系求解即可【小问 1 详解】在B C上取点F，使得14B FB C=，过F作CD的平行线交B D于M点，连接EF，AM，在第23页/共24页 因为MFCD且14MFB FCDB C=，又AECD且14AECD=，所以AEMF且AEMF=，故四边形AEFM为平行四边形，故EFAM，又EF 平面B AD，AM 平面B AD，所以EF平面B AD.【小问 2 详解】如图，记点B在线段AD上射影为O，过点O作CE的垂线，垂足为N，连接B N，因为CEON，CEB O，ONB OO=，ON，B O平面B ON，所以CE 平面B ON，又B N平面B ON，所以CEB N，则B NO为二面角BECD的平面角，在矩形ABCD中如图，3BE=，6 2BC=，则9CE=，2 2BN=，1EN=，又EBNOBA，所以BNBABEBO=，可得3 2BO=，第24页/共24页 故2ON=，则1cos2ONB NOB N=，所以二面角BECD的大小为60