2023年高考数学一轮复习 新高考5.pdf

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1、专题三函数概念与基本初等函数 3.1 函数及其性质基础篇 固本於基考点清单 锦充才点知记#、理.力 学。易钙治单考 点 一 函数的概念及表示1.函数与映射的概念函数映射两集合从、8设A、8是两个非空数集设/LB是两个非空集合对应关系f Q B如果按照某种确定的对应关系/.使对于集合A中的 任 意 一个数%在集合8中都有唯一确定的数/(K)和它对应如果按照某一个确定的对应关系/.使对于集合A中的任意一个元素,在集合月中都有唯一确定的元素)与之对应名称称力4-8为从集合4到集合8的一个函数称对应关系/：4为从集合A到集合5的一个映射记法y=/(x),xeA对 应 关 系82.函数的定义域、值域在函

2、数=/(%)/仁力中，叫做自变数，欠的取值范围4叫做函数的定义域，与其的值相对应的y 值叫做函数值.函数值的集合/(黑)be川叫做函数的且曳.显然，值域是集合B 的子集.3.函数的三要素:定义域、值 域、对应关系.4 .相等函数：如果两个函数的定义域相同，且对应关系完全一致,则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.考 点 二 分段函数1.常用的函数表示法:解析法、列表法、图象法.2.分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.注 意(1)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其

3、值域等于各段函数的值域的并集.(2)分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先确定自变量的取值属 哪个区间，再选取相应的对应关系，离开定义域讨论分段函数是毫无意义的.考 点 三 函数的单调性及最值1.函数的单调性(I)单调函数的定义增函数减函数续表增函数减函数定义一般地.设函数/(、)的定义域为/.区间OU/,如果对于任意*1,%2 G 0,且明。2都有/(、)(.”)都有/(、).(金)函数/(%)在 区 间D上是 增函数函数/(“)在 区 间D上是 减函数图象描述斗 湾)芦)邛 猛):自左向右看图象是上升的1叼A)0|*2 X自左向右看图象是下降的知 识 拓 展(a)单调函

4、数的定义有以下两种等价形式:V/e a,6 ，且 声 七，(i)f八(x.)八f(x2-)0 月小)在*/)上是增函3数；/(),/(工)0 於/(工)在 ,6 上是增函数；(%,-%2)/(%0,则 做 )与/(%)的单调性相同，若&0)在公共定义域内与尸/(%),y的单调性相反.(i v)函数.=/(#)(/(%)H 0)在公共定义域内与y:无T的单调性相同.(2)单调区间的定义若函数/(%)在区间。上是单调增函数或单调减函数，则称函数/()在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y =/(%)的单调区间.注意单调区间只能用区间表示，当一个函数的增区间(或减区间)有多个时,不能用“U

5、”连接，而应该用“和”或“，”连接.例如：y =的单调减区间为(一 8,0 )和(0 ,+8),但不能写成X8,0)U(0,+8).专题三函数概念与基本初等函数/二2.函数的最值前提一般地，设函数y=/(x)的定义域为/,如果存在实数M满足条件(1)对于任意的力/,都有/(x)WM(2)存在与 e/,使得/(%)=(1)对于任意的x E/,都有(2)存 在 使 得 幺&2=M结论M是/(x)的最大值M是/(工)的最小值考 点 四 函数的奇偶性1.函数的奇偶性2.奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性/里，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性崩盘.奇偶性定义图象特点偶函数一般

6、地,如果对于函数/(*)的定义域内任意一个X,都有/(-*)=/(*)，那么函数/()就叫做偶函数关于V/对称奇函数一般地，如果对于函数/(%)的定义域内任意一个”,都有/(-、)=-/(%)，那么函数/()就叫做奇函数关于燎点对称(2)在公共定义域内，(i)两个奇函数的和是奇函数,两个奇函数的积是偶函数;(i i)两个偶函数的和、积都是偶函数；(i i i)一个奇函数、一个偶函数的积是奇函数.考 点 五 函数的周期性1.周期函数的概念对于函数/(%),如果存在一个非零常数兀使得当x取定义域内的任何值时，都有/(/丁)=/(力)，那么函数/(1)叫做周期函数，非零常数7,叫做/(动的周期.如果

7、所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做/(%)的最小正周期.2.关于函数周期性的几个常用结论(1)若/(/)=/.(欠+/，)(。片6)，则/(.二)的周期是 .(2)若/(%+a);)，则/(动的周期是7二 21 1 .若/()=念 或/()=-J r，其中/()4，则f x)的周期是7=21“I .(4)设/小)是R上的偶函数，且图象关于直线“a(a X O)对称,则/(%)是周期函数,21 a I是它的一个周期.(5)设/(“)是 R 上的奇函数，且图象关于直线4 =a(a X O)对称，则/(%)是周期函数,4 l a l 是它的一个周期.整 篇 土 蛙 圣5年高考3年

8、模拟A版高考数学/-2知能拓展 深*割也知黄为温 4-&於升关钝能力考 法 一 函数定义域的求法例1 函数/(彳)=E F+I n(x+4)的定义域为.解题 导 引 根据函数式的结构列不等式组，然后解不等式组求出定义域.(4-4 20解析 要使/(%)有意义，则有1+4 0 .函数/(欠)的定义域为(-4,1 .筌 案(-4,1 方法 总 结 已知函数的解析式求定义域，解此类题要从使解析式有意义的角度入手.一般来说，在高中范围内涉及的有：(1)开偶次方时被开方数为非负数；(2)分式的分母不为零；(3)零次辕的底数不为零；(4)对数的真数大于零；(5)指数、对数的底数大于零且不等于1;(6)实际

9、问题还需要考虑使题目本身有意义.例2 已知函数/(2 第+1)的定义域为(0,1),求/(“)的定义域.解题 导 引 函数/(2)：+1)中的自变量是海？(0,1)是谁的取值范围？要求/(冗)的定义域是求/(2%+1)中谁的取值范围？解 析./(2%+1)的定义域为(0,1),0 4 1 l2 x+l3,./(“)的定义域是(1,3).方法 总 结 求复合函数的定义域的题目一般有两种情况：(1)已知y=Jx)的定义域是4,求 y=/g(冗)的定义域，可由g(%)c A求出力的范围，即为y=/I g(%)的定义域.(2)已 知 广 的 定 义 域 是 上 求)，=/(%)的定义域，可由 A求出g

10、(x)的范围,即为)=/(%)的定义域.经典例题教师用书例 已知函数./(%)的定义域为(-1,0),则函数y=/(2 r+1)的定义域为()C.(-l,0)D.(十,1)解析 由已知得 1 2 4+1 0,解得一 1 ；E 0,解得4lo g2(x-l)K 0,2 3,因此函数/(%)的定义域为 3,+8 ).(1-Y 0 I(2)要使函数/(%)有意义，则 解得不-%0,2函数/(#)的定义域为考 法 二 函数解析式的求法例3 已知/(4+1)=工+2 后，求/()的解析式.解题导引 解法一：设 =4+1,解出1=(L l)2,代入函数式得/(#)的解析式.解法二:把式子力+2 后配凑为关

11、于五+1 的式子结构将yu)的解析式.解 析 解法一:设 f=4+1(/2 1)x=(/-l)2,.,./(/)=(/-1)2+2(L1)=/-2，+1+2L2=-L/./(4)Z-I(QI)解法二:：x+2Jx =(Jx )2+24x+1-1 =(7x +l )2-1,4x+1)=(4x+1)2-1,/./(x)=x2-1 (x 1).方法 总 结 1.换元法.已知/4(*：)=g(4 ),求/(名)时，可设/“二),从中解出明代入g(%)进行换元.应用换元法时要注意新元的取值范围.2.配凑法.已知求/(力)的问题，可把g(%)整理或配漆成只含h(x)的式子，用 x 将似动代换.例4 已知/

12、(%)是一次函数且满足yu+i)-M；E-i)=2+1 7,求/(%).解题导引 设/(x)=a%+Z)(#O)，代入 3/(x+1)-2f(x-1)=2/1 7得关于a,b的方程组，求出afb的值，得/(冕)的解析式.解析 设/(%)=a*+6(。#0).3/(x+l)-2/，(x-l)=2 x+1 7,3ax+3a+36 -2ax+2 a -2 6 =2 x +1 7.ax+b+5a=2x+1 7.(a=2,(a =2,/./.：.f(x)=2x+l.l6+5 a=1 7,U =7.八方 法 总 结 待定系数法.前提是已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，比如二次函数可设为/(%)=/+

13、及+。(。六0),其中“、/、a =6=.la+6=1 2因此，/(*)=-y x2+-y-x.(2 )解法一(配凑法)：J +=层)-用=(TRT T，所以/(x)=X3-3%(%2 或 4这 一 2).解法二(换元法)：令，=什-(，、2 或，w-2),则r-2=x2+X十,r+二卜+?)(：，-+)=“一 3)，所以/二工(/一3),所以/(嵬)=/-3%(%N 2 或 W-2).2 2(3)令，=一+l(x 0),则化=一-(/1),X t-12 ,2/(，)=1 g/(%)=1 g f(%l)/-I x-1(4)由/(：v)+纨-x)=工-上得/(-x)+2f(x)=-x+,X X则

14、 /(%)=-x+.(5 )因为对任意4 e R,有/(/(欠)-欠 2 +4)=/(%)_勿 2 +%有且只有一个实数与，使得/(：%)二0，所以对任意 w R,有f(x)-x2+x=x0.在上式中令=%,有/(/)-x o+xn=0,又因为/(3 )=3,所以X0-XQ=0,故久 =0 或.%=1.若/=0,则/(x)-x2+x =0,即/(%)=-.*,但方程42 -%二 4 有两个不同实根，与题设条件矛盾，故 40#0；若,%=1,则有Jx)-x2+x=1 ,即/(4)=/_%+,易验证该函数满足题设条件.综上，所求函数解析式为y()=x2-x+i.考 法 三 分段函数问题的解题策略(

15、21-2例6已知函数/(冤)=；二 且/()=-3,则l-lo g2(x+l),X1,/(6-6 1)=.解题导引 分类讨论。的范围，求出a的值，得/(6-a)的 值.解析 当 E 时，/()=2-2=-3,无解.当 a 1 时，由/(。)=-lo g2(a+1)=-3 得 a+1 =8a =7,./(6-a)=/(-D=2 -2 =-1-.3畿-y方 法 总 结 分段函数问题的常见题型及解法1.求函数值.弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式,求“层层套”的函数值,要从最内层逐层往外计算.专题三函数概念与基本初等函数/-32.求函数最值.分别求出每个区间上的最值,然后比较大小.3.解不等式

16、.根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解.4.求参数.“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程.经典例题教师用书例已知函数/(%)=42+2ax,x22.,若/(/(I)3/,则 a2+1,x 3 1,得 9+6a3a即 Q2-2Q-3 0,解得一 la g x),解析 g(x)-x=x2-x-2=(x-2)(x+1).当4 8,-1)U(2,4-00)时,7了，结合二次函数的性质可知/(%)2.当 w -1,2 时，/(%)=x2-x -2=号)-彳9，由 二 次 函 数 的 性 质 可 得 f(x)e所以函数的值域是卜等9,。U(2,+oo).4答案 W，()U(2,+

17、8)5年高考3年模拟A版高考数学考 法 四 判断函数单调性的方法例1 已知/(%)=/+/,.证明：/(%)在(0,+8)上为增函数.解题导弓I 证法一：任 取”,%2 (0,+8),且 阳 x2，然后作差/(加)于(叼)，变形、定号、判断.证法二：先求导数/(%),然后判断/(冕)与零的大小关系，最后作出判断.证明 证法一：任取阳,x2 G (0,+8 )，且 Xj 0,e 1 ,X+x20,1，.二一 1 0,:./(x j f(x2)0,e J 0,(力)o,.,./(x)在(0,+8)上为增函数.方法总结(1)用定义法判断函数/(,:)在给定区间。上的单调性的一般步骤：必(飞厅孰)每通

18、过因式分解、配方、通分、分母(分子)方理化,区 产 1 等方法，向有利于判断差的符号的方向变形温?(J 确定%-z w(或危匕他)的正负,当亚负不确,丁 厂 定时需进行分类讨论 下.论 卜 丽 I函数/在给定区间上的单调性(2)用导数法判断函数单调性的步骤为求定义域一求导一解不等式广(%)0(或广(动 0)T 单调性.解析式为三次或分式或指数、对数式的复合函数的单调性常用导数法判断.例2 函数夕二E l(l r)的增区间为()A.(-00,0)C.0,+o o )D(,+8)解题 导 引 去绝对值符号转化为分段函数，画图象得增区间.解析y-x(l-x)=x(-x)(xO),(-x2+x(x0)

19、-x(1-x)(x0)lx2-x(x0)(X-T)+十(%。)，G T)-T(x =/(%)为增函数4 二 g(”)为减函数，则y=f(x)-g(x)为增函数，尸 g(%)-f(x)为减函数.例3 求函数/()=log+(-r-2%+3)的单调区间.解题导引 先求定义域，然后拆分函数式为y=log!”,=-一2冕+3,判断单调性得单调区间.解 析 由已知得-.-2 4+3 0,-3化 1./(“)的定义域为以 I-3“1.令 =r2-2%+3,-3%=/)在区间(一8 ,0)内单调递增，且/(%)=/(%)，若。=/(l o g 十 3)=/(2 7 2)卜则a,6,c 的大小关系为()A.a

20、 c 6 B.bca C.bac D.abc解题导引 由/(-%)=/(：丫)得/()为偶函数，然后得出/(%)在(0 ,+8 )上的单调性,从而比较大小.解析 易知/(r v)为偶函数，因为a =/(l o g+3)=/(-l o g23)=/(!y,0 2-2 y 2-2 0.又/(工)在区间(-8 ,0)内单调递增，且/(工)为偶函数，所以/(x)在区间(0,+o c )内单调递减，所以/(1。3)/(；)c “.故选 B.答 案B方 法 总 结 应用函数单调性比较大小时应将自变最转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.例5(2 0 2 0 河北邯郸空中课堂备考检测，1 2)设

21、/(工)=e*+#+y Q 若 对 任 意 的 不 等 式 f(2 r)N/(%+e-x+l ,x 0 时，-0,则 /(-工)=e +/+1 =/(#)；当 “0,贝 I /(-%)=e 1-x+1 =/(%),所以对任意(-8 ,0)U(0,+8),都有/(-)=/(2.所以/U)为偶函数.显然/(4)在0,+8)上递增，在(-8,0)上递减，所以1 2 rl N l#+2/n l ,两边平方得 4 一 4#+黑 2 H ”?+4 状 +4 m 2,整理得(m +1 )%1+rn2 W 0,贝 I.(m+1),(m +1)-1 +m2 W 0,有，2(m+1)m-1 W 0,解得-i W

22、m W O,所以m的最大值为0.蜃BC-T U D(-T解 析(1)令，=%2-a K+3 a,则 y=k)g-，易知t X2-(LX-3U在(-8，f-)上单调递减，在(f,+0C )上单调递增.y-i o g4-(x2-ax+3a)在区间(2,+8)上是减函数，/.i=x2-“%+3 0在(2,+8)上是增函数，且在(2,+8)上/0,.2 三微-，且4-2 a+3 a 2 0,.a e -4,4 .故选 D.0 a 1,(2)由题意得上4r会t-3 2 0,解得胃1-W a 忘彳3.3 a l o g(0+l )+1,a的取值范围是d ，故选C.答 案(1)D (2)C方法总结 利用单调

23、性求参数.视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数.需注意:若函数在区间明刈上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；对于分段函数的单调性，除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值.考法六 函数奇偶性的判断及应用例7 判断下列函数的奇偶性.(0/()=(1)次 亘;(2)/(%)；v 1-x l；v-2 1-2(3)/(x)=2/八、(4)/(%)=(5)/(x)=x2-1 x-a I +2.1 +%解 析(1)由 二 N O,得定义域为-1,1),不关于原点对称，故/(X)为非奇非偶函数.(2)由得定义域为(-1,0)U (0,1)

24、,关于原(l x-21-2#。，方 法 总 结 解此类不等式主要是利用函数的单调性脱去函点对称，这时/(%)=l g(l-4 2)=l g(1 3)-(x-2)-2 x数符号.可按下列步骤进行.(I)先将不等式化为/(啊)/(未)的形式.(2)若函数在(a 在)内递增，则由a X|b,ax2b,xl x2联立解不等式组;若函数在(力)内递减，则由axb,ax2x2联立解不等式组.(3)写出不等式的解集.例 6(I)若函数 y-l o gg(x-a x+3 a)在区间(2,+8)上是减函数，则 a的取值范围为()A.(-o c ,-4)U 2,+8)B.(-4,4 C.-4,4)D.-4,4(2

25、)(2 0 1 9 福 建 三 明 模 拟，7)已 知 函 数/(%)二 r2+(4 t t-3)x+3 ,xTv/(-x)=l g 1-(-r)2-x:收(1 =,.,./(%)为奇函数.X(3)当 x 0,则 /(-x)=(-x)2-(-%)=x2+x=/(x);当%0 时,-x 0，则 /(-%)=(-x)2+(-%)=x2-x=/(x)./.对任意 x e(-8,0)U (0,+o o )都有/(-x)=/(%),故/(比)为偶函数.(3-/0,f L(4)由 付 4 =_ 或化/.函数/(%)的定义域为又 对 任 意 的 1|-7 3 ,A|,/(x)=0,/(-%)=/(%),且(

26、4)./(%)既是奇函数又是偶函数.(5)函数/(4)的定义域为R.当 a=0 时，/(%)=/(-%),./(%)是偶函数;专题三函数概念与基本初等函数/-5当 a-0 时，f(a)=a+2,/(-a)=a-2 la l+2,/(a)K/(-a),iL/(a)+/-(-a)=2(a2-la l+2)=2(lOl-y)2+y 0 O,./(X)是非奇非偶函数.方法总结 判断函数奇偶性的一般方法1.定义法 非奇非偶函数否 求函数定义域玄鬣,于产肝许一(确定/与/(T)的关系-结论2.图象法I 加)的图象道 断:关 于.，轴 对 用 伍)为一函数3.性质法若/(x),g(x)在其公共定义域上具有奇

27、偶性，则奇+奇=奇；奇x奇=偶，偶+偶=偶，偶x偶=偶，奇x偶=奇.例 8 已知函数/(4)=2”；的最大值为优最小值为 m,则 M+m等于()A.O B.2 C.4 D.8解析 易知/(%)的定义域为R,5年高考3年模拟A版高考数学/-6设 g(4)=2=1，则 g(r)=g(x)(x e R),g(%)为奇函数，.g()m+g()min=O.M=/(x)a =2+g(%)z ,m=/(%)-=2+g(%)tni,.M+m.=2+g(/)x+2+g(%)m in =4,故选 C.答 案 C方 法 总 结 函数奇偶性的应用(1)已知函数的奇偶性求函数的解析式.抓住奇偶性讨论函数在各个分类区间上

28、的解析式，或充分利用奇偶性得出关于/(%)的方程，从而可得/(”)的解析式.(2)已知带有字母系数的函数的表达式及其奇偶性，求参数.常常采用待定系数法,利用/(4)：(-%)=0 得到关于字母的恒等式，由系数的对等性可得出字母的值.(3)求函数的单调区间，首先应注意函数的定义域，函数的增减区间都是其定义域的子集;其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间.常用方法有:根据定义,利用图象和单调函数的性质等.(4)奇函数=图象关于原点对称；偶函数。图象关于)轴对称.因此在关于原点对称的区间上.奇函数的单调性相同；偶函数的单调性相反.考 法 七 函数周期性的确定及应用例 9(1)已知定义在R

29、 上的奇函数/(%)满足/(%-4)=-f(x)，且在区间 0,2 上是增函数，则()A./(-2 5)4(1 1)4(80)B./(8 0)/(ll)/(-2 5)C./(11)5 8 0)。(-25)D./(-2 5)(8 0)=T：+/+1u m0)-得值域)(3)三角换元法一令 x=3cos 0,O g =3cos 6+4+3sin 8=3次葡“卜+)+4-4 得值域-配 数 式 娜 为 g卑一|式法|2()-2)x+3j+7=0 1-:-J=2(尸 2)z4(-2)(3尹7)NO卜4 得值域(5)%.|利用换底公式变形得=1。+1 匚 等式法J 嗝 4一 分类讨论.得值域)5 x-1

30、 5 7百 由 豆 可 得 y=7-ETT-3 wT，丽7 W-E7T TW 了7 ，t8 SW,即 y e y8,3.1 一,(2)(代数换元法)令修 JF石 U N O),贝 4 x =.：.y =-r+，+1=-(，一+-(，M0).当，二!，即 工 二-时,，取最大值，2/4 2 8Kn ax =告，且y无最小值,函数的值域为(-8 .(3)(三角换元法)令 x=3 c o s 0,0 E.O,TT,如】y=3 c o s 9+4+3 s i n 6=3 7 T s i n(e+?)+4.，、八 T T c I T 5 7 T Jl ./TT .0 言。这T T,.忘。+丁这-k与s

31、i n 0+-W 1.4 4 4 2 4/.1 忘)W 3 +4,.函数的值域为 1,3&+4.(4)(判别式法)观察函数式，将已知的函数式变形为/2 +2/+3 y=2/+44-7,整理得(y-2)：d+2(y-2)A：+3)+7 =0.()显然y K2(运用判别式法之前，应先讨论一的系数).将(派)式看作关于力的一元二次方程.易知原函数的定义域为R,则上述关于二的一元二次方程有实根，所以A二 2(厂 2)了-4(尸 2)(3 产 7)N O.解不等式得-；W y W 2.又,/2,二原函数的值域为卜;，2卜(5)y =l o g3x+l o gx3-1 变形得 y=l o g v r+-1

32、.嗨欠当 l o g s 化 0,即 1 时 ty =l o g3x+-1 22-1 =1,岫-当且仅当l o g3x =1,即比=3时取=当l o g/0，即 1 时,y W -2-1 =-3.当且仅当 睡3%=-1,即 工W时取“=”.综上所述，原函数的值域为(-8 ,-3 U l,+8 ).例11(1)用 m i n|a J),c表示a J),c三个数中的最小值.设/(%)=m i n|2二 4+2,1 0 r 1 N O),则/(%)的最大值为()A.4 B.5 C.6 D.7(2)(20 1 9 陕西西安高新区一中模拟，6)已知函数/.(“)=5T o g 3”,4 (3,27 ,则

33、/(%)的值域是()A.(2,4 B.2,4)C.-4,4)D.(6,9 解 题 导 引(I)画出函数/(%)的图象，由图象得最大值.(2)函数/(%)二5-l o g3x为减函数，利用单调性求值域.解 析(1)作出/(%)的图象(如图实线部分)，可知4(4,6)为函数/(#)图象的最高点.(2)因为y-l o g3x为增函数，所以/(%)=5-l o g3x为减函数.因为 3。这27,所以 l l o g 3%W3,所以 2W/(%)4,即/(%)的值域是 2,4).雀 塞(D C (2)B方法总结 求函数值域(最值)的方法(1)分离常数法形如产竺 0,6 0).用此法求函数值域时，要注意条

34、件“一正，二定，三相等”.(8)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值.(9)图象法:先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点,求出最值.(1 0)导数法:先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值,求出最值.专题三函数概念与基本初等函数/瑞 3.2 二次函数与幕函数 篇 _ _ 四 比 拿考点清单 裸 行4点 知 武 林 理 高 刀 隼 方 易 企 蒲 单考 点 一 二次函数1.二次函数的解析式(1)一般式：/(比)=ax1+bx+c(#0)；(2)顶点式:若二次函数图象的顶点坐标为(入A),则其解析式为/(%)=)2+)(a#0)；(3)两根式:若相应一元二次方程的两根为阳

35、，3，则其解析式为/(化)=)(%-叼 W0).5年高考3年模拟A版高考数学/-8(1)当 即 对 称 轴 在 所 给 区 间 内 时，/(%)的最2小值在对称轴处取得，其最小值是4-，)=嚓；若-(言尊a篇d型产知能拓展 深刻 制 桁 知i?.内&面 也 升 关 钝 傥 力考 法 一 求二次函数在闭区间上的最值(值域)例 1(2 0 1 9山西晋中模拟，1 8)已知/(%)=%2-2工+1-竽，则/(%)的最大值为了(“)；若-竽，则/(X)的最大值22a 2为/(m).(2)当-3，即给定的区间在对称轴的一侧时，2a/(%)在上是单调函数，若-则/(%)在上是增函数，/(%)的最小值是/(

36、机)，最大值是/(n)；若则/(比)在 上 是 减 函 数,/()的最小值是f(n)，最大值是f(m).(3)当不能确定-g 是 否 属 于 区 间 时，则需分类讨2a论，以对称轴与区间的关系确定讨论的标准，然后转化为上述(1)(2)两种情形求最值.考 点 二 幕函数1.幕函数的定义一般地，形如)二./(“R)的函数称为某函数,其中。为常数2.幕函数 y=%,的图象xy-xy=x2y-xy=%亍t y=x 1定义域RRR0,+o c)(-0 0 ,0)U(0,+o c)值域R0,+OO)R0,+o o )(-0 0 ,0)U(0,+8 )奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(-0 0 .0)上减，(

37、0,+oo)上增增增(-0 0 ,0)上减,(0,+Q O)上减定点(0,0),(J)(1,1)a,a e R.(1)求/(“)在 0,2 上的最小值g(a);(2)若关于“的方程4 2，)=(1)4-a(2*+1)-2*讨+3有正实数根，求实数”的取值范围.解题导引(1)通过讨论。的范围，结合二次函数的性质求出函数的单调区间，求出函数的最小值即可；(2)化简方程,得到得-Q2+2=0,令 =2 0),问题转2化为7也二。在(1,+8)上有实根,求出a的取值范围即可.解 析(1)当a=0时，/(%)=-2/1在 0,2上单调递减，故最小值 g(a)=f(2)=-3.当“声0时，/(化)=ax2

38、-2x+1 -a是关于力的二次函数，其图象的对称轴为直线x=.a当0时,工=-0=0,a当_-e(O,2),即a时,/(%)在(0,十)上单调递减，在上单调递增，故最小值g(a)=W)=1-a-;e 2,+8 ),即=时，/(.H)在 0,2 上单调a2递减，故最小值 g(a)=/(2)=3a-3.3a-3,aW 十，综上所述,g(a)=J 1-,Va 2(2)/(2*)=(a+l)4-a(2*+l)-2M,+3 即 a-4*-2*+l-a =(a+1)4-a(2+l)-2+3,化简得 4-a-2+2=0,令，=2 0),则 方 程 变 形 为+2=0,根据题意得，原方程4-“-2+2=0有正

39、实数根，即关于/的一元二次方程-”，+2=0有大于1的实数根，2而方程 I2 at+2 0 i-z a 在(1,+o o )上有实根，2令 F(/)=+ZJG(1 ,+oc),则 一在(1 ,+8)上的值域为 2笈,+8 ),故 a 272,+oc).方法 总 结 二次函数求最值问题，一般先用配方法化成)；a(:E-m)2+(a片0)的形式,得其图象的顶点坐标为(机,)，对 称 轴 为直线与二也再结合二次函数的图象求解,常见的有三种类型：(1)对称轴、区间都是给定的；(2)对称轴动，区间固定；(3)对称轴定，区间变动.解决这类问题的思路是抓住“三点一轴”进行数形结合,三点指的是区间两个端点及两

40、个端点的中点，一轴指的是对称轴.具体方法是利用函数的单调性及分类讨论的思想求解.对于(2)、(3),通常要分对称轴在区间内、对称轴在区间外两大类情况进行讨论.简单地讲，轴在区间外，端点处取最值，轴在区间内，顶点和端点处有最值.经典例题教师用书例 若函数/(工)=/_2%+1在区间 a,a+2上的最大值为4,则Q的值为()A.I B.-l C.1 或-1 D.0解析:/(X)=X2-2X+1 =(X-1)2 在 区 间 ，+2上的最大值为4/(-1)=/(3)=4,.函数/(%)在区间 a,a+2上的最大值在久=-1或x=3处 取 彳 导.结合二次函数图象可得。=-1,或a+2=3,a=-1,或

41、a=1.故选C.答 案C例(2016皖北第一次联考,8)已知函数/(“)=-+2”+在区间 0,1上的最大值为2,则a的值为()A.2 B.-1 或-3C.2 或-3 D.-1 或 2解析 函数/(化)=-(x a)+a2 a+I图象的对称轴为力二a,且开口向下，分三种情况讨论如下：当aWO时，函数f(x)=-x2+2 x+l-a在区间 0,1 上是减函数，./(*)z=/(0)=1-%由 1一 =2,得 二 一1.当0aW l时，函数/(%)=-/+2的+1一.在区间 0,上是增函数，在(a,1上是减函数，-2+2a2+l-a=a2-a+1,由 a2-a+1 =2,解得 与 亘 或o=0 时

42、，函数/(%)=-42+2%+1_。在区间 0,1上是增函数,./(.皿 也 1)=-l+2a+l-a=2,/.a=2.综上可知，a=T或a=2.答 案D例 设函数/(%)=26-6%+3,%1,4 ,则/(%)的最小值和最大值为()3A.-,11 B.1,33C.,43D.,11一6 3解 析 函数图象的对称轴方程为X =-2x2 23v a=20,.抛物线开口 向上，1,4,3 3一.当=彳时,/(%)取得最小值且/(%)炭 小 低=-彳；当x=4时J(.K)取得最大值，且/(%)最 大 值=11.故选D.O D例(2016浙江名校(柯桥中学)交流卷四，1 8)已知/(力)=x-3 a ,

43、g(rv)=(2+1 )x.(1)若 的 解 集 中 有 且 仅有一个整数,求a的取值范围；(2)若1/(%)-g(4)I W4a在%e 1 ,4Q上恒成立,试确定a的取值范围.解题导引(1 )|构造函数 尸(.i)=/(%)-g()|由(0)=-3/这0,讨论实数a是不是0a=0时，求出不等式解集并进行检验(舍去)“W0时,仅需，F(l)0,-I解不等式组得结论|专题三函数概念与基本初等函数/-9利用特殊值1和区间的定义，得实数的范围2)讨论函数F(%)在区间内的最大值和最小值解 析(1)令 F(x)=f(x)-g(x)=x2-(2a+1)%-3 a*,若a=0,则/(%)%(%)的解集为(

44、0,1),不满足条件;若 aWO,则 F(0)=-3 a2 0,所以猾 言 解 得 了w“.综上可知，”的 取 值 范 围 为 三 夕,()(2)根据题意知,a,且l(l)-g I W4a,1 2可得彳 的7,所以尸()二/_(2。+1)与-3 a2的图象的对称轴为直线a：=a+引2 2 1 4 6 J廿1 1若彳 。出,(I F(l)l 4fl,(1-2”-3 a2 1 这4“则 即I ,I I 尸(4)I W4Q,1 1 5 a-4a I W4a,2解 得0 W a W ，所以;aW。；4 2若 万 W -,贝 I /(l)I W4a,I F(4a)l W4a,(a+g)|w4a,I-2

45、a-3 aF I 近4a,1 5,-4al W4a,切-后 3+后 解得-玄 -1 62+4a+l48 8W4a,f 1 3+V5所以 。/,AN O,20 -/7?1 in 1 +A/T或 n i W 1-J2,-1 n?0.故m的取值范围是方法 总 结 研究二次函数零点的分布，一般情况下需要从以下三个方面考虑：(1)一元二次方程根的判别式；(2)对应二次函数区间端点函数值的正负；(3)对应二次函数图象一抛物线的对称轴、二-二与区间2a端点的位置关系.设町，与2是实系数一元二次 方 程+/%+c=0 (0 )的两实5年高考3年模拟A版高考数学/2。(1)若方程有两根，其中一根在区间(-1,0

46、)内，另一根在区间(1,2)内，求加的取值范围;(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的取值范围.解析 令/(%)二/+2m x+2rn+1.(1)由条件知，抛物线/(x)=/+2稳E+2?+1与x轴的交点的横坐标分别在区间(-1,0)和(1,2)内，如图所示，则/(0)=2 m+l 0,/(l)=4w+2 0故m的取值范围是1/7?e R,，1m5m -.66 1 2 /(2)抛物线与*轴的两个交点的横坐标均落在区间(0,1)内，如图所示，经典例题教师用书例已知函数/（x）=（m-2）x2+m x+（2m+1）（m#2）的两个零点分别在区间（-1,0）和区间（1,2）内，则实数版的取值范

47、围是()答 案 A例（2 0 1 7 江西九江七校联考，1 3）若方程/一小力+小一1=0有两实根，则其中一根 大 于 2,另一根 小 于 2的充要条件是解析令/()=x2-m x+m-1 ,由已知得/(2)/n 3.C.D.7,7m 3解析 当m 2 0,即/n 2 时，考法三 幕函数的图象及性质的应用需满足/(0)=2 m+l 。,/(l)=4/?-l 0,例 3（1）（2 0 2 0 广东揭阳三中第一次月考，7）如图的曲线是募函数尸/在第一象限内的图象.已知八分别取 2,四当小一2 0,即m 2时,需满足，/(-1)=2 m-l 0,z、解得me/(l)=4m-l 0,/(2)=8m-7

48、 0,（H，故选A.个值,与曲线a 相应的依次为A.2,-21 1答 案 A例 若关于x的方程（，+3）%2-4加 工+2/-1 =0 的两根异号,且负根的绝对值比正根大，那么实数机的取值范围是（）)D.-2,-y,y,2（2）（多选题）（2 0 1 9 湖北荆门一模，4 改编）已知点A.-3 n i 0C.m 0解 析 由题意知，B.0z 3D.m 3A =1 6/-4(m+3)(2 6-1)0,4/71 八X i+x2=0,7 7?+32m-1x.x2=-0,加+3由 解 得-3 m bc且 a K 0）,若a+b+c=O,x yx2为/（%）的两个零点，则I 肛-/I 的取值范围为)（2

49、,；）在帮函数/（比）的图象上，则/（2是)A.奇函数B.偶函数C.定义域每个区间内的减函数D.定义域每个区间内的增函数解 题 导 引（1）根据塞函数图象的变化规律求解.（2）先根据题设条件求出界函数的解析式,后根据解析式判断各选项.解 析（1）根据括函数的图象与性质，得 在 直 线 1 的右侧越远离x 轴的曲线，指数越大，所以与曲线G,C 2，G，g 相应的n依次为2 了,-2.故选A.B.(2,2 V 3)(2)设*/(%)=/,把（2,十）代入函数解析式中，得 2“C.(l,2)D.(1,2 73)解析 /abcfa+b+c=0y.a 0,c 0,6 =-a-c,.一 O,X 1 ,X-

50、,-0,1+0,/.-2 a a a 29Y|-2|-4 0解析 由题意得力-4 m +4=1 ,/-6 机+8 0,解得m =1,选 B.O B例（2 01 9上海春,1 0,5分）如图,正方形O 4 B C 的边长为专题三函数概念与基本初等函数/2一（”1）,函数=3/的图象交A 8 于点Q,函数.一丁的图象交8。于点P,则当I A Q I+1 C P I 最小时,的值为.仅 当 上 即 二 6时取等号，此时=A.z答 案 73例（2 0 1 7 山西一模，1 3）已知函数/（%）=-，是定义在区间-3-m,m?-加 上的奇函数，则/（m .解析 由已知有一3 一?=0,即 in2-2m-