2023年高考数学真题重组卷（参考答案）2.pdf

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1、冲 刺2023年高考数学真题重组卷02课标全国卷地区专用（参考答案）一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目123456789101112cCCDDCDBAADA要求的。1.【答案】C【分析】由共辗复数的概念及复数的运算即可得解.详解】2=-1 -遮 i,z2=（-1+V3i）（-1 -V3i）=1+3=4.z-1 +V3i 1 V3.-=-=-1-iz z-1 3 3 3故 选：c2.【答案】C【分析】分析可得r u s,由此可得出结论.【详解】任取贝宜=4九+1=2（2n）+l,其中n Z,所以，t e S,故T=S,因此，S Q

2、T =T.故选：C.3.【答案】C【分析】设CD=a,PE=b,利用PO2=|C D -PE得到关于a,b的方程，解方程即可得到答案.【详解】如图，设CD=a,PE=b,则P。=yJ PE2-OE2=J b2-2,由题意P（?2=L a b,即炉一Q=化简得4 6）2-2.2 一 i=o,2 4 2 az a解得2=上 造（负值舍去）.a 4故选：c.4.【答案】D【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.【详解】从 2 至 8 的 7 个整数中随机取2 个不同的数，共有C9=21种不同的取法,若两数不互质,不同的取法有：(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(

3、4,8),(6,8),共 7 种，故所求概率p=3 子=|.故选：D.5.【答案】D【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出a,6,c的范围即可求解.【详解】log20.3 log2l=0,a log22=1,b 1,Z 2v 0 O,40 3 0.4=1,0 c 1,a c b.故选：D.6.【答案】C【分析】取m=1，可得出数列 an 是等比数列，求得数列 an 的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于上的等式，由kN*可求得k的值.【详解】在等式Om+n=am0n中，令z n=l,可得an+i=即 即=2即，,1=2,an所以，数列S 是以2为首项，以2为公比的等比数列，则an=2 x

4、 2 n T =23%+i+ak+2+-+ak+10=*个/。)=2二(：”=2 k+i(2io _1)=25(2。-1),2fc+1=2 5,则/c+1=5,解得k=4.故选：C.7.【答案】D【分析】计算出五伍+3)、同+向的值，利用平面向量数量积可计算出cos 的值.【详解】I句=5,b=6,a b=-6,A a-(a+b)=|a|2+a b=52-6=19.|a+b|=J(d +b)2=y/a2+2a-b+b2=2 5-2 x 6+36=7,m .IK a(a+b)19 19因此，cos=y=-=.lapla+dl 5x7 35故选：D.8 .【答案】B【分析】根据抛物线上的点到焦点和

5、准线的距离相等，从而求得点4的横坐标，进而求得点4 坐标，即可得到答案.【详解】由题意得,F(1,O),则|4 F|=B F=2,即点4 到准线x =-1 的距离为2,所以点4 的横坐标为-1 +2 =1,不妨设点A 在x 轴上方，代入得，4(1,2),所以|4 B|二 J(3-+(0 -2 尸=2 V 2.故选：B9 .【答案】A【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.【详解】由函数的最小正周期T满足当7 兀，得笥空兀，解得2 3 3,又因为函数图象关于点管,2)对称，所以:口+旨 时 此 ，且b =2,所以 3 =L +所以3=，/(%)=s i n 信

6、+不)+2,6 3 2 八/2 4/所以 f 0 =s i n (声+?)+2 =L故选：A1 0 .【答案】A【分析】由已知可得等边力B C 的外接圆半径，进而求出其边长，得出。0 1 的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论.【详解】设圆0 1 半径为r,球的半径为R,依题意，得兀 =4TT,r=2,v A B C 为等边三角形，由正弦定理可得A B =2 rs i n 6 0 =2痘,。1 =A B =2 V 3,根据球的截面性质。0 1，平面4 B C,。1 1。送,R=OA=y/OO1 2+0 xA2=yjOOr 2+r2=4,.,球。的表面积 S =4TTR2=6 4 7

7、 r.故选：A1 1.【答案】D【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对。进行分类讨论，画 出 图 象，即可得到a,b所满足的关系，由此确定正确选项.【详解】若a=b,则f(x)=a(x -a为单调函数，无极值点，不符合题意，故a H b.f(x)有x =a和x =b两个不同零点，且在x =a左右附近是不变号，在x =b左右附近是变号的.依题意，为函数=(X )的极大值点，二 在x =a左右附近都是小于零的.当Q V O时，由/(%)0,画出/(%)的图象如下图所示：由图可知bva,a a 2当a 0时，由%Z?时，/(%)0,画出/(%)的图象如下

8、图所示:由图可知bQ,Q 0,故a b Q2.综上所述，a b 小成立.故选：D1 2.【答案】A【分析】由产-2(a +l)x +a?+5 =0最多有2个根，可得CO S(2T T X-2/r a)=0至少有4个根，分别讨论当 Q时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.【详解】x2-2(a +l)x +a?+5 =0最多有2个根，所以cos(2 zr%-2nd)=0至少有4个根，由2 7 r x -2na=-+kn,k 6 Z 可得无=+1+a,keZ,2 2 4由 0 V I F Q V a可得2 a 2 4 2 2(1)%a时，当一5 -2a-1 一4时，f (x)有 4 个零点，即

9、:a|：当一6 W-2Q ：V 5,f(%)有 5 个零点，即当一7 W 2Q ；V 6,f(x)有 6 个零点，即?。时，/(%)=%2-2(a +l)x +M+5,=4(a +l)2-4(a2 4-5)=8(a -2),当a V 2时，4 V 0,/(%)无零点；当a =2时，4 =0,/(x)有1个零点；当a 2时，令/(a)=a 2-2 a(a +l)+a 2 +5 =-2 a +5Z0,则2|时，f (%)有1个零点.综上，要使/(X)在区间(0,+8)内恰有6个零点，则应满足-7,a 19-44r n V J2 a -29 .11-a -2*/a J?4 4、a 0,解得a 0,，

10、1的取值范围是(一8,-4)0(0,+8),故答案为:(,4)U(0,4-00)16.【答案】2V2【分析】两次利用基本不等式即可求出.【详解】a 0,b 0,i +b 2 l-+b=+b 2 l b =2vLa bl yj a b2 b b当且仅当3=白且：=b,即a=b=&时 等 号 成 立，a b2 b所以+工+b的最小值为2夜.a b2故答案为：2V2.三、解答题：共 7 0 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 172 1 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必 考题：共 60分。17.【详解】(1)因为答+n=2an+1,

11、即2s九+n2=2nan+九，当n 2时，2szit +(n-l)2=2(n-l)a71T +(n-1)，一得，2Sn+n2-2Sn_i (n-I)2=2nan 4-n 2(n l)an_i (n-1),即 2a九 +2n-1=2nan 2(n l)Qn_i+1,即 2(zi-l)czn 2(n l)an_i=2(n 1),所以册Qn-i=1,nN 2 且 zi 6 N*,所以 册 是以1为公差的等差数列.(2)方法一:二次函数的性质由(1 )可得+3,。7 =+6，&9 =+8,又a*a7,成等比数列，所以a7 2=a4-a9,即(ci +6)2=(%+3)(%+8),解得由=-1 2,所

12、以 即=7 1-1 3,所以Sn=-+号 彦 一 豹 =一 等，所以，当n=1 2 或 般=1 3 时，(Sn)m in=-7 8.方法二:【最优解】邻项变号法由(1)可得。4 =%+3,a7=+6,ag=+8,又。4，a7,1 2 9 成等比数列，所以。7 2=a4 a9即(旬+6)2=(ax+3)(%+8),解得的=12,所以an=n 1 3,即有的 a2 1,a1 2(0,0,0)、P(0,0,l)B(2a,l,0)、M(a,1,0)、4(2a,0,0),则 方=(2a,1,-1),AM=(-a,1,0),v PB L A M,则 丽 丽=-2a2+l=0,解得。=亨，故BC=2a=近；

13、方法二【最优解】：几何法+相似三角形法如图，连结B D.因为PD _L 底面4B C D,且AM u 底面4B C D,所以PDJ.4M.又因为PB 14M,PB C PD=P,所以4M _L 平面PBO.又B D u平面P B D,所以4M J.BD.从而 N40B+Z.DAM=90.因为4/VMB+/.DAM=9 0 ,所以4MAB=/.ADB.所以AAOB-B 4 M,于是处=%.AB BM所以并。2=1.所以BC=V2.方法三:几何法+三角形面积法如图，联结BD交4M于点N.p由 方法二 知4 M 1 D B.在矩形4 B C D中，有ADAN *BM N,所 以 丝=丝=2,AN =

14、-A M.MN BM 3令B C =2 t（t 0）,因为 M 为8 C的中点，则8 M=匕 D B =V4 t2+1,AM =y/t2+l.由得=/4+1.|“2 +1,解 得 产=5 所以B C =2 t=V L（2）方法一【最优解】：空间坐标系+空间向量法设平面P4M的法向量为沅=Q i，yi，z i）,则 宿=（一号,1,0）,P =（-7 2,0,1）,由m -A_M =xA d-Vi=0 3 r-3 一/u ,八k2,取 i=&，可得m=(鱼,1,2),.m -A P=y/2x1+Z=0设平面P8M的法向量为有=（X2/2，Z2），丽=（一日,0,0）,前=（一7 1-1,1）,由

15、_n-BM =x2=0 *4 r/n-b2,取y2 =1，可得九=(0,1,1)，n-B P=-V2X2 y2 +Z2=0/一 _ x.in n 3 3V14c osm =M=所 以，s in(记,n)=yfl-co s2(m,n)=因此，二面角4-PM-B的正弦值为手.14 方法二:构造长方体法+等体积法如图，构造长方体4BC0-&8传1。1，联结交点记为H,由于4 B i_ L 4 iB,A B1 1 B C,所以力H _ L平面过H作C i 的垂线，垂足记为G.联结力G,由三垂线定理可知4G_L5M,故乙4GH为二面角A-P M-B的平面角.易证四边形48CD1是边长为近的正方形，联结5

16、”,H M.SA%HM=HG,SD、HM=S正 方 形&BCDI SADAIH AHBM AMCDJ 由等积法解得HG=嚓.在Rt/M H G中，A H =,H G =由勾股定理求得4G=等.所以，sin乙4GH=迤，即二面角A PM B的正弦值为回.A G 14 1419.【详解】（1）样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值 =箸=0.06样本中10棵这种树木的材积量的平均值y=瑞=0.39据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06m2,平均一棵的材积量为0.39m3（2）r =缱 3-（乂-歹）_ 的 -10型回（XT）Z消 8 7）2.2-10产）（左智 2-10产）_

17、 0.2474-10 x 0.06 x 0.39 _ 0.0134 0.0134-7（0.038-10 x 0.062）（1.6158-10 x 0.392）一 0,丫 1 为=-4,I y=4%由斜 率 公 式 可 得 二 铃 二 一，七8=钙=一，4 4 4 4直线M D:%=贤 y+2,代入抛物线方程可得/喙呵y-8 =0,为丫3 =8，所 以=2 y2，同理可得以=2 yi,所以 k4 H =-=-=A B y3+y4 2 5+力）2又因为直线MN、AB的倾斜角分别为a,0,所以心B =tan=等，若要使a-0 最大，贝力（0 E），设AMN=2 心8 =2 k 0,则t a n（a

18、-）=.z ；：2;=甘 葭=最=T I d llK ld li p I T K +Z/C1 _ V22丽4，当且仅当5 =2 k即k=当时，等号成立，所以当a 最大时，kA B=y,设直线力B:x=+n,代入抛物线方程可得必一 4 V 2 y-4 n =0,0，y3 y4 =_4 n=4 yly2 =-1 6,所以n=4,所以直线4 B:x=/2y+4.方法二：直线方程点斜式由题可知，直线MN的斜率存在.设时3，丫 1）,2（%2，丫 2），4（%3/3），8（4，4），直 线 ：丫 =k（X-1）由得：攵 2 X 2 一(2 k?+4)%+好=，=1,同理，%、2 =-4直线M D:y=三

19、。-2),代入抛物线方程可得：%1%3=4,同理，%2%4=4.小 一2代入抛物线方程可得：%为=一 8,所以丫3 =2 y2，同理可得%=2%，由斜率公式可得：偌3=上=管杂=产=9 k财 2CD X4-X3 4()2(%2-1)2 Y(下同方法一)若要使a 一夕最大，We(o),设MN=2kA B=2k 0,则t a n(a -)=-tan =_L _ =J 0,y3 y4 =-4 n=4 yly2 =1 6,所以n=4,所以直线4 B:%=V 2 y+4.方法三:三点共线设M信),N信 力)4 信 乃)，B (%)，设P(t,O),若 P、M、N三点共 线,由 丽=(,一 0,则t a

20、n(a )=s n a F/=_L _ =L-0,当4 白时，/(%)0,g(x)单调递增;在(e,+8)上g x)0,g(x)单调递减；g Mm a x=g(e)=i又g =O当x趋近于+8时，g(x)趋近于0,所以曲线y =f(x)与直线y =1 有且仅有两个交点，即曲线y =g(x)与直线y =等有两个交点的充分必要条件是0 等 ，这即是o g(a)g(e),所以a 的取值范围是(l,e)U(e,+8).方法二:构造差函数由y =f(x)与直线y =1 有且仅有两个交点知/(x)=1,B P xa=a，在区间(0,+8)内有两个解，取对数得方程a l n%=xl n a 在区间(0,+8

21、)内有两个解.构造函数g(x)=a l n x-xna,x e(0,4-oo),求导数得g，(x)=-I n a =一；叫当0 a 1 时，I n a 0,g (x)0,g(在区间(0,+8)内单调递增,所以，g(%)在(0,+8)内最多只有一个零点，不符合题意；当a 1 时，I n a 0,令g M =。得 =毒，当 (仇1 )时，；当 (意，+8)时，。(%)。；所以，函数g(x)的递增区间为(0,*),递减区间为(高,+8).由于0 V ea 1 g(0 一 )=1 -eana 0,当 t+8时，有a l n x xl n a,即g(x)0,所以 勖 即Q e l n a 0.构造函数九

22、(a)=Q e l n a,则(Q)=1-：=詈，所以九(a)的递减区间为(l,e),递增区间为(e,+8),所以九(a)/i(e)=0,当且仅当a =e 时取等号，故/i(a)0 的解为a 1 且Q。e.所以，实数a的取值范围为(l,e)u(e,+8).方法三 分离法：一曲一直曲线y =f(x)与y =1有且仅有两个交点等价为*=1在区间(0,+8)内有两个不相同的解.因 为%所 以 两 边 取 对 数 得a l n%=%l n a,即I n%=含3问题等价为g(x)=I n x与p(%)=刊券有且仅有两个交点.当0 V Q 1时，等 1时，取g(x)=I n%上一点(%o，l n xo),

23、g，(x)=二“(&)=2,g(x)在点(%o，l n%o)的切线方程为y-x XQl n x0=(%x0),即y =x 1 +l n x0.XQ XQI如=(na _ 1a xo,得|七 一)l n x0-1 =0,U o =e.直线p(%)=等的斜率满足：0 V等V F时，g(x)=I n%与p(%)=等有且仅有两个交点.记h(Q)=W 强，令(Q)=0,有。=已 a (l,e),(a)0,九(a)在区间(l,e)内单调递增；Q(e,+8),(a)v 0,/I(Q)在区间9+8)内单调递减；a =e时，九(。)最大值为g(e)=%所当Q 1且a。e时士 八 一 I n a ,1有 0 o)

24、,r(x)axa-1 ax-axna xa _ xa-1(a-xl n a)(a)因为%0,由/(%)=0得久=当0 l时，*0，由/(%)0得0 V x扁,/(%)在区间(0,高)内单调递增，由/(%)1，即嵯=a i n aa1,即a-高(l n a)a,a”专 l n a,(l n a)a、/两边取对数，得(1专)I n a I n(l n a),即I n a 1 I n(l n a).令I n a =3则t 令九(%)=I n%久+1,则(%)=：1,所以九(%)在区间(0,1)内单调递增，在区间(1,+8)内单调递减，所以h(x)4九(1)=0,所以则 一 1 I n t的解为t。1

25、,所以I n a Wl,即a*e.故实数a 的范围为(l,e)U(e,+8).【整体点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题，方法一：将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解.方法二：将问题取对，构造差函数，利用导数研究函数的单调性和最值.方法三：将问题取对，分成g(x)=lnx与p(x)=等 两 个 函数，研究对数函数过原点的切线问题，将切线斜率与一次函数的斜率比较得到结论.方法四：直接求导研究极值，单调性，最值，得到结论.(-)选考题：共 10分。请考生在第22、23题中任选一

26、题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程(10分)22.【详解】(1)由题意，。C的普通方程为。一 2尸+(y 1)2=1,所以O C 的参数方程为仁 二 丁 靠，(a 为参数)(2)方法一:直角坐标系方法当直线的斜率不存在时，直线方程为x=4,此时圆心到直线的距离为2 r,故舍去.当切线斜率存在时，设其方程为y=k(x-4)+l,即k x-y-4 k +l=0.故 吟 学 工=1,即12kl=6*,4k2=i+U,解得/=土隹.V1+/C23所以切线方程为y=/(%4)+1或y=-(x 4)+1.两条切线的极坐标方程分别为psinJ=ypcos0 一 竽+1和ps

27、in。=-y p co s0 +竽+1.即 psin(0+由=2 苧和 psin+,)=2+*方法二【最优解】：定义求斜率法如图所示，过点F作O C 的两条切线，切点分别为A,B.在A4CF 中，tan4 4 =亭=?又CF II x轴，所以两条切线F A,F B的斜率分别手和一理AF 3 3 3故切线的方程为丫=白。-4）+1,y=-.（x-4）+l,这两条切线的极坐标方程为p sin e=?p co s。一；A/3+1 和 psinJ=-pcosd+g V3+1.即psin（6+）=2 中和psin+,）=2+冬 选修4-5：不等式选讲（10分）23.【详解】（1）证明：因为a 0,b 0,c 0,则成 0,62 0,cz 0,所以成+?+琥?即（abc”所以abc 0,6 0,c 0,所以b+c 2yfbc,a 4-c 2Vac,a 4-b 2abf所以 a W a=a,b b=,C C=b+c 2bc 27abc a+c 2Vac 2Vabc a+b-2ab 27abe3 3 3 3 3 3a b c a2&2 C2 az+foz 4-ci 1-+-+-4,+,+,=-,=,b+c a+c a+b 2abc 2y/abc 2Jabc 27abe 2y/abc当且仅当a=b=c时取等号.