2023年广东省广州市高三高考一模数学试卷含详解.pdf

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1、2023届广州市高三年级调研测试数学本试卷共5 页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答

2、题卡一并交回.一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合人=山=48 4 1 y =ln（2-x）,则 从 旧=（A.0,+8）B.（0,2）C.0,2）D.（-00,2）2.复数Z=丁 的共辗复数在复平面内所对应的点位于1+2/A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知p:（x+2）（x-3）0,q:|x-l|0,b 0,。加+ln Z?1 =0，则（）,101A.nb B.e a bC.a+I n/?1 D.a b 0)只可以作曲线丁 =壬 一 条 切 线，则b的取值范围是.1 6 .如图是数学

3、家G e r m i n a l Da n de li n 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中球。一 球。2 的半径分别为4 和 2,球心距离|。1。2|=2而，截面分别与球。一 球。2相切于点瓦 尸(E,尸是截口椭圆的焦点)，则此椭圆的离心率等于.A号 、四、解答题：本题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7 .已知等差数列%前巩项和为S.,且86 =453，4 =2。“+1(e N*).(1)求数列 可 的通项公式；设 勿=2 -a”,求 数 列 出 的前项和Tn.1

4、8.在AABC中，内角A,8,。的对边分别为见 。，c=2b,2 s i n A =3s i n 2 C.求s i n C ；(2)若44B。的面积为白 夕，求A3边上的中线CO的长.21 9.如图，已知四棱锥P-A B C O 底面A 8C 是菱形，平面P6C1平面A B C。，/ACD=3 0,E为PAAO的中点，点尸在。4上，A P =3AF./I BA(1)证明：P C /平面B E F ；若 N P D C =N P D B,且PO与平面A3CD所成的角为45，求平面A EF与平面3环夹角的余弦值.20.世界卫生组织建议成人每周进行2.5至5小时的中等强度运动.已知A社区有56%的居

5、民每周运动总时间超过5小时，8社区有65%的居民每周运动总时间超过5小时，C社区有70%的居民每周运动总时间超过5小时，且A 8,C三个社区的居民人数之比为5:6:9.(1)从这三个社区中随机抽取1名居民，求该居民每周运动总时间超过5小时的概率；(2)假设这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量X(单位：小时)，且X N(5.5,cy2).现从这三个社区中随机抽取3名居民，求至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率.21.已知抛物线。：卡=2印5 0)的焦点/到准线的距离为2,圆 与y轴相切，且圆心与抛物线。的焦点重合.(1)求抛物线。和圆M的方程；(2)设。(%,%)(占#2)为圆M

6、外一点，过点P作圆M的两条切线，分别交抛物线C于两个不同的点A(w，y),8()和点。(玉，)，穴(%4,%)且X，2y3y4=1 6,证明：点尸在一条定曲线上.22.己知函数/(x)=a*-ex2,a 0且a/1.(1)设g(x)=/i D +e x,讨论g(x)的单调性；(2)若a 1且/(x)存在三个零点外,工2，七.1)求实数。的取值范围；.2e+l2)设 X九2Vx3，求证：+3尤2+工3 .2023届广州市高三年级调研测试数学本试卷共5 页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上用2B铅笔在答题卡

7、的相应位置填涂考生号.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合人=山=48 4 1 y =ln(2-x),则 从 旧=(A.

8、0,+8)B.(0,2)C.0,2)D.(-00,2)C【分析】首先分别求解出A、B两个集合，然后再根据集合交集的定义进行运算即可.【详解】由于故4 =叫y20,vy=ln(2-jc),-,2-x 0.即 x 2,故 3 =x|x 2,因此A n 3 =x|()V x 2 ,即 4门8=0,2).故选：C2.复数z=一的共物复数在复平面内所对应的点位于1+2/A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限D【分析】由复数除法运算求出z,再写出其共施复数，得共枕复数对应点的坐标.得结论.【详解】z=z(l-2 z)(l +2 z)(l-2 z)+2 2 1,-2 1 2 1-+,z=-i

9、,对应点为(三,-)，在第四象限.J J J D D D D故选：D.【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轨复数的概念，考查复数的几何意义.掌握复数的运算法则是解题关键.3.已知 p:(x+2)(x-3)0,q:|x l|2,则P是夕的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件B【分析】分别求出命题，4,再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】因为：(x+2)(x-3)-2 c x 3：2 =-l x 3,所以?=，推不出9,所以。是9的必要不充分条件.故选：B.4.红灯笼，起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义

10、的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面除去上下两个相同球冠剩下的部分.如图2,球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球面的半径为R,球冠的高为人则球冠的面积S =2四?.如图1,己知该灯笼的高为5 8c m,圆柱的高为5 c m,圆柱的底面圆直径为1 4 c m,则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为()2 4 0 0兀c m?D.2 5 4 0兀c m?C【分析】由题利用勾股定理求出半径R,再求出高度，分别求出两个球冠的面积，用球体的表面积减去两个球冠的面积即可解决问题.

11、【详解】由题意得：_ f 5 8-1 0 =72,I 2 )所以 R =2 5 c m,5 8 1 0所以 =2 5-=1 c m,2所以两个球冠的面积为 2 s =2 x 2 7i E =2 x 2 x 7i x 2 5 x l=1 0 0 7r c m 2,则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为：4 7t A 2-2S=4XKX252-1 0 0 71=2 4 0 0 71 c m2,故选：C.5.若,且。一c o s 2 a)(l +s i n/?)=s i n 2 a c o s ,则下列结论正确的是()2 7一 八 5 万 -3 兀A.2 a +，=-B.2 a -B=-C 7兀

12、c 式C.a +，=工-D,c c P -A【分析】由万 及二倍角的余弦公式可得s i n a(l +s i n)=c o s a c o s/，根据两角和的余弦公式可得s i n a =c o s(+/?),由诱导公式及a,1的范围即可求解.【详解】.-.s i n i z O.由(1 -c o s 2 a)(1 +s i n 2)=s i n 2 a c o s /?,可得 2 s i n 2 a (1 +s i n 夕)=2 s i n a c o s a c o s /,即 s i n a(l 4-s i n y?)=c o s a c o s /?.s i n a =c o s a

13、c o s -s i n a s i n /?=c o s(a +),.c o s(a +夕)=c o s(-a j,a,/?w ，乃)，:.兀 a +B 0,P(B)0,P(AB)P(A)P(B),故选项 C 错误;p(A D 选项D中：A,B独 立,则尸(A B)=P(A)P(B),则尸(A 忸)=嗔=P(A),故选项D正确.故选:rD)ABD1 0.已 知/(x)是/(x)的导函数，./(x)=a si n x-/?c o sx(a Z 7 W 0),则下列结论正确的是()A.将/(x)图象上所有的点向右平移1 个单位长度可得 力 的图象B./(X)与/(X)的图象关于直线=子 对 称C

14、./(x)+/(x)与“X)-/(X)有相同的最大值D.当a =/2 时，/(x)+/(x)与/3-7(力 都 在 区 间 画)上 单 调 递 增AC【分析】首先求得/(X)的导函数r(x)=a c o sx+A i n x,然后根据三角函数图像平移验证A选项的正误,根据函数的对称性验证B选项的正误，根据求三角函数的值域验证C 选项的正误，根据求解三角函数的单调性验证D 选项的正误.【详解】,./(x)=a si n x-b c os xa b G),/(x)=a c o sx+/?si n x.将 广(X)的图像向右平移!个单位得y=a c o s(x71+/?si n(=a si n x-

15、b c o sx=/(x)的图像，故 A/(x)+(x)=(a +&)si n x+(tz-/7)c o s x=a +bf+(tz-b)2 si n(x+g),其中 ta n *=4 +：,(x)+f (x)最大值为 Jg+b f +(a-b f =万 +/,f (x)-f (x)=(a -b)si n x-卜 +/?)c o sx=J(a -+(“+si n(x-O),其中 ta n。=+：,最大值为Q(a-bf+(a +Z?)2 =0 -4a1+b2，故 C 选项正确；当 a =Z?时，/(x)+/(x)=2 a si n x,/(%)-7,(x)=-2 a c o sx,当”()时，/

16、(x)+/(x)在 o，B上单调递增，X)r(x)在，最上单调递增，当“。沿对角线AC 进行翻折，点。翻折至点以，连接D B,得到三棱锥。一ABC,则在翻折过程中，下列结论正确的是()A.三棱锥D -A B C的外接球表面积不变B.三棱锥。-ABC 的体积最大值为立2C.异面直线4)与 BC 所成的角可能是90D.直线A D 与平面A8 C 所成角不可能是6 0AD【分析】当平面O A C_L 平面A8 C 时，点 到 平 面 ABC 的距离最大，此时三棱锥体积最大，A D 与平面 A8 C 所成角最大，利用等面积求得O E 后，即可确定BD 的正误；取 AC 中点为M,可得A M =M C=

17、D M =B M ,所以M为棱锥O ABC 的外接球球心，故球的表面积不变，可判断A的正误；设异面直线A 与 BC 所成的角是9 0，由线面垂直的判断和性质，可判断C 的正误.【详解】对于A,记 AC 中点为，如图所示.-.AM=M C=DM和AABC均为直角三角形，M为A C中点,为棱锥。一 ABC的外接球球心，半径为AM,25%.,三棱锥。ABC的表面积不变，故A正确;=DC=DC=0,BC=AO=AO=AC=百,当平面DAC 1平面ABC时,三棱锥D-ABC的体积最大,过点30向4 c做垂线，垂足为E,/DA=6,DC=&,在 4AlyE 中可得 DEA D R C 寻 叵病AC5.平面

18、 QAC_L 平面 ABC,平面 DAC 0平面 ABC=AC,DE AC,D E是三棱锥D-ABC的高,.三棱锥。一 ABC的 体 积 最 大 值 为.w-rE=L x L x 0 x 6 xie =逑=3*3 2 5 30 5故B不正确;对于C,若异面直线A与8 c所成的角是90。，则 AD _LBC,又因为 A5LBC,AB c 4 7 =A,AB u 平面 ABD,4 u平面ABD,，B C J _ 平面 A B。，则 在B CD 中，U C =6 A C _L平面A B C时，点。C到平面A B C距离最大，由B知，此时4n2,=。右=等,即(si n 6)ma=#,，4侬 0,b

19、0,a/?e+l n Z?-l =0,则(),1f l1A.nb -B.e -a bC.a +nh 1 D.c i b 0.则r(x)=e +g 0,故/(x)在(0,+纥)上单调递增.又/=e-1 0,=-1 0.则 g(x)=(x+l)e*0.b b得 g(x)在在(0,+e)上单调递增.注意到“e。一 I n -e =-g (a)-g I n -=h b 7 y b)b则-g l n-=-0=6 f l n 7.又y =e在R上递增，v y b)b bIn-1则有e“e=ea 上.故B正确.b对于C选项，由B选项可知e ,，则由a为 +I n匕-1=0，b有0=a b e1 1+I n

20、/?-1 a b +In b -I =a +In b (),b 0,a b e1 +In b -=0，则 a b e =l-ln0=ln&/?其中 2 0,得/z(x)在(0,+8)上单调递增.若0 相 0,(0)=m-1 0,则 支 e(0,1 -/篦)，使/?(%)=0.即 a G(0,1 -z),则 a b e (1 -/n),设2(x)=e*(1 -x),则 p (x)=-xex,得 p(x)在(0,1)上单调递减，则 a b =em(1 -rnj=p(m)p(0)=1.(2)当机=0,A(x)=jce-1,注意到 0)=-1 0.则a e(0,l),此 时 必=a 1.(3)当机 0

21、,注意到(一利)=一1(0，A(l-/w)=(l-m)(e-l)0则a G-m,1 -m),又 由(1)分 析 可 知 在(-8,0)上单调递增.则 a b=e (1 -m)=p(，)3+c H+C d),则可得展开式中一的系数，列方程即可得实数”的值.【详解】解：因为(a +x N l +xyKa+x Xl +C x+C k+C j d+C W+C；%5)则展开式中x4的系数是尤；+C；=5a +1 0=20,求得a =2.故答案为：2.1 4 .已知向量1 =(2,丸)=(1,1),且Z M 则4=一，在办方向上的投影向量的坐标为.2(-h-l)【分析】根据平面向量垂直的判定条件求解；I

22、的值即可；首先根据投影的计算公式求出一3 在B方向上的投影，进 而 求 出 在 5 方向上的投影向量.【详解】已知2=(2),1 =(1,1),由于 工石，所以1B=(-2)x l +/l x l =0,解得2 =2；由知：2=(2,2),石=(1,1),得Z =(3,1),贝=3)*1 +1*1=2,|=Vl2+12=A/2,(a-b b _ 2 r-故a-各在方向上的投影为向=-6，得 a-b在b方向上的投影向量为一鲁,&=(-1,-1)故答案为：2；（T,7）1 5.若过点（0力）S 0）只可以作曲线y =2的一条切线，则匕的取值范围是e【分析】根据导数几何意义，设切点坐标为（玉）,2）

23、，则得切线方程y-含=詈%-）,2 2过点（0 （。0）,则。=W，构造函数/z（x）=一,确定函数的单调性及取值情况，即可得力的取值范围.【详解】解：函数y =j 的定义域为R，则 了=宁，设切点坐标为（玉），亮），则 切 线 斜 率 为 女=上/，故切线方程为：y-=m（x-x。），e e 2 e”又切线过点（o,b）S 0）,则方一宗=匕 含（一 X。）=方=W，设（x）=则/?（X）=无）=0得，尤=0或 x=2,则当xe（8,0）时，（x）0,函数/z（x）单调递减，当为 0,2）时,“（力0,函数（x）单调递增，当X（2,+O O）时，/（x）0,函数/z（x）单调递减，4所以（0

24、）=0,（2）=；,e又1-一 8 时，力（工）-4 0 0,X f +8 时，所以/,=另有且只有一个根，且6 0,则：,故的取值范围是 之,+力.e-e-ye）故答案为：1 6.如图是数学家G e r min a l D a n de l in 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中球。一 球。2的半径分别为4和 2,球心距离|。2|=2版，截面分别与球。1，球。2相切于点民F （尸是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于.【详解】设O a c E F =D,1【分析】根据已知条件求得a，c,从而求得椭圆

25、的离心率.I M O.F_I由|。回|0,|2，解 得 口 必=网。,|0囚=出|。2。|+|。|=2加 3 34 2所以 2c=+=2,。=1,3 3设直线所与圆锥的母线相交于点A,圆锥的母线与球相切于比。两点，如图所示,则阈=回照=网,两式相加得|AB|+1 AC|AE|+1 AF ac+ci+c 24z,即|/?C|-2a,过02作Q G J_ a B,垂直为G,则四边形BGO2c为矩形，所以2a=|BC|=J(2啊1 2?=6，a=3,c 1 i所以椭圆的离心率为-=;7.故答案为：一a 3 3【点睛】求解椭圆离心率的问题，思考方向有两个，一个求得求得a，c,从而求得椭圆的离心率二：一

26、个是求得关于凡。的关系式，可以是一次式，也可以是二次式,a但必须是齐次式，由此化简求得椭圆的离心率.四、解答题：本题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7.已知等差数列 4 的前项和为S“，且 S6=4 S3，%=2 a“+l(e N)(1)求数列 4 的通项公式；设 a=2-a ,求数列 仇 的前项和7；.(1)=2 -1(2)7；=(2 一3卜2 +3【分析】(1)根据 已 知 条 件 求 得 数 列 的 首 项 和 公 差，从而求得可.(2)利用错位相减求和法求得【小 问 1 详解】设等差数列的公差为，依题意，S6=4 S3,2=2 +l(n e N*),

27、则4=24+1所以641+1,5 d =4(3。+3 d)1 C),解得a 1=l,d =2,所以凡=2-1.q +d =2。+1【小问2详解】2=2 4=（2 一 1）2 1,所以7；=lx2+3x2+（2”1）X2T,27；,=lx2,+3x22+.+（2n-l）x 2 两式相减得-7；=1 +2。+23+2”（2 -1）x 2=+4,:）_（2“l）x2=（3-2n）-2,-3,所 以 骞=（2-32+3.18.在 中，内角 A 3,C的对边分别为a,。，c=2b,2sinA=3sin2C.（1）求 sinC；（2）若的面积为,求AB边上的中线CO的长.2反4（2）币【分析】（1）利用二

28、倍角公式，结合正弦定理、余弦定理及同角三角函数关系式即可求出结果；（2）利用三角形面积公式，及（1）的相关结论，再结合平面向量的四边形法则，利用向量的线性表示出CD，最后利用求模公式即可求AB边上的中线CD的长.【小 问1详解】因 2sinA=3sin2C,所以 2sinA=6sinCcosC,所以 2 =6c cos C,即a=3ccosC,所以cosC=q,3c由余弦定理及c=2b得：a2+b2-c2 a2+h2-4b2 a2-3b2cos C=-=-=-2ah 2ab 2ab又 cos C=3ca6h所以a2-3 b2la b=2 a2=9b2,6 b日 门 3 V 2 ,即。=-h，2

29、3吟所以c s C =26 bV|.6 b4【小问2详解】r h c1 ;1A,.,V 1 4 3A/7由 S ARC=-a b s i n C =-uf j c i b -=-A B C 2 2 4 2所以=6 /2，由a等,所以 b =2,a =3 /2 ,因为CO为A3边上的中线,所 以 丽=g0+西，所以 丽二：q河2+|丽I+2 C 4 C B)=；x(/7 2+。2+2 a/?c o s C)=；x4+1 8 +2 x 2 x 3 0 x=7,所以|前|=近,所以A8边上的中线。的长为：币.1 9.如图，已知四棱锥产一A B C O的底面A B C。是菱形，平面平面A8CD,，4。

30、=3 0。,为AO的中点，点厂在Q 4上，A P 3 A F.p（1）证明：P C /平面B E F ；B（2）若N P D C =N P D B,且PO与平面ABC。所成的角为45，求 平 面 与 平 面 庞 户 夹 角 的 余 弦值.（1）见解析（2）正4【分析】（1）设A C 8E的交点为。，连接产。，可证得F O/P C,再由线面平行的判定定理即可证明;（2）取8。的中点为H,连接P”，由 面 面 垂 直 的 性 质 定 理 可 证 得 则 平 面ABC。，以为坐标原点，为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面AEE与平面8防 的 法向量，再由二面角的向量公式即可得出

31、答案.【小 问1详解】设的交点为0,连接产。，已知。为的重心,C C I,A O 1所以=-A C 2A T 1=,所以在中,A P 2A O A FA C-A P-2所以F 0/P C，所以尸O u平 面 班F，P C 2平面BF，则P C/平 面 血 尸.【小问2详解】因为 NACD=30,所以 NAC3=30,所以OCB为等边三角形，所以O C=D B,又因为=所以APDBMAP D C,所以P B=P C，取 的 中 点 为H,连接PH，则平面PBC1平面ABC。，平面尸B C c平面A B 8 =3C,则平面A 8C D,以H为坐标原点，“。,&尸 为 工,，,2轴，建立如图所示的空

32、间直角坐标系，因为P）与平面A8CO所成的角为NPD”=4 5,所以P H =D H,设菱形的边长为2,所 以PH=DH=g，所以P（0,0,V 3）,B（0,l,0）,A（,2,0）,D（,0,0）,（,l,0）,因为入=3而，所以产45 EF=-4 ,与，荏=（0,-1,0）,砺=（右,0,0卜设力=（x,y,z）平面 A E F，n-AE=0_ =n-EF=Q-y =0乖,I 垂）c 令x =l,y =0,z =l,-x+-y-z =03 3 3所以 3 =（1,0,1）,设玩=(马，必,z?)_ L平面B E E，J和 丽=0 瓜2=0m-EFQ-与 Xz+gy?+与 Z2=0令 y2

33、 y/3,x2 0,z2=T,所以沅=(0,6,一。，n./_ _ fn n 72则8 s的加丽=-彳,所以平面AEF与平面孤 产 夹角的余弦值为2 0.世界卫生组织建议成人每周进行2.5至5小时的中等强度运动.已知A社区有56%的居民每周运动总时间超过5小时，B社区有6 5%的居民每周运动总时间超过5小时，C社区有7 0%的居民每周运动总时间超过5小时，且A 8,C三个社区的居民人数之比为5:6:9.(I)从这三个社区中随机抽取1名居民，求该居民每周运动总时间超过5小时的概率;（2）假设这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量X（单位：小时），且X 现从这三个社区中随机抽取3名居民，求至少

34、有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率.（1）0.65（2）0.216【分析】（1）设AB,C三个社区的居民人数为5。,64,9。，分别求出三个社区每周运动总时间超过5小时的人数为，再由概率公式即可求出答案.（2）由正态分布的性质求出P（5 X 6）=0.3,再由独立事件的乘法公式即可得出答案.【小 问1详解】因为A,8,C三个社区的居民人数之比为5:6:9,设A氏C三个社区的居民人数为5a,6a,9a,所以A社区每周运动总时间超过5小时的人数为：5a56%=2.8。，B社区每周运动总时间超过5小时的人数为：6。5.5）=0.5,由（1）知，P（X 5）=0.65,所以 P（5 X 5.5

35、）=0.65-0.5=0.15,因为随机变量X服从正态分布，且关于X=5.5对称，所以 P（5 X 6）=2P（5 X 0）的焦点/到准线的距离为2,圆M与y轴相切，且圆心M与抛物线C的焦点重合.（1）求抛物线。和圆”的方程；（2）设尸（%,%）（与。2）为圆M外一点，过点尸作圆的两条切线，分别交抛物线。于两个不同的点A（,%）,B（W，%）和点 Q（%3,%），R（%4,乂）且 y y 2 y 3 y 4=1 6,证明：点 p在一条定曲线上.（1）抛物线。的方程为y 2=4无，圆M的方程为（x l p +y 2 =i（2）证明见解析【分析】（1）根据抛物线的焦点/到准线的距离可得P的值，即可

36、得抛物线方程；根据圆的性质确定圆心与半径，即可得圆M的方程；（2）根据直线与圆相切，切线与抛物线相交联立，结合韦达定理，即可得%,先 所满足的方程.【小问1详解】解：由题设得p =2,所以抛物线C的方程为V=4x.因此，抛物线的焦点为/（L O）,即圆M的圆心为M（1,0）由圆M与y轴相切，所以圆M半径为1，所以圆M的方程为（x l）2 +y 2=i.【小问2详解】证明：由于（%,%）（玉）。2）,每条切线都与抛物线有两个不同的交点，则/A。.故设过点P且与圆M相切的切线方程为y-y0 k（x-x0）,即 依-y +%-依。=0.依题意得 Li，整理得-2）炉一2%（xo-l伙+y；-l =O

37、 ；U +1设直线P A P Q 斜率分别为勺，的勺，2,则 勺/2是方程的两个实根，故 它 装号右 D，由 广 二 十 为 一 线=得-+4（%-5）=。,y =4x因为点A（玉,y）,8（电,y2）,。（七,）,我（匕,）则.=心小，也#K j k2由 ，三式得:_ 16(%-4 2%)_ I 1%-(火+女2)%0%+%0%#2x%=-=V|I V 2%1 +x（，即+X）=1，所以点尸在圆V+y2=i.22.已知函数/（力=优 一 航2,40且。1.设g（x）=/I 2+山，讨论g（x）的单调性；（2）若。1且/（X）存在三个零点%,工2，七.1）求实数”的取值范围；、c 2e+l2）

38、设石 X 2 J .（1）答案见解析2（2）1）&；2）证明见解析【分析】（1）先求g（尤）的导函数，再分类讨论即可.（2）1）根 据/（力存在三个零点玉,，当，转化为两个函数有三个交点，再根据最值可求.2）根据三个零点所在区间，把要证明的式子分解为三个部分，分别求解后可得.【小 问1详解】/、“X）ax-QJC ax,、ana-x-ax 0,x2 0,8（力定义域为（一8,0）1（0,+l 时,lna0,解 g（x）0,得 xp!-,解 g（x）。,得0 x J,x 0当 0 a i 时 11140,得 4，解g（1）*4，%0综上，当al时，g(x)增区间为,+8),g(x)减区间为(一8

39、,0),(0,白),当0 1且/(%)存 在三个零点尤1，%2，孙所以相 e f=O有3个根当x0时，=-e 0,/(x)=axna-2 e x0,/(x)在(-8,0)上是单调递增的，由零点存在定理,方程必有一个负根.当%0,;d n a =l +2 1n x,即 I n a =2 1nx 有两个根,x令.f(/x)x =-l -+-2-1-n-r，可-转化八为、y=I n a与)x=-1-+-2-1-n-x-有两个A 交点.XX2-(l +2 1n v)_ l-2 1n x2X2X可得X e(0,旧,/(X)0 j(x)是单调递增的，可得x e (人+q J(x)正 (6 0,1耳1=血)

40、=所以可得0 I n a友,2即得1 1且f(%)存在三个零点冷工2，七 设玉x2x3,。*二武工0与二以 图二时 易知其中 0 ,()vx 2 V七,因为 0;由1)可知y=l n a,与力=匕 名 竺 有 两 个 交 点 电 占，=0,所以；V e%j=,x3 V e ,x o,五),r(x)是单调递增的，/6(0,6)/(工2)=】的 。/(十)若七 2 2 /e，则赴+&2 5/e若 五&2 /e,构造函数，7（x）=-2丘-x）,五 v x /c -x）+牛-2（1-2 1n x乂2 /e -x）+2 x 1-2 1n（2&-川因为x乙 7 e x32 /%x）2 2 /e 入j2

41、c-x x（2 c-xx 2 /e-x j又因为2五 x V e,2 x 2 V e,x 2 V e -x,x3 仅五,所以-2（2痴7）2 x2 0 xXx因为-2（1-2 1n x）2 /e-x）+2 x 1-2 1n又因为无/e,l rL r ,2 /e-x /e -尤）1 0,2 /1 0;1-2 111（2五一工）0,1 5/02（2 1a r-l）2 /e -x j +2 x 1-2 1n 2 /e 0 由可知病（x）（）,加（x）在（五,2&）上单调递增，%五 可 得 冽（另 五）=0”卜小）x2（2/7）所以（x）0,三,可知相（x）与“同号（x）在（右,2血）上单调递增./?（力/2（6）=/（6）一（6）=0 x）“2八一 0,（七）2五一工3）,又 由1）可知/）=/）所以t（9）f（2近一七）,为2 e（0,痴）,2五一七 e（0,心）X w（0,五）/（尢）0 j（x）是单调递增的,所以W 2 Je-x3,x2 2丘 c 2 e +l由可知X +3x2+X3 y=【点睛】本题考查利用导数证明不等式，解决问题的关键点是极值点偏移问题，证明的方法总结:先构造(x)=f(x)T(2 6-X)，再确定 g)的单调性，结合特殊值(6)=0得到r(x)2五-x)0再利用单调性可得x2+xi2 ye