2023年上海市青浦区中考数学一模试卷(含解析）.pdf

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1、2023年上海市青浦区中考数学一模试卷一、选 择 题（本大题共6 小题，共 24分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知三个数1、3、4,如果再添上一个数，使它们能组成一个比例式，那么这个数可以是（）A.6 B.8 C.10 D.122.三角形的重心是（）A.三角形三条角平分线的交点 B.三角形三条中线的交点C.三角形三条边的垂直平分线的交点 D.三角形三条高的交点3.如果把一个锐角 ABC的三边的长都扩大为原来的2倍，那么锐角4 的正弦值（）A.扩大为原来的2倍 B.缩 小 为 原 来 的;C.没有变化 D.不能确定4.已知非零向量出 b泊 下列条件中，不能判定向量五与向量B平

2、行的是（）A.a/c,b/c B.|a|=2bC.a=2c,b=3c D.d+2b=05.如图，四边形4BCD的对角线AC、BD相交于0,且将这个四边形分 A成、四个三角形.若。4 OC=OB：O D,则下列结论中一定正确的是（）/A.与相似 CB.与相似C.与相似D.与相似6.已知二次函数y=/+bx+c（b,c为常数）.命题：该函数的图像经过点（-1,0）；命题：该函数的图像经过点（-3,0）；命题；该函数的图像与y轴的交点位于x轴的下方；命题：该函数的图像的对称轴为直线 =-1.如果这四个命题中只有一个命题是假命题，那么这个假命题是（）A.命题 B.命题 C.命题 D.命题二、填 空 题

3、（本大题共12小题，共 48分）7.如果a：b=2：3,那么（a+b）：b=.8.已知向量五与单位向量3方向相反，且|团=5,那 么,=（用向量3的式子表示）.9.如果两个相似三角形的周长比为1：2,那 么 它 们 的 对 应 中 线 的 比 为.1 0 .如果抛物线y =x2+x+m-2经过原点，那么T n的值等于.1 1 .抛物线y =3/_ 1在y轴右侧的部分是.（填“上升”或“下降”）1 2 .将抛物线y =/向左平移1个 单 位 后 的 抛 物 线 表 达 式 为.1 3 .在A B C中，4 c =9 0。，如果c o M =3,A C=6,那么B C =.1 4 .如图，在A B

4、 C中，点D、E、尸 分别在上，D E/B C,AEF/A B,CF=3 B F.如果SM D E=1，那 么S四边形DBCE=./B F C1 5 .如图，河堤横断面迎水坡的坡度是1：V 3.A C =l（h n,则坡面 的 长 度 是 m.1 6 .如图，在矩形4 B C D中，A B=2,B C=4.点H、F分别在边4。、B C上，点E、G在对角线4 c上.如果四边形EF G H是菱形，那么线段4 H的长为 一 .1 7 .如图，点P是正方形4 B C C内一点，A B=5,PB=3,PA 1 P B.M将线段P B绕点B顺时针旋转9 0。，点P的对应点为Q,射线Q P交边A D于点E,

5、那么线段P E的长为.1 8 .定义：如图1,点M,N把线段4 B分割成A M、M N和B N,如果以A M、M N、N B为边的三角形是一个直角三角形，那么称点M、N是线段的勾股分割点.问题：如图2,在 A B C中，已知点D、E是边4 B的勾股分割点（线段4。EB）,射线C D、C E与射线A Q分别交于点F、G.如果A Q“B C,DE=3,EB =4,那么4/：A G 的值为三、解 答 题（本大题共7小题，共 7 8 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）1 9 .（本小题分）计算：2 s i n 3 0 0 +C O S24 5 0 -（t a n 3 00）-1+V（1-c

6、o t 3 0 0）2.2 0 .（本小题分）如图，在平行四边形4 B C D 中，点F在边4 D 上，射线B 4、CF相交于点E,DF =2A F.求 E 4 A B 的值;（2）如果瓦5=出B C=b，试用4、3 表示向量而.2 1.（本小题分）如图，在 A B C 中，A D L BC,垂足为点0,B/平分N A BC交4。于点E,B C=5,A D=4,s i n z C=等(1)求 s i n BA。的值;（2）求线段E F 的长.2 2 .（本小题分）某校九年级数学兴趣小组在实践活动课中测量路灯的高度.如图，在4 处测得路灯顶端。的仰角为2 6.6。，再沿4 H 方向前行13 米到

7、达点B 处，在B 处测得路灯顶端。的仰角为6 3.4。，求路灯顶端。到地面的距离OH(点A、B、H在一直线上)的长.(精确到0.1米)(参考数据：sin26.6，0.45,cos26.6 0.89,tan26.6 0.50,sin63.4 0.89,cos63.40*0.45,tan63.4 2.0)23.(本小题分)己知：如图，在 ABC中，点。、E分另I 在边BC、4c上，A D.BE相交于点尸，/-A F E=ZA B C,A B2=A E-A C.(1)求证：AABFf BC E；(2)求证：DF B C=DB-CE.24.(本小题分)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=。/+以

8、+2与轴交于点4(一1,0)和点8(2,0),与y轴交于点C.(1)求该抛物线的表达式及点C的坐标；(2)已知点P(l,m)与点Q都是抛物线上的点.求tanB C 的值；如果NQBP=4 5,求点Q的坐标.25.(本小题分)如图，在A/IBC中，Z C=9 0 ,A B =10,B C=8,动点。、E 分别在边B A、BC上，且 肥=：，CE 4设8。=5t.过点8 作8 F4C,与直线D E 相交于点F.(1)当。B=D E 时，求t 的值；(2)当t =g 时，求翳的值;5 r l C(3)当4 B D E 与公BD F相似时，求B 尸 的长.F B司AC答案和解析1.【答案】D解：1：3

9、 =4：12,故选：D.根据比例的性质分别判断即可.此题主要考查了比例的性质，正确把握比例的性质是解题关键.2.【答案】B解：三角形的重心是三角形三条中线的交点.故选：B.根据三角形的重心概念作出回答，结合选项得出结果.考查了三角形的重心的概念.三角形的外心是三角形的三条垂直平分线的交点；三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点.3.【答案】C解：一个锐角 A B C 的三边的长都扩大为原来的2 倍，扩大后的BC边上的高也扩大为原来的2 倍，锐角4 的正弦值没有变化，故选：C.根据一个锐角 A B C 的三边的长都扩大为原来的2 倍，可知扩大后的8 c 边上的高也扩大为原来的2倍，然后根据锐角

10、4 的正弦的定义，可以判断是否变化.本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确锐角三角函数的定义，知道变化前后的两个三角形相似.4【答案】B解：-a/c,b/c，：.a/b，故 A不符合题意;a=2|方|不能确定,与3的方向，不能判定向量日与向量族平行，故B符合题意；*d=2 c r b 3 c f 五与3方向相同，a/b,故C不符合题意；a.+2b=日与3方向相反，a/b故。不符合题意，故选：B.根据平面向量的性质逐一判断即可二本题考查了平面向量的性质，熟练掌握平面向量的性质是解题的关键.5.【答案】B解：v OA：0C=OB：0D,Z.AOB=4C0D（对顶角相等），与相似.故选：B.由。

11、4 OC=OB；0 D,利用两边对应成比例，夹角相等，可以证得两三角形相似，与相似,问题可求.本题解答的关键是熟练记住所学的三角形相似的判定定理，此题难度不大，属于基础题.6.【答案】A解：假设抛物线的对称轴为直线x=-l,则-3=-1,解得力=2,.y=/+2%+。，函数的图象经过点(-3,0),二 9-6 +c =0,解得：c=-3,二 抛物线的解析式为y=X2+2X-3,当y=0时，x2+2 x 3 =0,解得：x=3或x=1,当x=0时,y=-3.二抛物线与x轴的交点为(L 0)和(-3,0),函数的图象与y轴的交点位于x轴的下方；命题都是正确，错误，故选：A.命题可以同时成立，由此即

12、可判断.本题考查命题与定理，解题的关键是掌握二次函数的对称轴公式，二次函数图象上点坐标的特征及抛物线与x,y轴的交点.7.【答案】5：3解：:a：b=2：3,z(a +,b,)x：b,=2+3 =5故答案为：5：3.根据比例式的性质求解即可求得答案.本题是基础题，考查了比例的基本性质，比较简单.8.【答案】-5 e【解析】【分析】本题考查了实数与向量相乘的运算，单位向量.根据单位向量的长度为1,结合向量的方向性解答即可.【解答】解：向 量4与单位向量3方向相反，且 同=5,a =-5 e.故答案为-5人9.【答案】1：2解：两个相似三角形的周长比为1：2,两个相似三角形的相似比为1：2,对应中

13、线的比为1：2,故答案为：1：2.根据相似三角形的周长比等于相似比可求得其相似比，再根据对应中线的比等于相似比可得到答案.本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比、对应中线比等于相似比是解题的关键.1 0.【答案】2解：将(0,0)代入 y=x2+x+m-2 得m -2 =0,解得m 2,故答案为：2.将(0,0)代入解析式求解.本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系.1 1.【答案】上升解：v y=3 x2 1,抛物线开口向上，对称轴为y轴，y轴右侧部分上升，故答案为：上升.由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解.本题考查二次函数的性质，解题关键

14、是掌握二次函数图象与系数的关系.1 2.【答案】y=(x+l)2解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=M向左平移1个单位，所得函数解析式为：y=(x+1产故答案为：y=(x+l)2.直接根据“左加右减”的原则进行解答即可.本题考查的是函数图象平移的法则，根 据“上加下减，左加右减”得出是解题关键.13.【答案】2解：在 中，ZC=90,c o tA =3,A C =6,AC 6 c B C =-=2,cot A 3故答案为:2.利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答.本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.14.【答案】15解：CF=3BF,.B F _ B

15、F _ 1BC=BF+C F=Z DE/BC,EF/AB,二 四边形DEFB为平行四边形，DE=BF,ADEA ABC,DE BF 1=,BC BC 4产=送）2=&ABC C io:SADE=LS*B C=16,*S四边形DBCE=S&ABC-SADE=15故答案为：15.根据题意可得襄=四边形DEFB为平行四边形，则 盗=案 另，易证明/W E sU B C,根据BC 4 BC BC 4相似三角形的性质得冷隽=O=以此求出S&A8c=16，由S四边形DBCE=SA.BC-SAADE即可解答.本题主要考查平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平

16、方是解题关键.15.【答案】等解：迎水坡4B的坡度是1：V3,BC _而=浮v AC=10m,.B力C =-iobm,AB=JBC2+AC2=竽 巾.故答案为：竽.根据坡度的定义可得第=强，进而可得BC的值，再根据力牙=，BC2+AC2可得答案.本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟练掌握坡度的定义是解答本题的关键.16.【答案】|解：连接FH交4C于0,如图:四边形EFGH是菱形，.-.FH1AC,OF=OH,.四边形4BCD是矩形，:.乙B=LD=90,AD/IBC,:.Z.ACB=Z.CADf在4。与aCOF中，CAD=Z-ACBZ.AOH=(COF,OH=OF40”W2C0F(4

17、4S),4。=CO,RtLABC,AB=2,BC=4,AC=y/AB2+BC2=V22+42=2遍,AO=；AC=V5,v/.CAD=/.HAO,Z.AOH=Z.D=90,TI O H-A ADC,AH _ AOAC=AD即 华=%2V5 4AH=I，故答案为:连接FH交4c于0,易证得 4。“三 C0FQL4S),可得。4=O C,由勾股定理求得4C的长，求得04的长，证AOH-ZkAOC,利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案.此题考查了菱形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质等知识.准确作出辅助线是解此题的关键.17.【答案】华解：以B为原点，以8c所

18、在直线为x轴建立直角坐标系，过P作P F 14B 于F,过Q作QG_L4B交48延长线于G,如图：AB=5,PB=3,PA 1 PB,AP=7AB2 -PB2=42SABP=AP-PB=AB-PF,._ QBF=yJOP2-PF2=/唁 将线段PB绕点B顺时针旋转90。，点P的对应点为Q,/.Z.PBQ=90,BP=BQ,乙 FBP=90-(QBG=乙 BQG,Z.PFB=(BGQ=90,PFBN2kBGQ(44S),12 Q:.PF=BG=y,BF=QG=晟由P 3),Q，一刍得直线PQ解析式为y=7X-15,在y=7x-15 中，令y=5得x=T,.PE=枪一守+(57=竽故答案为：军.以

19、B为原点，以BC所在直线为x轴建立直角坐标系，过P作PFJ.48于F,过Q作QG 1 4B交4B延长线于G,由4B=5,PB=3,PA 1 PB,可得PF=空#=号,BF=y/OP2-PF2=当即得 当之)，根据将线段PB绕点8 顺时针旋转90。，点P的对应点为Q,可得A PFB3 4 BGQCAAS),从而(?卷一5,即得直线PQ解析式为y=7x 1 5,故 E(?,5),从而PE=竿.本题考查正方形中的旋转问题，解题的关键是建立直角坐标系，求出点E的坐标.18.【答案】214解：点。、E是 边 的 勾 股 分 割 点(线段4D EB),DE=3,EB=4,/.AD=y/DE2+BE2=5,

20、-AQ/BC,Z,AFD=乙 DCB,Z-DAF=乙 B,*.ADFL BDC,A F _A D _ _5_ _ 5：tBCBD=3+4-71.-.AF=BC,r=i 工 FflAG AE 5+3 n可理一=-=2,BC BE 4 AG=2BC,AF：AG=(2BC)=*故答案为：14由点D、E是边AB的勾股分割点(线段AD EB),DE=3,EB=4,可得2D=y/DE2+BE2=5.而4QB C,即得芸=霁=与=?,4F=*C,桨=携=胃=2,4G=2BC,从而可得答案.本题考查勾股定理及应用，涉及新定义，相似三角形的判定与性质，解题的关键是读懂新定义，用含BC的式子表示4F和4G.19.

21、【答案】解：2sin30+cos245-(tan30)-1+7(1-cot300)2=2 X +(郸一第T+J(1 -通)2=1+1-V3+V3-1_ 1=2【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质、负整数指数幕的性质分别化简，进而得出答案.此题主要考查了实数的运算、特殊角的三角函数值等知识，正确化简各数是解题关键.20.【答案】解：四边形48CD是平行四边形，:,ABCD,AB=CD,DCF,AE AF:.=,CD FD.延 _丝 丽 一 万 DF=2AFf 竺 二，DF 2 _E_A _1.,AB-2，(2).四边形4BCD是平行四边形，:.AD“BC,AD=BC,v DF=2

22、4尸，.DF _DF _2AD BC 3v BA=五,BC=b，CD=a DF=-|b,CF=CD+DF=a-b.【解析】(1)根据平行四边形的性质可得48C。，AB=CD,易证 AEFSR DCF,则 第=缶=第，由。尸=24F即可求解；(2)先算出黑=雾=,，再根 据 而=而+而 即 可 求解./X L)DC J本题主要考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、平面向量，熟练掌握平面向量的运算法则是解题关键.21.【答案】解：(l)：40 1BC,AD=4,sin/C=等，.-D _ 4 _ 2V5而一而一 5解得4c=2遥，在中，CD=y/AC2-AD2=2,BC=5,.BD=BC-

23、CD=5-2 =3,在山 ABD中，AB=y/BD2-AD2=5,：s nz.Br AfD =BD=-3；AB 5(2)v AB=BC=5,BF平分4B C,A BF 1 AC,AF=AC=V5,Z.AFE=Z-ADC,又 Z.EAF=/-CAD,A EF,A CD,.图=丝，CD A D即竽=（解得E F =苧.【解析】（1）根据4。=4,s i n/C =等，可以得到4 c的长，然后根据勾股定理可以得到C D的长,再根据B C的长，从而可以得到BD的长，再利用勾股定理可以得到4 B的长，然后即可求得的值；（2）根据题意和等腰三角形的性质，可以得到AAEFsAADC,然后即可计算出E F的长

24、.本题考查解直角三角形、勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.2 2.【答案】解：设BH的长为x米，在RtAOBH中，t an z O f i H=DHA O H =2B H=2 x米，在R t 4 0 H中，tanOA H=5，A H-A H=言=4 x 米，v A B =A H -B H =4 x-x =1 3,解得“家 米），0 H =2 x =与 8.7（米），路灯顶端。到地面的距离。4的长约为8.7米.【解析】设 的 长 为x米，分别根据三角函数值表示力H,0H,再列方程求解.本题考查了解直角三角形，掌握三角函数的意义是

25、解题的关键.2 3.【答案】证明：4B2=4E.AC,.A E _ A B A B =A C，v 乙B A E=乙CA B,乙ABF=乙C,Z-ABC=Z.AEB,v Z-ABC=Z.AFE,乙AFE=Z-AEB,180-Z.AFE=180-4AEB,BPzTlFB=乙BEC,ABFA BCE；(2)也 ABF f BCE,啮=需 B E =F,乙 BDF=Z.ADB,DBF DAB,B1 F 1DF,AB DBtCE_DF_ CB=DBf:DFBC=DBCE.【解析】(1)根据AB2=?!1 AC可得笠=煞，Z.BAE=/.C A B,则 A B ESA A C B,Z.ABF=ZC,根据相

26、似三角形的性质结合题意可推出乙4 F E=NAE B,由等角的补角相等得N4 F B =NB E C,以此即可证明；由可知A B F sB C E,由相似三角形的性质得经=整，4CBE=KB AF,易证明 O B F LD ADD A B,由相似三角形的性质得整=黑，以此即可求解.Ab UD本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键.24.【答案】解：(1)将4(一 1,0)、8(2,0)代 入 了=。2+.+2得,(Q b+2=0(4。+2b+2=o,解得忆该抛物线的表达式为y=-x2+x+2.当x=0时，y=2,点C的坐标为(0,2)；(2)连接P C,过点P作

27、P _ L B C,垂足为点H.在 y=-%2+%+2_t,/.m =-1 +1 4-2=2,P(l,2),v C(0,2),8(2,0),BC=2或，PC 1 OC,Z.BCO=45,APCH=45,r u n uPC y/2：,CH=PH=工BH=BC-CW=2或-苧=苧+,n o r PH 6.3 0 1.tan zP fiC=-=-=-由题意可知，点Q在第二象限.过点Q作Q D lx 轴，垂足为点D.Z-QBD=(CBP,1v tanz.PBC=tan“BD=黑=：,D Lf O设Q=n,贝 ijBD=3n,OD=3 n-2.Q(2 3n,n),将 Q(2-3n,n)代入 y=-x2+

28、x+2,得一(2-3n)2+2-3 n +2=n,解得n=或0(舍去)，.点 Q的坐标为(一 I ).【解析】(1)将4(-1,0)和点B(2,0)代入y=ax2+bx+2即可求解;(2)过点P作PH 1 B C,垂足为点H.求出BC=2企，根据等腰直角三角形的性质可得CH=PH=苧，则=。”=苧，根据正切函数的定义即可求解；过点Q作Q。轴，垂足为点。.可证出NQBD=NCBP,根据正切函数的定义以及二次函数图象上点的坐标特征即可求解.本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、锐角三角函数、以及等腰直角三角形的性质等知识，由两个角相等，熟练掌握待定系数法以及锐角三角函数的定义是解

29、决问题的关键.25.【答案】解：(1)过。作DH_LBC,垂足为点H,v ZC=90,DH/AC.BH _ BC _ 4BD BA 5 BD=DE=53 .BH=EH=43又BC 8,CE 432 =8,t=|；(2)当t=|时，得BD=2,CE=I，BE=.v BE BD,二点尸是射线ED与直线BF的交点,过E作EGA C,交4B于点G,则 B/7/GE/4C.:.AG=CE,AAGr =2Q.AB CBD G=10 2 2=6,BF BD 2 1 GE BG 8 4,GE DG 6 3 4c 10 5BF BF GE，4 4学=出x n=X 记当点尸是射线DE与BF的交点时，BDE与A B

30、OF相似，又 乙 BDE=4 BDF,：.DBE=,即乙4BC=4F,又 乙 EBF=HBEFA CAB.BF _ BE BC ACaiBF 8-4tE|J=.解得 8F=g(8-4 t),过。作DM I B C,垂足为点M.由BD=53 得。M=33 BM=4t,EM=S t-8.B F/DM,：Z.EDM=z_F =Z.A B C.tanzFDM=tanZ-A B C.4 DM=g(8 t-8),4V(8t 8)=3t.解得t=II,.8尸4=其 8 4 )2=24瞽,(ii)当点尸是射线ED与BF的交点时,v Z.B DE NF,乙 B DE 乙 F B D,又 B D E V BD尸

31、相 彳 以，乙 B DE=乙 B DF=90.乙 B DE=Z.C,乙 DB E=Z.CB A,B D E B CA=,g p-=匕丝,解得t=%.BC BA 1 8 10 加 b 4 1 r nB D=160,41v Z-F =乙 DB E,:.sinz.F=sinz.DB E.吧 _竺*9=而解得3 尸=畏.综上所述，当ABDE与ABOF相似时，BF的长为罂或鬻.【解析】(1)过。作D H 1 B C,垂足为点H,根据平行线分线段成比例定理得=EH=4 t,从而解决问题；(2)过E作EGA C 交4B于点G,则BFGE4c.则瞿=巾=g喋=普=g,可得答LTD DU O D AC DA 1U 5案；(3)分点F是射线ED与BF的交点或点尸是射线DE与8F 的交点两种情形，分别利用相似三角形的判定与性质可得答案.本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，动点问题,用含t的代数式表示各线段的长是解题的关键.