2023年数学一试题答案、解析.pdf

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1、2023年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：18小题，每题8 分，共 3 2 分，以下每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。(1)当x-0时，/(x)=x-sinox与g(x)=-Z?x)等价无穷小，那 么()(A)a=l,b=(B)a=l,b=6 6(C)a=l,b=(D)a=,b=6 6【解析与点评】考点：无穷小量比阶的概念与极限运算法那么。参见水木艾迪考研数学春季根底班教材?考研数学通用辅导讲义？(秦华大学出版社)例4.67,强化班教材?大学数学强化 299?16、1 7 等例题。【答案】A/=6。意味选项B,C 错误。再由 lim=

2、存在,故有 1-acosor O(x 0),故 a=l,D 错误，所以选 A。io -3bx2(2)如图，正方形(x,y)|x|Kl,|y区1被其对角线划分为四个区域，DK(k=1,2,3,4),/=j j ycosxdxdy,那么呼、/=()【解析与点评】此题常用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。对称性与轮换对称性在几分钟的应用是水木艾迪考研数学重点打造的技巧之一。参见水木艾迪考研数学春季班教材?考研数学通用辅导讲义-微积分?例12.3、12.14、12.16、12.17,强化班教材?大学数学同步强化299?117题，以及?考研数学三十六技?例18-4。2,2 关于x 轴对称，而-yc

3、osx即被积函数是关于y 的奇函数，所以/?=6两区域关于 y 轴对称，ycos(-x)=ycosx即被积函数是关于x 的偶函数，由积分的保号性，/=2 JJ ycosxdxdy 0,/3=2 JJ ycosxdxdy 0,所以正确答案为 A。O W I|(AO)b-x,0 x 0 且为常数，应有尸(x)单调递增且为直线函数。xe(0,l)时,/(x)0,F(%)0,尸(x)单调递增。xe(2,3)时，/(幻=0,尸(为为常值函数。正确选项为D。【答案】D（4）设有两个数列%,假设liTm8a,=0,那 么（）（A）当 收 敛 时，。也 收 敛（B）名 发散时，。也发散n=l n=l n=n=

4、（C）当仁也|收敛时，方 喇 收 敛 （D）也|发散时，礴 发 散r t=l M=l M=I r t=l【解析与点评】以下方法1 是水木艾迪考生的首选方法。（方法1）之电|收敛，那么lim|d|=0,又lim|a,|=0,必存在N,使当nN时且n=乙k|（极限的有界性!），a；,b；,bn,立即由正项级数的直接比拟法得到：当 他 收敛时，收敛。应选c。n=n=参见水木艾迪春季根底班教材?考研数学通用辅导讲义-微积分？（清华大学出版社）自测模拟题15.3,例 15.4。（方法 2）反例：对 A 取1）J=,对 B 取a“=b=L 对 D 取a“=/?”=Ln n n（5）设是3 维向量空间R 的

5、一组基，那么由基到基q+a 2M2 +%，生+q的过渡矩阵为（）(A)q2021、0(B)1 20 20、3(C)224 _ r6 _(D)(_222j_、224644-4、o33,、666【解析】由基对；%1 4 到a+。2闰2 +%用3 +q的过渡矩阵满足所以此题选（A）。【点评】此题考查的主要知识点：过渡矩阵。（6）设 A,B均 为 2 阶矩阵，A*,8*分别为A,B 的伴随矩阵，假设|A|=2,|B|=3,那么分块矩阵O、B/O、2A*的伴随矩阵为（）3 BO(B)(C)O 3A*2 B*O(D)A07八7 O 2B*、3A*O、77 O 2 A*O、7【答案】B n A 0 A【解析

6、】由于分块矩阵 的 行 列 式：=(-1)22|A|8|=2X3=6,即分块矩kB 0 J B 0阵可逆，根据公式C*=|C Q T,(1、0 -5*/=6 ,3=,盐,故答案为B。U 0 13 4 0 J(2 )【点评】此题考查的知识点有：伴随矩阵和逆矩阵的关系，分块矩阵的行列式，分块矩阵的逆矩阵等。(7)设随机 变 量X的分布函数 为/(x)=0.3(九)+0.7 三 其中(x)为标准正态分布函数,那 么EX=()(A)0(B)0.3(C)0.7(D)l【解析】因为b(x)=0.3(x)+0.7 1 一 工由于2J 2 7 r是N(0,l)的密度函数，故其期望值为0,1di=是N(l,2

7、2)的密度函数，其期望值为1,所以2而EX=x尸(x心=0 3 x0 +0.7 x1=0.7 ,【答案】(C)【点评】这是一个分布函数求期望的问题，属于概率论的基此题型。其中需要知道正态分布的根本性质，这类问题在辅导讲义中有许多类似的题目。(8)设随机 变 量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N(0,l),Y的概率分布为PY=0=PY=l=y,记 F：(z)为随机变量Z=XY的分布函数，那么函数(z)的间断点个数为()(A)0(B)1(C)2(D)3【解析】E(z)=P(XY z)=P(XY zY=0)P(y =0)+P(XY zY=1)P(K=1)由于 X,Y 独立。E(z)=1 P(X.

8、O z)+P(X z),假 设z 0,那么五=(z)=g(z),(2)假 设zNO,那么理(z)=；(1+(z)z=0为间断点，应 选(B)【评注】这是一个考查离散型随机变量与连续型随机变量函数分布的典型问题，一般都要利用全概率公式的思想来解决，这类问题在辅导讲义中有类似的题目可供参考。二、填空题：9-14小题，每 题 4 分，共 2 4 分，请将答案写在答题纸指定位置上。(9)设函数/(#)具有二阶连续偏导数，z=/(尤，孙)那么之上=_。dxdy【解析与点评】此题为多元函数偏导数计算的基此题目，同类题目可参见参见水木艾迪2023考研数学模拟试题数1-10题，水木艾迪考研?大学数学同步强化2

9、99?例 10.1210.13,10.15等，还有?考研数学三十六技?例15-1,15-3,15-5等，以及?考研数学通用辅导讲义-微积分?101,103等例题。答案：必；+力 +皿(10)假设二阶常系数线性齐次微分方程)，+勿=0的通解为y =(G+C 2 X)e ，那么非齐次方程y+a y +切=x满足条件y(O)=2,/(0)=0的通解为y=。【解析与点评】答案：y=-xcx+x+2由.y =(C,+G H,得二阶常系数线性齐次微分方程y +ay+by=0的特征值4=4 =1,故 a=-2,b=L要求解的微分方程为y -2 y +y =x。设特解%=A x+8代入微分方程为y-2 y+y

10、=x,得出-2A+Ax+B=x,A=l,B=2,故微分方程为的y -2 y +y =x特解y =x+2 ,通 解 为y =(C,+C2x)e+x+2代入初始条件y(0)=2，(0)=0,得G=0 C=-l,要求的解为y =-xe +x+2参见水木艾迪2023考研数学模拟试题数1-12题，【水木艾迪考研】？大学数学同步强化2997133,134,?考研数学三十六技?例11-8,例 11-11,例 11-12,?考研数学通用辅导讲义-微积分?例8.20,例 8.21,例 8.29,例 8.30。(1 1)曲线L:y =%2(04 夜)，那么。【解析与点评】由题意，x=x.y=x2,0 x参见水木艾

11、迪2023考研数学模拟试题数1-16题、根底班2023模拟试题1-17题,以及【水木艾迪考研】？大学数学同步强化299?76,7 8,例 158-1等，？考研数学三十六技?例9-16,10-8,?考研数学通用辅导讲义 微积分?例15.14,例 16.18。2 2（此题总分值11分）椭球面积S是 椭 圆 上/1绕 X轴旋转而成，圆锥面积邑是过V2 V2点（4,0）且与椭圆L+=1相切的直线绕X轴旋转而成。4 3（I）求5及 2的方程；（II）求加与S 2之间的立体体积。2 2，【解析】（I）的方程为L+匚 土 =1,4 32 2过 点（*0）与工+4=1的切线为两条，由线绕x 轴旋转体的几何意义

12、，只需求一条即可,4 3切 线%+势=1过点 o）,斜 率 为 人 一 也，得到切点为4 3 4%3 1 1*0 =1,%=-5，取一条切线 =5*-2。得到S2的方程为y 2 +z 2=（；x 2）2（II）记 弘=$2,丫2=小（1三），那么（18）（此题总分值1 1 分）（I）证明拉格朗日中值定理：假设函数/（尤）在 a,b 上连续，在（a,b）可导，那么存在？w（兄。）,使 得/S）f（a）=r（G S a）.（II）证明：假设函数/（幻在x=0处连续，在（0 ）30）内可导，且li m尸（x）=A那么力（0）存在，且（0）=A。【解析与点评】(I)过(。,/(。)与(。()的直线方程

13、为 y(x)=/()-二/匆(x-a)b-a取辅助函数F(x)=fx-f(a)一/二-a),那么 F(a)=F(b)；b-ab(x)在 a,b 上连续，在(a,b)内可导，且产(x)=一 出)。b-a由罗尔定理，存在7 3,使尸)=0,即八。,=o，或岫)_/()=r(，)3-)。b-a(II)任取x e(0 ),那么函数/(x)满足：在闭区间 0,x 上连续，开区间(0,%)内可导，由拉格朗日中值定理可得：m?G(0,x)u(0,3),使得r两 边 取 时 的 极 限，注意到li m/(x)=4 ,可得1 0+于是(0)存在，且力(0)=A导数定义与拉格朗日微分中值定理是水木艾迪辅导的星级考

14、点，尤其是拉格朗日微分中值定理本身的证明方法，及其在处理问题中的桥梁功能与逐点控制功能(连锁控制功能)是我们教学中一再强调的概念与方法，相关例题参见水木艾迪?考研数学通用教材-微积分？(清华大学出版社)。(1 9)(此题总分值10分)计算曲面积分/=JJ 办+)必+z,d y 其中z是曲面工 (x2+y2+z2)22 d+2 y 2 +z 2=4 的外侧。【考点】内中复连通域上的stokes定理、Guass公式。在水木艾迪2023点题班上曾强调数一考生今年要特别注意复连通域上的Stokes定理、Guass公式与Green公式，并注意用积分与的约束条件简化计算。【解析与点评】/=弛 史 卫 生

15、密 也，其中2/+2 y 2 +z 2=4x(x2+y2+z2y-r,r=-r,那么(x2+y2+z2)2(x2+y2+z2)2(x2+y2+z2)2dX y2+z2-2 x2-9由轮换对称性，”=z-2y*=x-+z-2 z：(x2+y2+z2y 也(x2+/+z2P除原点外，散度如（x,y,z）=C +包+名X y zOo记S|：x2 +y 2 +z 2 =i,由复连域上的S t o k e s 公式及Gu a s s 公式，注意到约束条件可得：【水木艾迪考研】可参见?大学数学同步强化2 9 9 7 1 2 9,1 3 0 等例题，？考研数学三十六技？例 2 0-4 （完全相同），例 2

16、0-5,例 2 0-6,以及?考研数学通用辅导讲义微积分?例1 4.8,例1 4.1 2,例 1 4.1 5,1 4.3 1,水木艾迪2 0 2 3 考研数学模拟试题数1-1 9 题。1 -1 -1、(2 0)(此题总分值1 1 分)设 4=-1 1 1,4 =、0 -4 一 2,7 求 满 足 =4，AV3=的所有向量，2 4；d i）对。）中的任一向量Q,，3,证明:如？2,小线性无关。【解析】（I）解方程A Q=,1 -1-1 10 -4-11-2-11-27100故GA?2-242-24000-110-120-1220700010-220-2207,其中匕为任意常数。解方程1的=,、2

17、20 -110 02-20 100 0040 -2100 007故Q_ P 200+k2 1+k3 0 ,其中4 2,占为任意常数。7（II）证明：由于01 1 ,-k、2 2 1%22“3+1-)=-00故 品 线 性 无 关。【点评】此题考查的知识点有：矩阵的运算，非齐次线性方程组求解，解的结构，线性无关的概念，三个三维向量线性无关的充要条件是行列式不为零，行列式的计算等。(2 1)(此题总分值11分)设二次型/(石,工2，工3)=滤+渥+(。-1濡+2平3 -2%2工3(I)求二次型/的矩阵的所有特征值；(II)假设二次型/的标准形为才+,求 a 的值。7 0 1、【解析】(I)A=0

18、a-1J 7 a所以二次型的矩阵A 的特征值为a-2,a,a+lo(I I)假设标准形为才+,说明有两个特征值为正，一个为0,当a=2时，三个特征值为0,2,3,这时，二次型的标准形为才+必。【点评】此题点：二次型的矩阵，求矩阵的特征值，二次型的标准形，惯性定理等。(2 2)(此题总分值11分)袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现有放回的从袋中取两次，每次取一球，以 X,Y,Z 分别表示两次取球的红、黑、白球的个数。(I)求 PX=l|Z=0。(I I)求二维随机变量(X,Y)的概率分布。【解析】(I)在没有取白球的情况下取了一次红球，利用样本空间的缩减法，相当于只有1个红球，2 个黑球放回

19、摸两次，其中摸一个红球的概率，所以PX=l|Z=0=B=。(ID X,Y 取值范围为1,1,2,故C x 1 C x C 1尸(x=o,y=o)=六 产=后 尸0=1；=0)=吃 尸=7，p(x=2,y=o)=!,P(x=o,y=i)=4 =L6 3 6 6 3p(x=i,y=i)=G=,p(x=2,y=i)=o,X 01201/41/61/36【点评评注】这是一个放回摸球问题的简单推广，属于古典概型的题目，只要用排列组合的技巧就可以解决。11/31/9021/900(2 3)(此 题 总 分 值1 1分)设 总 体X的概率密度为/(x)=工,其 中 参 数0,其他 4 0)未知，西,，Z是来自总体X的简单随机样本。(I)求参数4的矩估计量；(I I)求参数4的最大似然估计量。【解析】(D由令E X=I,可得总体参数4的矩估计量4=2。(I I)构造似然函数当 x9x2.xn 0 时，取对数I n L=2 I n4 +Z I n七-1，尢,z=i/=i令史故其最大似然估计量为九=2 人,2,生.xi=1【点评】这是一个典型的求矩估计和最大似然估计的题目，有固定的解法步骤。辅导讲义中有许多这种问题的求解。