2023年广东省高考一模数学试卷含详解.pdf

《2023年广东省高考一模数学试卷含详解.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年广东省高考一模数学试卷含详解.pdf（29页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试（一）数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合”=削 x（x-2）0,N =x|x-1 Q,3.已知函数小丫 若 。）/（6。），则实数的取值范围是（）卜 3,x 0 力 0）,点 B 的坐标为（0 ，若 C上的任意一点尸都满足可 泊，则C的离心率取值范围是（）A.V 5+128.水平桌面上放置了 4 个半径为2 的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切.若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为（）A 4 B.2 7 2+2 C.2A

2、/3 +2 D.6二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9 .如图，弹簧下端悬挂着的小球做上下运动（忽略小球的大小），它在f（s）时刻相对于平衡位置的高度（c m）可（-JI 兀、以田/?=2 s i n:确 定，则下列说法正确的是（）（2 4）t A =AO,则（）A.AC LSDB.AC与S B所成角为60 C.80与平面SC。所成角为4 5 D.8。与平面5 A B所成角的正切值为也311.已知抛物线E:y 2=8 x的焦点为尸，点F与点。关于原点对称，过点C的直线/与抛物线交于A B

3、两点(点A和点。在点B的两侧)，则下列命题正确的是()A.若 斯 为A CT7的中线，则|A F|=2忸同B.若 所 为N A R C的角平分线，则|A F|=6C.存在直线/,使得|4 7|=及|4月D.对于任意直线/,都有|A F|+忸F|2|CF|12.已知定义在R上的函数/(x),对于给定集合A ,若X/X w/e R，当玉一e A时都有/(-/(kA,则称/(x)是“A封闭”函数.则下列命题正确的是()A.是1/封闭，函数B.定义在R上 的 函 数 都 是“0 封闭”函数C.若“X)是“1封闭”函数，则“X)一定是“%封闭”函数(Z e N*)D.若/(x)是“何封闭”函数(a,6

4、e N),则/(%)不一定是“a耳封闭”函数三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20分.请把答案填在答题卡的相应位置上.13 .已知 向 量 满 足 卜|=2,什=4,仅一 a)-a =0,则.与匕夹角为.14 .在平面直角坐标系中，等边三角形ABC的 边 所 在 直 线 斜 率 为26，则边AC所在直线斜率的一个可能值为.15 .已知/(x)是定义在R上的奇函数，且/(x)在 0,2 上单调递减，/(x+2)为偶函数，若/(力=加在 0,12 上恰好有4个不同的实数根%，尤2,七，&，则玉+x2+x+x4=.16.己知动圆N经过点A(-6,0)及原点。，点p是圆N与圆M:d+(y

5、 -4 =4的一个公共点,则当N O P A最小时，圆N的半径为.四、解答题：本大题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在 WC 中，角 的 对 边 分 别 为,已知cos2 A+cos2 5-cos2 C=l-2 si nA si nB.(1)求角C 的大小；(2)求si nA +si nB +si nC的取值范围.18 .已知各项都是正数的数列 4,前 项 和 S满足a；=2 S,-a,(e N)(1)求数列 q 通项公式.(2)记 2是数列?”的前项和,是数列的前项和.当之2时,试比较匕与的的大小.19 .如图所示的在多面体中，A B =A D,E B

6、=E C ,平面A BO J _ 平面BCQ，平面B C E _ L 平面8CQ,点 G分别是C D,中点.(1)证明：平面A F6 /平面8 C E ；(2)若 B C L B D,B C =B D =2,AB=e,B E =非，求平面4 R7和平面A CE夹角的余弦值.2 0.某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5 个为红色，5个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖.(1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次

7、数X 的分布列和数学期望.(2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数y的分布列和数学期望.(3)如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由.2 1.已知点A,点 B和点C为椭圆C：X2部+至=1(。人0)上不同的三个点.当点A，点 8和点C为椭圆的顶点时，A A BC恰好是边长为2的等边三角形.(1)求椭圆C标准方程；(2)若。为原点，且满足Q A +O 8 +OC=0,求,A BC的面积.2 2.已知函数/(x)=x e。(1)求/(x)的极值;(2)当x 0时，f(x)(a+1)x+nx+2,求实数。的 取 值 范 围.20

8、23年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试(一)数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合=/x(x-2)O ,N=尤|x-1 0,则下列veg图中阴影部分可以表示集合时 x 2 的是【分析】根据一元二次不等式的解法，结合四个选项的V e n n 图逐一判断即可.【详解】x(x-2)0 =0 x 2,x-l 0 =x 0,3.己知函数/(%)=门 丫 若/(a)”6-。)，则实数。的取值范围是()迫,x 0,A.(3,+8)B.(-0 0,3)C.(3,+c o)D.(-,3)【答案】D【分析】由指数函数的性质判断分段函

9、数的单调性，结合已知不等式求参数范围.【详解】由解析式易知：f(x)在 R 上递增，又“。)/(6-4)，所以a6-a,则。0,6 0),点8的坐标为(0,8)，若C上的任意一点P都满足处 却 泊，则。的离【答案】A【分析】根据两点间距离公式，结合一元二次不等式的性质、双曲线离心率公式进行求解即可.【详解】设尸(x,y),|PB h=x1+(J-Z?)2 h=x2+y2-2by 0(*)2 2,2、由*-方=1=2=1+3,代入不等式*中，2化简，得鼻2勿+恒成立，则有 A=4b-；Z?a2c2 n b-c2-a2 c=e“一e-l W 0,b2解得+6,而e l,所以l e =L芭2 2 2

10、故选：A【点睛】方法点睛：一般求双曲线的离心率的方法是：根据已知的等式或不等式，构 造 关 于 仇C中任意两个量的双齐次方程或不等式，再结合双曲线的离心率大于1 进行求解即可.8.水平桌面上放置了 4个半径为2的小球，4 个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切.若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为（）A.4 B.20+2 C.2 百 +2 D.6【答案】C【分析】根据题设要使半球形容器内壁的半径的最小，保证小球与（球 各 面（含球面部分）都相切，进而求半径最小值.【详解】要使半球形容器内壁的半径的最小，只需保证小球与1球 各 面（含球面部分）都相切，此时，如

11、上图示，。为半球的球心，A为其中一个小球球心，则Q4是棱长为2的正方体的体对角线，且该小球与半球球面上的切点与。,A共线，所以半球形容器内壁的半径的最小值为小球半径与04长度之和，即26+2,故选：C二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.如图，弹簧下端悬挂着的小球做上下运动（忽略小球的大小），它在，（s）时刻相对于平衡位置的高度&（c m）可以田/z =2 s i n 匕方+确定，则下列说法正确的是（）h,所以AB_L0K，又 S D =AD,所以 Z）K_LS4,S An AB=A,所

12、以。长，面548,所以8。与平面SA3所成角为N DBK，不妨设S=A=a,易知 DK=里,B K =,2 24 1a在Rt_Z）KB,tanND B K =聆=-=,故选项 D 正确.B K 76a 3故选：ACD11.已知抛物线E：/=8 x的焦点为F,点F与点C关于原点对称，过点C的直线/与抛物线E交于A B两点（点A和点。在点B的两侧），则下列命题正确的是（）A.若 斯 为ACT7的中线，则|AF|=2忸F|B.若 所 为NARC的角平分线，贝b|=6C.存在直线/,使得|AC|=0|A F|D.对于任意直线/,都有|A月+忸P|2|CE|【答案】AD【分析】设/：兀=份-2,不妨令4

13、（4必）,8（%,必）都在第一象限，C（-2,0）,F（2,0）,联立抛物线，根据已知及韦达定理得公 1、芦+%=跳,必 为=1 6,则 西+=8/2-4,中2=4,再根据各项描述、抛物线定义判断它们的正误.【详解】由题意，设/：X =2,不妨令A（%，x）,8（无2,%）都在第一象限，C（-2,0）,F（2,0）,联立 E:y 2=8 x,则 y 2 _ 8 +1 6 =0,且 =6 4（公-1）0,即女 2 1，所以X+%=队 必%=1 6,则 玉+=8炉-4,%=4，如上图所示.A：若3歹为 Ab的中线，则%=/，所以y=40,所以内=4,故A（4,4 j 5）,所以仅1,2正），则|A

14、 q=2忸耳=6,故A正确；BC|C F|B：若3月 为N A E C的角平分线，则 丹=上-，BC CE作 AD,B E 垂直准线 x =2 于。,E ,贝IJ|A F|=|A|且1Tm =舄,前 以 回 一 回 .=9AD DE|AD|+|CF|CD|AD|xt+6%+2，4将 =0代入整理，得玉2 4否-1 2 =（占-6）（%+2）=（）,贝|以=6,x所以|4耳=%+2 =8,故B错误；C：若|A C|=0|A耳，B J|A C|=V 2|A Z|,即 A C。为等腰直角三角形，此 时|卬=|4。|,即A（y2，x）,所 以 弁=8%一1 6,所 以 弁8乂+1 6 =0,所以乂=4

15、,所 以 为=4,则此时A,3为同一点，不合题设，故C错误;D：M+网=闷+阈=x+w+4 =8&2,而2m=8,结 合 公 1，可得8左2 8,即|A F|+忸同 2|C F|恒 成 立,故D正确.故选：A D.1 2.己知定义在R上的函数/（X）,对于给定集合A,若V X|，zeR,当玉一eA时都有 w k A,则称 x)是“A封闭”函数.则下列命题正确的是()A./(力=/是 -1,1 封闭”函数B.定义在R上的函数“X)都是“0 封闭”函数C.若/(x)是“1 封闭”函数，则/(同 一定是“2 封闭”函数(A e N*)D.若/(x)是“a,可封闭”函数(a,0 e N ),则 不 一

16、 定 是“。可封闭”函数【答案】B C【分析】A特殊值占=4,电=3判断即可；B根据定义及函数的性质即可判断；C、D根据定义得到VxeR都有/(%+1)=/(x)+1、V x e R 有/(x+a)=/(%)+b,再判断所给定区间里是否有 f(x2+k)-f(x2)=k、f(x2+ab)-f(x2)=a b成立即可判断.【详解】A：当玉=4,电=3时，x,-x2=l e -l,l ,而/(%)/()=1 6-9 =7 任-1,1 ,错误；B：对于区间 o ,V X|,%2 eR使 -工2 =0，即芭=工2，必有/(%)-/(工2)=。，所以定义在R 上的函数/(X)都是“0 封闭”函数，正确；

17、C：对于区间 1 ,V x ,X2 eR 使玉一w e l ,则=工2+1,而 J(x)是“1 封闭”函 数,则f(x2+l)-/(x2)=l,即VxeR 都有f(x+1)=f(x)+1,对于区间%,%,工 2 eR 使玉一%2 网，则王=%2 +%，Z wN*，而+后)=/(工2+女 1)+1，/(/+左 一 1)=/(+女 一 2)+1,/(X,+1)=/(%,)+1 ,所以/(/+)+于(x?+k 1)+f(%2 1)=/(x2+k 1)4 于(x2+k 2)+f +k 1,即/(%2+幻=/(X2)+人，故/(%2+无)-/(工2)=4，/(X)一定是“快 封闭”函数(k e N*),

18、正确；D：对于区间 a,0,存在一个/(x)满足在V X,/eR 使 -工2 =a，都有/(工2+4)一/(工2)=人，且a.b G N ,此时，上述/(X)为一个可封闭”函数，且该函数在VxeR 有/(x+a)=/(x)+力恒成立，对于区间,结合上述函数，V X,/e R 使%一 =,则/(%+出?)=/(+4(。-1)+人，f(x+a(b-1)-f(x+a(b-2)+h,f(x+a)f(x)+b,将上述各式，两边分别累加并消项得了(x +a 份=/(x)+a 人，故+4 与一/()=成立,所以一定是“就 封闭”函数，故错误.故选：B C【点睛】关键点点睛：对于C、D,根据给定的条件得到Vx

19、eR都有/(x +l)=/(x)+l、VxeR有/(x +a)=/(x)+b恒成立，利用递推关系及新定义判断正误.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上.1 3.已 知 向 量 满 足 忖=2,忖=4,伍。)也=0,则“与/，的夹角为.【答案】一3【分析】根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量夹角公式进行求解即可.【详解】由(。-=0 n 8-a =4,“、4 1 .nc o s(p,a)=,=-=一=。,=一MM 4x 2 2 31故答案为：一31 4.在平面直角坐标系中，等边三角形ABC的边AB所在直线斜率为26，则边AC所在直线斜率的一个可能

20、值为.【答案】一 更 或 叵5 7【分析】由等边三角形的性质和直线的倾斜角与斜率的关系以及两角和与差的正切公式，得出边AC所在直线斜率.【详解】设直线4 6的倾斜角为a，由已知得设直线4 c的倾斜角为6，则 A c =t a n。，因为在等边三角形ABC中，A B A C =6 0，所以6 =。60，当 6 =。+60，t a n 6 =t a n(a +6 0 )t a n a +t a n 6 01 -t a n c r t a n 6 02G+61-2 73x 733 G所以“=t a n 6 =2w 5w 八 八 z t a n -t a n 6 0 26一6 垂)当。=c-60，t

21、a n =t a n(a-6 0 )=-=-尸 尸=，1 +t a n o r t a n 6 0 l +2 j 3x，3 7所以&AC=t a n。=-y-综上，&A C=一3 或 M 4c =，故答案为：一 之 或 也5 71 5 .己知己(%)是定义在R上的奇函数,且/(x)在 0,2 上单调递减，/(x+2)为偶函数，若 力=加在 0,1 2 上恰好有4个不同的实数根%，尤2,七，&，则玉+x2+x+x4=.【答案】2 4【分析】由题设可得A x)的周期为8,且关于x =2对称的奇函数，结合区间单调性判断 0,1 2 上单调情况，根据/(X)与 丁 =加有4个交点，及函数的对称性求根的

22、和.【详解】由)(x+2)为偶函数，则/(-x +2)=/(x +2),故/(T)=/(X+4),又/(x)是定义在R上的奇函数，则/(x)=/(x),所以/(x)=/(x+4),故/(x +4)=二/(x+8),即有/(x)=/(x +8),综上，A x)的周期为8,且关于x =2对称的奇函数，由“X)在 0,2 上单调递减，结合上述分析知:在 2,6 上递增，6,1 0上递减，口0,1述上递增,所以/(x)在 02 的大致草图如下：要使/(x)=现在 0,1 2 上恰好有4个不同的实数根，即与y =机有4个交点，所以，必有两对交点分别关于x =2,x =1 0对称，则玉+/+七+%=2 4

23、.故答案为：2 41 6 .已知动圆N经过点A(-6,0)及原点。，点P是圆N与圆M+(y-4月=4的一个公共点，则当N Q P A最小时，圆N的半径为.【答案】5【分析】利用两圆的位置关系确定两圆内切时N O P 4最小,根据位置关系可得圆N的半径.【详解】如图:记圆 N 半径为 R,NQQ4=e,则 NANO =26,ZBNO=6,B0 3所以 sin ZOPA=sin NBNO=,|O N|R当NO PA最小时，R最大，此时两圆内切.由已知设动圆N的圆心为N(-3),又圆心(0,4)可得R-2=|MN|即7(-3-0)2+(/-0)2 2=3-0)2+(.4,解得7=4,所以R=5,即圆

24、N的半径为5.故答案为：5.四、解答题：本大题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在 _45。中，角 A,B,C 的对边分别为a,c,已知cos2A+cos26-cos2C=l-2sinAsinB.(1)求角。大小；(2)求sinA+sin8+sinC的取值范围.7 T【答案】(1)-3/T 3百(2)yl3,2【分析】(1 )根据三角恒等变换和正弦定理的得到a2+b2-c2=ab，进而由余弦定理得到C 0,兀)，求出C=/；(2)由三角函数和差公式求出sinA+sinB+sinCGsin A+弓+,由0 A 生求出取值范围.2 3【小 问1详解】因为 cos

25、2 A+cos2B-cos2C=1 -2sinAsinB，所以 1 2sin2A+1-2sin2B-(l-2sin2C)=1-2sinAsinB,整理得 sin2 A+sin?4-sin2c=sinAsirJ?，由正弦定理得a 2+/c2=b，由余弦定理得cosC=1,2ab 2因为C e（U）,所以C=*【小问2详解】.D.仆.（2n 八 加sinA+sinB+sinC=sinA+s in-A+（3）2.2n,2K A/3=sin/1+sin cosA-cos sin/1 H-3 3 23.73.=sinAd-cosA+2 2 2=V3sin A+I 6j 2在，ABC中，因为C=，所以0A

26、”，3 3,7 1 .7 1 5兀 ,1.（.兀、八所以一 A+一 ,所以二 sin|A+:,6 6 6 2 1 6J所以6 g s in（A+e）+*W苧，所以sinA+sinB+sinC的取值范围为（百，18.已知各项都是正数的数列 4 ,前n项和S”满足a；t=2S-（/?e N*）.（1）求数列%的通项公式.（2）记外是数列 的前项和，。,是数列3 一1的前项和.当2 2时，试比较与与。”的大小.a.【答案】（1）a=n（2）Pn !+/?0(H 2),1-F因为 2=(1+1)=1+-=1 +(九+1)2所以故 1-1-211 +所以当 2 2时,P,FG=G,AG,FG u平面A

27、F G,所以平面AFG 11平面BCE.E【小问2详解】方法一：因为所以尸由（1）知 AG_L8D,AG，平面 BCRGFu 平面 8。,所以 AGJ_GF所以G GB,G4两两相互垂直，如图，以点G为坐标原点，GGB,GA分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系,得因为 AB=V2,BE=#）,所以 GA=GB=1,EH=2,BH=1,则 A（0,0,l）,C（2,l,0）,E（l,l,2）,平面A/G的一个法向量为。5=（0,2,0）,设平面ACE的法向量为。=（x,y,z）,由 AC=（2,l,T）,CE=（l,0,2）,_ 3x一一 5JXz=n-AC=0，即n-CE=02x+y-z-

28、0-x+2z=0 解得取 x=2,得 =（2,-3,1）,设平面A E G 和平面ACE的夹角为。,则 cos。=cos（7 1,DB）=L =,/|n|D B|2XV14 1 4所以平面AFG和平面ACE的夹角的余弦值为 M N .1 4方法二：因为平面A F G/平面BCE,所以平面A F G 和平面A C E 的夹角即二面角A C E 8.如图，过点A作AM _LCE,垂足为点M,过点M作M N L E C交BE千点N,则N A A W 为二面角4 一 C E-3所成平面角.在R t qB C G 中，GC=yjBG2+BC2=7 5 在 R L ACG 中，AC=7 A G2+GC2=

29、7 6 -在直角梯形4 G”E中，因为 A G/E H,CDVDB+CB?=2母，所以GH=3DC=6,所以 4 E =J(2-l)2+g 2 =瓜在八 4。七中，cos/A C EAC2+CE2-A E2 42 A C C E所以 s in/A C E1 63 0利用三角形等面积可得 S E =-A C C E-sinA C E -x j6 x y/5 x =-AM-CE=-x 4 5 -AM,3 0 2因为cos/B E C =2cos2/BEH-1=-,所以 EN=,M N =地，5 3 1 5过点 N 作 崎，5 c 于 P,BN =1-E-N-=2 ,则 B N =,2 2 NP=4

30、E H=q4,BE 3GP=yjGB2+BP2=叵3所以ANV14F43在4AMN 中，AN=叵,AM=呼,MN=疸3 75 1514 3 14,5 45 9 3714所以2x 7=-X75 15所以平面AFG和平面ACE夹角的余弦值为豆口.1420.某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖.（1）若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数X的分布列和数学期望.（2）若

31、规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数丫的分布列和数学期望.（3）如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由.Q【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望：-Q（2）分布列答案见解析，数学期望：-（3）答案见解析【分析】（1）根据古典概型的运算公式，结合二项分布的性质进行求解即可;（2）根据古典概型的运算公式，结合数学期望公式进行求解即可；（3）根据数学期望的性质，结合商场老板希望进行判断即可.【小 问1详解】C2+C2 4若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，则每次中奖的概率为5 9因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数X服从

32、二项分布，即X 8 2,1所以X的所有可能取值为0 4,2,则p(x=o)=C.尸(x=l)=c 4 08?258?2 2 M 升/卷所以X的分布列为X012p2 58?4 08?1 68 14 Q所以X的数学期望为E（X）=2 xx=x9 9【小问2详解】若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，中奖次数y的所有可能取值为0,2,则 p(y=o)C；C；C _ 2 02 p 2 -，V10 5 3p(y=i)C；+C；C；C ,C C C；+C；_15 J 5=3 0 =10C；。._ D _ D I _ D D.Jcq2 JCi28106 3 6 3 6 3 2 1p(y =2)

33、=C；+C；C|+C|_ _ 1 3C：。C；6 3所以y的分布列为Y012p206310211 36 3所以y的数学期望为七（丫）=1义2+2*，|89【小问3详解】因 为（1）（2）两问的数学期望相等，第（1）问中两次奖的概率比第（2）问的大,即3 U,第（1）不中奖的概率比第（2）问小，即 8 1 6 3 8 12 0/0）上不同的三个点.当点A,点8和点C为椭圆的顶点a b时，ABC恰好是边长为2的等边三角形.（1）求椭圆。标准方程；（2）若。为原点，且满足。4 +0 6 +0 0 =0，求,“A B C的面积.v.2【答案】+/=13 -4【分析】（1）分点A,点8和点C中有两个点为

34、上顶点和下顶点和点A,点8和点。中有两个点为左顶点和右顶点两种情况，求出。=出 力=1,得到椭圆方程；（2）设出A（24）,5（X，*）,C（.,），考虑直线B C斜率存在和不存在两种情况，求出弦长，进而利用点到直线距离求出面积.【小问1详解】当点A,点B和点。为椭圆的顶点时，恰好构成边长为2的等边三角形，当点A,点8和点。中有两个点为上顶点和下顶点，一个点为左顶点或右顶点时，不妨设点A,点3为上顶点和下顶点，点。为右顶点，此时，a=y/3,b=l,当点A,点5和点。中有一个点为上顶点或下顶点，两个点为左顶点和右顶点，不妨设点A,点B为左顶点和右顶点，点C为上顶点，此时，a=,b=?（舍去），

35、2所以椭圆的标准方程为+/=1.3【小问2详解】设 A（p,q）,8a，y J,C（修,必），因为。A+O B+O C =0，所以，+玉+=o,g+x +%=。，当直线8C斜率不存在时，即%,x =-y2，则 A（-2 x,0）,3 3因为点A在椭圆上，所 以 片=,则 有 寸=所以忸C|=G，点A到B C的距离为国|=乎，9-4-递2X百X1-2A=S时比当直线BC斜率存在时，设直线3C方程为y=+，”,联立得y =k x+m,x2 2 消去丁整理得（1 +3公卜2+6加x+3 -3 =O,、石+=满足 A=（6 加尸 一 120+3k2）（_ ）=20 左 2+加 2）（）,由韦达定理得x

36、+占=km1 +322中2（加-1Mk1所以 乂 +%+x2）+2 m =,/、6 k m所以。=（内+%）=丁1 十 DK，/、r2又因为点A（PM）在椭圆、+y22 m1 +3/，=一（必+必）=2m1 +3公1上,所以6 k m2+3（-2 mJ +3 k2I =3.1 +3心化简得4/=1+3炉,所以因卜内包-升标1（高2-4-1 +3公3（/）y/1+k2 2 G j3攵2+1 一病26 加 一 病Vi+F.1 +3左 21 +3/黑 百暮户2|/?|6 k m .-+所以点A到直线8C的距离 p k-q +m +3,k22 m+m1 +3公Jl+公y/l+k2Jl+%2所以S c=

37、g忸_ 341+公|3m|92 2 帆 J1+女2 49综上所述，_ABC的面积为一.4【点睛】方法点睛：直线丫=丘+6与圆锥曲线相交，设交点为A G jJ,W w，%），则弦长公式为:|A B =y/+k2 归 一 w|或 MM2 2.已知函数/(力=屁的.(1)求 的 极 值；(2)当x 0时，/(x)(a +l)x+ln x +2,求实数的取值范围.【答案】(1)极小值-1,无极大值(2)a ax 在x e(O,+8)上 恒 成 立，方 法 一 通 过 研 究 函 数y =x -n x-x-2单调性求得y =x eA+l-l n x-x-2的最小值为0,从而求出a|一1皿一-2的最小值为

38、0,进而求出a W O.【小 问1详解】求导得/(%)=(x+l)e R所 以 当 冏x)0时，%-1；当/(x)0时，x 0恒成立,所以网力在x e(0,+oo)上一单调递增，又e 2 0，Ml)=e 2 l0,所以存在无e使得(毛)=，即当x x()时，(x)0,此时g (x)x()时，(x)0,此时g (x)0,所以g(x)在(0,天)上单调递减，在(不),*)上单调递增,由Mx o)=e*N-=0,得e +i=L%即 毛=与，1n x所以 g(x)2 g(毛)=玉户”一1叫)_%o _ 2 =%+xo+l-xo-2 =O,x。当时，因为g(X)=x eA+l-l n x-x-2 0,m

39、;0时，因为存在/5)，使得gK；。，而 即 0,此时不满足疣6-I n x-x-2 2 ox，所以。无解.综上所述，a0.方法二：由题知不等式x e i 2(a +l)x+l n x+2在x e(0,+oo)上恒成立，原问题等价于不等式把用一 I n x x-2 2存 在x e(0,+8)上恒成立，即*+*+1 -(l n x+x+l)1 2 cz x 在 x e(O,+oo)上恒成立.记g(x)=e*-x l,则 g，(x)=e，-l,当x e(e,0),g (x)O,g(x)单调递增，g(x)2 g(O)=O因为1 1 1):+%+1 1 1，8(1 1 1%+%+1)2 0即6限+句一(1 1 1%+%+1)1 2 0,%ex+l-l n x-x-2 0当。K 0时，因为祀I rur X 2 N 0,G CK0,所以不等式恒成立，所以aVO；当a 0时，令/i(x)=l n x+x+l,显然/?(x)单调递增，且/?(5 =5 1 0故存在天(5,1),使得M毛)=0,即观门1 l ux X 2 =0,而。叫)0,此时不满足x ev+l-l n x-x-2 ax 所以。无解.综上所述，a0.【点睛】关键点点睛：已知不等关系求解参数范围时，求解的关键是转化为函数最值问题求解，求解最值时常借助隐零点、同构等方法进行求解.