2023年南京市、盐城市高三一模数学试题含答案解析.pdf

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1、盐城市、南京市2022.2023学年度第一学期期末调研测试高三数学注意事项：1 .本试卷考试时间为120分 钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.2 .本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.一、选择题.本题共8 小 题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符A.n B.2 C.3乃 D.4万y 13.已知集合/=x|-0/0）的两渐近线所成的角可求b离心率e 的大小，联想到反比例函数y=k*0）的图象也是双曲线，据此可进一步推断双曲X线歹=9 的离心率为XA.A/2

2、B.2C.V5D.5 一 一|一 一一 26.力3C中，ZH为6。边上的高且3 =3 C，动点P满足力P-BC=一 B C，则点尸4A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心7 .若函数/(x)=x3+bx2+cx+d满足/(l-x)+/(l+x)=O对一切实数x恒成立，则不等 式/(2x+3)/(x-l)的解集为A.(0,+co)B.(-oo,-4)C.(-4,0)D.(-oo,-4)U(0,+co)8.四边形NBC。是矩形，AB=3AD.点 瓦/分 别 是/民。的中点，将四边形/E F 0绕EF旋转至与四边形BEFC重 合，则直线ED,BF所成角a在旋转过程中A.逐步变大 B.逐步变小 C.先

3、 变 小 后 变 大D.先变大后变小二、选择题：本题共4 小 题，每小题5 分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分.9.若X N(),则下列说法正确的有A.尸(X +4 0)B.尸(-2 a X /+cr)P(,-a X J L I+2a)C.P(X +cr)不随4,0的变化而变化D.PQi-2cr X 0)，则使/(x)在-不 7上为增函数的。的值可以1 k 2 2 JA .椭圆。的短轴k为2 R.ta n。的晶大值为2为(写出一个即可)15.在概率论中常用散度描述两个概率分布的差异.若离散型随机变量x,y 的取值集

4、合均为0,2,3广/5 6 1*),则 万)的 散 度。(均 丫)=4 =1)111冬2若工丫的概/=0 尸(y=“)率分布如下表所示，其中o p k)0.100.050.0250.0100.005k2.7063.8415.0246.6357.879“2 n(ad-be)2 日上.K=-,其中 n=a+b+c+d.(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)2 0 .(1 2分)如 图，在四棱锥产一力8 8中，尸人1底面4 8。,A B 1 A D ,平面P Z C 1平面P 8 D ,A B =A D =A P =2,四棱锥P 458 的体积为4.(1)求 证：B D L P C ;(2 )求平

5、面2 4。与 平 面 所 成 锐 二 面 角 的 余 弦 值.2112分)如 图，已知椭吟的左、会 点 分 别 为4 8 ,点。是椭圆上异于4 5的动点，过原点。平行于力。的直线与椭圆交于点A/,N,/c的中点为点。，直线。与椭圆交于点P,。,点P,C,在x轴的上方.(1)当 二 石 时，求cosNP。;(2)求尸0M V的最大值.22.(12分)已知函数/(x)=e(1)当X 1时，求函数g(x)=/(x)+x2-l 的最小值；(2)已知X1 W%2，/(再)=/(工2)=t，求 证：W -对 2 Ji=7.盐域市、南京市2022-2023学年度第一学期期末调研测试高三数学注意事项：1 .本

6、试卷考试时间为120分 钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.2 .本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.一、选择题.本题共8 小 题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .“生+%=2G 6”是“数列%为等差数列”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】B【解析】“=2a 6”不能得到 4 为等差数列，不充分.”a,登 级 歹 一 定 有%+%=2a6”，必 要，选 B.2.若复数二满足匕-1区 2

7、,则复数二在复平面内对应点组成图形的面积为A .n B .2 C.3乃 D .4万【答案】D【解析】z=x+yi,|z-l|2,x-+yi2,即行灰衣4 2 ,B P(x-l)2+y2 4，厂=2 ,S=4;r ,选 D.r r、3.已知集合/=%|-1 时，A=xxa,4DN*=0，贝！|1“W2;a l时，A=xax,QN*=0，则Q1.综 上：4 0力 0）的两渐近线所成的角可求a bk离心率e的大小,联想到反比例函数歹=T k w 0）的图象也是双曲线，据此可进一步推断双曲x线v=2的离心率为XA .VI B .2 C.若 D.5【答案】A2 2 1 1 1【解析】双 曲 线 餐 会=

8、1的渐近线：j/=-x,y=斜 率 倾 斜 角 为6，两渐近线a b a a a夹角为28,y=1；两 渐 近 线 夹 角 为,闫=6，选A-_ _ _ .1 -26.八43。中，/为3。边上的高且377=3。，动点尸满足力尸-3。二 一：8。，则点P4的 轨 迹 一 定 过 力 的A .外心 B .内心 C.垂心 D.重心【答案】A【解析】如图建系,设P（x,y）AP=x,y-t),3 c =(4,0),AP B C =4x,B C=16,-4x=-4 X=1 fP在8。的垂直平分线上，尸一定过外心.7.若函数/(x)=x3+bx2+cx+d满足/(l-x)+/(l+x)=0对一切实数x恒成

9、立，则不等式fQx+3)fx-1)的解集为A .(0,+o o)B .(-o o,-4)C.(-4,0)D.(-o o,-4)U(0,+o o)【答案】C【解析】/(l-x)+/(l+x)=0，则/(x)关于(1,0)对 称，f(x)=3x2+2bx+c,fx)=6x+2 b，贝!J6+26=0,b=-3.fx)=3x2-6x+c,f2x+3)fx 1),则3(2x+3)2-6(2尤 +3)3(x-l)2-6(%-1),-4 x 0，选 C8.四 边 形 是 矩 形,A B =3A D，点瓦/分别是力4 C D的中点，将四边形/E F刀绕E厂旋转至与四边形班产。重 合,则直线E Q,即 所 成

10、 角a在旋转过程中A 夜 生 亦 十 R 深 生 亦 小 C 牛 在 小 三 亦+D 牛 与 十 味 在 小【答案】D【解析】方法一：未开始旋转时两直线平行夹角0.yi +-9设 4。=1 ,则 ZB=3,DE=CE=,cos AD EC=0,2 2x”4.NOEC为钝角，两直线夹角范围为 0。,90。,.旋转过程一定是先变大到90后又变小的锤子数学过程.方法二：如图建系，设/。匹。=仇0 6血万,设4。=2,43=6,(2,0,0),D(0,-3cos9,3sin9),3(2,3,0),尸(0,0,0),=(-2,-3cos,3sin,5F=(-2,-3,0),ED,BF所成角为a,cos

11、a=4+9cos6713-7134+9cos64设cos%=%，当6 c 0,4 时，a逐渐增大;y当。时，a逐渐减小.选D.二、选择题：本题共4 小 题，每小题5 分，共 2 0 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分.9.若X N(),则下列说法正确的有A .P(X 一 cr)B .0(-2(y X 4+(7)v P(以-cr X f+2(T)C.P(X +。)不随口的变化而变化D.尸(-2a X ju+a)随 得 变 化 而 变 化【答案】AC【解析】X N Q2),尸(X 4 b),A对.PQi-2o X v +b)=P(

12、JL I-cr X JL I+2b),B 错.P(X +cr)为定值不改变，C对.尸-2。X +a)为定值不改变，D错.10.已知函数x)=3s i n x-4co s x若/(a)J(0分别为/(x)的极大值与极小值，则A .ta n a =-ta n/?B .ta n a =ta npC.s i n a =-s i n夕D.co s a =-co s/?【答案】BCD【解析】/(x)=5f|s i n x4 co s x5、73 4=5s i n(x-(/)，其中co s 9 =s，s i n =g7T yr当=5时，取极大值，即5 ；7 77 T当芯一9 二 一不时取极小值，即尸=9 -

13、5 ,C 兀ta np=ta n (p=ta n (p-+n、2)2s i n a =-s i n p,C 对，co s a =-co s p,D 对，选 B CD.11.已知直线/的方程为(/-l)x-2即+2/+2=0,Q e R ,。为原点，则=ta n a ,A 错，B 对A .若O P 2,则点尸一定不在直线/上B.若点尸在直线/上，则O P 2 2C.直线/上存在定点产D.存在无数个点尸总不在直线/上【答案】BD【解析】。至！1/的距离=2(+1)=2,0 P s2则尸有可能在直线上，A错.J d _ 炉+4，点尸在直线/上一定有。尸22,B对.(a2-l)x-lay+2a2+2=

14、0,a2(x+2)-a-2y+2-x =0,x+2=02y=0无 解，直线/不过定点，一定存在无数个点尸总不在直线/上，D对，2 x=0选B D.12.如 图，圆柱。的底面半径为1 ,高为2,矩形4 B C。是其轴截面,过点4的平面。与圆柱底面所成的锐二面角为0，平面。截圆柱侧面所得的曲线为椭圆。，截 母 线 铲 得 点 尸，则A .椭圆Q的短轴长为2 B .ta n 6的最大值为2石C.椭圆Q的离心率的最大值为 D.E P=(1-co s 4。)ta n。【答案】ACD【解析】对于A,显然短轴长为圆柱底面直径2,A正 确；对于 B,(ta n 6)1n=%=1，8错.AD对于C,桶圆离心率e

15、=sin9 ,C正确.2对于D,设椭圆中心为。，.OO=tan。,D正确.选：ACD.对于D的评析说明：殳椭圆与底面交线为/，过E作于点加，连接尸河，则 Z.PME=0,PE=EM tan 6，而EM=1-cos ZAOE,EP=-cos tan 6.三、填空题：本题共4小 题，每小题5分，共20分.2 x H X)展开式中d的系数为【答案】80(1 A5 1 Y【解析】2x+-展开式第+1项&=C：(2x广-M e2-1,I x)xj=1时，=1243=80/,二丁的系数为g o(TT 乃、14.设函数/(x)=s i n勿+7(。0),则使/(x)在-7,不 上为增函数的的值可以1 3J

16、V 2 2 J为(写出一个即可).(I-1【答案】在0-中任取一个数如:即可【解析】-71 71T C 71 71-(D-0XH C D +2 33 2 3,/.0 6 -，在),:.D(XY)0a ,n =2 k-l,16.已知数列%、满足 二1 三 其中cN*,也 是公比为q 的等比数MM=2k,歹(,贝 ijSL=(用q 薪)；若 4+，=24,则%=.%【答案】夕 2,1024【解析】为奇数时,bn=7+1,bM=an+,bln_x=an,=&+I=q2,b=a、h =Ja,b3=a0,6；=bxb3,a3 axa1.%2 火 4z.a2q=。2,:ci2=q.q“2=、河=(1 4=

17、矿，/+q=2 4 ,g=2,as a2q6 qC，1024.四、解答题：本题共6 小 题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10 分)已知数列 凡 满足4=3,/4+4 2/及2=72=A B2-2 A B-3 =0,(,43 3)(43+1)=0,A B =3,7 T设N P/C=6 ,:.BAP=-0 ,Z A B P =0,33 A P 2 co s 6在Z5尸中 I-7=-=-y/3 s i n。s i n。八 忑 八 71=ta n 0=,0 3 62:.AP=519 .(12分)为深入贯彻党的教育方针，全面落实 中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳

18、动教育的意见，某校从2022年起积极推进劳动课程改革，先后开发开设了具有地方特色的家政、烹饪、手工、园艺、非物质文化遗产等劳动实践类校本课程.为调研学生7寸新开设劳动课程的满意度并不断改进劳动教育，该校从2022年1月到10月两个月从全校3000名学生中随机抽取150名学生进行问卷调查，统计数据如下表：(1)由表中看出，可用线性回归模型拟合满意人数y与月份x之间的关系，求歹关于x的回月份X246810满意人数y809 5100105120归直线方程夕=bx+a,并预测12月份该校全体学生中对劳动课程的满意人数；(2)10月份时，该校为进一步深化劳动教育改革，了解不同性别的学生7寸劳动课程是否满

19、意，经调研得如下统计表:不满意a id-男生651075请根据上表判断是否有95%的把握认为该校的学生性别与对劳动课程是否满意有关?女生552075 112030150 _ _ _ x -n x y 2口一1）（乂一丁）_ _参考公式：号 号-丁=-Z一，a=y-bx.2W _屋 方（七一%）2/=!/=1P(K2k)0.100.050.0250.0100.005k2.7063.8415.0246.6357.879“2 n(ad-bcf,K =-,其中n=a+b-c+d.a+b)(c+d)(a+c)(b+d)【解析】5(1)=2x80+4x95+6x100+8x105+10 x120=3180

20、,/=15=4+16+36+64+100=220/=1 2+4+6+8+10/x=-=6,5蚱80+95+100+105+120 V100,2西弘一5孙:.b=-豆片-5 13180-5x6x100220-5x364.5,/.a=100-4.5x 6=73,：.y=4.5x+73,.第12月份该校全体学生中对劳动课程满意人数为：4.5x12+73=127人.(2)犬=150 x(65x20-10 x55)275x75x120 x304.1673,841 有95%的把握认为两事件有关.20.（12分）如 图，在四棱锥尸/B e。中，P/上底面幺。,A B V A D，平面P4C_L平面P8Q,A

21、 B =A D =A P =2,四 棱 锥 尸 一 的 体 积 为4.(1)求 证：8。1 P C ;(2)求平面P4。与平面P C。所成锐二面角的余弦值.【解析】(1)证 明：.,R4_L 底面 4B CZ)，尸 力 1 4 8 且尸4 1 4 0 ,又；AB=AD=2,:.PB=P D，设/C与 助 交 于O，过。作C M _ L P。于点 M.平面产力CJ_平面尸3。,平面P 4?n平面尸3。二尸0 ,.CM_L平面P B D ,/.CM BD,又 YPAtBD ,CA 1 与 H4 相 交，二&)_!_ 平面尸4。，?.BD1 PC,证 毕！(2)由(1)知,A V p_ABCD=-A

22、C-2V2-2=4=3 ,如图建系，./(0,0,2),力(0,2,0),C(3,3,0),丽=(0 2-2),比=(3,1,0),设平面P C。的一个法向量4=(Xo，%/o),n-PD=0 2yo-2zo=O 一，一、7-=L 八=4=(-1,，？，n-DC=0 1 3%+%=0而平面产/。的一个法向量加=(1,0,0),设平面尸力。与平面P C。所成锐二面角为。,二.cos 9=勺 力21 _ V1921.(12分)如 图，已知椭圆？+_/=1的左、右顶点分别为4 8 ,点。是椭圆上异于4 8的动点，过原点。平行于力。的直线与椭圆交于点M,N ,的中点为点。，直线。与椭 圆 交 于 点

23、尸,点 尸,在x轴的上方.(1)当/。=不 时，求8$/。M;(2)求尸。跖V的最大值.【解析】(1)设。(%,%),4(-2,0),.1。7(/+2)2+其=6且 字 +,解得 C(O,1)，&c=；，M V 方 程：y=x ,%=一;，二 P。方 程：y =-x ,(2)方法一解几共鸵直径推论12”知：0P2+。河 2为定值(证明略)0 尸2+。M 2=4+1=5 ,即PQ2+9 2 =20,PO1+AV2P Q-M N -=10(一 结 束).方法二：设及W 方程为 y=kx,k=kA CE(0,+oo),且0。-kAC=y=kx,、I-+k2x2=1 ,x=.,y+/=i U )74k

24、2+i/.MN=V1+/c2-=4，11 N 4k2 +1 N 4k2+11 1 _这 1Amit1 的 1 f l p c l _ 4 16 _ 4 16k1 ,14 OD-4k2+1 _o/16k2+111 4k 11 1 J1 1 4kPO-MN=g J(1+兴)产 2 +J 令/2 (4/+1小 +1)(4 加3)PQ-M N=8 -=/Ym=4、恪+2 +4”(-9).4 一81 二V m V-36当且仅当机=2,左=；时 取“=”口,1 6 1+4 ,4 1+1二2十1tk2+1=m,m l,l(m-i-3)(4m3)V病10,22.(12分)已 知 函 数=与，e(1)当X -1

25、时，求函数g(x)=/(x)+x2-l的最小值；(2)已知玉 w 9，/(玉)=f(x2)=t ,求 证：W -|2Ji=7.【解析】(x+1,2 1 ，/、er-er(x+l)(o、(1)g(x)=+x-1,g(x)=-/-+2x=+2x=x 2-，e e e x=0或x=ln =-ln 2,当-lx0,g(x)/;当-ln 2 V x 0时，g x)0时，g(x)0,g(x)/,而g(T)=0,g(0)=0,/.g(x)mi n=0.(2)方法-由 导数双零点问题拟合技巧可直接构造支撑曲线g(x)=-/+1,X+易证xe(L 0)U(0,+o o)时，则/(x)g(x)，即一7-炉+1 ,这是显然的.e则设y=/与/(x)交于不广2，与g(x)交于 3，%4，则玉 x4,x2-x1 x4-x3=2VI-/,证 毕！.ex-er(x+l)Q2X/(%)=0=x =0,eA在(8,0)上/；(0,+s)上 ,且X f-00 时，/(x)f-00；x-+8 时，/(x)f 0/(0)=l,/(%1)=/(x2)=Z,/.0/l,-1 0 1 x?1 x；t 再 1 一=|x(-X2|=X2-X 2 y/l-t,证 毕!e