2023届高考数学微 解三角形（解析版）.pdf

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1、2023届高考数学微专题 解三角形在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：(1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理 角化边；(2)若式子中含有a、b、c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；(3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；(4)代数式变形或者三角恒等变换前置；(5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；(6)同时出现两个自由角(或三个自由角)时，要用到三角形的内角和定理.1四初题H例题1.(2 0 2 3秋 山西太原高三统考期末)在 A B C中，内角4 B,。

2、所对的边分别为Q,b,c,且满足b2+bc=ar.(1)求证：A=2 B；(2)求 半 号 的取值范围.ocosB例题2.(2023浙 江 统 考 一 模)记 A B C 的内角A,B,C的对边分别为a,6,c,已知霍!sm C-A.C+A ,s m 若 A =+求B；4 求 且+年 的取值范围.a b例题3.(2023河北衡水河北衡水中学校考模拟f l 测)已知AABC,D为边4。上一点，A D =1,C D =2.若 切 前 =4，交 前=(),求 必,；4(2)若 直 线 平 分 N 4 B C,求与A C B D内切圆半径之比的取值范围.例题4.(2023-全国-商三专题练习)在锐角

3、A B C中，角4,R,。所对应的边分别为a,b,c,已知sir M sin8 _ sinCV 3a c a+b(1)求角B的值；(2)若a =2,求 4 8。的周长的取值范围.例题5.(2023-全国-高三专题练习)设锐角三角形ABC的内角4 B、。所对的边分别为a、b、c,已知a =bcosA acosB.(1)求证：8=2 4；求 小 的取值范围.例题6.(2023全国商三校联考阶段练习)ZABC中，。，E 是边B C 上的点，N R4D=N C 4E,且B D-B E 1C D-C E-T(1)若BC=3,求A4BC面积的取值范围；(2)若=1,6。=2,平面内是否存在点P,使得Z A

4、 B P =N B C P =N C A P?若存在,求sinZ ABP；若不存在，说明理由.例题7.(2023 全 国 高 三 考 题 练 习)在 2 acosA=bcosC+ccosB；tanB+tanC+瓜=d tanBtanC这两个条件中任选一个,补充在下面的问题中，并加以解答.在ABC中，a,b,c 分别是角4,6,C 的对边，已知.(1)求角4 的大小；(2)若 71BC为锐角三角形，且其面积为空，点G 为 ABC重心,点”为线段AC的中点，点N 在线段上，且A N=2NB,线 段 与 线 段 CN相交于点尸，求|可|的取值范围.注:如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分.

5、L(2023湖南街F B 校 考 模 拟 测)已知4 8。的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,满足sin A,bsinBsinB+sinC bsinA+csinB=1(1)求角c；(2)CD是N4S73的角平分线，若CD值.2.(2023全国高三专题练习)A4BC中，已知4 8=1,D 为4 c 上一点，4D=2DC,AB BD.(1)求的长度；若点P 为 外 接 圆 上 任 意 一 点，求 PB+2PD的最大值.3.(2023全国高三专题练习)如图，某城市有一条(MO)从正西方通过市中心O 后转向东偏北60方向(ON)的公路，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路并在MO,N

6、O上分别设置两个出口 A,6,5 在4 的东偏北。的方向(4,B 两点之间的高速路可近似看成直线段)，由于4,B之间相距较远，计划在4 B 之间设置一个服务区P.(1)若P 在O 的正北方向且O P=2km,求4,6 到市中心。的距离和最小时tan。的值:若B到市中心。的距离为10km,此时P设在A A O B的平分线与A B的交点位置，且 满 足+Q 产2 11罚 前，则求力到市中心。的距离最大时tan。的值.4.(2023秋 河北衡水高三河北衡水中学校考阶段练习)已知&A B C的外心为O,N 为线段力民A C上的两点，且。恰为AV中点.(1)证明：AM|MB|=|AAT|N C(2)若|

7、A 9|=一,=求 哥”的最大值.5.（2023*全 国 高三专题练习）在4 A B C中，内角4 B,C 所对的边分别是a,b,c,已知2 c c o s 3 =2 a-b.求 C;（2）若是 A B C外的一点，且A D =2,CD=1,则当ND 为多少时，平面四边形A B C D的面积S最大，并求S的最大值.6.（2023*全国高三专题练习）如图，四边形A U C D中，4 4+B C2+A B-B C=A C2.(1)若4 B =3 B C=3,求 A B C的面积；(2)若 C D =4 BC,C A D=3 0 ,4 B C D=1 2 0 ,求乙 A C B 的值.1)7.（20

8、23-江苏苏州苏州中学校考模拟（谢）在 P 4 B 中，PA=P B,点C,。分别在PB,P 4 边上.若N A P B=告，。=1,求 C D面积的最大值；O（2）设四边形A B C D的外接圆半径为R,若Z A P B 专 ，且,反 CD D 4 的最大值为余，求7?的值.8.（2023上海高三寿题练习）力 BC中，内角4 B、。所对的边分别为a、6、c,满足/=/+一 ac.（1）当/为何值时，函数9=2sinR+cos（与 空）取到最大值，最大值是多少？（2）若c a 等于边AC上的高人,求sin（qa）的值.9.（2023全国高三专题练习）如图，四边形八BCD中，ND4B=NOCB=

9、专，AB=3,BC=2,=竽 且/4 口。为锐角.求 DB；（2）求 AC。的面积.10.（2023秋湖南长沙高三长郦中学校考阶便练习）如图,在梯形4BCD中，3 CO,4 3 =2,C D =5,N 4B C=等.(1)若A C=2/7,求梯形A B C D的面积;若 AC _L BD,求 t a n/ABD.D11.(2023*河南开哥高三统考开学考试,)已知4 6。的内角4,B,。的对边分别为Q,b,c,sin(B C)tan4=sinBsinC.若 4 =8,求sin%的值；(2)证明：/翼为定值.C12.(2023 4 k 江苏南通高三校考1 开学考试)如图，是以B C为斜边的等腰直

10、角三角形，BCD是等边三角形，BC=2,A D =41.D(1)求证：B C 4 D；y N(2)求平面A3。与平面BCD夹角的余弦值./CAB1 3 .(20236山东荷泽高三统考期末)在s i n传+C)-忘 磊 =s i nCtanB；S=孚 旗-CA；c tan/=(c +2 6)tanG.三个条件中选一个，补充在下面的横线处,并解答问题.在 A B C中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,的面积为S.且满足.(1)求A的大小；(2)设 的 面 积 为6,点。为边BC的中点，求A。-的最小值.14.(2023全国高三专题练习)如图，P为 工BC内的一点，NB4P记为a,记为,且a,

11、在 A B P 中的对边分别记为nz,九，(2 m+n)s i n6 =V 5 nc o s J,a,6 W (),).求N4PB；(2)若48=2代,叱=2,。=心,记 乙4 9。=夕,求线段4的长和446。面积的最大值.15.(2023秋湖南长沙高三湖南拜大带中校考阶段练习)在ABC中，角4 的对边分别是a ,c,已知 a=4 且 cos2A cos2B=2sinC(sinB-sinC).(1)若 c=3,求sin。；若 BC边上的高是AH,求 的 最 大 值.16.(2023秋江苏南通高三统考期末)已 知 四 边 形 内 接 于 圆 O,AB=3,AD=5,BAD =120,47平分乙氏

12、4。./i _(1)求圆O 的半径：求AC的长.c17.(2023秋 黑龙江哈尔滨龙三哈婶大附中校考期末)在A A B C中，内角4,B,C 的对边分别为a,b,c,且 2 c a=2b co s A.(1)求B的大小；(2)若6 =3,求a+c 的取值范围；求的最大值.a-r c18.(2023-安微马法山统考一模)已知条件:tan，+/n。=华;=正、tanB h I +s m2 C+c o s 2 cV 3 a=2 c s i n(B +y).在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题:在 A BC 中，角4,B,。所时的边分别是a,b,c,满足：.注:如果选择多个条件分别

13、作答,按第一个解答计分.(1)求角。的大小；(2)若A 4 B。为锐角三角形，c=噂，求冷+的取值范围.微专题 解三角形在解三角形的问题中，若己知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案,要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：(1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；(2)若式子中含有a、b、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；(3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理角化边”；(4)代数式变形或者三角恒等变换前置；(5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；(6)同时出现两个自由角(或三个自由角)时，要用到三角形的内角和定理.例题

14、1.(2023秋 山西太原 高三统考期末)在 A B C 中，内角A,B,C 所对的边分别为a ,c,且满足+bc=ar.(1)求证：A =2B；(2)求 半 号 的取值范围.ocosB【解析】(1)由余弦定理得。/=+2bccosA,a2-fe2=c2-2bccosAT b2 4-be=a2,:、a2-b2=bec2 26ccosA=be：.b(l+2cosX)=C,h r由正弦定理得,sinB sin(7:.sinB(l+2cos4)=sinC=sin(A+8),sinB=sin(4 B),/.0 B 7r,B=A B,A=2B(2)由(1)得 A=2B,c=b(l+2cosA),.66+

15、2c _ 6+2(4cos23-l)_ ，4bcosB-cosB-COS cosB=又0 4+BV180,r.O v B V 号，.，V cosB l,函数/3)=8 工+?在 武 宇)上 单 调 递 减，在(吟 1)上单调递增吗)=1)=12 J 号)=8 蓼/-4 8V2&8cos6 +0,故co s C=又()VC 0,b 0,所以+彳 2武=1=2,当且仅当令=告，即a=b时，等号成立，即修 +牛 2,Q I)Q 0故丁2 3 x 4=1 2,则 2V 3,所以域+方嗑+3 2例题3.（2023河北衡水河北衡水中学校考模拟f l（测）已知 A BC,D为 边AC上一点，4 D=1,CD

16、=2.若 瓦（丽=：同屈=0,求S加（2）若直线B D平 分A A B C,A A I3D A C B D内切圆半径之比的取值范围.【解析】(1)如 图1,AD=1,CD=2,所 以 胡=初+方=初 +/刃=前+:（初 一 方）=/前 一 5芯,-1”-因为 BABD=4,BCBD=D,4所 以 巨 丽 =（1 丽 拜 日）前 前 2-蕊.丽=告 回 2 =3Z，故 圆 2=十,则|叫=卒，即5。=与，又 圮 协=0,则 BC，BD,故 BC=-3加=,不妨记 Z.ABD=a,AB=m,则cosa AB2+3D2-A D22AB-BD2 I 1 im-+21 _ 2m2-1V2m 2y/2m因

17、 为 温,丽=|胡1 1前|cosa=总，所uu z以 伊7)亍 7 3,则 c l,所以|初|=V2c2-2,即 BD=V2c2-2,c-AD-h i因 为 等 些=4-=寮h为顶点B到4。的距离)，3A oeD$C D h 2x 4c+-jrc x 2c又 So=+BD+4 0 r =/(c +52c=2 +l)r,S s=y(B C+BD+CD)R=-(2 c +V 2 c2 2 +2)%(c-b V 2 c2-2-F l)r =r 1 2C+V 2C2-2+2 1 /.c +1(2C+V 2C2-2-F 2)JR 2,、R 2 c +V 2 c2-2 +l 2 1 c +V 2 c2-

18、2 +l令力=c +l,则。=力-1,%2,所以-r=-c +Y 2 c 2 2 +1t _ 11 +J 2-1)2 2 4-/2 因为 1 2,所以O v J V ，则 OV J 2 -5 V V 2，故 1 V 1 +q 2 ；V 1 +V 2,所以成一 二片 即8 7。+质=2 +1所 以 乌 v g l+c+j j j +J v，故 与 言 I所以 A B D 与 C B D 内切圆半径之比的取值范围为（冬,1）.例题4.（2023全 国高三 专 题 练 习）在 锐 角 4 8。中，角 A,B,。所 对 应 的 边 分 别 为 a,b,c,已知s inl-s inB _ s in。V3

19、a c a +b（1）求 角 6 的值;（2）若 a =2,求 Z B C 的周长的取值范围.【解析】s in s in，=包 密，由正弦定理得:V 3 a c a 十。a b _ cV 3 a c a +b即 a2+c2 b2=V 3 a c,由余弦定理得：co s B=十 rA/3Q C _ V32Q C-丁、因为B e(o,7 i),所以B=*锐 角 4 B C 中，。=2,B =专，由正弦定理得：.2=-=/六,sm X s in 袭 s m C故b c _ 2 s inC _ 2 s m(*+6 1 _ V s in?!+c os T ls in A s in A s in 4 s

20、iny A则 b +c =h 竽1 1s in/It a n?l=V 3 +1 +Ji+t a n2/1t a n/I=4+盛+7 3 F7,因为锐角 A B C 中，8=专，则 A G（0,-y）,7=兀 _ 专 _/6（0,-y）,解得:A G(专境),j /故t a n力 (血,+8),而 匕 l B),因为-y s in(A B)=-s in(B A),所以 s in4 =s in(B A),因为三角形ABC 为锐角三角形，故ABE(0 噂)，所以B 4W(一多专),故？1 =B4,即8 =2 A;由 知：B=2 A,由正弦定理得：b +c _ s inB +s in。_ s in2

21、4 +s in(B +4)_ s in2 A +s in3 AQ s in A s inA s inA其中 s in3 4 =s in(2/1 +A)=s in2 4 c os 4+c os 2 j4 s ir M=Z s iny lc os%+co s 2As in A,因为 s inA#0,所以=绝足生gm峥a 空缚i a=2 c os a+2C O SM+c os 2 Aa s in 力=2 c os X +2 c os 2 A+2 c os%1 =4 c os2A +2 c os 力1 =4(c os A +j由 B=2 Z (0,y)得:A E(0,y),由 C=7 t A B=K-

22、3 A G(0,手)，解得：A 6(专，,)，结合4 E(0 号)可 得：/C 信 6)，cos A E 故 b*c=4(cos l +1)在 cos A C ()上单调递增，所以 :=4 cos%+2cos/l 1 G(4 x +V 2 1,4 x 今 十%/3 1),即”(V 2+1,V 3 +2).例题6.(2023全 国 高 三 校 联 考 阶 段 练习中，D,E是 边 BC上 的 点，/R4D=NC4E,且B D-B E 1C D C E 一 了(1)若 B C=3,求 4 B C 面积的取值范围；(2)若 AB=1,BC=2,平面内是否存在点P,使 得A A B P=N B C P

23、 =NC4P?若存在,求 s in/A B P；若不存在，说明理由.【解析】(1)由面积公式可得:SMBD=BD_=/*八-x 义 s in/=4P 乂 s in/ZM DSAADC C D 1.XA DXA CX s in CAD A C xSm Z.CADSABE _ BE _=+X 钻 X x s in N B A E _ 力 jg x s in/BAES w C E 1,xA ExA C x s in ZC A E A C x s i n A C A E,因为 A B A D =A C A E,故 A C A D =/B A E,t B D B E _ J_ 可尸 x s in/B 4

24、。4月 x s in N B A E _ J_ 旦)A B _由 C D-C E-T 付 A C x s in A C A D A C x s i n C A E T H AC-17 T，建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0,0),C(3,0),则4(z,y),则J(h 一 3 产+姬=V 3 x y/x2+y2,整理得到：(7+/+才=苧，故 4 B C 的3。边上的高的范围为(0,挈，故其面积的取值范围为：(2)因为 A B=1,故4C=心，故4。2+4 呼=4 =3。2,故4 3。为直角三角形且NA B C=60 ,Z A C B =3 0 ,如图，设 Z A B P=%则 4 c B

25、 p=6()-,故4 C P B=1 20 ,同理 Z.P CA=30-a,zLAP C=1 50,N A P B =9 0 ,故 P B=1 x cos e?=cos a,而：必 一,=,故 C P=2V 3 s in a,s m Z.AP C s in a在 A P B C 中，由余弦定理可得：4 =cos%+1 2s in 2a 2 x cos a X 2V 3 s in a,x (y),整理得到：4 =cos%+1 2s in2a+2，5cos a x s in e?所以 4 cos 2a+4 s in 2a=cos 2a+1 2s in2a+2v 3 cos a X s in a,整

26、理得到：3 =8 t an%+2 t an a，解得 t an a=或 t an a=,但 a 为锐角，故 t an a=,故=故P存在且s in/A B P =噜 例题7.(2023 全 国 高 三 专 题 练 习)在 2 acos A =b co s C+cco s B；t an B +t an C +瓜-J S t a n B t a n C这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.在 A B C中，a,dc分 别 是 角 的 对 边，已知.(1)求角在的大小；若 A B C为锐角三角形，且 其 面 积 为 中，点G为 A B C重心，点M为线段47的中点，点N在线段4B上，

27、且A/V=2 A ,线 段 与 线 段CN相交于点尸，求|弄|的取值范围.注:如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分.【解析】若选2a co s A=fecos C+ccos B,由正弦定理可得 2s in 4 cos 4 =s in B cos C +s in C cos B =s in (B+C)即 2s in 4 cos力=s in X,又 s in力 0,所以 2cos 4 =1,即 cos/1 =J,因为H (0,兀)，所以4 =2；若选 t an S +t an C H-V 3 =V S t aiiB t an C,即 t an jB +t an C,=V 3 +A/3 t

28、 an j3 t an C,F p t an B +t an C =V 3(l -t an B t an C),所以.J31：/=V 3,即 t an(B +C)=所以 t an(兀A)=V 3,即 t an A =V 3,1 t a.r ix L3.r i因为(0,7T),所 以 力=卷；依 题 意 俞=得 荏,A M=A C,所 以 才 存=荏+反?=毋+年 后 面=而+|(无 必 通)=荏+系 意 记 _ 阳)=5 4豆+全 记，因为C、N、P三点共线，故设力。=义 河+(1 刈4。=告九4 8+(1 4)4。，O同理 M、B、P 三点共线，故设 AP=AB+(1-)AM=ZMB+5(1

29、-M)A C,所以 A-P-=1 4-3-*+；1 力-C-,2 4则 G P=A P-A G=-A B +-A C-(A B +j A C)=A B-A C=(2 A B-A C),因为 6MB e=y b es in A =空，所以 b e=2,又 为 锐 角 三 角 形，当。为锐角，则 彩 肥 0,即 密 (而 一 荏)0,即 松 一 就 荏 0,即/-5 b c 0,即 2b c=，所以6 1,当B为锐角，则 荏 屈 0,即 南(而 一 彩)0,n y A B*2*-A C-A B 0,/-3儿 0,即2 0&,即2系 6,所以0 6 2,sim4+-bsmB =1s i nB+s i

30、 n。b s i n4 +cs i nB(1)求 角C;人直(2)8是A A C B的角平分线，若C D=孽，A B C的 面，积 为,求c的。“、【解析】由 正 弦 定 理 得 点+茄%=1,即寿+=1,整理得a(a+c)+b(b+c)=(Q+c)(b +c),化简得,2 =曲 由 余 弦 定 理 得cos C =。吸 J。，又。G (0,E),则。=专；(2)由面积公式得J a b s i nC=a b x 今 =2 6,解得a b =8,又。是N A C B的角平分线，则 会 出=专.),吟=磔=.0y-C B-C D-s i ny CB B D 即 第=。，则 五=函+赤=季+而=诟+

31、团 一 方)=+万，B D a a +b Q+八 7 a +b a +b综上可得1 V b V 2,)LGP=-2A B-A C,W 1 4 4|G P|2=(2 AB-C)2=4 B2-4 A B-C +C2=4|荏 卜4希.而+|前=4,2 2 b c+1 6 4.口,留 4 +b-因为l b 2,所以l b 2 V 4,而/(工)=学 一4 +z在(1,4)上单调递减，所以/(x)(4,1 3),即 患 一4 +/6 (4,1 3),f t p 1 4 4|G P|2 (4,1 3),所以 1 2|GP|(2,7 1 3),则 G?，噜)S B L(2023湖 南 衡F B 校 考 模

32、拟f l测)已 知4 6。的 内 角4,B,C的 对 边 分 别 为a ,b ,c,满足所 以 也2 =(士见+士岳)2=JR。+厘文西 屈+丁,即 =K a+b a+b/(a4-fe)2(a+fe)2(a+6)2 3(a+b)2,2ab 心 1,d2b2(a+b)2(a+b)“整 理 得 学=-,3 亍,又 ab=8,解得a+b=6,则 a2+b2(a+fe)2 2ab 20,J(a+b)由(1)知 c?=a?+/ab=20 8=12,贝 c=2V3.2.(2023-全Bl 高三专题练习)4 A B C中，已 知A B=L B C=/,。为 人。上 一 点，4。=2DC,A B BD.(1)

33、求8。的长度；(2)若 点P为4 B O外接圆上任意一点，求P 6 +2P D的最大值.【解析】(1)设BD=z,CD=y,则 AD=2y.在A B D与CB D中，由余弦定理知：AB1=BD1+AD1-2BD-AD-cosZ ADZ?，即/+4优一 4xycosAADB=1,BC2=BD2+CD2-2BD-CD-cosNCDB，即/+才一 2xycosZADB=7.；NADB+NCDB=n,：.cosZ.ADB+cosZ.CDB=0,可 得/+2y2 5.A B B D,：.AD1=AB2+BD2,Sp 1+x2=4y2.解得Z=皿，y=LBD=瓜.(2)由(1)知：AABD 中，AABD=

34、,AD=2,4。为ABD 外接圆的直径.P为4 8。外接圆上任意一点，当 P 在 B 点时，P 3 +2PD=2PD=2V3.当P在。点时，PB+2PD=PR=内.当P在 优 弧 瓦 布 上 时，NBPD=NBAD=9设 NPBD=G(0 6冬)，则乙PDB=2 -e.APBD 中，由正弦定理知PB=2sin(爷-0 ,P D =2sinPB+2P。=2sin(争-0)+4sm0=2(sin与cos。-cos专sin。)+4sinJ=5sin0+V5cos0=2V7 sin(6!+p)(tan=-,0 V p V.),当6+=时，P 3+2PD的最大值为2 a.当P在 劣 弧 防 上 时，NB

35、PD=R-4BAD=好,设NP3)=6(0 11小尸.苏，则求A到市中心o的距离最大时ta n d的值.【解析】（1）由题意可知/人。可=学,/。4 3 =。，若P在O的正北方向，则O P J.O 49在 Rt AAOP 中，OA,tan”在 a o P B 中，/3=卷一/NOPB=5+J,由正弦定理可得 缶=前舞丽，圻以CR=窈词+。）=2cos6=4 sin传挈cos。-专sin 一T a n G，则+州=焉+马俞=-tS隰3=_ 2_=_ 2一 （tanG+）2+3W（tanJ+）-6 3 瓜-（tan J+V3+枭7tan0+V3 tan0+V3,2 _ 6/+3西 -27（t a

36、n 0 +）-ta n A v 3 3当且仅当tan。+/3+6tan+V3,即tand=V6 A/3时，取等号,所以A,3到市中心。的距离和最小时tan。=瓜V3;（2）因为5?2+用211而 丽,所 以 加?+用 2-2 前 乔,9 前 乔,(O P-B P i O P-B P,O B O P (OP -O B),因为OP平分乙4 O B,所以 ZA O P=ZB O P=与,则 1 0()9 而 2 4 5|丽|,所以0|加|罕，因为 SA OB=SAOP +Sd BQp、所以司)卜i n 冬=而 同 吟 +-y|O B|O P|s i n-,即 WOA =OAOP-IO|OP|,所 以

37、OA =IO|OP|IO-|OP|1 01 0WI1因为o v|丽 I等,o(等 一 0)s i n。=13 s i n。所以当|丽|=等 时，有最大值2 0,O2 0此时在 4 O P 中，一s i n即 F-co s 3+彳 s i n。力 q _ cosd+/s M。_瓜 1 1所以3=菽=忘 位+,所以 t an 0 =,D所以当工到市中心。的距离放大时t an。=V4.(2023秋河北街水赤三河北衡水中学校考阶段练习)已知A4BC的外心为O,M,N为 线 段AI3,AC上的两点，且。恰 为 MN中点.证 明：AM|M B|=AN -|M 7|(2)若 49|=/，Q M =I,求各”

38、的最大值.【解析】(1)证明：设 A A f=i i，B A/=U i,4 V=C 2,C 7V=佻，人公E A/仆 小 x O M2-A O2 小“八 y O M B O1由余弦 无 理 决 口:co s Z.AM O=-，CQSZ I3 M o =-R7T-，2x1,(JM 2 纳,(JM由O 是 4 B O 外心知49 =8 0=C O,而 co s Z.AM O+co s/BM O=0,亚 x+O M2-A O2 y O M2-B O2 _n所 以 2 O M-+-2 O M =01即(/必+O M-A O2)(s i +t/,)=o,而 C i +幼片 0,因此 x)yi A O2

39、O M2,同理可知 x2y2=A O2 O N2,因此工创=z*2,所以|A M|-|M B|=|A/V|-|2 V C|;(2)由(1)知=g仇=2,上人一一人 A O2+O M-x l,八“A O2+O N-x l由余弦比理知：c o s N A O A l =I.。面,co s Z-AON-0.。.斯 ，代入 co s Z.AOM +co s Z.AON=0 得犹+球=8,设 =詈 =詈，则+1=*+等 =4,因 S&w w _ AM.B M _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ v _ _ 4 _u 写 嬴 A B-A C (Z/+DG +1)_ 1 +_L、7 7 一勺

40、/JIA 4当且仅当 =4 =2时取到等号，因 此 架”的最大值为ABC y5.(2023全 国 高 三 专 题 练 习)在 A B C中，内角4 8 C所对的边分别是a,b,c,已 知2c c os B=2a b.求C;若AB=AC,。是 4 B C外的一点，且AD=2,CD=1,则 当/D为多少时，平 面 四边形A B C。的面积S最 大，并 求S的最大值.【解析】(1)1在A 4 B。中，内角AB C所对的边分别是a,b,c,已知2c c os B=2a-儿由正弦定理得：2s i nC c os B=2s i nA -s i n5,又力=兀-(B+C),/.2s i nC co s B=

41、2s i n(B+C)s i nB=2s i nBc os。+2c os Bs i nC s in B,2s i nJ 3 c os c=s i nB,J s i nj BXO,c os C =-y,V 0 C w c+SADC=+s i n。=-(5 4 c os。)+s in O=+s i n AC_ sinl20_sin(60。一夕)付,sin(60联立上式，并由CD=/lB C得，5军共）sinoOsin 1200sin(60 整理得 sin(30+(9)sin(60 (9)=:，所以 sin(60+26)=),4z因为 0 夕 60,所以 60 C D D 4的 最 大 值 为 ，求

42、R的值.【解析】由已知4 D PC=4 A PB =5,在 APCD 中，利用余弦定理知 1=C D2=PC2+P D-2 P C-P D c o s N P D C,结合基本不等式有1 2P C-PD -2P C-PDcos卷=P C-P D,当且仅当P C=P。=1时，等号成立，即P G P O的最大值为1,S PCD=寺 PC -P Ds i n =手 PC .PD&乎所以 PC D面 积的最大值为今（2）四边形A B C D存在外接圆，,A D A B +A D C B=兀又 P A =P B .4 D A B=4 C B A、：,Z C B A +N D C B =TI,.4 6 C

43、D,所以四边形A B C D为等腰梯形，连接 A C,设/C R 4 =e,C A B =x,在4 B A C中，由正弦定理得，./加=国=27?,sin(7：-x-?)smre:.B C=2/?sina?,A B 2Hsin(又x 8)=2/?sin(/7+1)同理，在力C D 中，由正弦定理得，C 0=2R sin(J-N),所以 A B B C C D D A=16/?2sin2a;sin(6,x)sin(61+x)=16/?2sin2x(sin261cos2x cos20sin2ru)=167?2sin2a:sin20(1 sin%)cos2sin2x=16/22sin2x(sin2-

44、sin2x)Z.AP B 6 1寺0 V%V 1 4 寺,1.0 V sin2x W sin%L o o16的 in%(sin汨sin%)1 6 H si*+-sin%)=4R2sinJi9,2当且仅当 sin2x=siir/9 siirx,即 sin2x=-sin2=sin y因E L为 si.n-Q-+A-si.n-2-C A =-1-C-O-S-(-C-+-A-)-1-c-o-s2(-C-A-)-cos(7-A)cos(C+A)cos Ceos 1+sinCsinX-cos Ceos-A+sinCsin?1.A=-2-2-=-2-=smCsmA,所 以,、i si nCcs i rMA

45、=si n2。+-4-si n-C A =sm.2兀-B-sm.2czA =-3：si.n?C zA.,2 2 2 2 4 2 5LL.C-A 3.2C-A M,闷.C A I*3故 sin =4-snr上-，解 得：sin上=攵或一天，因为sin 与 目 所以 sin。9.(2023-全 国 南三专题练习)如图，四边形A B C D 中，D A B =NDCB=y,A B=3,B C=2,S BC=且乙4 6 C 为锐角.求。氏(2)求 4A C D 的面积.【解 析 1)由 已 知$=5 4 3 8。”小/4 3。=竽，.互 11乙43。=坐：/4 8 C 是锐角，.乙 4反7=等.由余弦

46、定理可得力。2 =432+3。2-2 4?2。BOc o s/B C=7,则 A C=，7.ND4B=NOCB=*,，区。是四边形 4BCD 外接圆的直径，.BD是Z V1BC外接圆的直径，利用正弦定理知RD=/x=邛1(2)由 ADAB=C B =tBD=,4 8 =3,BC=2,则 AD=华,CD=又/A B C =，则/J O O O乙4。=冬，因此$M 8=N L D-C D-sinN A D C=亨=今，故4 7。的面积为展3,10.(2023秋沏南长沙高三长那中学校考阶段练习)如图，在梯形ARC。中，4?。，A B =2,C D =5,N A B C=祭 A J i(1)若 A C

47、=2/7,求梯形ABCD的面积；/(2)若 求 ta n/A B D /【解析】设 B C=i,在乙4比 7中，由余弦定理A C-K B +BCZ -24B-D CBCcosNABC 得:97r28=22+x1 2 2 x c o s-,即/+2c 24=(),而 rr 0,解得 =4,O所以 BC=4,则 A A B C 的面积 S鼻M3 c=A B -BC-s i n Z A B C=5 2 4 坐=2/,梯形A B C D中，4 8 CD,A B C与4 A D C等高，且CD=总 竿,r Q所以4 A D C的面积SA40c=y=5V3,则梯形 A B C D 的面积 S =SMBC+

48、S，M D C=7 V 3;在 梯 形A B C D中，设NA B D=%而AC，B D,则 Z J3DC=a,/BAC=卷 一a,乙 D B C=冬 一 a,A B C A=a 一 令,NJ O在力8。中，由正弦定理A B =B Csi nZ D C A -si nZ B XC得:2=8。si n(a 午)si n(-y-a)在A B D C中，由正弦定理S ECDBC=s i n Z a D C得：尾 _ a)=*2si n(等 一a)两式相除得：-三-5si n(a 1-).20 (-vT3r-c osa+.T1f Si.na.sma n /_ smssi n(f-a)5.(s in a

49、_ c o s?)-整理得5 4 s i n%7si nac osa 2V3 c os2a=0,即 5V3 tanvz 7tanc z-2A/3=0解得tana=1弋 或tana=,j o因为 a (寺)，则 tana=2f,即 t a n N A B O =.t)/o o11.(2023春 河 南 开 封 南 三 统 考 开 学 考 试)已 知 A B C的 内 角4,B,。的 对 边 分 别 为a,6,si n(B C)tanA =si nB si nC.若A=B，求si r?!的值；证 明：必要为定值.C【解析】由(si nB c osC*-si nO c osJB)si n4c osA

50、=si n/lsi nC,/0 y1 1=8,所以 si nA c osC si n C eos A=c osA si n C,所以 s in Aco s C=2c osA si nC,又 T C=兀-2A,si nA c os(兀 24)=2c os/lsi n(7r 2A),一si n A c os2A =2c osA si n2A,si nA(l Z si tFyl)=4si ri 力 c os?4,2si nM 1=4 As m2 A,解得 si n2 A=看;(2)由已知条件得(si nB c osC-si n Cco s B)si n Ac osA=si nj B si nC,si