2023年北京市平谷高三数学一模试卷.pdf

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1、平谷区2022-2023学年度第二学期高三年级质量监控数学试卷注意事项：1.本试卷分第I卷（选择题）和第n 卷（非选择题）两部分，共 4 页.共 150分，考试时间为 120分钟.2.试题所有答案必须书写在答题纸上，在试卷上作答无效.3.考试结束后，将答题纸交回，试卷按学校要求保存好.第 I卷 选 择 题（共 40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4 分，共 40分；在每小题给出的四个选项中，兄有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上1,已知集合 4=X|-2 X 0 ,则（）A.(-2,0)B.(0,1)C.(-2,+0 0)D.(0,+o o)【答案】C【解析】【分析】由并集的

2、定义求解即可.【详解】因为集合4 =3一 2%0 ,所以 AD 3=（-2,+o o）.故选：C.2 .在复平面内，复数z满足z（l+i）=2,则复数z对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】先求出复数z,即可求出答案.【详解】z=7r y 复数z对应的点为（1,-1）则复数Z 对应的点位于第四象限故选：D.3 .下列函数中，是偶函数且在（0,+8）上单调递减的是（）A./(JC)=JC2-|x|B.f(x)=C.fix)-ew D./(x)N ln x|x【答案】B【解析】【分析】利用基本初等函数的奇偶性及单调性，结合各选项进行判断即可

3、.【详解】对于A,由题意可知f(x)的定义域为R,/(%)=(%)2 卜可=2 国=/(刈，所以f(x)是偶函数且在(0,+8)上不是单调递减，不符合题意；故 A错误；对于B,由题意可知f(x)的定义域为R,/(-%)=言7 =玄=/(幻，所以A x)是偶函数且在(0,+0 0)上单调递减，符合题意；故 B正确；对于C,由题意可知fix)的定义域为R ,/(-x)=eW=f(x)，所以f。)是偶函数且在(0,+8)上单调递增；不符合题意；故 C错误；对于D,/(幻=|111 幻的定义域为(0,+8),不是偶函数，不符合题意；故 D错误；故 选:B.34.已知函数/(x)=lo g2 X-,则不

4、等式/(幻0的解集是()X+1A.(-1,2)B.(0,2)C.(2,+o o)D.(y,-l)U(T,2)【答案】C【解析】【分析】求出函数的定义域，判断出函数在定义域上为单调递增函数，求出函数的零点，即可得答案.【详解】解：由题意可得函数/5)的定义域为(0,+o o),3因为y=lo g,%与 y=-一 一 在(0,+8)均为单调递增函数，X +13所以/(x)=lo g,x-一一 在(0,+8)为单调递增函数，X+13因为2)=lo g2 2-寄=1-1 =0,所以/(乃0的解集为(2,+8).故选：C.5.向量”，h,c 在边长为1 的正方形网格中的位置如图所示，则(a-/?)，,=

5、()A-4 B.4 C.2 D.-8【答案】A【解析】【分析】将a，h c平移至同一个起点并构建直角坐标系，写出相关向量的坐标，再应用向量数量积的坐标表示求(a-h)c.【详解】将a，b，c平移至同一个起点位置，如下图。点位置，建立直角坐标系xOy,则 a=(2,2)/=(2,0),c=(-l,-2)-所以(一切 Y=(0,2)-(-1,-2)=-4.故选：A6.已知抛物线C:y2=2 p x,点0为坐标原点，并且经过点P 0,%)，若点P到该抛物线焦点的距离为2,贝|。尸|=()A.2/2 B.26 C.4 D.75【答案】D【解析】【分析】由焦半径公式列出方程，求出，=4,得到4=4,求出

6、IOPI的长.【详解】抛物线准线方程为X=-5,由焦半径可知：1 +=2,解得：p =2.则C：y 2=4 x,此 时 弁=4,则|。尸|=J a+4 =6.故选：D7.已知。“为等比数列，4 0,公比为夕，则 q 0”是 对任意的正整数，4,1+4“0),%+%=q g2-2+q q 2 T=q 2 -2(+q),若q 0,因为1 +4的符号不确定，所以无法判断41+4”的符号；反之，若。2,”1+2”。，即4 q2-2(+q)。，可得9 一1 0,故“q 0”是“对任意的正整数，a2n_,+4 0,0 0 几)27 t所以最小正周期丁=CD因 为/(T)=(2兀CO S C t)-(p=c

7、 o s(2K+=CO S (p-,TT又0夕兀，所 以夕=不 即/(无)=c o s如+乌I 6又x =g为/(x)的零点，9I T JT TT所 以！/+,=t +%r MeZ,解 得3 =3+9左M e Z,9 6 2因 为。0,所以当后=0时0m M =3；故答案为：3/e-,x 014.设函数,/(x)值域是_ _ _ _ _ _ _ _ _,设g(x)=/(x)a(x l),若g(x)恰有两个零V x,x 0点，则。的取值范围为.【答 案】0,+oo).【解 析】【分 析】求x 0时的值域及xNO的值域，最 后 求 并 集 即 可(或 者 利 用 图 象 法 观 察)值 域；数形结

8、合即可求 出 参 数。的范围【详 解】当 x 0时，f(x)=e-t e,当xi O时,f(x)=x 0,所以函数f(x)的值域为 0,+8)；从图象上可以看出函数 X)的值域为 0,+8)，因为g(x)=/(X)-a(x-1)恰有两个零点，则方程/(X)=a(x-1)恰有两个解,从而函数/(x)x 0函数 x)=Qx x 0厂 与 y =a(x T)有一个交点，又当 x 0所以/(0)=T，故在点(0,1)处的切线为 y-l =-l(x 0),即 y =-l(x-l),故当4=一 1 时，函数/(%)=*,x 0,.e-Jt,x0所以要使函数/(x)=厂 与y=a(x-D有两个交点，则。Q值

9、范围为故答案为：(),+8);15.如图，矩 形A8CZ)中，A D=2 A B 2 ,“为BC的中点，将，ABM沿 直 线AM翻折，构成四棱锥BA M C D,N为BQ的中点，则在翻折过程中，对于任意一个位置总有CN 平面；存在某个位置，使得CN_LAB|；存在某个位置，使得用；四棱锥Bx-A M C D的体积最大值为也.4【答案】【解析】【分析】证明E M /N C,结合线面平行判定判断；由 NC结合A g与上加不垂直，判断；由线面垂直的判定得出点用与点F重合，从而判断；取A”的中点为G,连接4 G,当4 G，平面时，四 棱 锥 耳-AMCO的体积最大，从而判断.【详解】分别取Ag,A。的

10、中点为,尸，连接EN,E M,旦F,F M .因 为 的 中 点 分 别 为E,N,所以E N A D M C ,且EN=gAQ=MC即四边形RVQ0为平行四边形，W E M /N C,由线面平行的判定可知对于任意一个位置总有CN 平面A用M,故正确;因为NA81M=90。，所以与EM不垂直，由可知，A g与NC不垂直，故错误;由题意若A D L M A，则由线面垂直的判定可得Mg _L平面ABQ.则M 4 _ L B Q,因为AW=M D，所以aA M片与全等，则4月=4。=1,此时点用与点口重合，不能形成四棱锥g-A M C Q,故错误；取A M的中点为G，连接g G,G=,当g G,平面

11、AMC0时，四棱锥耳一 AMCO2的体积最大，最大值为（1 +2）乂3，走=正，故正确;3 2 2 4故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16.在_/13。中，角 4,B,C的对边分别为 m b,c,且atan8=2Z?sinA.（1）求角8的大小；兀（2）若 BC=4,A=,求一 ABC 的面积.4兀【答案】（1）-36+26【解【分析】（1）根据已知条件及同角三角函数的商数关系，结合三角形内角的特点及特殊值对应的特殊角即可求解；（2）根 据（1）的结论及三角形的内角和定理，再利用两角和的正弦公式及正弦定理，结合三角形面积公式即可求解.【

12、小 问1详解】,r由 anB=20sinA,得 sin A=2sin3sinA,cosB因为 Ov Av 兀,0 v 3兀，所以 sinA0,sinB 0,所以 cos3=,，27 T因为0 8 AC=A A,=2,CtC.L BE.（1）求证：尸为A G的中点;（2）再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求直线FG与平面BCQ所成角的正弦值.条件：平面平面EBB1；条件：BG=3.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）见解析（2）2眄105【解析】【分析】（1）由线面平行的性质定理可证得8 3/，即可证明；（2）根据条件建立空间直角坐标系，求出各点坐标，利用方

13、程组解得平面BCD一个法向量，利用直线的方向向量和平面的法向量计算即可.【小 问1详解】由三棱柱的性质知，BBJ/CG，8与a平面A4CC，C G u平面AAGC,所以8片/平面441G。，又因为B4 u平面EF4B,平面 A41cI。1 平面 EFB、B=EF,所以BBJ/EF，因为E为4 c的中点，所以尸为A G的中点.【小问2详解】选条件，因为平面ABC 1平面仍 与，平面ABCc平=3 E，又因为AB=BC=#，E为AC的中点，所以BELA C，所以AC_L平面EBB-又因为EFu平面EBB-所以又因为BE_L AC，C,C 1 BE,BE CCEAC,GCu平面 A4CC，所以 3E

14、_L平面 AACC，如图建立空间直角坐称系E-xyz.由题意得 3(0,2,0),C(l,0,0),0(1,0,1),尸(0,0,2),G(0,2,1),.8=(2,0,l),C3=(l,2,0).设平面BCD的法向量=(a,Ac),n-CD-0 f+c=0n-CB=0，a+2b=Q，a=2,则。=-l,c =-4,平面BCD的法向量=(2,-1,-4),又 FG=(O,2,-l),设直线FG与平面BCD所成的角为氏则 sin 0=I cos n,FG=:I ,1 1 105所以直线尸G与平面BCD所成角的正弦值为冥型.105选条件，因为 AB=BC=J ，AC=AA=2,BCi=3,则CC：

15、+Be?=BC；,所以又因为C|C_LBE,BC BE=B,BC,8E u平面A B C,所以G。!平面ABC,因为AB=BC=6，E为AC 中点，所以B E L A C，如图建立空间直角坐称系E-x y z.由题意得 3(0,2,0),C(l,0,0),0(1,0,1),尸(0,0,2),G(0,2,1),.-.C)=(2,0,l),CB=(l,2,0).设平面8 c o 的法向量=(a,A c),n-CD-0 f+c=0.0).-x(1)当。=1时，求曲线y =/(x)在点(0,/(0)处的切线方程;(2)讨论y =/(x)的单调性；(3)若对任意x e(0/)恒有/(幻 1,求a的最大值

16、.【答案】(1)y=x+(2)见解析(3)2【解析】【分析】(1)根据导数的几何意义得出切线方程；(2)分类讨论。的值，利用导数得出单调性：(3)当0 2,存在与=3行E0,行)使得从而得出的最大值.【小 问1详解】1 4-Xr2 4-1因为/(尤)=-e 所以/(0)=1,因为(不二不一re-所以f(0)=l.1-x(1-x)故曲线y =/(x)在点(0,1)处的切线方程为y =x+L【小问2详解】f M的定义域为(9,1)5 1,位)，CLX2+2 a-a r-r e(1-x)22x当a=2 时，/(x)=-e-t a 0,即函数/(x)在(-8,1),(1,+8)上单调递增.(l-x)当

17、O v a 2 时,即函数/（X）在（-8,1）,（1,+8）上单调递增.若0,综上所述,当0 “2时，X）在（-8,1）,（1,+8）上单调递增.【小问3 详解】由（2）可知，当0/（0）=l；当。2 时，由（2）可知，A x）在存在X。=L 七 2 e（0,二2）,使得八%）2 不合题意;2 V a V a综上，0a K2,即的最大值为2【点睛】易错点睛：用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：（1）在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；（2）不能随意将函数2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；（3）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般

18、将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.2 1.对于每项均是正整数的数列A：6、的、L、4,定义变换（，（将数列A变换成数列4（A）：”、q 1、4一1、L、an-.对于每项均是非负整数的数列3 :4、打、L、bm,定义变换T 2，心将数列8各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列(3)；又定义5(3)=2(4+也+岫“)+厅+以+.+殳.设4是每项均为正整数的有穷数列，令AM=4(1(4)仕=0 4，2，).(1)如果数列4为5、1、3,写出数列4、A2；(2)对于每项均是正整数的有穷数列A,证明S(7；(A)=S(A)；(3)证明：对于任意给定的每

19、项均为正整数的有穷数列4,存在正整数K，当&2K时，s(Aj=s .【答案】(1)4 :4、3、2.4：3、3、2、1(2)证明见解析(3)证明见解析【解析】【分析】由4：5、1、3,求得Z(A)再 通 过 累=(工(4)求解；(2)设有穷数列A求得(A)再求得S(7；(A),由S(A)=2(4+2,+%)+a；+a；+片，两者作差比较；(3)设A是每项均为非负整数的数列/、?、L、an.在存在有4 4%时条件下，交换数列A的第i项与第7项得到数列8,在存在14加，使得为用=勺+2=4=0时条件下，若记数列6、。、金 为C,6%(工(4),S(A+MS(L 由S(T;(4)=S(4),得到5(

20、+1)s(A).s(4)是大于2的整数,所以经过有限步后，必有S(A)=S(4M)=S(A*2)=O.【小 问1详解】解：4：5、1、3,(4):3、4、0、2,4 =6(土(4)：4、3、2.4(A)：3、3、2、1，4 =(4(A)：3、3、2、1.【小问2详解】证明：设每项均是正整数的有穷数列A为q、出、L、册，则(A)为“、4 1、外 一 1、L、%-1，从而 S (4(A)=2 n+2(4 1)+3(a,1)+(+l)(a -1)+n+(a,1)+(a2 1)+(a 1).又 S(A)=2(q +2 cly+)+a；+a；+%,所以 5(7；(A)-5(A)=2 -2-3-(n+1)

21、+2(+a2+an)+n2-2(a,+a2+an)+n=-n(+1)+H2+=0,故 S(7；(A)=S(A).【小问3详解】解：设A是每项均为非负整数的数列q，4，,明.当存在使得4 4%时，交换数列A的第i项与第/项得到数列B,则 5(B)-5(A)=2(%+j4 Tq.-9)=2(z-j)(a.-a,.)0.当存在使得4”+i =勺+2 =4,=。时，若记数列为,a2,为C,则 5(C)=S(A).所以 S 伍(A)4s(A).从而对于任意给定的数列4，由4+1=4 5(4)伏=0,1,2,)可知 s(4+M 5(1(&).又 由(2)可知 5(7；(&)=5(4),所以S(4+J 4S(4).即对于keN,要么有s(4 u)=要4),要么有S(4+”S(4)-I.因为s(4)是大于2的整数，所以经过有限步后，必有5(4)=S(AM)=S(/2)=0.即存在正整数K,当左2K时，S(4+J =S(A).【点睛】思路点睛：本题考查了数列新定义问题，按着某种规律新生出另一个数列的题目，涉及到归纳推理的思想方法，对学生的思维能力要求较高，综合性强，能很好的考查学生的综合素养，解答的关键是要理解新定义，根据定义进行逻辑推理，进而解决问题.