2022年河北省滦州市高三二诊模拟考试数学试卷含解析.pdf

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1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3,请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。T T J T1.已知函数/*)=112%+4以)5 2犬的图象的一条对称轴为*=,将

2、函 数/(X)的图象向右平行移动一个单位长度124后得到函数g(x)图象，则函数g(x)的解析式为()JT 4A.g(x)=2sin(2x-)B.g(x)=2sin(2x+)C.g(x)=2sin(2x-)D.g(x)=2sin(2xd)6 62.已知集合人=1,2,3,4,5,6的所有三个元素的子集记为片,鸟,鸟,纥,EN*.记内为集合。中的最大元素，则 4+勿=()A.45 B.105 C.150 D.2102 23.过双曲线C：=*=l(a 0,60)左焦点尸的直线/交C的左支于A,B两点，直线AO(。是坐标原点)交C的右支于点O,若D h A B,且忸尸|=|。同，则C的离心率是()A

3、.在 B.2 C.V5 D.画 224.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：4=2+2,6=3+3,8=3+5,那么在不超过18的素数中随机选取两个不同的数，其和等于16的概率为()1 2cl 2A.B.C.D.21 21 15 155.一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半.若将该正方体绕下底面(底面与水平面平 行)的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高 度 为()A.1 B.V 2 C.&D,2A/26.如 图，在A A B C中，丽=一 无e，P是BN上的

4、一点，若，恁=Q 通，则实数机的值为()3 33 97 .已知 4 为等比数列，%+4=-3,%“9=T8,则4 +4=0)的焦点为尸(0,1),若抛物线C上的点A关于直线/：y=2 x +2对称的点3恰好在射线y=l l(x /3A.-B.-C-D.-3 2 2 34/1 2,910.己知。=痣，b=l o g,c=,则（）52 1 UjA.a b cB.a c bC.b c aD.c a b11.中国古代数学著作 算法统宗中有这样一个问题；“三百七十八里关，初行健步不为难，次后脚痛递减半，六朝才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走了 37 8里路，第一天健步走

5、行，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了 6天后到达目的地，求该人每天走的路程.”由这个描述请算出这人第四天走的路程为()A.6 里 B.12 里 C.2 4 里 D.48 里12 .P是正四面体A B C O的面A8C内一动点，E为棱AO中点，记OP与平面B C E成 角 为 定 值 若 点P的轨迹为一段抛物线，贝!|ta n 6=()A.y/2 B.立 C.D.2 /22 4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分。13.已知正数用 满足“+)=1,则2 +L的最小值等于,此时斫.a b14.已知等比数列 4 的各项都是正数，且3a 2,g%，4 q成等差数列，则 的2(

6、。3+4)-的2(4+%)=.15.在数列 叫 中，4=1,4户0,曲线y =V在点(可处的切线经过点(*0),下列四个结论：/=|；14 65。3=彳：工 勾=毛；数列 4 是等比数列：其中所有正确结论的编号是_ _ _ _ _.3/=i 2 716.若 函 数/(%)=而(23+卜(在 区 间 0,句上恰有4个不同的零点，则正数”的 取 值 范 围 是.三、解答题：共7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 .(12分)在平面直角坐标系x O y中，M为直线y =x-2上动点，过点作“抛物线C:/=y的两条切线切点分别为A,B,N为AB的中点.(1)证明:轴；(2)直线A3是

7、否恒过定点?若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由.1 8 .(1 2分)已知函数分(x)=|x+a|+|2 x-5|(a 0).(1)当a =2时，解不等式x)2 5；(2)当x e “,2 a -2 时，不等式/(x)W|x+4|恒成立，求实数。的取值范围.1 9 .(1 2分)在 数 列 为 和等比数列也 中，4=0,%=2,a=2-(N*).(1)求 数 列 也 及 4的通项公式；(2)若c“=ga也,求数列 c,的前项和S,.2 0.(1 2 分)如 图，在三棱锥A-8 C。中，A 5 _ L A O,B C V B D,平面A 5 O _ L 平 面 5 C。，点 E,尸(E

8、与 A,Z)不重合)分别在棱A O,8。上，且 EF_ L 4 D求证：(1)尸平面4 8 C；(2)ADAC.1k2 1.(1 2 分)已知函数/(x)=(x)lnx,g(x)=x.xx(1)证明：函数f(x)的极小值点为1;1 7(2)若函数y =/(x)g(x)在 1,例)有 两 个 零点，证明：O2 2.(1 0分)已 知 AAB C 中，角 AB,。所对边的长分别为a 1,c,acosB=-b +c.2(1)求角A的大小；(2)求 5 加 3 +5 济。+$%/1 力。的值.参考答案一、选择题：本题共1 2 小题，每小题5 分，共 6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

9、目要求的。1.C【解析】7T根据辅助角公式化简三角函数式，结合尤=为函数 X)的一条对称轴可求得“，代入辅助角公式得了(X)的解析式.1 2根据三角函数图像平移变换，即可求得函数g(x)的解析式.【详解】函数/(x)=sin 2 x+cos2 x,由辅助角公式化简可得/(x)=J 1 +助 sin(2 x+,ta n。=。，T T因为尤=一 为函数/（X）=sin 2 x+a cos 2 x图象的一条对称轴,1 2代入可得sin（2x A）+a cos2 x 1 =J+a2,即;+#4=历/,化简可解得（a G=0,即 a /3 9所以/（工）=sin 2 x+V 3 cos 2 x=2 si

10、nf 2 x+y ji r将函数的图象向右平行移动了个单位长度可得g(x),故选：C.【点睛】本题考查了辅助角化简三角函数式的应用，三角函数对称轴的应用，三角函数图像平移变换的应用，属于中档题.2.B【解析】分类讨论，分别求出最大元素为3,4,5,6的三个元素子集的个数，即可得解.【详解】集合”含有3个元素的子集共有C；=2 0,所以=2 0.在 集 合 型，=1,2,3./)中:最大元素为3的集合有仁=1个；最大元素为4的集合有C；=3；最大元素为5的集合有C：=6；最大元素为6的集合有C；=H)；所以4 +包+4 +d +=3 xl+4 x3 +5 x6 +6 xl01 05 .故选：B.

11、【点睛】此题考查集合相关的新定义问题，其本质在于弄清计数原理，分类讨论，分别求解.3.D【解析】如图，设双曲线的右焦点为尸2,连接。心并延长交右支于C，连接尸C，设=X,利用双曲线的几何性质可以得到。尸=x+2 a,FC=x+4 a,结合Rt好DC、放 玛 可 求 离 心 率.【详解】如图，设双曲线的右焦点为乙，连接尸。，连接。弱并延长交右支于C.因为产。=。6,4。=。，故四边形必入。为平行四边形，故FD工DF2.又双曲线为中心对称图形，故F?C=BF.设。g=x,则。尸=x+2 a,故6C=x+2 a,故尸C=x+4 a.因为EDC为直角三角形，故(x+4 a)2=(2 x+2 a y+(

12、x+2 a)2,解得x=t z.在 放A EDf；中，有4 c2=1+9/,所以e =g=a U 2故选：D.【点睛】本题考查双曲线离心率，注意利用双曲线的对称性(中心对称、轴对称)以及双曲线的定义来构造关于a,4 c的方程,本题属于难题.4.B【解析】先求出从不超过1 8的素数中随机选取两个不同的数的所有可能结果，然后再求出其和等于1 6的结果，根据等可能事件的概率公式可求.【详解】解：不超过18的素数有2,3,5,7,11,13,17共 7 个，从中随机选取两个不同的数共有=21,其和等于16的结果(3,13),(5,11)共 2 种等可能的结果，2故概率P =丁.21故选：B.【点睛】古

13、典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题不可以列举出所有事件但可以用分步计数得到，属于基础题.5.B【解析】根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半，由此得到结论.【详解】正方体的面对角线长为2夜，又水的体积是正方体体积的一半，且正方体绕下底面(底面与水平面平行)的某条棱任意旋转，所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半，即最大水面高度为夜，故选B.【点睛】本题考查了正方体的几何特征，考查了空间想象能力，属于基础题.6.B【解析】m A C =A P 而 变 形 为=+豆，由 丽=/得/=3 丽，转化在AABN中，利用8、P、N 三3 3 3点共线可得.【详解】_ _ _

14、 2_ _ _ 2 _ _解：依题：A P =m A C+-A B =3 m A N +-A B ,3 3又 B,P,N 三点共线,3m+-=l,解得？=.3 9故选：B.【点睛】本题考查平面向量基本定理及用向量共线定理求参数.思路是(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值.(2)直线的向量式参数方程：A、P、B三点共线o加=(1 一。函+r丽(。为平面内任一点7.C【解析】根据等比数列的下标和性质可求出生，小,便可得出等比数列的公比，再根据等比数列的性质即可求出自+【详解】(4 二 -6.4

15、+9=5+8,；=5。8 =-1 8，又。5 +。8 =-3,可解得 0)的焦点为F(O,1),则4=1,即 P=2,21 、设A点 的 坐 标 为(%)，8点 的 坐 标 为(，ID，n3,11+/n242_ m+n-=2x-+22/一m=o 3解得 c，或”(舍去)，n=2 35in=9A(6,9)4，直 线A F的 方 程 为y=qx+1,设 直 线AF与抛物线的另一个交点为D,2x=6y=9由,3解 得 x-3丁=4故 直 线AE被C截得的弦长为 一.故选：B.【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，简单几何性质，点关于直线对称，属于中档题.9.A【解析】设E为5。中点，连接AE、C

16、E,过A作AOLCE于点O,连接O。，得到NADO即为直线4。与 平 面 所 成 角的平面角，根据题中条件求得相应的量，分析得到NC4后即为直线AC与平面A3。所成角，进而求得其正弦值，得到结果.【详解】设E为8。中点，连接AE、CE,由题可知AK_LBD,C E L B D,所以_L平面过A作AOJ_CE于点。，连接则AO_L平面BDC,所以Z A D O即为直线A D与平面B C D所成角的平面角，所以sin/AOO=也=也，可得AO=3夜，2 A D在zMOE中可得。石=3,又OC=，8O=3,即点。与点C重合，此时有A C,平面BCD,2过C作CF_L4与点F,又平面A C,所以B O

17、 L C F,所以b,平面A8D,从而角Z C A E即为直线A C与平面A3。所成角，sinZCAE=-4=,A E 3 0 3故选：A.【点睛】该题考查的是有关平面图形翻折问题，涉及到的知识点有线面角的正弦值的求解，在解题的过程中，注意空间角的平面角的定义，属于中档题目.10.B【解析】4(1、2.9 z x 0先将三个数通过指数，对数运算变形。=标=6；6=1，=log5-log5l=(),0c=-=1再判Z 21 4 I力 I力断.【详解】因为 a=y/6=6*6 =1，埠 全 嘴=0 c b,故选：B.【点睛】本题主要考查指数、对数的大小比较，还考查推理论证能力以及化归与转化思想，属

18、于中档题.1 1.C【解析】1q（i一不）设第一天走外里，则 q,是以4为首项，以彳为公比的等比数列，由题意得$6=-+-=3 7 8,求出q=1 9 2 （里21-2）,由此能求出该人第四天走的路程.【详解】设第一天走里，则 4是以可为首项，以;为公比的等比数列，由题意得：&=-；-3 7 8,1-2解得q=1 9 2 （里），；%=4 x（g）3=1 9 2 x =2 4 （里）.故选：C.【点睛】本题考查等比数列的某一项的求法，考查等比数列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题.1 2.B【解析】设正四面体的棱长为2,建立空间直角坐标系，

19、求出各点的坐标，求出面B C E的法向量，设P的坐标，求出向量而,71求出线面所成角的正弦值，再由角。的范围,结合。为定值，得出s in。为定值，且P的轨迹为一段抛物线,所以求出坐标的关系，进而求出正切值.【详解】由题意设四面体ABC。的棱长为2,设。为3C的中点，以。为坐标原点，以。4为x轴，以0 8为)轴，过。垂直于面A3C的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系则可得O5=OC=1,0A=x2=2则 0G=QA=，AG=OF=-3 3 3所以 3（0,1,0）、C（0,-l,0）,A（V3,由题意设P（x,y,0）,DP=x.ABO和AA C D都是等边三角形，.BECCE=E,.AD

20、,平面BCE因为OP与平面BCE所成角为定值e由题意可得sin 0-|cos|-|7 由，取0 4的三等分点G、P如图，04=垣，D G =JA)2-A G 2=垣，F=-D G =3 3 2 30,0)、Q俘,0,半、石 辟,。由，7 J2娓、E为 的 中 点，.BELAD,CEVAD,=I 一,0,-为平面3CE的一个法向量，兀贝！j 0 G 0,2G (2 丫31 3 乂 3 J2xkU 一西卜+可X2+2y/X+33x2+3y2-2y/3x+9 3 x2+3y2-2y/3x+9 因为P的轨迹为一段抛物线且tan。为定值，贝ij sin 0也为定值,-r -可得 3y2=8百犬，此时 s

21、in6=走，贝!Icos8=，3y2-2向 3x2 9 3 3tan6=sin。cos。V2故选：B.【点睛】考查线面所成的角的求法，及正切值为定值时的情况，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.3 2【解析】根据题意，分析可得+中=夕+1,由基本不等式的性质可得最小值，进而分析基本不等式成立的条a b a b a b件可得。的值，即可得答案.【详解】根据题意，正数。、分满足。+8=1,b 1 b a+b b a _则一+-=+-=+1 2 x +1=3,a b a b a b N a b当且仅当。=8=（时，等号成立，2故2 的最小值为3,此时4=.a b 2故答

22、案为：3；.2【点睛】本题考查基本不等式及其应用，考查转化与化归能力，属于基础题.14.-2【解析】根据等差中项性质，结合等比数列通项公式即可求得公比；代入表达式，结合对数式的化简即可求解.【详解】等比数列）的各项都是正数，且3%,g%,44成等差数列，贝!|%=3%+4 q,由 等 比 数 列 通 项 公 式 可 知=3 a q+4 q,所以 q2 _ 3 q_ 4 =0,解得4 =4或 乡=-1 （舍），所以由对数式运算性质可得log2（a3+a4）-log2（a4+%）=如%+。5府+*1=log 2-H axq+4 4 q=%=2故答案为：-2.【点睛】本题考查了等差数列通项公式的简单

23、应用，等比数列通项公式的用法，对数式的化简运算，属于中档题.1 5.【解析】先利用导数求得曲线y =V在点（/，4：）处的切线方程，由此求得%+1与%的递推关系式，进而证得数列%是等比数列，由此判断出四个结论中正确的结论编号.【详解】.曲线丫=/在 点（4,明处的切线方程为 了一4=3。,沁一。“），则-d=3 a；(%-a“).2w 0 ,an+=an97则 q 是首项为L公比为的等比数歹U,2 4 4 1-4从 而%=,%=8,4=一，J曰 1 36 52 7故所有正确结论的编号是.故答案为：【点睛】本小题主要考查曲线的切线方程的求法，考查根据递推关系式证明等比数列，考查等比数列通项公式和

24、前项和公式,属于基础题.【解析】求出函数/(X)的零点，让正数零点从小到大排列，第三个正数零点落在区间(),句 上，第四个零点在区间 0,句外即可.【详解】由/(x)=si n(2 0*+2一，=。，得 2的+工=女乃+(1)&k e Z,6)2 6 6X k7i+(1)A-,k e Z,2co 6 6V /(0)=0,1 z,7 1 冗、(3 4-)7 1”6 6，解得。一 n-2C D 6 64故答案为：1,2).【点睛】本题考查函数的零点，根据正弦函数性质求出函数零点，然后题意，把正数零点从小到大排列，由于0已经是一个零点，因此只有前3个零点在区间(),句上.由此可得的不等关系，从而得出

25、结论，本题解法属于中档题.三、解答题：共7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7.(1)见 解 析(2)直线AB过定点(g,2).【解析】(1)设出A 8两点的坐标，利用导数求得切线他的方程，设 出 加 点 坐 标 并 代 入 切 线 的 方 程，同理将M点坐标代入切线M B的方程，利 用 韦 达 定 理 求 得 线 段 中 点N的横坐标，由此判断出M N _ L x轴.(2)求得N点的纵坐标以，由此求得N点坐标，求得直线AB的斜率，由此求得直线AB的方程，化简后可得直线AB过定点(1,2).2【详解】设切点A(孙 阳,B(x2,%2)，y=2x,，切线M4的斜率为2百，切线M

26、4：y k =2用西)，设 则有 2 丁=2%玉)，化简得片一 2囱+-2 =0,同理可的 x；-2/X-,+1 2=0.X,是 方 程 2tx+1 2-0的两根，X+w=27，x2=t 2,xN=；七=t=xM 9 MN _L x轴.(2)V 万(不 +%2)=万(玉+2)X 1%2 =2/一,+2,N，,2t?+2).V kAB=-%+赴=2/,；直线 AB：y(2广一，+2)=2x Z),即 y 2=2f(x),x1 x22，直线AB过定点己,2).2【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线过定点问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.Q1 318.(1)x|x ；

27、(2)(2,-J.【解析】(1)分类讨论去绝对值，得到每段的解集，然后取并集得到答案.(2)先得到“的取值范围，判断x+a,x+4为正,去掉绝对值，转化为|2x-54 a在xea,2a 2时恒成立，得到a 4,a-4 2 x-5 4-tz,在xea,2a 2恒成立，从而得到。的取值范围.【详解】(1)当a=2时，/(x)=|x+2+|2x 5=3 3x,x 21-x,-2 x 由 x)?5,得x 2,即3-3x25x 22 9 x v 2x 3或，-2 x 5即-2 x -2,x2-2x 23x-355X 一23即Q综上：1 2或Q所以不等式/(x)5的解集为 x|x4 2或x N j.(2)

28、/(x)|x+4|,/(x)=|x+a|+|2x-5|a,所以。2,又xea,2a-2,x+a 0,x+40,得 x+a+1 2.x 5区 x+4.不等式恒成立，即1 2x-5|W 4-a在x e a,2a-2时恒成立,不等式恒成立必须aW4,a-4 2 x-5 4-a,解得 a+lW2xW9 a.所以2a 2 a+14。一4 4 9一。13解得j结合2 a 4,13所以2 0,可知g 0,由4 =*/=2x/=8,得=4,又 q 0,则q=2,故a=M T=2X2T=2,又由 2+1=2,得%=一L(2)依题意C“=(1)X2T.S=0 x2+1x2+2x22+.+(-2)x2n-2+(-1

29、)x2n-,0贝！J 2S=0 x2+lx 22+2x23+.+(-2)x2M-l+(n-l)x 2,0-得一S =2i+22+2 T-5-l)x 2 =-(-1)x2,1 2即-S“=-2 +(2-)x2,故S“=2+5-2)x 2”.【点睛】本题主要考查了等比数列的基本量求解以及错位相减求和等.属于中档题.20.(1)见 解 析(2)见解析【解析】试 题 分 析：(D先 由 平 面 几 何 知 识 证 明 历 4 3,再 由 线 面 平 行 判 定 定 理 得 结 论；(2)先由面面垂直性质 定 理 得BC_L平 面 板)，则8C_LA。，再 由4 5 J_4D及 线 面 垂 直 判 定

30、定 理 得AO_L平 面A B C,即可得ADA.AC.试 题 解 析：证明：(1)在平面A3。内，因为E F L A D,所以E F|A 8.EB又因为E/7 平 面ABC,AB u平面ABC,所以E尸平面ABC.（2）因为平面ABZ）_L平面8C。，平面ABDc平 面BCD=BD,B C u平面 BCD,B C B D,所以8C_L平面ABZ）.因为4 D u平面A B O,所以B C,AD.又 A5J_AO,B C cA B =B,ABu 平面 ABC,B C u 平面 ABC,所以A0_L平面ABC,又因为ACu平面A5C,所以 AO_LAC.点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思

31、想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.21.（1）见 解 析（2）见解析【解析】利用导函数的正负确定函数的增减.（2）函数=/。）-8（力 在 1,+0）有两个零点，即方程（炉-l）lnx-/=一；在区间 1,欣）有两解，令（x）=（炉-l）lnx-%2通过二次求导确定函数单调性证明参数范围.【详解】解：(1)证明：因 为/(x)=(l+5 h u +l(x0)7当x e（O,l）时，lnx（0+?）0,l-5 0,/（x）0,l+4r 0,1-V 0,所 以/（力 0,所以“X）在区间

32、。,内）递增；且/（1）=0,所以函数/（X）的极小值点为1（2）函数y=/（x）g（x）在 1,+8）有两个零点，即方程卜2-1 1 2一/=一人在区间1,+00）有两解，令=（j?1 jinxx2,则（x）=2xlnx%-令 0（%）=（2（21）,则 0 0）=2欣 +3 +10,所以（x）在 1,例）单调递增，又 =-2 0故存在唯一的?e（1,2）,使得（?）=0,即 ln/=g +J-7所以/z（x）在（1,加）单调递减，在区间（加,4w）单调递增，且=(e)=-l,又因为17加 （1,2）,所以（X）而n_&,O方程关于X的方程俨-1）山 一炉=一 在口,+8）有两个零点,17由

33、/（x）的图象可知，-A（l）=-l,8 1 In17即臼 .8【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，确定函数的极值,利用二次求导，零点存在性定理确定参数范围，属于难题.2万 322.(1)A=-；(2)一.3 4【解析】（1）正弦定理的边角转换，以及两角和的正弦公式展开，特殊角的余弦值即可求出答案；（2）构造齐次式，利用正弦定理的边角转换，得到sir?B+sin?C+sinBsinC=sit?A十二+永、,结合余弦定a3W+,2 -2%cs4 得到 s in +sin2C+sin8sinC【详解】解：（1）由已知，得sin Acos 5=sin 3+sin C2又；sinC=sin（A+B

34、）:.sin Acos B=-sin B+sin Acos B+cos Asin B2:.cos Asin 3+；sin3=0,因为 5w（0,4）,sinB wO得 cosA=-gV 0A.4 2万A=.3（2）V sin2 B+sin2 C+sin BsinC=sm.2 4-s-i-n-2-B-+-s-i-n-2-C；-+-s-i-n-B-s-i-n-C-sin2 A3 b2+-4,又由余弦定理，得2,2 2 c ,2 4a-h+c-2bc cos 3=b2+c2+bc3sin2 8+sin?C+sin 8 sin C=4【点睛】1.考查学生对正余弦定理的综合应用；2.能处理基本的边角转换问题；3.能利用特殊的三角函数值推特殊角,属于中档题