2023年二数列极限数学归纳法.pdf

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1、自学专题二函数不等式数列极限数学归纳法一 能力培养1,归纳-猜想-证明 2,转化能力 3,运算能力 4,反思能力二 问题探讨问题 1 数列。“满足4=-,q+/+4,=,，(e N*).则 4 的通项公式；(II)则-100的最小值为;an(III)设函数/(“)是1 T0 0与的最大者，则/()的最小值为.问题2已知定义在R上的函数/(x)和数列 4 满足下列条件：a=a,an=/(_I)(“=2,3,4,)，a2 H q,/(a“)一/(/T)=/4T)(=2,3,4,)，其中。为常数，人为非零常数.(I)令 瓦=a,m a“(e N*)，证明数列 是等比数列；(I I)求数列%的通项公式

2、；(H I)当 阂1时，求li m a”.n ii-r：问题3已知两点M（-1,0）,N （1,0），且点P梗M P M N ,PM P N,N M-N P成公差小于零的等差数列.（I）点P的轨迹是什么曲线？（11）若点P坐标为（工,%）,记。为与PN的夹角，求tan。.三习题探讨选择题1数歹I J 4的通项公式an=+妨,若此数列满足%a,用（“e N*）,则的取值范围是A,k 2B,左 N 2 C,kN 3 D,k 32等差数列 4,他的前项和分别为S,T,，若=丁、，则广=T.3 +1 b“2 2 几 1 2 +1 2 鹿 一1A,-B,-C,-D,-3 3一1 3 +1 3+43已知三

3、角形的三边构成等比数歹U,它们的公比为外则乡的取值范围是0 1 +君、ZV5-1 1 +6、A,(0,-)B,(,1(逐 7 1 +逐D,(2 2)4在等差数列&“中，4 第10项开始比1大，记li m ls.+S,）,则，的取值范围25 一 n是8 34 34 3A,4t 75B,t 75 25C,一t一75 5 0D.t6）项 和S“=324,且 前6项和为3 6,后6项 和 为18 0,则n=_8S“2+3 22+32 23+33-1-O-1-Z-6 62 632+36+测 li m S.9在 等 比 数 列 与 中，li m（4+4+。“）=,则的 取 值 范 围“T 8 15是.n1

4、0 一个数列 ，当n为奇数时,4=5 +1;当为偶数时,4=22.则这个数列的前项之和 S 2nl=.11等差数列 an中,S“是它的前n项和且S6 S8，则此数列的公差d 0,S 9 0 0(I I)若5=2/(4)-g(%+1),求一中的项的最大值和最小值.1 4设函数/(X)的定义域为全体实数，对于任意不相等的实数芭，超,都有|/(%)/(工2)|I再一切，且存在5,使得 f(x0)=x0,数列%中,4 劣,/(%)=2 an+i-an(n w N),求证:对于任意的自然数,有:(D ax0;(n)ax+1.参考答案：问题 1 解：q+。2 +an=,，得 S“=n2an当”之2时=S“

5、一S,i=)“一(一1)%_|,有(/-I)。，=(一1)26,_,即2=_ .%+1于 是 马=乌 马 =21.生i l=_ 2 _.又4=J.，得”“=!.q q a2 a3 anA 3 4 5 n+1 (+l)2 n(n+1)由于也适合该式，故 氏=-.(I I)-100 =2-99 =5-49.5)2-2450.25所以当=49或5 0时,1-1 00/7有最小值一2450.an(U I)因/()是,一 100与的最大者，有人)一an有 7mh,()=/=1/7(1/?100)100H(100 2时，互=4+L =/)%)/一%)=左b,i a-an_x a”一%因此，数列 4 是一个

6、公比为Z的等比数列.(U)解:由(I)知,bn=kn-bx=kn-&-q )(e N*)-knx当 W 1 时,4+%+/?=(生Q )-(2 2)当左=1 时,4+4 +=(-1)(。2 4)(2 2)而4+Z72+/7 =(4 _)+(/2)+3 an-)=an-4(2 2),有-knx当 kw 时,an-ax-(%q)-(n 2)；当 k=l-k时,一 4 二 (-1)(02-4)(2 2).以上两式对n=1时也成立，于是当左 w l时,。=4 +(生 一4)-=。+(/(。)一。)-l-k l-k当左=1 时,凡=q+(-I).4)=4+(.1)(7(十)一。).(III)解：当 a

7、n-oo _ k J k问题3解:设点P(x,y),由M(-1,O),N(1,O)得PM=-M P=(-l-x,-y),P N =-N P=(1-x,-y),MN=-N M =(2,0)有 MP MN=2(1+x),PM PN=/+2 一,NM.NP=2(1-x).于是M P M N,P M P N,N M-NP成公差小于零的等差数列等价于x2+/-l =2(1+x)+2(1-x)an x2+y2=32，即12(l-x)-2(l+x)。所以点P的轨迹是以原点为圆心,为半径的右半圆C.(II)设P(口，%)，则由点P在半圆C上知,PM-PN=K +%2-1又|PM PN|=血 +肉+方.J(i%

8、)2+%2=J(4+2x0)(4-2拓)=2-巾,PM PN 1 I-7 1得8 5。=1 n 1=/,XOxo l,l J 4-x02 2,有一 co s6 4 l,PMPN F?20 4。0,八人 恒成立,有3+左 0,得人一3,选 D.2。=2 =2 (：S 2 T =2(2 _1):2/1,选 B.b“2 b,4+%T 4+-1(2.0 n,i 3(2-1)+1 3n-l)3设三边长分别为d ag,。?,且。0,4 ()当 夕 时，由。+。夕。，得1 W 4 J +行；当0 4 Q,得心2 I ql,于是得 q 1,且佝=4 +8d 1,而l i m3+S)=t,T 8 nz 21 7

9、 3又q=，于是 ，选D.2 5 7 5 5 05由椭圆第2定义得|AF|+1 C=(%+?)+(七+亍)=2阳=2(+?),选A.J R6 由条件得4 =-4 +4 t an A,9 =-t an 8,有 t anA=2 ,t an B=3.3得 t anC=t an%(4+3)=-1 1 1(4+3)=1,于是乙4 5。为锐角三角形,选8.7 由+。2+。3+&4+。5+4 =36,a+a_ +an_2+an_3+an_4+an_5=1 8有(4 +an)+(a2+an_1)+-+(a6+a_5)=2 1 6,H P 6(q+a“)=2 1 6,得4 +a“=3 6 ,又幺上%x =32

10、4,解得=1 8.2I 8 sLe+身得！事=得十61-1-3 29由条件知，公 比 满 足。|可 1，且言=，当。4 1时，0 q(3；1 2 1 I 2当一 1 9 0时,一 q 8,得%0,/0,有d 0；S 9 V s 6；S 7是S中的最大值，选.12 解:由/(I)=q +生 +,+=,再依题意有4+an=2,即 2 q =2 又/(_ 1)=+%-a,-+。=,5 为正偶数)得d =2，代入 有=2 1.(I I)/(1)=1+3(1)2+5(1)3+.+(2K-l)(1)n,；/(；)=(1)2+3(1)3+5(；六 +(2 -1)(5田得(1 一 /(；)=J+2弓)？+2(

11、；)3 -h 2(；)(2 -1)(；)”于是/()=1 +2 (：)-2 一(2 -1)J 3.2 2 2 13 解:可得/=3/+1,g(x)=5 x ,由己知 f(an+an)g(an+lan+an2)=1,得(3。,用一2%)(/+%)=0，而a,+1+产0,有 也=，于是l imS.=y =3.a 3 5 ,3(H 也=2/(4)-g(j)=6(-)2+,1 o J4?14 3 74由 凡=(!)-,知 的 最 大值为4=三，最小值为“=氤.14证明：用数学归纳法当，=1时,q /命题成立.假设当=攵(攵 e N*)时,a*4成立，那么当=Z+1时，由|/(石)一/(9)|归-x2,得|/(%)-f(ak)|J 一|,又与)=/，有%-)|七 一|，而 见 七 一%,于是.7 0玉,一/(4)与一4，即a,/+f、(a,.)%有ak+(2q+|-%)2x0,B|J%+i%,于是当=k+1时,命题也成立.综上所述，对任意的k e N ,册 aQ.(I I)由|/(%)-/(&)|人 一与|，得|/(为)-。/|6-%I,又/(%)=X。，得 Wo-/&)|区 一 4 1，又4 4,得 区 一/(%)|/-a”，即 4,一X。玉)一 f(a)an，而 f(an)=2H，得 2H a,故 a“+i ,