2022年-专升本《高数》真题及答案解析.pdf

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1、2022年河南省普通高等专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学题号二三四五总分本卷须知：答题前：考生务必将自己的、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上本卷的试题答案必须答在答题卡上，答在卷上无效选题分析:易（8 0 分）中（5 2 分）难（1 8 分）选 择：1/2/3/4/8/9/1 1/1 3/1 4/1 5/1 8/2 0/2 2/2 3/2 4/2 5/2 6/3 0填 空：3 1/3 2/3 3/3 4/3 7/3 8/3 9计 算：4 1/4 2/4 3/4 4/4 5/4 6应用：证明：选 择：5/6/7/1 0/1 2/1 6/1 7/1 9/2 1/2 9填 空：3 5/3

2、6/4 0计 算：4 7/4 8/4 9/5 0应用：5 1证明：选择：2 7/2 8填空：计算：应用：5 2证明：5 37_一、选 择 题(每题2 分，共 6 0 分)在每题的四个备选答案中选一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑._ 11.函数y=arctan 的定义域是()xA.4,+oo)B.(-4,+oo)C.-4,0)U(0,+00)D.1-4,0)U(0，+8)2.以下函数中为偶函数的是().A.y=x2+log3(l-x)B.y=x sin xC.y=ln(/l+x+x)D.y-e3 当x-0 时，以下无穷小量中与ln(l+2 x)等价的是().A.x B.xC.

3、dD-2x2,14.设函数/(x)=sin2_,那么 x=0 是/(x)的().xA.连 续 点 B.可去间断点C.跳跃间断点I).第二类间断点5.函 数 y=4 x 在 点 x=0 处().A.极限不存在B.间 断 C.连续但不可导D.连续且可导6.设函数/(尤)=/夕(幻，其中9 (x)在x=0 处连续且夕(O)w O,那 么 0).八A.不存在 B.等于夕(0)C.存在且等于0 D.存在且等于0(0)7.假设函数y=/()可导，=,那 么 办=().A.f ex)dx B.f ex)d(ex)C./(x y jrD./(/)J/8 曲线y=L有水平渐近线的充分条件是().fix)A.li

4、m/(x)=0 B.lim/(x)=ooXT8A-00C.lim/(x)=0 D.lim/(x)=ooX f 0A.1 _ _ _ c o s y B.1-_ c o s x C./D 乙2 2 2-c o sy 2-c o sxf x+l,x 0,n 曲线/（x）=在 点（o,i）处的切线斜率是（）.1+si n x,x 0,A.0 B.1 C.2 D.31 1 方程尤3+3X+C=O （其中c 为任意实数）在 区 间（0,1）内实根最多有（）.A.4个 B.3个 C.2个 D.1个1 2 假设r（x）连续，那么以下等式正确的选项是（）.A.J f(x)dx f(x)B.fx)dx=fx)C

5、.J df(x)=/(x)D.f(x)dx=f(x)B 如果/(x)的一个原函数为x-a r c si n x,那么.A.1+1 ,+。1 +x2B.1-/+C7177C.x-a r c si a v +C D.1 +/1+CVT71 4.设 f(x)=1 ,且/(0)=l,那么J f(x)dx=().1 9A.x+C B.X+X+C2C.f+x +CD.幺+C2d 02022 o1 5.j (c o s?)力 二().d x20.在空间直角坐标系中，假设向量。与。x轴和Oz轴正向的夹角分别为4 5和6（y,那么向量a与Oy轴正向的夹角为（）.A.30 B.60 C.45 D.60。或 120

6、21.直线5 =2/=一 与 平 面2x+y=0的位置关系是（）.A.直线在平面内 B.平行 C.垂直 D.相交但不垂直22.以下方程在空间直角坐标系中表示的图形为旋转曲面的是（）.*Z 2A 一=1 B.z=x2-y23 2C.y2=x-z2 D.z 2-x2=2 y22 3.h m -=().-i,i)xy-l11A.O B.-C.-D.22 3dz dz21函 数 z=f(x,y)在点(%,%)处可微是/(x,y)在该点处两个偏导数 T f l -存在的dx oy（）.A,充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件d1 z2 5 .z =x +y +si n（孙），那么

7、 二（）.dxdyA.si n(x y)B.si n(盯)(1 +xy)C.c o sQ y)-xy si n(x y)D.-孙c o s(孙)oo 2 xn2 6 .幕级数(-1)”的和函数S(x)为 1).o nA.ex B.e2x C.e*D.2 e-2 v2 7.以下级数发散的是().8 n 3-4 n2 8 n A-g(T%+l)(+2)B-E G。T +15 ”-1 1 _ _ _ _ _C.(-1)D.乙 n=l ，3 n=l 3(2 +l)282 8 .假设级数Z（X 一 2）”在 x=0处条件收敛，那么它在x=-,x=2 ,x=3 ,x=4 ,x=5a n=0中使该级数一定收

8、敛的点有（）.A.0个 B.1个 C.2个 D.3个2 9.设 L 是 曲 线 y =/上 从 点（1,1）到（-1,-1）的一条连续曲线段，那么曲线积分(E +y -2)公+(xev+x-3 y)d y 的 值 为().L一 e -e+4 D.0I x2 2 2-x30.设/=f(x,y)dy+f(.x,y)dy,那么交换积分次序后，/可 化 为().1 2-y 2 2-xA-f(x,y)dx B.dyxl 于 5)dx1 2 1 2-x，d y0/(X，y a D (/(X，y)公二、填空题(每题2 分，共 20分)31./(%-1)=x2-X,那么/(.9 r32.设函数/(x)=(尤H

9、 0),那么/(ln 2)=r-H-x/33.如果函数/(x)在点。处可导且/(a)为/(x)的极小值，那么f a)=.34.曲线y=xe-*的拐点是.35.不定积分J,dx-_.X IX 1 J36.微分方程dL +2xy=e*满足），（o）=。的特解为.dx37.向量a=(1,-1,2)在 b=9,3,4)上的投影为.dz38.设方程xy+xz+yz=0所确定的隐函数为z=z(x,y),那 么-v=0=_ _ _ _ _.dxy=39.设积分区域D为:x2+y2 4 y,那 么 d x d y=.40.假设=%（攵0）,那 么 正 项 或 数 的 敛 散 性 为三、计 算 题（每 题 5

10、分，共 5 0 分）tanx-sinx41.求极限lim _ j ex-x=a(l-s i m)参数方程0 J _ ex J。4 5 .求微分方程2d ；v +4 dyy+3 y =Q的通解.dx-dx4 6 .求函数 z(x,y)=y 3-j?+6 x-1 2 y+1 0 的极值.f 2 x+3 y -z =54 7.求过点A (2,-3,-1)且与直线/:平行的直线方程.x+2z=14 8 .求函数z =a r c t a n A+In J d +y 2 的全微分.y4 9.计算J s i n J x2+y 2 必力，其 中。为圆环：2 f +y 2 0时的最大值，并从数列1,点 而 瓦，

11、力工.中选出最大的一项（行 正）.5 2 .过点M 3,0）作曲线y =l n （x-3）的切线，该切线与此曲线及无轴围成一平面图形D.试求平面图形。绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积.五、证 明 题（每 题 8分，共 8分）/7?n m t n -n5 3 .证明不等式：-l n 03 nQ ,所以函数在xx=。处连续，应选项B错误：因为/(0)/色-lim产=lim J_-lm6。TOXX-O 户/8,所以函数在x协 0处不可导,应选项D错误.此题选C.6.【答案】A【解析】(0)=lim 竺)=lim凶-妆)-。=而 同 叱)=1也 二 丁(刈=一谬(0),力(0)=xx-O xx-xx

12、-*0 xx xx-0 xx xx-Q xx+0-伊 3 Q)=l im 底 33。北产=lim=平 魏)，当 f f (0)=f f (0)时，口 川+xx-0 3+xx n-0+xx xx-0 xx-+-W(0)=W(0),也即卿(0)=0,1(0)存在,但网(0)*0,那么犷(0)不存在.此题选A.7.【答案】B【解析】因为y=/（uu）,所以则二/广d加.又皿二比 所以ddyy=/广（的）d峻=/（腔）肥9（血.8.【答案】B【解析】l im yy-l im一X X-*o o XXT 8那么曲线有水平渐近线.水平渐近线是计算当%令 8票的极限，故排除选项C和D；当l imf-=0时，l

13、 im 丫 e 8 不存在，那么曲线没有水平渐近X X T 8xx-oo故排除选项A；9.【答案】D当l im/诲 8=8 时,x x-*x x-00 00l imy，=0存在，那么曲线有水平渐近线.此题选B.【解析】由飒，1 C 0SX X,=1 -_ A ddxxddn 2 A1 0.【答案】B那 _ i .此题选D.=TO T=T=d d d d a,d,1*Zcos x 2 cos xxx x【解 析】(0)=l im”(M T/=l i m 旧=l i m 疝”=1x H T x i-f l n 口 即 一ff(O)=l im=X Xx x-O+XX-Ol i m -I T=lim

14、a=l,_ 因为。(0)=0 (0)=1,所以砌xx-Q+xx xx-0+xx-=/(O)=1.此题选 B.(o,i)1 1 .【答案】D【解析】令/仰)二 熄+3 x x +C,由广=3灯2+3 0,得爪刈在区间(0,1)内单调增加.那么在(0,1)内/觎次轴最多有一个交点，故方程在区间(0,1)内最多有1个实根.此题选D.1 2.【答案】A【解析】J fffxxdd=ff(n),选项 A 正确；f ff(xx)ddxx=/(x x)+C,选项 B 不正确；J ddfRxx)=x x ff(x x)+C，选项 C 不正确；d J ff(xx)ddxx=J ff(xx)ddxx d x =ff

15、(xx)ddxxf 选项 D 不正确.此题选A.1 3.【答案】C【解析】人 勺不定积分表示/蝌 8的全体原函数，由的全体原函数二/一能8 个原函数+C,xx-Q Q Q Q Q a s s s s s s;n:为勺一个原函数，得J-x x-a a a a a a s s s s s s x x+C C.此 题选C.1 4.【答案】BftWrl 由=1,彳 等/(%)=f(xx)ddxx=J 1 ddxx=x x 4-C.又f(0)=1,W C =1.故/3)=xx+l.M S么 J 1)d d x 1 xx2+C C.此题选 B.2 1 5 .【答案】B【解 析】J2022(-c o st

16、t2)ddtt=一 而r”(_期 此2曲:-c o s(s iim)2(s in%.Y)=ddxx sin x x ddxx 2022c o s(s in c o s 七题选 B.1 6 .【答案】C【解析】f12xx3een2ddxx=f1 xx2e e a22xxddxx=f1 xx2eeX3c2dd(xx2)合例叫d d t t =-J1 tt dd(ee-tl)=0 0 0 0 0一 ttee-叩-J1 eetl ddt年=-ttee-叩+J1 eetl d d te -ee-1+(-ee-)|1=-ee-1+(-ee-1)-(-1)=o o o o o1 2ee-i.此题选 C.1

17、7.【答案】DX积分r d 秋发散，选项 B 错误；J+c01 InJ+cIn=1(I n x 2|+00=+00 _ _0 xxJxx 1 xx 1 2 1存在，故广义积分/+8i|iL x g d x x发散，选项 C 错误；J+e e-5 d d x -1 f+ee-d 5 x =1 xx 3 5 -3-e-乎=1 5 存在，故广义积分产收敛，选 项 D正确.此题选D.5|萼 5 J。道1 8 .【答案】A【解析】微分方程的阶数为未知函数导数的最高阶数；未知函数及其各阶导数都是一次方为线性.微分方程可写为)+y y y y =1 的形式，故阶数为2,微分方程中出现加y ,为二次方因式，为

18、非线性.那么微分方程是二阶非线性微分方程.此题选A.1 9 .【答案】B【解析】别离变量，y y d d y s inx i d x x 1两边积分，得/y y d d y /疝浦轲x般也，/州d y价f s in n(M(s in n),1)y.2=1(iin n)2+CC,即即=(s iim)2 +C C.此题选 B.2 2 12 0 .【答案】D【解析】方向角为非零向量与三条坐标轴的夹角a,0,Y方向余弦为co s a,co s。，co s y y 且M C C S S2 a Wuccss2M+a a cc$2 y y =1,=4 5 ,y =6 0 ,计算 E,由 a s ccs s2

19、4 5 +aaccs$200+o r a2 6 0 =1,即(均2 +mccs/S/?+(1)2 =1,解得 co s/?0 =故B=6 0 或 1 2 0 .此题选 D.2 2 22 1 .【答案】B【解析】由直线的点向式方程逢归g1=32,得直线上一点(0,1,-2)及方向向量s s-=-12 3(-1,2,3)；由平面的点法式方程2 x+y=0,得平面的法向量=(2,1,0)；因为=(-1)X 2 +2 X 1 +3 X O =O,所以故直线与平面平行或直线在平面内.因为直线上的点(0,1,-2)不在平面上，所以直线与平面平行.此题选B.2 2 .【答案】C【解析】外 力 湎 上的曲线

20、7(m 二绕方轴旋转得到的旋转曲面方程为f(土 产，刈=o,绕 y 轴旋转得到的旋转曲面方程为伙y y,土立声行货0;劭 y 面上的曲线梆 科 =。绕xx轴y8=o旋转得到的旋转曲面方程为g g(xx,士 产)=0,绕y 轴旋转得到的旋转曲面方程为g g(J x*2 +y/2,y)=0；xxy y y y 面上的曲线群 由 )一 绕XX轴旋转得到的旋转曲面方程为Z ig 2 +刈2）=0,绕y y轴旋转得到的旋转曲面方程为九（.2 +y 2,a,）=o.总结为旋转曲面方程形式为一个孤立变量和另外两个变量的平方和.此题选C.2 3 .【答案】B【解析】lim&d=l=1im 国d.=lj m=：

21、.此题选B.!溷3如 耳 希 腿 ）一（e3（we 224 .【答案】A【解析】二元函数可微一定可偏导，可偏导不一定可微，那么函数y y =（不 方 以）在点（.a。，加）处可微是/螭3y 8f t该点处两个偏导数翅和飒存在的充分条件.此题选A.ddxx 前 曲2 5 .【答案】CI解 析】。龙 丝=1 +,=田 产)=co s(xxy 4-s in(xxy j ,%co s(x%y-阳x ddxxdddd ddd ddxxd秋了价山（工盯价 此题选C.2 6 .【答案】B慧 析】由e e，x=2 7.【答案】A得H*产.此 题 选B.?尊 /n g 八 3八3()3-4n2【解析】由lim-

22、l(、/八/Xf，1 5+1)(+2)选项A正确，此 题 选A.2 8 .【答案】C【解析】号/2,由n 6 a a n n（x 2）1在0处条件收敛，得级在-2级数28 数X 8处条件收敛.由阿贝尔定理得，当代|一2|,即一2 ct 2时，级数收敛；当|出|一2|,即附歙2 00一2或附解2时，级数”.。斯湛皿发散.8当 x=-l 时，tt=-3；当 x=2 时，t t =0；当 x=3 时，t t=l；当 x=4 时，tt=2；当 x=5 时，tt=3；级数在a=0，a=1处收敛，在t t=-3,a=3处发散,在片2处敛散性不能确定.=0政 级 数”。所。处2）皿在x=2,x=3处收敛，在

23、x=-l,x=5处发散，在x=4处敛散性不能确=定，收敛点有2个.此 题 选C.2 9.【答案】C【解析】P P Q x j y)=淤+y y -2,Q Q(w y y)=xxee 4-x x -3 y y,怔加=叫 得此曲线积分与路径无关，丽 X X d d x x取为从点(1,1)经过点(1,-1)到点(一1,一1)折线段上的积分,故J (ee+y y -2)ddxx 4-(%x e泗+%-d d-i-i dd 3 2-i-i-iJ i(ee+l-3 y d d y y+(e e-1-2)d d x )|i+-3)x r|i=J i=一期 2r(e e-i-1 -h-(e F 3)+(ee

24、-1-3)(-1-1)=ee-一:一 eg 11 2 i J2 十2+6=2 ee-12ee+4.止C.3 0.【答案】A【解析】画出积分区域，那么交换积分次序，得：/协r4药，2 T巧色9yg d d x x.此 题 选A.0 y J c R i二、填 空 题(每 题2分，共2 0分)3 1.【答案】x -l x x【解析】令1 =tt,那么tg F 1.由/1)=戏2 -x x,得/优：8=I)2-(t f-1=tt2+it.那么/XX)=N x萨+V x x =x x +V x x.3 2.【答案】4【解析】2xxlim百 2 x x 厂，)2 x x =eet-+8 i i =(xg。

25、0),那么/Ml n 2)=ee2 I n2=eeln2 2=4.3 3.【答案】0【解析】由函数取得极值的必要条件的推论，得如果函数外加在点Q Q处可导且似Q。)为似m的极小值，那么(aQ)=0.3 4.【答案】2,2 ee 2).【解析】由y y -x x eea9 得y y =ee-xx+x x(ee-n)=(1 x x)ee-n,y f =era+(1 -xx)(ee-n)=(x x -2)旷三令y=0,得r =2.当灯 2时，成 2时，/0.故曲线y y =x x eL】的拐点为2,2 ee-2).-3 5.【答案】I n铲E +C Clim (1 +t H-K o【解析】令%=s

26、ect t,那么出x 二 s ect t t ant t此 ddx=/用+s ect W an 的出=J co t t 令ldt/加 ln|s ins ec埼gin 9 2 T +Q QX X3 6.【答案】y y j Yx eeT【解析】微分方程的通解为y y =ee-12 u d nJeel2xxda ee2d x x +C C =ee2/M .旷打2 d H +C C:er n2(/lt a+C C)=er 2(nK C),由 则=0,解得C C=0,故所求特解为y y =x煦3 7.【答案】1【解析】浓让的投影为1T1X0+(-1)X3+2X4 _0），所以苫 与 苫，具有相同的敛散性

27、由；TT8 T O O1nOO发散，得Z%发散.n=三、计 算 题（每 题5分，共5 0分）4 1.【答案】I 解析lim lanM3s in;a=H m 1 alm(1-0 sMXXT O ee、8 x 0 -14 2 .【答案】s s c s d d t ttt飒,s i【解析四 血=皿=s =-t ant t,limt an 设.l-cos=lim n :x x-0 X XX2 XX-QXC XX2 2-=tseeat.ddxx 如 T 8械costddxx2 ddxx3 T，tt如 一co s t4 3 .答案2(立-切 1 -l)eev 3 +C C 【解析】令V x x +l=t

28、t,那么x x=2-i,ddxx=2ttt.Jee：x1ddxx=f eeu-2ttddtt=2ftt=2tteelt-2 f eeu ddtt-2tteeu-2eeu+CC=2(V%x +1 -l)ee“8 i +CC.4 4 .答案7-/,黑【解析】lim n x x t t2x x-0 l-ee*2r史施eJg x x-0XI r 8 M也eo-XX2=-lim =lim 史 ix x-0 xx x x-04 5 .【答案】y妗其中C，任意常数1 2 2 2 1 2【解析】由2/：+4姻+3 y y =0,得y+2 y y+?”=0.微分方程的特 征 方 程 为 治+2A +=d d x

29、x d d xx 2 20,解得羌I =-1e-(C C故微分方程的通解为yycos 其中 CC1,2为任意常数.46.【答案】3 5【解析】令夕氏2xx+6 =0,一、，解得驻点为(3,2),(3,一2).”y/dd=3肘2-12=0,-2,)y=,p，州=6yy,xxxxxxdddddd21 2221 2当&,例=(3,2)时，M =/皿(3,2)=-2,B B=y f向心2)=0,CC=硼(3,2)=12,酗=AACC-BB2=-2X12-02=_ 2 4 0且44=-2 0,得点(3,2)是函数的极大值点，极大值为第(3,2)=35.47 答窠xx2=任/3 _6 -5 3【解析】因为

30、所求直线与直线L：孰 舲 ,给 5,平行，所以所求直线的方向向量为ssf=。双+2yy=1,r r,3 _1。=6 7-5 一3=(6,-5,-3).又因为直线过点44(2,3,-1),所以所求直线方程为1 0 2xx-2 _5 4 8.【答案】ddyy=-ddxx_ddyy“X+y y xx2+yxx2+y2 2 解 析 阴 zz _ 1 1-I _ I d d n 漫 d d d u 1 x x1+(才2%8 +d d 2 2+id 2xx=x x 2+d d 2+x x 2+d d 2=x x 2+d d 2,g d d 1+(2,(一 d d 2)+1,1+山=好 也，故函数的全微分为

31、血ye脑线 d x g 须叫8=0 r2+d d2 2a 2+曲2 xx2idd2 xx2idd2 xx2+d d2 d d xx d d d d端 艇 依 gxx+d xx2+dd2 _4 9.【答案】一 6口2 v 解析令 嫉 给 舜 ，6.5 r2Tt,O0 o o t t i m n n-o o-n n-o o 吁 0 2 P、1 2 w 8以当一1 秋-2 1 时，即1 X X 3,原级数收敛.当戏=1时，一.调不增且lim _=“(-I)8 8 10由莱布尼茨判别法知级数X丁 收敛；当。=3 时，y-=y.由P螭 0,得戕卸=督X i_|nxx 令。(用二0,得唯一驻点X 比,当

32、0 xx 0；当以 丁 时,f(x x)V 4.V s s .又丁 2 7 3,掖狗是止E 数列中最大的一项.25 2.【答案】2TT-e【解析】设切线与曲线的切点为M M o 傲o,3),(画图)战以绕=讨|*%=那么切线1 ,XXQ3ln(zxo方程为l n(x g -X 1 0 8-为就由切线方程过点M(3,0),得0 -皿 通 户 寸(3 -xx),解得双=e e +3,故切线方程为yy=-3).故所求旋转体体积为0 0 1寸 2J4 ln(xx-3)d xxx%-3=.ee 一n t领nee+2n eeUM1d/TIn t瑜-3的 一F 2 n(t8 1 n -八 1 dt瑜=-3TO F 2 n e -(e -1)=2TT五、证 明 题(每 题 8分，共 8分)5 3.【答案】见解析 _ _ _ _ _【解析】设 Qx)=bi n,3幽/(xr)=11 力(划在 ss,nun 上应用拉格朗日中值定理,得：3 (ss.m),使得S H 3=前淅“二丁因为鼠 E m,所以1 1 1,即 1-1 mm-砒 2m m？-n n&廊 mm mmm-nnL 故 也 绘l n小 gln mm-nn,即 加 叫%ln m%mm-nn