2023届新高考数学真题解析几何讲义第17讲定值问题.pdf

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1、2023届新高考数学真题解析几何专题讲义第17讲 定值问题方法综述解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确，定的值，求定值问题常见的解题模板有两种：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.类型一与面积有关的定值问题【例1】已知椭圆C:二+1过点/(2,0),8(0,1)两点.a b(I)求椭圆。的方程及离心率；(1 1)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线尸N与y轴 交 于 点 直 线 尸8与x轴交于

2、点N,求证：四边形/3 N M的面积为定值.解：(1)由题意得，a=2,6=1.所以椭圆。的方程为二+/=i.4又=A/(72-b2=所以离心率e=-=.a 2(2)设 尸(%,%)(%0,%0),则 X；+4*=4,又 4(2,0),8(0,1)，二直线 PA 的方程为 y=-(x-2).xn-2令 安。，得犷言 ；即 卜 f+碧.直线PB的方程为=为二1+1.令y=0,得从而|/N|=2-x1,=2+X。y0-1 -所以四边形/8 M 0的面积S=士）（1+鼻）y0-1%-2；|叫 渺叫=：(2+=苍+4y 0,-V 2 t CS +S 广 g(4 +d2)EF(t+1|+1?-,当 1

3、/血 时，&+S?=2/V 2-t2=2V 2?-Z4 I (0,1)；当-1 1 时，S,+52=27 2-t2 I 2,27 2；当-亚/b0）的长轴长为4,焦距为2 V La b（I）求椭圆。的方程；（I I）过动点M（0,加）（加0）的直线交x 轴与点N,交 C于点4尸（尸在第一象限），且M 是线段P N的中点.过点尸作x 轴的垂线交C于另一点0,延长线。M 交C于点反（i）设直线PM,0 M的斜率分别为4,X,证明身为定值.k（ii）求直线的斜率的最小值.解：（1）设椭圆的半焦距为c,由题意知2=4.2c=2V 2,：.a=2,b=la2-c2=也.椭圆c的方程为片+片=1.4 2（

4、2）（i）设尸（工 0，%）（%。，%0），由（0,加），可得尸（工 0,2加）,。（,-2掰）5.直线尸W的 斜 率 左=由=，直线0 的斜率左仁-2 m-m=-X。X。x0 x0此 时 能二?为定值-3.一 3 ，(i i)设Z(X,切入例%，乃)，直线产力的方程为二kx +m ,直线。4的方程为丁=-3kx +m ,!y-kx+mx2 y2 _ 整理得(2公+1)/+4 加&+2 m2-4=0.由 /玉=I +=1I 4 2。可得2 m2 4(2k2+l)x0必二处十加二2尸2)+”(2k2+l)x0同理:2(7 7 12-2)-6 4(阳2 -2)+(18/+)x。%一 (18/+1)

5、为 2(w i2-2)2(w2-2)_ -32k2(m2-2)(18/2+O x。(2k2+l)x0-(18&2+1)(2/+1)/一6零2a L 2)一 ，=二的空+=-2),.阴+_ L)(18/+1居(2k1+l)x0(18 F+1)(2/+1)/x2-x,4k 4 k由加0,x 0 0,可 知%0,6k+-3 2娓,当且仅当=逅时取等号.此时 土 一=逅k 6 V 4-8 w2 6即?=恒，符合题意.所以直线Z8的斜率的最小值为逅.72【方法归纳】本题利用a,A c,e的关系，确定椭圆(圆锥曲线)方程是基础，通过联立直线方程与椭圆(圆锥曲线)方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系

6、，得到参数的解析式或方程是关键，易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出.【例3】如图，椭圆E：0+-=l(a b 0)经过点4(0,-1),且离心率为先.a b 2(I)求椭圆E的方程；(I I)经过点(1,1),且斜率为左的直线与椭圆E交于不同两点尸,。(均异于点/),证明：直线“尸与/。的斜率之和为2.解：(I)由 题 意 知 =变 力=1,又/=/+/,.”=，.椭圆的方程为反+2a 2 2(I I)由题设知直线P。的方程为y=M x-1)+1(8 2),代入+/=i,得(1+2k2)x2-4k(k-l)x+2k(k-2)=0,由已知 A0,设尸(冷凹),。(9,三)，王马1，6.

7、，.x,+x2=：，9田 2 =2誓婷，直线4 P与AQ的斜率之和为.y,+1 y?+1 kx、+2-k kx)+2-k .x z 1 1、kA P+kA Q=+二 -二 条+(2-%)(一+)%1 x2 X)x2 X j x2=2k+(2-k)%&=2k+(2-左严6-D=2k-2(k-1)=2.即直线/尸与4 0的斜率之和为2.xx2 2k(k-2)【方法归纳】定值问题的处理常见的方法：(1)通过考查极端位置，探 索 出“定值”是多少，然后再进行一般性的证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形形式，证明该式是恒定的，如果以客观题形式出现，特殊方法往往比较快速奏效；(2)进行一

8、般计算推理求出其结果.【例 4】如图，在平面直角坐标系x oy 中，椭圆耳=l(a b 0)的右顶点和a b-3.上顶点分别为4 8,M 为线段，8的中点，且。0必8=2(1)求椭圆的离心率；(2)若。=2,四边形4CD内接于椭圆，且/8 )C.记直线的斜率分别为匕,内，求证：占次为定值.解：(1)由题意，45,0),8(0,6),由M 为线段N8的中点得：.O M=(p 1),A B=(-a,6).因 为 曲 必 至=-3 ，所以b)=-4+Q=-空，整理得/=4/，即。=2 6.2 2 2 2 2 2因 为/=/+。2,所以3 a 2 =4，即2 c.所以椭圆的离心率e=且.a 2丫 21

9、(2)证明：由。=2 得 6=1,故椭圆方程为了+/=1.从而4(2,0),8(0,1),直 线 的 斜 率 为v-2 1设 C(x。,%),则 点+需=1.因为/8 O C,故 CD的方程为y=-1(x-%)+”.尸 -(x-x0)+盟联立方程组j,，消去y,得/-(%+2.%)x +=0,解得x=/或 =2 y o.所以点。的坐标为(2%,g x).I所以尢居=-山-即尢沟为定值.-2%-2 /4 -4【例 5】已知椭圆+4=l(a b 0)的焦距为2,离 心 率 为 巫，右顶点为.a IT 2(1)求该椭圆的方程;7（2）过点。（-忘，点）作直线尸0 交椭圆于两个不同点产，。，求证：直线

10、1 尸，40 的斜率之和为定值.解：（1）由题意可知2c=2D八又e a 3 P K，所 以 椭 圆 方 程 为 夺 L（2）由题意得，当直线尸0 的斜率不存在时，不符合题意；当直线尸。的斜率存在时，设直线尸0 的方程为y+亚=在（%-应），即y=kx-6 k-五,ly=kx-J2k-41由1 tQ+2*)/-4 应 第+公x+4*+8在+2=0.因为直线与椭圆交于两点，故其D =-4 8A+1）O D k -g,、m u 4/2 (A2+A)4A2+Sk+2 T 7,广 人、设 Pd,%),。a 2 ,%)，则*1+=-+、/,为=-j 点 又4(后，0)所以_ J _ y2 _ k&-亚)

11、-6_ kG-&)-五.&、+x 4 _“xx在匕+升 2即直线A P,A Q 的斜率之和为定值1.x2 V2 1【变式训练2】已知椭圆C：q+5=&b 0）的离心率为上,a b 2以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线V7x-V5y+12=0 相切.（1）求椭圆。的方程；（2）设/94,0）,过点（3,0）作与x轴不重合的直线/交椭圆C于 0，0 两点，连接/P,4。分别交直线x=与 于 ，N 两点，若直线M 的斜率分别为4,勾，试问：4党 是否为定值？若是，求出该定值,若不是，请说明理由.C _ 1a 2|a=4 ,【解析】(1)由题意得j =b D 2 6 P +=严e 2 16

12、12电=甘+1（2）设 2d,y2）,月仇，乃），直线P Q 的方程为*二my+3 ,由!x正2 十y五r _一 lx=m y+3Qm 2+4)/+1 8/7 7 y-2 1=0,所以外 +%二-18m 二 -2 13 m 2 +4 3/z/2+4由力，P,M三点共线可知为16+4 为+432 8%3 d+4)同理可得行缶选 二3A-9九八16 _ 4 9一 3316 y l y 2%+4)%+4)8,/%+4)%+4)=伪匕+7)fey2+7)=m 2yty2+Im(y,+y2)+4 9,，&k广-竽-=-.m%+7m 解+y2)+49 7【变式训练3 .如图，椭圆G：+5=l(a b 0)

13、和圆C2：x?+y2=b2,已知椭圆 过点(1,日),焦距为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)椭圆G 的下顶点为E,过坐标原点。且与坐标轴不重合的任意直线/与圆相交于点4 8 ,直线EA,EB与椭圆G 的另一个交点分别是点P,M.设/W 的斜率为4,直线/斜率为匕，求殳的值.解：(I)解 法 1：将点(1,1)代入方程，解方程组，求得椭圆q 的方程为工+/=1.2,2解法2：由椭圆定义的2 a=2近，.椭圆G 的方程为与+/=L(2)由题意可知直线PE,板的斜率存在且不为0,2L=4kCL 1 1 rk+/=1 ,曰 J 2k2 +1 AP E.y-kx 1 ,由12。得 t,或 1ii y=

14、7k x-.ii v=2k-y1!2k2+1用 去 代.左，得忖(辞,。)，则冗=*=1K K Z.K Z.|二 2k,|x2+/=1 fV k2+I X=0.2k由 士 得 士,或 i,.A(I y=kx-1|_ k2-I 1 k+1r k2+1则&=心，=*，所以,=|.【变式训练4】如图，M 是抛物线V=x 上的一点，为定点，证明：直线E的斜率为定值.【证明】设“(4,”)，直线A/E的斜率为左(左0),PE1EM,不妨设直线P E 的斜率为左伏0),则=0,:.尸(-产;=-1 2k2+1 2k2+1E-I3 k，3)/+r动弦M E,M F分别交x 轴于4 8 两点，且.若M则直线板

15、的斜率为-左，y.,直线Affi的方程为歹-y0=k(x 需).联立亚一为 a-诉)消去X,得t y=x解 得 丹=匚 卢，.4=兴同理，孙k k如 o _ 1+.0 2.h =孙 _ k-k _ k“xE-XF(1-ky0)2 _(1+kyu)2-4何k2 k2 k2类型三:7(i-机 产。.=1+仪).=(1+如。尸-k 巨 k2,(定值).二直线E F 的斜率为定值.%)2%与长度有关的定值问题9与长度有关的定值问题包括线段长度（弦长）为定值，或两线段长度之积为定值，或两线段对应数量积为定值等.【例 1】已知椭圆4=1色 b 0）的 离 心 率 为 亚，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角

16、形面积为2.a2 tr 2（1）求椭圆。的方程；（2）已知直线y=k（x-l）0f 0）与椭圆C交于/,8 两点，且与x 轴，y 轴交于M，两点.（I）若，=TN,求*的值；（II）若点0 的坐标为己,0）,求证：至了加为定值；4解：（1）4+4=l（a b 0）满足 a?=b2+又 e=，:.a2=2?P 甘=a2 If 2又椭圆C 的顶点与其两个焦点构成的三角形的面积为2,即,仓协2c=2,即 bc=2P 6 d=42以上各式联立解得/=4,厅=2,.椭 圆 方 程 为 工+二=1.4 2（2）（I）直线y=AG-1）与 x 轴交点为M （1,0）,与 y 轴交点为N。，）,联立1）p Q

17、+2*）/_ 4*x+2*-4=0次 +2/=4AD16A4-40+2 2)(2*4)=24+16 0.,4公设力优，）,8，/2），则占+巧=+2.又 M B=(x2-lty2),AN=(为，-4-%)由 了=而 得 七+=/亏=1 ,解得k=I 2 1+2*2由 k OP k=24公(II)由 上 可 知+X=-,占次2二12 1+2A2 1 2_ _ _ 7 7所以 6M X)B=U j-)=%一二 U j-1)生一()十 川%-1)CY2-1)h c、/7 A、4A2 49=Q+(-*)-+*+4 1+2*162炉4+2k4-4 k1-7 2 一 4 +2 +2A22*-41+2A2

18、2-1)+.1+2k2-8*-4 49 151+2k2 16 16 1649+1610所以，万 万 列 为 定 值-.16【例 2】已知椭圆:=+4=1 伍 b 0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P（K 一）在a h2椭圆E上.（1）求椭圆后的方程；（I I）设不过原点。且斜率为；的直线/与椭圆E交于不同的两点4 8 ,线段A B的中点为M,直线。必 与椭圆E交于 C,D,证明：|跖MB=MC 桐 D|.2 2 12解:由 已 知，“=2b.又椭圆+专=l（a 0）过点P G 反,，.亲+今=1，解得。=1，所以椭圆2E的方程为工+/=1.4（2）设直线/的方程为y=m（加

19、 0）,“（国,必）,8（乙,%）|y+/=1由方程组I 4 得/+2a+2机2-2=0,1=-x+m由 =4(2-a/)0 得-逝 w M 点的坐标为(-zn,-y),K+/=i 五直线O”的方程为歹=-X,由方程组J 4 得 C(-加,汁),。(五2 b=4x 2所以|M C|根。|=虚)专(应 +m)=*(2-m2).1 19 1 C 5 C又MB=-AB=-(x,-x2)2+(必-为 =(+x2)2-4XX24 4 lo=4w2-4(2/-2)=-(2-m2).16 4所以|初4 聚|皿,【方法归纳】在涉及到直线与椭圆（圆锥曲线）的交点问题时，一般都设交点坐标为（士,必）,（乙,力），

20、同时把直线方程与椭圆方程联立，消元后，可得再+x2,xtx2,再把用X,%表示出来，并代入刚才的玉+x2,xx2,这种方法是解析几何中的“设而不求”法.可减少计算量，简化解题过程.y2 _ 例 3已知椭圆E:l（a h 0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线/:=-x+3与椭圆有且只有一个公共点7.（1 ）求椭圆E的方程及点7 的坐标;11(I I)设0是坐标原点，直线/加07,与椭圆交于不同的两点43,且与直线/交于点P.证明：存在常数4,使得|尸刀2=尸榨并求使的值.解：(I)由已知，a2+a2=(2 c)2.即=缶，所 以 =扬S22三+匕=12b2 b2 得 3 f

21、-1 2 x+(1 8-2/)=0.y=-x+3,则椭圆E的方程为+仁=1.方程的判别式为I Z%/-3),由A=0,得b2=3,此时方程的解为x=2,1x+m,2-x+3,所以椭圆E 的方程为+仁=1 点7坐标为(2,1).6 31|y =(II)由已知可设直线性的方程为y=a S/0),由方程组ly=1 二 2-可得1?所以P点坐标为(2-也，1+网),：.PT f-m2.卜1+与.3 3 91+以1,设 点 的 坐 标 分 别 为/(,)，BN，%).由方程组:6 3 可得3 x 2+4 w x+(4/-1 2)=0.卜=-x+m,方程的判别式为=1 6(9-2m2)由(),得-3f m

22、 0）相 交 于 两 点.设A（xi,yi）,B（x2,y2）.（1）求证：,必为定值；（2）是否存在平行于夕轴的定直线被以ZC为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线方程和弦长,如果不存在，说明理由.解：（1）（解 法 1）当直线N 8垂直于x 轴时，必=应 0,%=-&P，因此切力=-2 p 2 （定值）；当 直 线 不垂直于X 轴时，设 直 线 的 方 程 为 夕=%（x-p）,由：*一 力 得 O 2 p y-2 P 2 4=0,I 夕=2 p x必必=-2 p 2 ,因此乂力=-2 P 2 为定值；（解法2）设直线AB的方程为叩=x-p ,由护：V 得/-2 p my-2 P

23、 2 =0 ,必必=-2p 2,因此1 N=2Pxy,y2=-2 P 2 为定值；（2）设存在直线/:x=。满足条件，则/C的中点E（土 产,/）,二A C=依-p F+婷.以4 c为直径的圆的半径r=A C ；J（X1 _ p）2 +y：=+p 2 ,点E 到直线x=a 的距离 d=；0-a所以所截弦长为：2y J r2-d =+P2）a）2=xi +P2 （xt+P 2 a）2=J-2 x 4p-2 a）+4a p-4a?,当p-2 a=0即a=时，弦长J 4 P 4-4 4二夕为定值，此时直线方程为x=g【例 5】如图，曲线 是以原点。为中心、耳,居为焦点的椭圆的“八一部分，曲线G 是以

24、。为顶点、工为焦点的抛物线的一部分，/是 /-碎A曲线G 和 C 2 的交点且D/凡丹为钝角，若 用=，|/周=2._/.（/.-L 部 7（I）求曲线G 和G 的方程；N n（H）过工作一条与x 轴不垂直的直线，分别与曲线G，依次交于 8,C,O,E四点，若 G为 8 中点、H 为B E 中点、,问 用 是 否 为 定 值？若是求出定值；若不是说明理由.13 2 7 s（I）解法一：设椭圆方程为+方=1,则 24=|/用+|/月 卜 j=6,得“=3.设 4（苍历,耳（-。,0）,8（。,0），则（x+c）2+y2=（1）2,（x-c）2+/=（1）2,两式相减得x c=；,由抛物线定义可知

25、|力6|=x+c=则c=l,x=；或 x=l,c=；（舍去），所以椭圆G 方程为1+f=1,抛物线。2方程为/=4x.解法二：过耳作垂直于X轴的直线=-C,即抛物线的准线，作 垂 直 于 该 准 线，作/轴于，则由抛物线的定义得|4周=AH,所以|/M|=耳 一年必=J 所1 训 2 =JM用2-=娓,；，得闺|=2,所以c=1,b2-a2-c2-S（2 M+M=g+|=因而椭圆G 方 程 为:+（=6,得a3.）1抛物线G 方程为/=4%.（n）设 8（西,乂）,区,外）,。（工,必）,久 4，乂）把直线产秽+%=-T T o F得（8+泌2）2 +16-64公=0,T 同理，将直线y 二Z

26、（X 1）代入/=4x|64kz得划2 -4y-4氏=0,产 4-晨-4忸E|如 用 _ 也-闵 Q 回+I/（必-%A/乃+乂 A _/（必+%）2-4%乂 （%+”）2 g l I闾|力-川 斗|+力|V（X+8）2 （必-%f V（必+%）2（%+乂 -4%乂16k 2 +4 641 4 28+9k2 8+9k2 x B（64K y （3）2+16（8+9 6 k3 为定值.【变式训练1】已知动圆4 过定点尸6 百，0）且 与 圆 内：/+/-2拒x-3=0 相切，记动圆圆心0 的轨迹为曲线C.（1）求。的方程；（2）设 4 Q,0）,8（0,1）,尸为C上一点，户不在坐标轴上，直 线

27、与 y 轴交于点必，直线P 6 与 x 轴交于点N,求证：|/N|*8 A/|为定值.14解：(1)圆。2的圆心为。L o),半径为4,尸在圆生内，故圆。|与。2相内切.设圆0 的半径为r,则|01广卜r,。内 卜4-r,从而|0 J|+卜4,因为|尸0/2 白 2+=心2+4靖+4*跖-8儿-4%+4 七+2 y0-1 xoyo-2 ya-xa+2=产 丁 8y-4x0+8 卜 4Vo-2%-+2综上，AN ABM 卜4【变式训练2】在平面直角坐标系皿y 中，F 是抛物线C:i=2分(p 0)的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过,尸,0 三点的圆的圆心为。，点。到抛物线。的

28、准线的距离为三，过定点。(0,p)作直线一4与抛物线C 相交于4 3 两点.(1)求抛物线C 的方程；(2)若点N 是点。关于坐标原点。的对称点，求 A4N8面积的最小值；(3)是否存在垂直于y 轴的直线/,使得/被以为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出/的方程；若不存在，说明理由.解：(1)抛物线C：/=2中 3 0)的焦点为厂(0,4,圆心。在线段。尸的垂直平分线y=2 上，2 4因为抛物线C 的准线方程为y=-K,所 以 些=31 p=,所以抛物线。的方程为/=2几2 4 4(2)依题意可知点川(0,-1),设4 优,名)8 t，巴)，设直线力的方程为y 二Ax+1 ,联立2y D

29、x2-2kx-2=0,故有 X +/=2左，七 彳 2 二 一 2，y=kx+1 1 2 1 2百 m=多 时+S1M=|x 占 卜2 m+2,当k 0 时，A/WB的面积有最小值(心g)而 =2近.(3)假设满足条件的直线/存在，其方程为y=a,则以力。为直径的圆的方程为(X-0)(x-x,)-(r-p)(y-匕)=0,将直线方程y=a,p=1代入可得炉-xxx(a-l)fe-%)=0,D=x-4fe-1)0?-%)=4fo-；)%+a(i-a),设直线/与以/为直径的圆的焦点为产区,石)Q U4,y4),则有 狗 卜|巧一编 台 小 4(一 ；)%+a(l-a)=2 G ,%+a(J-a)

30、.15令a-=0,即 a=1 时，伊0 卜1为定值；则直线方程为y=L.2 2 2【变式训练3】在直角坐标系北沙中，曲线y=x2+m x-2与x 轴交于4 8 两点，点C 的坐标为g,D.当相变化时，解答下列问题：(1)能否出现“C L8 c 的情况？说明理由；(2)证明过4 8,C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.驷 0解：(1)令 力%，0),方优，)，()，4,而为/+/x-2=0 的根+巧=-勿，假设4 c B C成立，所以巧=-2TCSBC=0,7 C=卜4，1),丽=x2,1),所以彳？苑=+1 1 0,故假设不成立；(2)设圆与y 轴的交点为C(0,1),(0,%),设圆的方

31、程为/+/+Dx+Ey+F=0,令y=0得/+x+尸=0 的根为，所以D=m ,F=-2,又点C 在圆上，所以=1,故/+广 2=0,得到y=l 或 y=-2 是，所以“=-2,所以在y 轴上的弦长为3,是定值.【方法归纳】直线与圆综合问题的常见类型及解题策略：处理直线与圆的弦长问题时多用几何法即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形.代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：AB V小+上|x,-J1+一 4；圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题.【变式训练4】已知椭圆C：5+与=1(a b 0)的 离 心 率 为 且，A(a,0),8(0,6),0(0,0)

32、,A O/8的a b 2面积为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 的椭圆C上一点，直线PN与y 轴交于点/，直线P8与x 轴交于点N.求证：|4N|忸 为 定值.解：(1)由题意得,c 也a b=1,解得 a=2,6=12a2=b2+c2,r2所以椭圆C 的方程为土+/=1.4.(2)住 I(1)知，/(2,0),8(0,1),设尸(%,%),贝 ljx：+4y：=4.当毛片0时，直线尸4 的方程为夕=2 4(x-2).令x=0,得 加=一 且.从 而 忸-%|=1+0”%-2 x0-2 x0-2直线尸B 的方程为y=5x+l.令y=0,得.从而恒时=|2-赤|=2+上.x 0%-116所

33、以卜忸闾=2+.1 +=焉+4)，；+4%-4/_8%+4=4%-4%-8%+8=4.%)一”I x_2|xoyo-x0-2 0+2 x。%-4 -2%+2当x0=0时,y0=-l,BM=2,AN=2,所以M M忸M|=4.综上，MM 忸 根为定值.类型四：与角度有关的定值问题【例1】已知4,4.8是 椭 圆 +耳=1（60）的 顶 点（如图），直线/与椭圆交于异于顶点的P,0两点，且a b/4 8 .若椭圆的离心率是等，且I4例=75.（1）求此椭圆的方程；（2）设直线4 P和直线8。的倾斜角分别为a,尸.试判断a+尸是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由.解：（1）依题意有a*2*

34、+b2=5-0,，tan(a+夕)=0.又a挝(0,),力(y,),:.a+3=兀，为定值.【变式训练】已知椭圆C：W+=l（a b 0）的焦点为百,工，尸是椭圆上任意一点，若以坐标原点为圆心,a b椭圆短轴长为直径的圆经过椭圆的焦点，且AP片乙的周长为4+2夜.（I）求椭圆。的方程；4（n）设 直 线 的/是 圆 丁=上动点6%,%）（天幽 0）处的切线，/与椭圆C交于不同的两点。,R,证明：D0OH的大小为定值.J T答案：QQOR=y.厂 .时=4=且，由2=1a 22，椭圆的方程为三+/41.(2)V J,(-2,0),4(2,0),5(0,1),且阳8=-！，V 1/A.B,22二设

35、d：y=-gx+/.P a，%）,。%,%），则由产+六1I 4 得2x2-4及+4-4=0,二|x,+x2=2/=2t2 2*.*tancr+tan 夕=一 +久-工1 +2 x21一 x+2 1%+2 Xj+t-12 2X?不/+Mx+/)区+x,+2(L 1)-2a+2)+-2 t2+2+2t2-2t+2t 2x2(x+2)jr jr17类型五：其他有关定值问题【例 1】已知抛物线E:/=2 p x(p 0),直线x=叼+3 与 E交于/,8两点，且 方 幻 5=6,其中O为坐标原点.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点C的坐标为(-3,0),记直线。、C B 的斜率分别为匕，k2,证明

36、：4+J-2加为定值.,左 2解：(1)设 3，%),8(,力)，联立方程组t 广=21,消元得2Pm y-6p=0 ,W*%=2f?，?x=m y+3 ，乂$2 =一 6 p乂 OA /OB 演 乙 +弘y 2=（；）+必，=9-6/2 6,所以 p =,从而 x.4 P2（2）k=为 一,k2=）；2=上一，=加 +=w +,因 止 匕X 1+3 m y+6 x2+3 m y2+6 k y k2 y2+上 一 2加2=（？+9）2+（”+9）2_ 2m 2=2m2+12m（+）+36（g-2m2k：左 2 乂 y2 M y2%必=2m2+12w T+%乂为?6 4 必+%）：-2%乎22m

37、2 又M +/=2Pm =m ,yty2-6p-3,所以二+二*-2m2-2m2+12m +36k,k,2 3 -2m2-2 4.即口+2/为定值.9 k：k；【例 2】已知抛物线C:/=2p x(p 0)经过点尸(1,2).过点。(0,1)的直线/与抛物线C有两个不同的交点4,8,且直线P 4 交y轴于，直线？8 交y轴于N.(I )求直线/的斜率的取值范围：(II)设。为原点，由=至=,求证：为定值.解：(1 )因 为 抛 物 线/=2P x经过点尸(1,2).所以4=2 p,解得p=2,所以抛物线的方程为/=4x.由题意可知直线/的斜率存在且不为0,设直线/的方程为y=自+1(父 0).

38、由 f -4 X 得Mx?+(2k-4)x+1=0.依题意 A=(2k-4)2-4k2 0 ,解得A X 0或 0 k b 0)的右焦点到直线x-y+3 0=0 的距离为5,且椭圆C的一个长轴a h端点与一个短轴端点间的距离为Ji U.（1）求椭圆c的标准方程；（2）给出定点0（5叵,0）,对于椭圆C的任意一条过。的弦/8,可+是 否 为 定 值？若是，求出该定值,63 r QB若不是，请说明理由.l|c +3 月 解：（1）依题意可知右焦点（c,0）到直线工-y+3 0=0 的距离d=-j=-=5 ,A c =2V 2,/.a2-Z 2=8,又 J q2 +8=V 10,即 a2+Z?2=1

39、0,9 椭圆的方程为工+/91.（2）当直线4 8 与x 轴重合时,1 .11-+-=-+幽 2(述+3)251-二 10.-3)2当直线48 与x 轴不重合时，设 4a，必）,6（,了 2），设直线48 的方程为x 二 叩 十6忑 联立方程组-+/9x=m y +二 1消去x 得(加 2 +9)y2+与 丝 厂 =0,.)6V 5 5忑M+y212m限/+9)95(m2+9)同理-=-幽2（m 2+以19/?_)2+18._ J _+1 _ 1 1 (必+%-2乂8-瓜/+9)5(/2+9),.3(m2+l)y：(/n2+1)7 2(/+1)凹2 2+_9 _ _ 25(川+9)综上所述，石

40、+百为定值10.3 1|。叫20第 18讲范围与最值问题一、问题综述圆锥曲线中的目标取值范围与最值问题，实质是探求运动变化中的特殊值或临界值，可以与函数、不等式等知识相结合。通常有两类：一类是有关角度、长度或面积的最值或取值范围问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值或取值范围问题。二、典例分析类 型1：化折为直-圆锥曲线的定义转化法【例1】抛物线_/=4 x上一点尸到直线x =-l的距离与到点。（2,2）的距离之差的最大值为（）A.3 B.6 C.5 I）.也【解析】如图作出抛物线炉=4x,点/为抛物线的焦点，直线x =-l为抛物线的准线，过点尸作PD垂直于直线x =-l,垂足为点/,由抛

41、物线的定义知尸/=尸尸，则点P到直线x =-l的距离与到点0（2,2）的距离之差PF-PQ当尸、0、F三点共线时，由三角形三边之间的关系可知，P F-P Q /3当6 =6时，代入32+4芯+2/-2 =0中得切点坐标为（-之叵,且），此时3 3dm in=-当b=时，代入3/+4bx+2/-2 =0 中得切点坐标为(手，-乎)，此 时 人 =乎解法2 参数法 设椭圆5 +丁=1上的点尸(四(；05碗间，0 4 0,2 万)，则点P 到直线计少+2 6=0 的距离IV2 cos 6-sin 0+2731 椁 cos(6+e)+2 悔 娓 Gd=-=-(其中 cos*=,sin 夕=)V2V2

42、3 3当 cos(6+0)=l 时，得 cosd=cos(2e r-s)=坐，即点(2/,-弓)，此时 4 但=当cos(6+s)=-l 时，Wcos0=cos2kn+7 t-(p=-,即点(一 ,乎)，此时心1=【方法总结】1.切线法第 一 步 设出与这条直线平行的圆锥曲线的切线y=fcv+b,第 二 步 切线方程y=+b 与曲线方程联立，消元得到一个一元二次方程，且 =(),求出b 的值，即可求出切线方程；第 三 步 两平行线间的距离就是所求的最值，切点就是曲线上去的最值时的点.2.参数法第 一 步 根据曲线方程的特点，用适当的参数表示曲线上点的坐标；第二步将目标函数表示成关于参数的函数：

43、第 三 步 把所求的最值归结为求解关于这个参数的函数的最值的方法.,点I 2 41=x-2【例 3】如图，已知抛物线Y=y直线/P 的垂线，垂足为。(I)求直线XP斜率的取值范围;(II)求|/卜归。|的最大值.X2【解析】(I)设直线Z P 的斜率为上，则 k=X 4-2因为所以直线工尸斜率的取值范围是(-1,1)。（n）联立直线4P与 8。的方程得，,1 ,1 八kx-y +k+=O,2 49 3x +ky-k-=0,解得点Q的横坐标是&=因 为 以|=仍留=J 1 +*(X +；)=J 1 +公(+1)所以|尸叶|尸例=_(4 _ 1)(4 +1)3令/优）=-6-1）伏+1）3 因 为

44、/优）=_（4 左_ 2）（左+1）2所以/（左）在区间（-1,;）上单调递增，（;,1 1 上单调递减，因此当时，|尸叶归。|取得最大值意【方法总结】函数法第一步：把所求最值的目标表示为关于某个变量的函数；第二步：通过研究这个函数求最值，是求各类最值最为普遍的方法.【例 4】定长为3 的线段N5的两个端点在y =/上移动，48中 点 为 求 点 M 到【解析】解 法 1 函数思想+基本不等式法设 4 再户；），8（孙 引,45 中点A f（u o）,则（项 f）2+a i；）2=9L（1）o L L（3）由（1）得（再工 2）1+（X +工 2）=9轴的最短距离。即($+x2)2-X j -

45、x2l 4-(X j +X2)2=9(4)由(2)(3)2xtx2=(2x0)2-2y =4 x -2ya9代 入（4）得（2%）2-瓯-4%加 +（2.%）2 =9,所以4 凹）-4 x；=/力,1 +4%o 9 5仪=4 x：+码=（岗+1）+薪7rl 2 2 61 =5,所以为 用/y 5 2 5当4 片+1=3即/=工-时，（凡 焉 二此时M（士 万-）解法2 抛物线定义+化折为直如 图,2 MM =A A +BB=A F +BF A B =3a1 a所 以 四 必,小 BJ|A/A/I|+-|,所以当/B经过焦点厂时取得最小值。所 以 点M到 x 轴的最短距离为24【方法总结】可直接

46、利用抛物线设点，如设/卜 谪），8（,*），又 设 中 点 为 （%,衣）用弦长公式及中点公式得出为关于%的函数表达式，再利用基本不等式或函数思想求出最短距离。（2）到 x 轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑到准线的距离，想到用定义法。类型3：面积的最值问题【例 5】抛物线/=4x的焦点为尸，过点尸的直线交抛物线于4 ，B 两点.UUlfl UUL 若 A F=2FB,求直线4 9 的斜率；（2）设点”在 线 段 上 运 动，原点。关于点M 的对称点为C,求四边形0 4。面积的最小值.【解析】（1）依题一意知产（1,0）,设直线43的方程为x =%，+l.将直线N3的方程与抛物线的方程联立，

47、消去x 得/-4 四，-4 =0.设题和乂），B（x2,y2）,所以必+必=4 机，yy2=-4因为/F=2FB,所以必=-2%联立和，消 去%,外,得，=1，.所以直线48 的斜率是20.(2)原点。关于点”的对称点为C,得 M 是线段0C 的中点，从而点。与点C 到直线48 的距离相等，所以四边形O A C B的 面 积 等 于 因为2sl MB=2 x|。尸H 必-力卜必力=四 1 +苏,所以当7 =0 时，四边形OA CB 的面积最小a,最小值是4.(例 6 已知抛物线L:y2=2p x(p 0)的焦点为厂,过点A/(5,0)的动直线/与抛物线L交于4 ,8 两点，直线A F交抛物线L

48、 于另一点C,的最小值为4.(I)求抛物线 的方程；(II)记 4 4 8 C、4 4 尸 M 的面积分别为E,S2,求 品 的最小值【解析】(I )由已知及抛物线的几何性质可得14 c l m i n =2p =4:.p =2抛物线的方程为/=4 x.(I I)设直线 N 8:x=W +5,AC:x =m y+1 A(xl,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),x =(y+5)由)n-4 一 20 =0 =乂+8=4人乂必=-20 y=4 x同理可得必必=-4,从而。(二，-土),必 必,4 4/|-2-51点C 到 1 8 的距离d=H =)1=1 4+4|A B=y J l+t2

49、yt-y21=J l +l|弘 +型|必4 20 2 4S|=2|+1|.|1+一|=;(+1)(|2+20)必 必 卜 必又$2=；x 4 x|必|=2|乂 IS,-S2=4(3+l)(y：+20)=4(y：+线+24)4(875+24)=96 +3 2 必 乂当且仅当y2=445 ,即4(退,2与时S2有最小值96 +3 26.【方法总结】圆锥曲线中的有关最值(范围)问题，常用代数法和几何法解决。(1)若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。(2)若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数(通常利用二次函数，三角函数，均值不等式)求最值。类型4：面积的取

50、值范围7 21 例 7 已知椭圆E:*+=1 （a b 0）的左、右焦点分别是耳，玛，离心率e =：,过点耳且垂直于x 轴的直线被椭圆E截得的线段长为3.（1）求椭圆的方程；（2）若直线/过椭圆的右焦点鸟，且与x 轴不重合，交椭圆E于 M,N两点，过点巴且与/垂直的直线与圆。2+/+2 -1 5 =0 交于尸,。两点，求四边形M/WQ 面积的取值范围.【解析】（1）略（2）当直线/与x 轴不垂直时，设/的方程y =3 0）,历（X ,弘）,由，y =-1)x2 /，得(4/+3 卜2-8 人 +4-1 2 =0,贝 I-1-11 4 38 /4/_ 1 2=际小=7?，|MN|=V I7 P|