2022年中考数学复习专题　将军饮马模型解答题.pdf

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1、将军饮马模型解答题1.问题背景：如图(。)，点A、3 在直线/的同侧,要在直线/上找一点C,使AC与8C 的距离之和最小，我们可以作出点8 关于/的对称点9，连接A8与直线/交于点C,则点C 即为所求.B(1)实践运用：如图0),已知，。的直径CO为4,点A在。上，NACD=30P,8 为弧A。的中点，P 为直径C。上一动点,则8P+AP的最小值为(2)知识拓展：如图(c),在MA48C中，A8=10,N8AC=45。，NBAC的平分线交8C 于点。、E、尸分别是线段A。和A8上的动点，求8E+E尸的最小值,并写出解答过程.2.如图已知E尸 G”,AC_LE尸于点C,BD LEF于点、D交HG

2、于点、K.AC=3,DK=2,BK=4.(1)若CD=6,点M 是CO上一点，当点M 到点A和点8 的距离相等时，求CM的长；13(2)若CD=,点P 是G 上一点，点。是EE上一点，连接A R P Q Q B,求AP+PQ+Q8的最小值.Ac Cn_D_GBH3.边 作 等 边 连 接AD,CD.(1)求证：ADE=CDB;(2)若BC=G,在AC边上找一点“，使得+最小，并求出这个最小值.4.如图，将一副直角三角板拼放在一起得到四边形A3C。，其中NBAC=45。，ZACE=30,点E为CQ边上的中点，连接A E,将八4。石沿AE所在直线翻折得到A 4 D E,力后交AC于产点.若 AB=

3、641cm.(1)AE的长为 cm；(2)试在线段AC上确定一点P,使得。P+的值最小，并求出这个最小值；(3)求点。到3 c的距离.5.如图，在正方形ABC。中，点E,尸分别是边A。，BC的中点,连接。F,过点E作垂足为H .E H的延长线交D C于点G.(1)猜想0 G与C F的数量关系，并证明你的结论；(2)过点”作MNC。，分别交AO,BC于点M,N,若正方形ABCD的边长为10,点P是M N 上一点、,求APDC周长的最小值.6.且 BF=DE=.连接 AE,AF,CE,CF.(1)求证：四边形AEC尸是菱形；(2)求四边形AECF的面积；(3)如果M为A尸的中点，P为线段尸上的一动

4、点，求PA+PM的最小值.7.已知菱形OBCD在平面直角坐标系中位置如图所示，点8的坐标为(2,0),“08=60。(1)点。的坐标为，点。的坐标为;(2)若点P是对角线。上一动点，点E(),-遥)，求PE+PB的最小值.8.如图,在平面直角坐标系m y中，已知直线AC的解析式为 =-1 2+2,直线AC交x轴于点C,交)轴于点A.若 一 个 等 腰 直 角 三 角 形 的 顶 点。与点重合，直角顶点在第一象限内，请直接写出点8的坐标；过点B作x轴的垂线/,在/上是否存在一点P,使 得 的 周 长 最 小?若 存 在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.9.在平面直角坐标系中，矩形OACB

5、的顶点。在坐标原点，顶点A、8分别在，x轴、），轴的正半轴上，A（3,0）,3（0,4）,。为边O B的中点.（1）若E为边。4上的一个动点，求 的 周 长 最 小 值；（2）若E、尸为边。4上的两个动点，且EF=1,当四边形CDE尸的周长最小时，求 点 区E的坐标.10.如图，在矩形。4 8 c中，已知A,C两点的坐标分别为A（4,0）,C（0,2）,。为。4的中点.设点P是ZAO C平分线上的一个动点（不与点。重合）.（1）试证明：无论点P运动到何处，P C总与PZ）相等；（2）当点P运动到与点8的距离最小时，求P的坐标；（3）已知E（l,-1）,当点P运动到何处时，APZ）上的周长最小？

6、求出此时点P的坐标和APZ）后的11.一次函数=依+人的图象与x、），轴分别交于点A（2,0）夙0,4）。为坐标原点，线段OA,A 3的中点分别为点C,P为直线O B上一动点.（1）当点P在直线0 3上运动时，PC。的面积是否发生变化？请说明理由；（2）当点P在直线0 5上运动时，PC。的周长是否发生变化？如果发生变化，求出PCD的最小周长及周长最小时P点的坐标；（3）直接写出P C D为等腰三角形时P点的坐标；（4）直接写出PCZ）为直角三角形时P点的坐标.1 5 k12.一次函数y=-上尤+三的图象与反比例函数丫=人(%0)的图象交于A、3两点，过点4作 工2 2 x轴的垂线，垂足为M,A

7、AOM面积为1.(1)求反比例函数的解析式；(2)在y轴上求一点P,使PA+P6的值最小，并求出其最小值和P点坐标.13.如图，正方形AOCB在 平 面 直 角 坐 标 系 中，点。为原点，点8在反比例函数y=A(x0)图象上，ABOC的面积为8.x(1)求反比例函数的关系式；(2)若动点E从A开始沿A 8向B以每秒1个单位的速度运动，同时动点E从8开 始 沿 向C以每秒2个单位的速度运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动.若运动时间用，表示，M E尸的面积用S表示，求出S关于f的函数关系式；(3)当运动时间为：秒时，在坐标轴上是否存在点尸，使APE尸的周长最小？若存在，请求出

8、点P的坐标；若不存在，请说明理由.14.已知在AABC中边BC的长与BC的长与BC边上的高的和为2 0.试：（1）写出AA6C的面积y与BC的长x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；（2）当BC=10时求边上的高及此时三角形的面积；（3）当面积为（2）所求结果时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请求出其最小周长,如果不存在请说明理由.15.如图，抛物线丁=2+W经过4-1,0）,8（5,0）两点.（1）求抛物线的解析式，并直接写出抛物线的顶点坐标；（2）在抛物线的对称轴上有一点P,使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N,使以A,C,M,N四

9、点构成的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由.16.如图,直线y=交x轴于点A（-l,0）,交），轴于点8（0,4）,过A,B两点的抛物线交x轴于另一点C.（1）,直 线 的解析式为;（2）该抛物线对称轴上有一动点P,连接PA,P B,若H4+PB最小值为5,求此时抛物线的解析式以及点P坐标；（3）在（2）的条件下，在抛物线对称轴上是否存在点。，使AA3Q是等腰三角形?若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在,请说明理由.17.如图，已知抛物线,=改2+加；+。7 0)的对称轴为=1 ,且抛物线经过A(1,O),C(0,3)两点，与x轴交于点8.(1)求抛物线

10、的解析式；在抛物线的对称轴x=-l上 找 一 点 使 点M到点A的距离与到点。的距离之和最小，求此时点M的坐标；设点P为抛物线对称轴=-1上的一个动点，求使ABPC为直角三角形的点P的坐标.18.如图，以。为顶点的抛物线,=-+以+。交x轴于A、8两点，交)，轴于点C,直 线 的表达式为 y=-x+3.(1)求抛物线的表达式；(2)在 直 线 上 有 一 点P,使P O+P A的值最小,求点P的坐标；(3)在x轴上是否存在一点。，使得以A、C、Q为顶点的三角形与BCD相似?若存在，请求出点。的坐标；若不存在,请说明理由.1 9.如图，抛物线.丫=办2+饭-4（。7 0）与犬轴交于4（4,0）8

11、（1,0）两点，过点A的直线y =x +4交抛物线于点C.（1）求此抛物线的解析式；（2）在直线AC 上有一动点E,当点E在某个位置时，使8。石的周长最小，求此时E点坐标；（3）当动点E在直线AC 与抛物线围成的封闭线A C 一 8 一。一 4上运动时，是否存在使 BO E 为直角三角形的情况，若存在，请直接写出符合要求的E点的坐标；若不存在，请说2 0.如图，已知抛物线y =g/+3 x 8的图象与x 轴交于A,8 两 点（点A在点8 的右侧），与y 轴交于点C.（1）求直线B C 的解析式；（2）点尸是直线下方抛物线上的一点，当A B C 尸的面积最大时，在抛物线的对称轴上找一 点 儿 使

12、 得 尸 的 周 长 最 小，请求出点尸的坐标和点P的坐标；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点。（0,加），使 得 为 等 腰 三 角 形？如果有，请直接写出点。的坐标；如果没有，请说明理由.21.如图，直线y=3无+3分别与x轴，y轴交于点A,B,抛物线y=-丁+2x+l与)，轴4交于点C.若点E在抛物线y=-V +2X+1的对称轴上移动，点E在直线A 8上移动，求CE+E尸的最小值.22.如图，已知抛物线经过点8(-2,3),原点。和x轴上一点另一点A,它的对称轴与x轴交于点 C(2,0).(1)求此抛物线的函数解析式(2)连接C B,在抛物线的对称轴上找一点E,使得C3=C E,求

13、点E的坐标(3)在(2)的条件下，连接B E,设BE的中点为G,在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得P8G的周长最小，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.923.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-铲+4的图像与x轴和y轴分别相交于A、B两点.动点P从点A出发，在线段4。上以每秒3个单位长度的速度向点。作匀速运动，到达点。停止运动.点A关于点P的对称点为点Q,以线段PQ为边向上作正方形尸Q M N.设运动时间为t秒.（1）当t=g秒时，点。的 坐 标 是；（2）在运动过程中，设正方形PQM N与a A O B重叠部分的面积为S,求S与t的函数表达式;（3）若正方形PQM N对角

14、线的交点为7,请直接写出在运动过程中O T+P T最小值.24.如图，矩形ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,动点E从点A出发，沿A C向点C运动，速度为k r o/s,点到达点C时停止运动，连接。并延长交矩形AfiCD的边于点尸.点M与点C重合，MV_L F于点”交矩形的边相 于点N.设点E运动的时间为f（s）.（1）当点尸到达点3时，求，的值；（2）当r=2时，求ND的长；（3）如图2,点M从点C开始沿8边向点。运动，速度为la/s,且与点E同时开始运动，当点M停止运动时，点也停止运动，其他条件不变.连接R W,点。为 的 中 点，点P在C边上，CP=4cm,请直接写出点尸从点A运动到

15、点8的过程中，APQC周长的最小值；当所=:红 时，请直接写出线段A的长.25.如图，B（-2,0）,C（0,4）,将ABOC绕原点O顺时针旋转90。得到AD O A,抛物线卜=江+法+4经过A,8两点.(1)求抛物线的解析式；(2)将皿出以秒一个单位的速度沿x轴向左平移，平移后的三角形记为D O W,平移时间为f 秒.当。落在抛物线上时，求/的值；连接A C,当/为何值时，的周长最小？直 接 写 出/的 值 和 周 长 的 最 小 值.B a26.如图，已知抛物线y=a/+Z u+c 的图象经过点4(0,3)、8(1,0),其对称轴为直线/：龙=2,过点4 作 4。工轴交抛物线于点C,NAO

16、B的平分线交线段AC于 点 E,点 P 是抛物线上的一个动点，设其横坐标为(1)若动点P 在直线OE下方的抛物线上，连结PE、P O,当?为何值时，四边形AOPE面积最大？当四边形AOPE面积最大时，在 抛 物 线 对 称 轴 直 线 上 找 一 点 使 得 月 的 值最大，并求出这个最大值.(2)如图，F 是抛物线的对称轴/上的一点，在抛物线上是否存在点P 使 尸 成 为 以 点 P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.27.阅读材料：“最值问题”是数学中的一类较具挑战性的问题.其实，数学史上也有不少相关的故事，如下即为其中较为经典的一

17、则：海伦是古希腊精通数学、物理的学者，相传有位将军曾向他请教一个问题-如图，从 A 点出发，到笔直的河岸/去饮马，然后再去8 地，走什么样的路线最短呢？海伦轻松地给出了答案：作 点 A 关于直线/的对称点A ,连结A 3 交/于点 P,则 P A+P B=A B的值最小.解答问题:(1)如图，已知菱形A5CO的边长为12,ND 46=60.点尸为AC线段上一动点，点E 为AO线段上一动点，求线段OP+PE的最小值.(2)如图，已知菱形ABCO的边长为12,Z D A B=6 Q 将此菱形放置于平面直角坐标系中，各顶点恰好在坐标轴上.现有一动点P 从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A T C

18、的方向,向点。运动.当到达点。后，立即以相同的速度返回，返回途中，当运动到x 轴上某一点M 时,立即以每秒1个单位的速度，沿M T 8 的方向，向点8 运动.当到达点8 时，整个运动停止.为使点P 能在最短的时间内到达点8 处，试确定点加的位置，并说明理由.在的条件下，设点P 的运动时间为(s),的面积为S,在整个运动过程中，试求S 与f之间的函数关系式，并指出自变量f的取值范围.28.(1)如图1,0 c 平分乙4。8,点。是射线。4边上一点，点P、。分别在射线0 C、0B 上运动，已知。=10,ZA(?C=3 0 ,则力尸+PQ的最小值是(2)如图2,在菱形ABC。中，A3=8,NDAB=

19、60。，点E 是A8边上的动点，点厂是对角线AC上的动点，求歹+3厂的最小值；(3)如图3,在矩形ABCD中，AB=8,AD=4,点用是AB上一动点，点N 是对角线AC上一动点，请直接写出MN+BN的最小值.29.【探究问题】正A4BC的边长为8c z,AO是它的高线.(1)如 图(1),点P、。分别是正AABC的边A 3和 高 上 的 两 个 动 点，求“在的最小值;(2)如 图(2),点M 是 正 高 上 的 一 动 点，当AM为何值时，+最小？并求出这个最小值；【解决问题】如 图（3）,A、8两地相距lOOQw,4 c是一条沿东西方向向两边延伸的一条铁路点3到4 c的最短距离为6 0 6

20、.今计划在铁路线AC上 修 一 个 中 转 站 再 在3 M间修一条笔直的公路到8地.如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍.那么，为使通过铁路由A到M再通过公路由M到3的总运费达到最小值，请求出A M的 长.（结果保留根号）30.如图1,已知抛物线y=_ 1 f+竿相与x轴交于A,8两点（点A在点8的左侧），与y轴交于点C,点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接8,过点。作ZW Lx轴于点4,过点A作AE J_ AC交D H的延长线于点E.（1）求线段/把的长度；（2）如图2,试在线段AE上找一点F,在线段OE上找一点尸，且点M为直线炉上方抛物线上的一点，求当ACP尸的周长最小时

21、，&WP尸面积的最大值是多少；（3）在（2）问的条件下，将得到的CFP沿直线AE平移得到。尸产，将。户产沿C产翻折得到?，尸 尸”，记在平移过称中，直线产P与轴交于点K,则是否存在这样的点K,使得尸尸K为等腰三角形？若存在求出OK的值；若不存在，说明理由.图1图2 备用图31.如图，将边长为6的正三角形纸片ABC按如下顺序进行两次折叠，展开后，得折痕A D BE（如图），点。为其交点.（1）探求AO与。D的数量关系，并说明理由；（2）如图，若P,N分别为3 4 上的动点.当P N+P 0的长度取得最小值时，求 的 长 度；如图，若点。在线段8 0上，BQ=1,则QN+NP+P。的 最 小 值=

22、.AAA32.已知，如图，二次函数y=2 +2ax 3a(axO)图象的顶点为H,与x轴交于A、3两点，点H、B关于直线/:y=?x+g对称.(1)求A、6两点坐标，并证明点A在直线/上；(2)求二次函数表达式；(3)过点8作直线B K A”交直线/于K点，M.N分别为直线A”和直线/上的两个动点,连接NH、NM、M K,求M7+M 0+M K的最小值.33.如图，抛物线y=4x+4与y轴交于点A,8是。4的中点.一个动点G从点8出发，先经过x轴上的点再经过抛物线对称轴上的点N,然后返回到点A.如果动点G走过的路程最短，请找出点M、N的位置，并求最短路程.yOX3 4.如图1,抛物线y =o?

23、+法+c（。声0）的顶点为C（l,4）,交.r轴于A、B两点，交y轴于点D,其中点的坐标8为（3,0）.求抛物线的解析式；如图2,过点A的直线与抛物线交于点E ,交y轴于点q，其中点E的横坐标为2,若直线尸。为抛物线的对称轴，点G为直线P Q上的一动点，则X轴上是否存在一点D、G、H、F,使四点所围成的四边形周长最小?若存在,求出这个最小值及点G、”的坐标；若不存在，请3 5.如图，甲、乙两个单位分别位于一条封闭式街道的两旁，现准备合作修建一座过街天桥.问:（1）桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短？（注：桥必须与街道垂直）.（2）桥建在何处才能使甲、乙到桥的距离相等？甲、736.如图，二次函数

24、y=x 2-4 x的图象与x轴，直 线y=x的一个交点分别为点A.B,CO是线段0 8上的一动线段，且8 =2后，过点C.。的两直线都平行于y轴,与抛物线相交于点b，E,连接E E(1)点A的坐标为，线 段 的 长=;(2)设点。的横坐标为他，当四边形COEE是平行四边形时，求，的值；连接AC.A D求?为何值时，AC O的周长最小，并求出这个最小值.37.已知平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为(2,-3)、(4,-1).(1)若P(x,O)是x轴上的一个动点，当 的 周 长 最 短 时，求x的值；(2)若C(a,O),ZXa+3,0)是x轴上的两个动点，当四边形ABQC的周长最短时，求

25、。的值.38.已知点A(3,4)，点8为直线x=-1上的动点,设8(1,力.(1)如图1,若点C(x,O)且-l x 0)与入轴从左至右交于4,B两点，与y轴交于点C.a(1)若抛物线过点T(l,-3,求抛物线的解析式；4(2)在第二象限内的抛物线上是否存在点O,使得以A、B、。三点为顶点的三角形与AABC相似？若存在，求“的值；若不存在，请说明理由.(3)如 图2,在(1)的条件下，点P的坐标为(-1,1),点。(6/)是抛物线上的点，在、轴上，从左至右有 N两点，且MN=2,问在x轴上移动到何处时，四边形PQMW的周长最小？请直接写出符合条件的点M的坐标.图1图2 备用图43.如图，已知在

26、平面直角坐标系xoy中，直角梯形。48。的边。4在y轴的正半轴上，0 c在x轴的正半轴上，0A=AB=2,0C=3,过点8作8D _L3C,交。4于点。.将ND8C绕点8按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；(2)当3E经 过(1)中抛物线的顶点时，求6 的长；(3)在抛物线的对称轴上取两点P、Q(点。在点P的上方)，且P Q=1,要使四边形8CPQ的周长最小，求出P、。两点的坐标.44.如图，已知点A(-4,8)和点凤2,n)在抛物线)，=无2上.(1)求的值及点8关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点。，使得AQ+Q

27、 8最短，求出点。的坐标；平移抛物线y=记平移后点A的对应点为4,点8的对应点为，点。(-2,0)和点。(-4,0)是x轴上的两个定点.当抛物线向左平移到某个位置时，AC+CB最短，求此时抛物线的函数解析式；当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，5使四边形AECD的周长最短？若存在,求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由.4 5.在平面直角坐标系中，已知点A(-2,0),点用0,4),点E 在上，S.ZOAE=ZOBA.(1)如图，求点E 的坐标；(2)如图，将AEO沿x轴向右平移得到A E O,连接4 8、BE.设A A=m,其中0 m V 2,试用含m的式子表示A 8?+B

28、E?,并求出使4 1 +BE?取得最小值时点E 的坐标；46.在菱形A8CO中，AB=Scm,/ABC=60。，点E,F 分别是BC,CD上的动点(不与3,C,。重 合)，连接AE,A F.(1)如图 1,若CE=C F，求证：AE=AF.(2)如图 2,若 B E+D F =B CAE与AF是否相等？并说明理由；四边形AECE的面积是 cm2.(3)点从点8 出发以每秒3 cm的 速 度 沿 方 向 向 点 C 匀速运动，同时点F 从点。出发以每秒2cm的速度沿。方向向点C匀速运动，当其中一点到达终点时另一个点也随之停止运动,又知点P是ZABC平分线上一点，连接E P,“，当EP+EP的值最

29、小时，CE的长是 cm.0 447.如图,在平面直角坐标系中，抛物线y=_ 京2 _ 京+2与X轴交于B、C两点,与y轴交于点A,抛物线的顶点为。.（1）填空:点A的坐标为;点8的坐标为;点。的坐标为;点P是线段BC上的动点（点P不与点B、。重合）.过点P作x轴的垂线交抛物线于点E,若P E=P C,求点E的坐标；在的条件下，点F是坐标轴上的点,且点F到EA和EO的距离相等,请直接写出线段E F的长；若点。是 线 段 上 的 动 点（点。不与点A、3重合），点A是线段AC上的动点（点R不与点A、C重合），请直接写出PQR周长的最小值.48.如图，锐角 A4BC中，ZACB=30,AB=5,AA

30、BC的面积为23.（1）若点尸在AB边上且CP=3 M ,D,E分别为边AC,BC上 的 动 点.求 周 长 的最小值；（2）假设一只小羊在AA3C区域内，从路边A 8某点出发跑到水沟边AC喝水，然后跑向路边8 C吃草，再跑回出发点处休息，直接写出小羊所跑的最短路程.B49.如图,在直角坐标系中，已知点4(0,1),夙-4,4)将点8绕点A顺时针方向旋转90。到点C,顶点在坐标原点的抛物线经过点B.求抛物线的解析式和点C的坐标；抛物线上一动点P,设点P到x轴的距离为4,点P到点A的距离为d2,试说明&=4+1；在的条件下,请探究当点尸位于何处时,P A C的周长有最小值,并求出的 P A C周长的最小值50.如图1,抛物线y=-g j+o x+c,与x轴交于点4(3,0),8(-2,0)两点,与)，轴交于点。，连接A C.(1)求抛物线的解析式；(2)如图2,动点。在第一象限的抛物线上运动，连接Q。交线段A C于点E,过点A作直线A尸)，轴，点尸在x轴上方，且满足A b =C.当AAE尸是直角三角形时，求线段A尸的长；当OE+OF的值最小时，直接写出线段AE的长.