2023年新高考数学创新题型微09 解析几何（数学文化）（原卷版）.pdf

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1、专题0 9解析几何专题（数学文化）一、单选题1.（2022全国高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆雉，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用面积为128的矩形 ABC。截某圆锥得到椭圆，且 与矩形ABC。的四边相切.设椭圆 在平面直角坐标系中的方程为2 2*+g =l（a b 0）,下列选项中满足题意的方程为（）,2 2，2 2 2A.+-=1 B.三+匕=1 C.+-=1 D.上+汇=164 16 16 64 256 16 64 322.（2023全国高三专题练习）第 24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年

2、2 月在北京和张家口举行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象、新梦想.会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半部分表现滑雪运动员的英姿.中间舞动的线条流畅且充满韵律，代表举办地起伏的山峦、赛场、冰雪滑道和节日飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有参赛运动员应以公正、坦诚的运动员精神在比赛场上相见.其中奥运五环的大小和间距按以下比例（如图）：若圆半径均为1 2,则相邻圆圆心水平距离为2 6,两排圆圆心垂直距离为1 1,设五个圆的圆心分别为。,。2，。,。4,。5,若双曲线

3、C 以，0,为焦点、以直线Q O,为一条渐近线，则 C 的离心率为（）3.（2022春云南曲靖高二校考开学考试）加斯帕尔蒙日（如图甲）是 18 19世纪法国著名的几何学家,他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心,这个圆被称为“蒙日圆”（图乙），则椭圆C：+片=1 的蒙日圆的半径为（）16 9A.3 B.4 C.5 D.64.（2 02 2 全国高三专题练习）我们把离心率为它的椭圆称为“最美椭圆”.已 知 椭 圆 C 为“最美椭圆”，且2以椭圆C 上一点尸和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为4,则椭圆C 的方程为（）.5.（2 02 2

4、秋江苏南京高二南京市第一中学校考阶段练习）德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点A、8是 NMON的Q N 边上的两个定点，C 是 边 上 的 一 个 动 点，当C 在何处时,ZA C B 最大?问题的答案是：当 且 仅 当 的 外 接 圆 与 边 QM相切于点C 时，/A C B 最大.人们称这一命题为米勒定理.已知点P,Q的坐标分别是（2,0）,（6,0）,R是 y 轴正半轴上的一动点，当N P R。最大时，点R的纵坐标为（）A.73 B.2 C.D.46.（2 02 2 秋新疆乌鲁木齐 高二乌市八中校考期中）德国天文学家开普勒发现天体运行轨道是椭圆，已知地球运行的

5、轨道是一个椭圆，太阳在它的一个焦点上，若轨道近日点到太阳中心的距离和远日点到太阳中心的距离之比为2 8:2 9,那么地球运行轨道所在椭圆的离心率是（）A.B.1 C.竺 D.5 92 5 6 5 77.（2 02 2 秋福建高二校联考期中）几何学史上有一个著名的米勒问题:“设点M,N是 锐 角 的 一 边 04上的两点，试在。8边上找一点尸，使得/MPN最大.”如图，其结论是：点尸为过M,N两点且和射线Q 8相切的圆与射线QB 的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系x O y 中，给定两点M（1,2）,N（1,4）,点P在x 轴上移动，当 取 最 大 值 时，点P的横坐标是（）LC

6、.1 或-ID.1 或-78.（2022秋 北京高二北大附中校考期末）公元前4 世纪，古希腊数学家梅内克缪斯利用垂直于母线的平面去截顶角分别为锐角、钝角和直角的圆锥，发现了三种圆锥曲线.之后，数学家亚理士塔欧、欧儿里得、阿波罗尼斯等都对圆锥曲线进行了深入的研究.直到3 世纪末，帕普斯才在其 数学汇编中首次证明：与定点和定直线的距离成定比的点的轨迹是圆锥曲线，定比小于、大于和等于1 分别对应椭圆、双曲线和抛物线.已知A,8 是平面内两个定点，且|48|=4,则下列关于轨迹的说法中错误的是（）A.到4 8 两点距离相等的点的轨迹是直线B.到 A,8 两点距离之比等于2 的点的轨迹是圆C.到 4 B

7、 两点距离之和等于5 的点的轨迹是椭圆D.到4 8 两点距离之差等于3 的点的轨迹是双曲线9.（2021秋辽宁沈阳高三沈阳二十中校联考期中）古希腊数学家欧几里得在 几何原本中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明.经过了 500年，到了 3 世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作 数学汇篇中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明.他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e 的点的轨迹叫做圆锥曲线；当0 e l时，轨迹为双曲线.现有方程%（x2+y2+2y+i）=（2x-2y+3表示的曲线是双曲线，则机的取值范围为（）A.（

8、0,8）B.（8,-H）C.（0,5）D.（5,-K）10.（2022 全国高三专题练习）如图，用一个平面去截圆锥得到的截口曲线是椭圆.许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其 中 比 利 时 数 学 家 加 e/讥 （1794-1847）的方法非常巧妙，极具创造性.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，两个球分别与截面相切于E,F,在截口曲线上任取一点A,过A作圆锥的母线，分别与两个球相切于C,8,由球和圆的几何性质，可以知道，AE=AC,A F =A B，于是AE+AF=AB+AC=8 C.由B,C的产生方法可知，它们之间的距离8 c 是定值，由椭圆定义可

9、知，截口曲线是以E*为焦点的椭圆.如图，一个半径为2的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源尸，则球在桌面上的投影是椭圆，已知A4是椭圆的长轴，P A 垂直于桌面且与球相切，PAt=5,则椭圆的焦距为（）A.4 B.6 C.8 D.1 21 1.（2 0 2 2 全国高三专题练习）阿基米德在他的著作 关于圆锥体和球体中计算了一个椭圆的面积.当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率 与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积,已知椭圆C:+ay=1（。匕 0）的面积为6 0万，两个焦点分别为耳，工，点尸为椭圆C的上顶点.直Q线 y =卮 与椭圆C交于48 两点，若尸A P3 的 斜 率

10、 之 积 为 则 椭 圆 C的长轴长为（）9A.3B.6 C.2&D.4及1 2.（2 0 2 2 秋北京高二北京工业大学附属中学校考期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：4可以转化为平面上点用（x,y）与点N（a,6）的距离.结合上述观点，可得/（x）=&+1 O x+2 6+&+6x+1 3 的最小值为（）A.5 B.72 9 C.y/l3 D.2 +V 1 31 3.（2 0 2 2 秋福建福州高二福建省福州延安中学校考阶段练习）1 9 49 年公布的 国旗制法说明中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方

11、，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近.为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，。，002,0 0 3,分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，B 1 6。，则第三颗小星的一条边A 8 所在直线的倾斜角约为（）1 4.（2 0 2 2 秋湖北高二宜城市第一中学校联考期中）在唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马 问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为（x +l f+l y-l f w l,若将军从点（1

12、,0）处出发，河岸线所在直线方程为x+y-5 =O,并假定将军只要到达军营所在区域即认为回到军营，则“将军饮马 的最短总路程为（）A.3 6 B.4&C.3/5-1 D.4 7 2-11 5.（2 0 2 2 秋安徽合肥高二合肥市第七中学校联考期中）国家体育场 鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1 所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点/和短轴一端点8分别向内层椭圆引切线4 C,B D,且两切线斜率之积等于-g,则椭圆的离心率为（）D T二、多选题1 6.（2 0 2 0 秋重庆巴南高二重庆市实验中学校考阶段练习）2 0 2

13、 0 年 1 1 月 2 4 日，我国在中国文昌航天发射场，用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，它将首次带月壤返回地球，我们离月球的“距离”又近一步了.已知点”（1,0）,直线/:x =-2,若某直线上存在点P,使得点尸到点M的距离比到直线/的距离小1,则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（）A.点尸的轨迹曲线是一条线段B.y =2 x+6不是“最远距离直线”C.y =gx +l是“最远距离直线”D.点 尸 的 轨 迹 与 直 线A-1是没有交会的轨迹（即两个轨迹没有交点）1 7.（2 0 2 2广东统考模拟预测）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微

14、.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与J（x-a）2+（y-6）2相关的代数问题,可以转化为点A（x,y）与点双4。）之间的距离的几何问题.结合上述观点，对于函数/（力=&+4.+5+&-4年+5,下列结论正确 的 是（）A.x）=6无解 B.x）=6的解为*=竽C./（x）的最小值为2逐 D.f（x）的最大值为2石1 8.（2 0 2 2秋广东茂名高二统考期末）（多选）如图所示，“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道U绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以尸为一个焦点的椭圆轨道口绕月飞行.若用2 c/和2

15、 c 2分别表示椭圆轨道口和口的焦距，用2田和2 a 2分别表示椭圆轨道n和门的长轴长，下列式子正确的是（）A.4+=4+。2 B.-f j =a2-c2C.q ac21 9.（2 0 2 2 全国高三专题练习）数 学 家 称 叵。为黄金比，记为”.定义：若椭圆的短轴与长轴之比为黄金2比，则称该椭圆为“黄金椭圆”.以椭圆中心为圆心，半焦距长为半径的圆称为焦点圆.若黄金椭圆”：2 2二+4=1（。6 0）与它的焦点圆在第一象限的交点为。，则下列结论正确的有（）a bA.苏+。=1 B.黄金椭圆离心率e =0）的点的轨迹称为双纽线C.已知点尸（%,乙）是双纽线C 上一点，下列说法中正确的有（）A.

16、双纽线C 关于x 轴对称 B.-yn6 0）,片,鸟为其左、右焦点，若从右焦点尸2发出的光线经a b3椭圆上的点力和点8 反射后，满足N 8 A O =90o,tanN48C=T，则该椭圆的离心率为4-3 1.（2 0 2 2 春江西九江高二九江一中校考阶段练习）天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线（C a s s i ni O v a l）.在平面直角坐标系中，设定点为月（-c，0）,片（c,0）,点。为坐标原点，动点P（x,y）满足|刊讣|尸闾=20且为常数），化简得曲线E：X2+y2+c2=4 jc2c2+t 74,下

17、 列 命 题 中 正 确 序 号 是.曲线E既是中心对称又是轴对称图形；归用+归国的最小值为2a；当a =c 时，归。的最大值为0”；.耳P 用面积不大于g 6.32.（2 0 2 2 高二课时练习）如图，某建筑物白色的波浪形屋顶像翅膀一样漂浮，建筑师通过双曲线的设计元素赋予了这座建筑以轻盈、极简和雕塑般的气质.若将该建筑外形弧线的一段按照一定的比例压缩后可近似看成双曲线工-1=1（0,b 0）下支的一部分,且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2,离心率为2,则 该 双 曲 线 的 方 程 为.33.（2 0 2 2 全国高三专题练习）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点，是锐角NAQB的一边

18、上的两点，试在08边上找一点P,使得/MPN最 大.”如图，其结论是：点尸为过A/,N两点且和射线08相切的圆与射线。8的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系x O y 中，给定两点M（-1,2）,N（1,4）,点尸在x 轴上移动，当 取 最 大 值 时，点 P的横坐标是；v34.(2 0 2 2 秋北京高二北京八十中校考期末)法国数学家加斯帕蒙日被称为“画法几何创始人”、微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆*+方 =l(a”0)的蒙日圆为C:x 2 +y 2=”2,过。上的动点M作的两条切线，分

19、别与C交于P,。两点，直线P Q 交r于 4 8两点，则下列说法，正确的有.椭圆r的离心率为变2，MPQ面积的最大值为 M 到的左焦点的距离的最小值为(2-qa若动点。在上，将直线D 4,0 8的斜率分别记为占，k2,则3 5.(2022 全国高三专题练习)阿波罗尼斯(约公元前26 2-19 0年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数上伙XUH 1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，已知尸、。分别是圆C:(r4)2+y 2=8,圆。:/+()，4)2=1上的动点，O是坐标原点，则|P Q|+#|P O|的最小值是四、解答题3 6.(2022秋江西宜春高二校联考阶段练习)古希腊

20、时期与欧几里得、阿基米德齐名的著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值MD0 且 杼 1)的点所形成的图形是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知点4(0,6),2(0,3)、动点“满 足 黑=:，记动点 的轨迹为曲线CMo 2(1)求曲线c的方程；(2)过点N(0、4)的直线/与曲线C交于P,。两点，若尸为线段NQ的中点，求直线/的方程.3 7.(2021春上海普陀高二校考期中)19 7 2年 9月，苏步青先生第三次来到江南造船厂，这一次他是为解决造船难题、开发更好的船体数学放样方法而来，他为我国计算机辅助几何设计的发展作出了重要贡献.造船时，在船体放样中，要画出甲板圆弧线

21、，由于这条圆弧线的半径很大，无法在钢板上用圆规画出，因此需要先求出这条圆弧线的方程，再用描点法画出圆弧线.如图，已知圆弧AB的 半 径，=29 米，圆弧A B 所对的弦长/=12米，以米为单位，建立适当的坐标系，并求圆弧A2 的 方 程（答案中数据精确到0.0 0 1 米,0 5 2 8.3 7 3 ）.3 8.（2 0 2 1 春江西抚州高一黎川县第一中学校考期末）数学家欧拉在1 7 6 5 年提出：三角形的重心、外心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线，若的顶点A（2,0）,8（0,4）,且ABC的欧拉线的方程为x-y +2 =O.（注:如 果 A B C 三个顶点坐标

22、分别为4（石,乂）,8（,%）,。（&,%）,则A B C重心的坐标是G（X+；+工，X+%）（1）求一M C外心F（外接圆圆心）的坐标；（2）求顶点C的坐标.3 9.（2 0 2 2 秋江西高二校联考阶段练习）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理.现已知 C 的三个顶点坐标分别为A（-l,5）,B（-3,3）,C（0,2）,圆E的圆心E在A B C 的欧拉线上，且满足A E-8 E =0,直线x+y-6 =0 被圆截得的弦长为2 G.（1）求 的 欧 拉 线 的

23、方 程；（2）求圆E的标准方程.4 0.（2 0 2 1 全国高三专题练习）唐代诗人李顽的诗 古从军行开头两句说：“白日登上望烽火，黄昏饮马傍交河，”诗中隐含着一个有趣的“将军饮马”问题，这是一个数学问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使得总路程最短？在平面直角坐标系中，将军从点4 3,0）处出发，河岸线所在直线方程为x+y-4=0,并假定将军只要到达军营所在区域即为回到军营.（1）若军营所在区域为。：f +求“将军饮马”的最短总路程；（2）若军营所在区域为为仪：国+2342,求“将军饮马”的最短总路程.4 1.（2 0 2 2 秋湖北武汉高三校考阶段练习）祖胞是我国南北朝时期伟大的数学家，他于5世纪末提出了“哥势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等 .现己知直线丫=2与双曲线V y2=4及其渐近线围成的平面图形G如图所示.若将图形G被直线y=1-2414 2）所截得的两条线段绕y轴旋转一周，则形成的旋转面的面积5=；若将图形G绕y轴旋转一周，则形成的旋转体的体积v=.WI Z