2023年新高考数学创新题型微05 向量（数学文化）（解析版）.pdf

《2023年新高考数学创新题型微05 向量（数学文化）（解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年新高考数学创新题型微05 向量（数学文化）（解析版）.pdf（30页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、专题0 5向 量 专 题（数学文化）一、单选题1.（2 0 2 2 全国高三专题练习）2 0 2 2 年北京冬奥会开幕式中，当 雪花这个节目开始后，一片巨大的“雪花 呈现在舞台中央，十分壮观.理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1 9 0 4年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程.已知图中正三角形的边长为6,则图中0 .ON的 值 为（）【答案】A【分析】在图中，以。为坐标原点建立如图所示的平面直角

2、坐标系，由向量的运算求得。M.O N 的坐标,再由数量积的坐标表示计算.【详解】在图中，以。为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,OM =4,=(2 c o s -,2 s i n -)=(2,2 /3),3 3QM4,即 M P =(,0),N=t,由分形知P N/O M,所以呐=4日）所以 O N =O M+MP+PN=(5,?)，所以 O M-C W =2 x 5+2gx=2 4.3故选：A.2.（2023 全国高三专题练习）庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以4 B,C,D,E为顶点

3、的多边形为正五边形，且与二1.下列关系中正确的是（）不A T 2C DA.BP-T S =R S2B.C Q +T P=-T SJ s-1C.E S-A P =BQJ 5-1D.A T+B Q =CR【答案】A【分析】利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义，便可解决问题.【详解】解：在如图所示的正五角星中，以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形，且=避二LA T 2uur uur uir uii uir、尺 4 utr在 A 中，BP-T S =T E-T S =S E =-RS ,故 A 正确；2uun uir uur uir uur 1 uir在 B 中，C Q

4、 +T P=PA +T P=T A =-ST,故 B 错误；在 C 中，E S-A P=RC-Q C=RQ =-DR=-QB,故 C 错误；在 D 中，A T+B Q =S D+RD,J-C R =RS =R D-S D,若 AT+BQ=与 匚 C R,则S）=0，不合题意，故 D 错误.故选：A.3.（2023 全国高三专题练习）数学家欧拉于1765年在他的著作 三角形的几何学中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点O,G,H分别为任意ABC的外心、重心、垂心，则下列各式一定正确 的 是（）1 .

5、2A.OG=-O H B.O H=-G H2 3广 s AO+2AH 2BO+BHC.AG=-D.BG=-3 3【答案】D【分析】根据三点共线和长度关系可知A B正误；利用向量的线性运算可表示出A G,3 G,知 C D 正误.O,G,H 依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，.OG=：GH,21 3:.OG=-O H ,O H=-G H ,A 错误，B 错误；3 2AG=AO+OG=AO+-O H =AO+-（AH-AO =C 错误：3 3、/3BG=BO+OG=BO+-O H =B O+-（BH-BO=2 8 0+8 H,D 正确.3 3、/3故选：D.4.（20

6、21秋山东威海高三统考期中）向量旋转具有反映点与点之间特殊对应关系的特征，在电子信息传导方面有重要应用.平面向量旋转公式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优势，已知对任意平面向量A3=（x,y）,把 AB绕其起点沿逆时针方向旋转。角得到向量AP=（xcose-ysinaxsin9+ycose）,叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转。角得到点P,已知平面内点A（l,2）,点 网 1-收,2+2&）,点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P,则点P 的坐标为（）4A.(1,3)B.(-3,1)C.(2,5)D.(-2,3)【答案】C【分析】表示出向量AB后，根据平面向量旋转公式可求得A P，由

7、此可求得P 点坐标.【详解】v A（l,2）,B（1-夜,2+2 0）,.AB=卜夜,2，点B绕点A 沿顺时针方向旋转3等价于点8 绕点A 沿逆时针方向旋转了，4 4AP=（-垃 cos 1-2&sin 子,-0 sin +272 cos?）=（1,3）,r.P（2,5）.故选：C.5.（2022高一课时练习）我校八角形校徽由两个正方形叠加变形而成，喻意”方方正正做人”，又寄托南开人”面向四面八方，胸怀博大，广纳新知，锐意进取”之精神，如图，在抽象自“南开校徽”的多边形中，已知其由一个正方形与以该正方形中心为中心逆时针旋转4 5 后的正方形组合而成，已知向量方，3则向量a（）A.2 +3k B

8、.（2+0）+3及C.（2+0）+（2+0）k D.（1 +旬+（2+&*【答案】D【分析】根据对称性可得线段的长度关系以及点共线，再由向量的加法法则可求解.【详解】根据题意可得卜卜M，由该图形是由正方形中心为中心逆时针旋转4 5 后与原正方形组合而成，如图由对称性可得|=|3C|=|。|=|DE=EQ=QF,CE=EF=FG=y/2AB=砰|由对称性可得点B,C,E,。共线，点Q,G 共线.所以 BQ=8C+CE+EQ=（2+0*,QG=QF=FG=（1+西”所以 a=8Q+QG=（2+&*+（l+0）故选：D6.（2022春黑龙江黑河 高一嫩江市高级中学校联考阶段练习）下面图1是某晶体的阴

9、阳离子单层排列的平面示意图.其阴离子排列如图2 所示，图 2 中圆的半径均为1,且相邻的圆都相切，A、8、C、O 是其中四个圆的圆心，贝IJAB-CQ=（）.图2A.14B.26C.38D.42【答案】B【分析】如图所示，取、e；为一组基底的基向量，其中|q|=|e；|=l且6、石的夹角为60。，将AB和CO化为基向量，利用平面向量的数量积的运算律可得结果.【详解】如图所示，建立以耳、门为一组基底的基向量,其中|e；|=|H|=l且4、占的夹角为60。,/.AB 2。+4。),CD=4et+2&,=AB CD=(2q+41)(4q+2e2)=8e；+8e；+20-=8+8+20 xlxlx1=

10、26.故选：B.7.(2022全国高三专题练习)伟大的法国数学家笛卡儿(Descartes 1596 1650)创立了直角坐标系.他用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定这个点的位置，用坐标来描述空间上的点，因此直角坐标系又被称为“笛卡尔系”；直角坐标系的引入，将诸多的几何学的问题归结成代数形式的问题，大大降低了问题的难度，而直角坐标系，在平面向量中也有着重要的作用；在正三角形ABC中，。是线段8C 上的点，A8=3,8/)=2,则 AO=().A.3 B.6 C.9 D.12【答案】B【解析】以AB、AC为一组基底，表示事A O,再根据向量的数量积的定义及运算律计算可得；【详解】解：在正三

11、角形ABC中，。是线 段 上 的 点，AB=3,BD=2,所以AD=AB+-B C =AB+-(AC-AB=-A B +-A C33、3 3所以 AB-AD=+LAB?+工AC.AB=1x32+2x3x3x1=63 3J3 3 3 3 2故选：BAB D C8.（2021春福建福州高一校考阶段练习）“勾 3 股 4 弦 5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾 3 股 4 弦 5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了 500多年，如图，在矩形A B C D ,ABC满足“勾 3 股 4 弦 5，且 AB=3,E 为AQ上一点，BE J.AC.若 8左=几的+8

12、。，则义+的 值 为（）因为4B=3,8 c =4,则 8（0,0）,A（0,3）,C（4,0）,BA=（0,3）,AC=（4,-3）,设BE=（a,3）,因为B E,AC,wB CA。-葛 B.*C.安【答案】B【分析】建立平面直角坐标系，进而利用向量的坐标表示,BA =A B E+y A C 利用坐标表示建立方程组求解即可.【详解】由题意建立如图所示直角坐标系D.19设3 6=（,3）,由AC.8E=0 可得。=再山所以 AC-8E=4 a-9 =0,解得=J .由 BAu/LBE+z/AC,W（0 ）=zf1,3 j+/（4,-3）,所以 4 +4 -C4I）32-3/=3,一25解得

13、Q“后所以2+=,故选：B.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算及向量垂直的坐标表示，属于基础题.9.（2022春 北京高一北京市第二十五中学校考期中）据 九章算术 记载，商高是我国西周时期的数学家,曾经和周公讨论过“勾 3 股 4 弦 5”的问题，比毕达哥拉斯早500年.如图，现 有 ABC满足“勾 3 股 4 弦 5”,其中AC=3,BC=4,点。是C 6延长线上的一点，则A C A O=（）A.3 B.4 C.9 D.不能确定【答案】C【解析】根 据 ABC满足“勾 3 股 4 弦 5”可得40,再利用平面向量的线性运算以及两个垂直向量的数量积为0,可求得结果.【详解】因为 AC=3,C

14、B=4,AB=5,所以 AC?+CB?=A32，所以 4C _L C B,所以 4 c.e 8=0，所以 AC.CD=0，所以 A C SO =A C S C +C O f C,+ACCO=9+0=9.故选：C【点睛】本题考查了勾股定理，考查平面向量的线性运算，考查了两个垂直向量的数量积为0,属于基础题.10.（2022 全国高三校联考阶段练习）黄 金 分 割（G olden S ection）是一种数学上的比例关系.黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值.应用时一般取0.618,就像圆周率在应用时取3.14一样.高雅的艺术殿堂里，自然也留下了黄金数的足迹.人们还发现，

15、一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0.618处.艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的0.618处，能使琴声更加柔和甜美.黄金矩形（G o/deR ec t a n g/e）的长宽之比为黄金分割率，换言之，矩形的长边为短边1.6 1 8 倍.黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦.在很多艺术品以及大自然中都能找到它.希腊雅典的巴特农神庙就是一个很好的例子，达 芬奇的 维特鲁威人符合黄金矩形.蒙娜丽莎中蒙娜丽莎的脸也符合黄金矩形，最后的晚餐同样也应用了该比例布局.2 0 0 0 多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割.所谓黄金分割，指的是把长为心的线段分为

16、两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该 部 分 之 比 黄 金 分 割 比 为 铝“。.6 1 8.其实有关“黄金分割，我国也有记载 虽没有古希腊的早 但它是我国数学家独立创造的.如图，在矩形A 5 c。中，A C,8。相交于点O,B F 1 A C,D H 1A C,A E上BD,)C G 1B D,BE=J B O,则=(A.2 1 0Q 石T R A+5-亚 nclx.-DA H-DKJB.1 0D.2 1 03-V5 R.x/5-D/H-DG225【答案】D【分析】利用平面向量的线性运算和平面向量基本定理即可求解.【详解】解：BE=J B O，显然 BE=DG,BO=OD

17、=LBD，2 2（石-1）5-V5所以 3 G=2-!-=I 2 J 2BO=B G =B G,5-75 10J s-l yfs 3-y/5 75-1BF=BA+AF=BA+AO=BA+（BO-BA）=-BA+BO,2 2 2 2BF=B A +BG,2 5故选：D.11.（2 0 2 2 秋宁夏银川 高三银川一中校考阶段练习）圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满“，是自古以和为贵的中国人所崇拜的图腾.如图，AB是圆。的一条直径，且I A 例=4.C,。是圆。上的任意两点，1。|=2,点P在线段C。上，则 必 的 取 值 范 围 是（）)B/-/A.-1,2 B.6,2 C.

18、3,4 D.-1,0【答案】D【分析】设。为圆心，连接O P,根据数量积的运算律得到R V P/M P O FT,根据点P 在线段8 上，即可求出|P O|的取值范围，即可得解.【详解】解：如图，。为圆心，连接OP,贝PA-PB=(PO+OA)(PO+OB)=P O2+P O O B+P O OA +OA OB=P O2+PO (OB+OA)-OA =|PO -4，因为点P 在线段CO上且181=2,则圆心到直线C D的距离d=万 丁 =百，所以百到尸。|2,所以3成 J|PO|2 4,贝 I 啜 产。|2 T 0,即P 4 P B 的取值范围是T,0L故选：D.12.(2023全国高三专题练

19、习)下如图是世界最高桥贵州北盘江斜拉桥.下如图是根据下如图作的简易侧视图(为便于计算，侧视图与实物有区别).在侧视图中，斜拉杆必，PB,PC,的一端P 在垂直于水平面的塔柱上，另一端A,B,C,D与塔柱上的点。都在桥面同一侧的水平直线上.已知AB=8m,B O =16m,P O =l2 m,P8.PC=O.根据物理学知识得g(PA+P8)+g(PC +P 0 =2 P O,则C D=()A.28m B.20m C.31m D.22m【答案】D【分析】由P2.PC=0，得PB工PC,则可得PO?=O R O C，可求得OC=9m,M,N 分别为AB.C。的中点，则由已知可得。为M N的中点，再结

20、合已知的数据可求得结果【详解】因为P8 PC=0，所以尸8,PC,因为P 0 1 3 C,所以P O C sB O P,所 以 券=器，所以尸。2=08 0(7，因为BO=16m,PO=12m,所以OC=9m,设M,N 分别为A氏。的中点，因为 g(PA+P8)+：(PC+P)=2P。，所以 PM+PN=2P。，所以。为MV的中点，因为A8=8m,8O=1 6 m,所以OM=20m,所以 CW=20m,所以 CN=ON-OC=20-9=11m,所以 CD=2CN=22m故选：Dwnn13.（2022全国高三专题练习）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称为“赵爽弦图”,

21、它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，若 D4=?，OC=,AF=g AE,则 浣=（）【答案】B2 13 2 4【分析】由已知可得出DE=g E B,利 用 平 面 向 量 的 线 性 运 算 得 出=再结合平面的基本定理可得结果.【详解】由题意得 E=2F B=2（A3-A F）=2A B-2X2A E=2A B-3（A Z）+Z）E）,33、,33339、）所 以13 工=2 4 AD,i DE=6 D C+4 DA=4 m+6n,9 3 9 13 13 13 13故选：B.14.（2022春江苏南京高三金陵中学校考阶段练习）2021年第十届中国花卉博览会

22、兴办在即，其中，以“蝶恋花 为造型的世纪馆引人注目（如图），而美妙的蝴蝶轮变不仅带来生活中的赏心悦目，也展示了极致的数学美学世界.数学家曾借助三角函数得到了蝴蝶曲线的图像，探究如下：如图，平面上有两定点。，A,两动点B,Q,且|。,=|。q=1,OA绕点。逆时针旋转到0 8 所形成的角记为。.设函数l,x0 6)=4-sign(9)-sin5。，(f W e W;r),其中，sign(x)=,0,x=0,令 p=f(8),作 OQ=/?O8 随着。的-l,x,结合向4 2量的加法和数量积的运算性质可判断选项D.【详解】连接8G,CF ,由正八边形的性质可知，A H/BG,C F/B G ,所以

23、AHC F,所以AH与C F是共线向量，所以4月与C T不能构成一组基底，A 项错误；1TI又4 D O F =-x2 n=,所 以 )_ L O F,所以。及。尸=0,B 项正确；4 2由上过程可知QA _ L OC，连结AC交OB于点M,在直角三角形OAC中，M 为 AC的中点，则 OA +OC=2 OM ,又 10Ml=UAC I=*|Q 4|=?|O B|,2 2 2所以04+0。=血 03,C 项正确；又正八边形的每一个内角为：!(8-2)*兀=学，8 4延长。C,AB,相交于点N,则NCBN=NBOV=E，47 T所以N8NC=,故 AB_LCr),2JJJfy,AC-CD=(AB

24、+5C)CD=/lB CD+BC CD=|BC|cos(7t-)=,D 项正确.4 2故选：BCD.17.（2022春 广东揭阳高一校考阶段练习）“圆事定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知圆。的半径为2,点P是圆。内的定点，且0 2=应，弦ZC、8。均过点P,则下列说法正确的是（）A.P A/C为定值 B.Q4.OC的取值范围是卜2,0C.当时，为定值 D.|47卜,4的最大值为12【答案】AC【分析】根据题设中的圆幕定理可判断AC的正误，取AC的 中 点 为 连 接O M,利用向量的线性运算

25、可判断B的正误，根据直径的大小可判断D的正误.如图，设直线尸。与圆。于E,F.则 雨.“=_|以 旭4 =-但 疗 目=_（|0同_ 归0|）（|0同+俨0|）=归0 _ 怪0=_2,故A正确.取A C的中点为M,连接。M,则O A O C =（O M +M A （OM+M C,）=O MZ-M C-2/-2 2=0 M -U-O M =2 0 M-4,而0 4 0 M2 41 0 P l =2,故QA OC的取值范围是 TO，故B错误.当 A C 160时，A B CD =（AP +P B）（CP +P D）=A P CP+PB PD=-|AP|CP|-|PB|PD|=-2EPPF =-4,

26、故 C 正确.因 为 同 4,|叫4 4,故卜 叶 即41 6,故D错误.故选：AC1 8.（20 21春江苏常州高一常州市北郊高级中学校考阶段练习）（多选）古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律.图2 （正八边形A BCD E F G H）是由图1 （八卦模型图）抽象而得到，并建立如下平面直角坐标系，设。4 =1.则下述四个结论，正确结论是（）图1图2A.以直线。为 终 边 的 角 的 集 合 可 以 表 示 为=,+肛Z e

27、 ZB.在以点。为圆心、0 A为半径的圆中，弦A B所对的弧长为4C.OA OD =2D.BF【答案】BD【分析】根据终边相同的角的定义可判断A；利用扇形的弧长公式可判断B；利用平面向量数量积的定义可判断C；利用平面向量的坐标运算可判断D.【详解】对于A,以直线0H 为终边的角的集合可以表示为。=彳+版故 A 错误;TTTT TT对于B,=以点。为圆心、。4为半径的圆的弦4 8 所对的弧长为/=故 B 正确;44 4对于C,由平面向量数量积的定义可得0 4 0 0 =网|04cos乎-冬故 C 错误；对于D,易知点B 亭,#,q -等,-曰.养=（-亚,-夜），故 D 正确.故选：BD.【点睛

28、】关键点点睛：本题以数学文化为背景，解题的关键是熟悉终边相同的角的集合、扇形的弧长、平面向量数量积的定义以及平面向量的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.19.（2022甘肃张掖高台县第一中学校考模拟预测）八卦是中国文化的基本哲学概念，如 图 1是八卦模型图，其平面图形记为图2 中的正八边形/BCOMG”,其中0A=1,则下列结论正确的有（）图 1A.OA OD=2B.OB+OH=-42OEC.AHHO=BCBOD.向量DE在向量AB上的投影向量为-【答案】ABD【分析】直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用结合图像求出结果，逐一分析各个选项即可得出答案.【详解】解：图 2 中的正八边形

29、A B C D E F G H，其中IOA|=1 ,对于 A:OA-OD=lxlxcos2=-变,故 A 正确；4 2对于 B：OB+O”=&OA=-&O E,故 B 正确；对于 C:因为|A”|=|BC|,。4川=忖0|）=|,（BC.BO）=y ,则AH HO=A H H（COA H,吟=|AH|-|wo|cosy,BC.B。=|BC|B0|cos（BC,BO）=|ec|-|fiC|cosy,所以 A”.HO#BC.BO,故 C 错误;对 于 D：因 为 求=罚，所以向量。E 在向量AB上的投影向量即为AH 在AB向量上的投影向量I.rzi 3TT AB y/2|A/|cos =AB,故

30、D 正确.故选：ABD.20.（2020春 广东东莞高一校考阶段练习）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点O、G、”分 别 是 A8C的外心、重心、垂心，且M 为BC的中点，则（）A.GA+GB+GC=0 B.AB+AC=2HM-4MOC.AH=3OM D.网=画=|。【答案】ABDi2【解析】向量的线性运算结果仍为向量可判断选项A：由GO=“G 可得=利用向量的线性运算 A8+AC=2AM=6GM=6（H M-，G）,再结合HO=+M。集合判断选项B：

31、利用A H =A G-H G =2 G M-2Go=2 O M故选项C 不正确，利用外心的性质可判断选项D,即可得正确选项.AA【详解】/A 因为G 是 ABC的重心，。是 ABC的外心，H 是ABC的垂心,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的半，所以G O =Q”G,对于选项A：因为G 是 ABC的重心，M 为BC的中点，所以AG=2GM，又因为GB+GC=2GM，所以GB+GC=AG，即GA+GB+GC=O，故选项A 正确；对于选项B：因为G 是 A8C的重心，M 为BC的中点，所以4G=2G M，12A M =3 G M.因为GO=5 G,所以G =。，AB+AC=2AM=6GM=6（-

32、HG）=6（-g”0）=6HM -A HO=6HM -4（H M +M O）=2 HM -4 M O,g|J A B+A C=2 H M-A M O ,故选项 B 正确；对于选项C：A H =A G-H G =2GM-2 G O =2 O M.故选项C 不正确；对于选项D：设点o 是ABC的外心，所以点o 到三个顶点距离相等，B P|O A|=|OB|=|OC|,故选项D 正确；故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用已知条件GO=I H G 得 利 用2向 量 的 线 性 运 算 结合 AG=2GM可得出向量间的关系.21.（2021 全国高三专题练习）奔驰定理：已知。是 AB

33、C内的一点，BOC,AO C,AOB的面积分别为 S“SB,Sc,则S/Q 4 +S屋OB+5cO C =0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿 车（Me%edesbe z）的/og。很相似，故形象地称其为“奔驰定理 .若O、P 是锐角A3C 内的点，A、B、C 是 A 5c 的三个内角，且满足 PA+P8+PC=g c 4,O AO B =O B O C =O C O A，A.S&PA B：S&PBC：S A PCA=4：2：3B.Z A +Z B O C =nC.|OA|:|OB|:|OC|=COS4:COSB:COSCD.tan A-0y4+t

34、an B-OB+tan C-O C =0【答案】ABCD1 2 4【分析】PA+PB+PC=C4变形后表示为PB=-PA-PC,再由奔驰定理得出向量尸 民 尸 A,P C 的美系，利用平面向量基本定理判断A,利用数量积的运算,变形后证明。是 4 5 C 的重心，由平面几何知识判断B,利用数量积的定义表示已知数量积的等式，结合选项B 的结论可证明C,求出AAO B,BO C,/C O A的而积，利用选项B 的结论转化，再利用选项C 的结论可得面积比，然后结合奔驰定理可判断D.【详解】因为尸4+PB+PC=-C A,所以尸A+PB+PC=-(P A-P C),即PB+PC=0,所以3 3 3 3P

35、B=-P A-P C ,3 3又由奔驰定理S4PBe PA+S CA PB+SN A B PC=0 得尸8=-鲁 坦 PC,&P C A因为PA PC 不共线，所以一#=一 看 一 沁=一：，、XPC A J VPC A J所以&PAB：SAPBC：&尸04=4：2:3,A 正确;延长AO.BO,CO分别与对边交于点2 E,F,如图，由 OAOB=OBOC 得 OB(O4-OC)=OBC4=0,所以 Q 5_L A C,同理 OC_L A8,0A_L 8C,所以。是A 6 c的垂心，所以四边形A。尸中/B A C+/EO F=i,/EO F=NBOC,所以NA+/8O C =万，B 正确；由

36、OA OB=02 OC=OC 04 得画|Ofi|cos AAOB=|(?B|(9C|COS ZBOC=|oc|o/l|cosZAOC,所以 国:画:|(?C|=cos ZBOC:cos ZAOC:cos ZAOB,山选项 B 得 cos Z.BOC-cos A,cos ZAOC=-cos B,cos ZAOB=-cos C,所以|。可:|O B|:|(?c|=cos A:cos B:cos C,C 正确;由上讨论知，SOBC=g|0B|0qsinN 80C =g|OB|OC|sin A,S0AC=；|OA|oqsin ZAOC=1|O/A|OC|sin BS OA B=-OA OB sin

37、Z A O B =-|O A|O B|s i n ZC ,所以 S&OBC-S AOAB=s i n A s i n B s i n C A 0 0 B 0 C 1又山选项 C：|3A|:|,所以2的最大值为2.C25.（20 22 全国高三专题练习）中国文化博大精深，“八卦”用深邃的哲理解释自然、社 会 现 象.如 图（1）是八卦模型图，将共简化成图（2）的正八边形ABS E/P ,若A B =1,则A C-A E=【分析】在AO B中由余弦定理求出。4,进而可得A E,A C,再由数量积的定义求解即可3 6 0【详解】在 A05中，设OA =O 3 =x,Z A OB =4 5 ,o贝lj

38、 x2+x2-2 x2 co s 4 5 =1,所以 J =2+&,2又 NA O8 =N3 OC =4 5。,所以 Z A O C =9 0 ,Z O A C =Z O C A =4 5,所以 A E =2 x=2,-=血 力2 +0，A C =V O A2 4-O C2=y/2 x2=7 2+72，所以40 4七 二|同 网 际4 5。=也+也）2+后x*=2+啦故答案为：2+夜E2 6.(2022春福建泉州高一校考期中)著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理.已

39、知4 3 c 的外心为。，重心为G,垂心为H,初 为 8 c 中点，且 A6=5,A C =4,则下 列 各 式 正 确 的 有.AGB C =-3 AO H C =-6 O H =O A +OB+O C AB +A C =4 O M +2 H M【答案】【分析】利用三角形外心、重心、垂心的性质，结合平面向量的线性运算法则以及平面向量的数量积的定义及运算律逐项分析即可求出结果.2 1【详解】对于，A8C重心为G,有 AG=A M=3(A8+AC),t i,i A G B C -(A B +A C)(A C-A B)=-(A C2-A B2)=-(1 6-2 5)=-3,故正确；3 3 3对于，

40、ABC外心为O,过三角形4BC的外心。分别作月8、/C 的垂线，垂足为。、E,易知。、E 分别1 ,2 25 1 2是/8、4C 的中点，有 AOAB=-A 8-=,AO AC =-A C=82 2 225 9/.A O BC =A O (A C-A B)=S-=故错误；2 2对于，由欧拉线定理得2OG=G H，即OH=3OG，又有GA+GB+GC=0，故 D4+O8+OC=(OG+G4)+(OG+GB)+(OG+GC)=3 OG +G A +G B+G C=3 O G，即 O H =OA +OB+O C 故正确;2 1对于，由 0，=30G 得 M，-0 =3（M G-M 0）,iM G=M

41、 0 +-M H ,所以 A8+AC=2AM=-6MG=4OM+2 M，故正确.故答案为：.27.（2022全国高三专题练习）笛卡尔坐标系是直角坐标系与斜角坐标系的统称，如图，在平面斜角坐标系X。），中，两坐标轴的正半轴的夹角为60。，q,02分别是与x 轴，）轴正方向同向的单位向量，若向量a=xq+），/,则称有序实数对（X,），）为&在该斜角坐标系下的坐标.若向量施，在该斜角坐标系下的坐标分别为（3,2）,（2，当 为 时，办“=11.【分析】根据斜角坐标定义写出向量（用两个已知单位向量表示），然后由向量数量积计算可得.【详解】由已知?=3e1+2e?,n-2 et+ke2,e,-e,=1

42、 x 1 xcos 60=,2 .2 rn n=（3el-i-2e2）-（2el+ke2）=6q+（3Z+4鸠 e2+2ke?=6+不（3%+4）+2左=11,解得：kj故答案为：.28.（2021 湖南校联考二模）根据 周髀算经 记载，公元前十一世纪，数学家商高就提出“勾三股四弦五”，故勾股定理在中国又称商高定理.而勾股数是指满足勾股定理的正整数组S，瓦 c）,任意一组勾股数都可以表a=kQn2 一叫，示为如下的形式：=2h初 7,其中攵，“，均为正整数，且机.如图所示，！PE F中，PE上PF,C =k（TT+叫，PF=1 2 P E,三边对应的勾股数中左=1,=2,点M 在线段E尸上，且

43、 M=m,则.【解析】若。=1 2,解得6=4,得 到 庄=4?=1 6 1 2,不符合题意；若b =1 2,解得2=3,求得PE=Q=5 1 2,与尸F P E矛盾,不符合题意;若匕=尸产=1 2,则4加=1 2,解得加=3,此时尸E =a =3 2-4 =5 P E.PE 5所以 P E =5,PF =2,E F =2 ,E M =3 ,M F =1 0,所以 co s E =E F 1 3所以 P M .M F =(P E +E M)M F =P E M F +E M .M F =卜 x|加耳 co s(-)+|EM|X|MF|C O S0 =5X1 0X+3 x1 0 x1 喈【点睛】

44、解决向量在平面几何中的应用问题的两种方法:（1）坐标法，把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示出来，这样就能进行相应的代数运算，从而使问题得到解决;（2）基向量法，选取一组合适的基底，将未知向量用基底表示出来，然后根据向量的运算法则、运算律和性质求解.四、解答题2 9.（2 0 2 2春 江苏泰州高一校考阶段练习）数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法：先画等边三角形A B C,再分别以点4 8,C为圆心，线段4 B长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形.如图所示，已知A B=2 ,点RQ分别在弧AC，弧A 8上，且N P BC =

45、a,/Q CB=0.AHCTT(1)若0!=五 时，求BP BC的值.7T IT U U UUUi(2)若a=g,/?=fB寸，求BPCQ 的值.o 4【答案】(1)应+(2)6-瓜【分析】（1）利用向量的数量积即可求得结果.U U IIUUI（2）建立直角坐标系，用向量坐标表示求出BPCQ即可.（1）解：（1）线段4B长为半径画圆弧，可得5P=3C=A8=2,cos =cos（-）=coscos+sinsin=+=立+亚；由向量的数量积可得12 4 6 4 6 4 6 2 2 2 2 4BP BC=|BP BC|.cos=2x2x也 土 或 正 +指12 4（2）以点B为 原 心,8 c所在直线为x轴建立直角坐标系则C（2,0）,P（6,l）,Q（2-苑0）所以BP=(g,l),C Q =(-&BP CQ=y/2-46.