教师资格证数学学科高中数学.pdf

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1、第一章 课程知识 1.高中数学课程的地位和作用：高中数学课程是义务教育后普通高级中学的一门主要课程，它包含了数学中最基本的内容，是培养公民素质的基础课程。高中数学对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系，提高提出问题、分析和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用。高中数学课程有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识。高中数学是学习高中物理、化学等其他课程的基础。2.高中数学课程的基本理念：高中数学课程的定位：面向全体学生；不是培养数学专门人才的基础课。高中数学增加了选择性（整个高中课程的基本理念）：为学生发展、培养自己的兴趣、特长提供空间。让学生成为学习的主人：倡

2、导自主学习、合作学习；帮助学生养成良好的学习习惯。提高学生数学应用意识：是数学科学发展的要求；是培养创新能力的需要；是培养学习兴趣的需要；是培养自信心的需要；数学应用的广泛性需要学生具有应用意识。强调培养学生的创新意识：强调发现和提出问题；强调归纳、演绎并重；强调数学探究、数学建模。重视“双基”的发展（数学基础知识和基本能力）：理解基本的数学概念和结论的本质；强调概念、结论产生的背景；强调体会其中所蕴含的数学思想方法。强调数学的文化价值：数学是人类文化的重要组成部分；新课标强调了数学文化的重要作用。全面地认识评价：学习结果和学习过程；学习的水平和情感态度的变化；终结性评价和过程性评价。3.高中

3、数学课程的目标：总目标：使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。三维目标：知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观 把“过程与方法”作为课程目标是本次课程改革最大的变化之一。五大基本能力：计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力、抽象概括能力、数据处理能力4.高中数学课程的内容结构：必修课程（每模块 2 学分，36 学时）：数学 1（集合、函数）、数学 2（几何）、数学 3（算法、统计和概率）、数学 4（三角函数、向量）、数学 5（解三角形、数列、不等式）选修课程（每模块 2 学分，36 学时；每专题 1 学分，18 学时）：选

4、修系列 1（文科系列，2 模块）：1-1（“或且非”、圆锥曲线、导数）、1-2（统计、推理与证明、复数、框图）选修系列 2（理科系列，3 模块）：2-1（“或且非”、圆锥曲线、向量与立体几何）、2-2（导数、推理与证明、复数）、2-3（技术原理、统计案例、概率）选修系列 3（6 个专题）选修系列 4（10 个专题）5.高中数学课程的主线：函数主线、运算主线、几何主线、算法主线、统计概率主线、应用主线。6.教学建议：以学生发展为本，指导学生合理选择课程、制定学习计划教师资格证数学学科教师资格证数学学科(高中数学高中数学)帮助学生打好基础，发展能力：强调对基本概念和基本思想的理解和掌握 重视基本技

5、能的训练 与时俱进地审视基础知识与基本能力 注重联系，提高对数学整体的认知 注重数学知识与实际的联系，发展学生的应用意识和能力 关注数学的文化价值，促进学生科学观的形成 改善教与学的方式，使学生主动地学习 恰当运用现代信息技术，提高教学质量 7.评价建议：重视对学生数学学习过程的评价 正确评价学生的数学基础知识和基本能力 重视对学生能力的评价（问题意识、独立思考、交流与合作、自评与互评）实施促进学生发展的多元化评价（尊重被评价对象）根据学生的不同选择进行评价 第二章 教学知识 8.教学原则 抽象与具体相结合、严谨性与量力性相结合原则（“循序渐进”）、理论与实际相结合原则（“学以致用”）、巩固与

6、发展相结合原则（“温故而知新”）9.教学过程 备课（备教材、备学生、备教法）、课堂教学（组织教学、复习提问、讲授新课、巩固新课、布置作业）、课外工作（作业批改、课外辅导、数学补课活动）、成绩的考核与评价（口头考察、书面考察）、教学评价（导向作用、鉴定作用、诊断作用、信息反馈与决策调控作用）10.教学方法 讲授法：科学性、系统性（循序渐进）、启发性、量力性（因材施教）、艺术性（教学语言）讨论法：体现“学生是学习的主体”的特点。自学辅导法：卢仲衡教授提出，要求学生肯自学、能自学、会自学、爱自学 发现法：又称问题教学法（布鲁纳），步骤是创设问题情境；寻找问题答案，探讨问题解法；完善问题解答，总结思路

7、方法；知识综合，充实改善学生的知识结构。11.概念教学 概念的内涵与外延：当概念的内涵扩大时，则概念的外延就缩小；当概念的内涵缩小时，则概念的外延就扩大。内涵和外延之间的这种关系，称为反变关系。概念间的逻辑关系：相容关系（同一关系如“等边三角形”和“正三角形”、交叉关系如“等腰三角形”和“直角三角形”、包含关系如“菱形”和“四边形”）、不相容关系（对立关系如“正数”和“负数”、矛盾关系如“负数”和“非负数”）概念下定义的常见方式：属加种差定义法（被定义的概念=最邻近的属概念+种差，如“有一个角是直角的平行四边形是矩形”）、解释外延定义法（不易揭示其内涵，如“有理数和无理数统称实数”）、描述性定

8、义法（用简明清晰的语言描述，如“”）数学概念获得的主要方式：概念形成（由学生发现）、概念同化（教师直接展示定义）12.命题教学：整体性策略（旨在加强命题知识的横、纵向联系）、准备性策略（教学实施之 前）、问题性策略（激发学生的积极性）、情境化教学、过程性策略（暴露命题产生于证明的“所以然”过程）、产生式策略（变式练习）13.推理教学 推理的结构：任何推理都是由前提和结论两部分组成的 推理的形式：演绎推理（由一般到特殊；前提真，结论真；三段论：大前提、小前提，得推理）、归纳推理（由特殊到一般）、类比推理（由特殊到特殊）14.问题解决教学 数学问题的设计原则：可行性原则、渐进性原则、应用性原则 纯

9、粹数学问题解决：波利亚怎样解题表（分析题意；拟定计划；执行计划；验算所得到的解）非常规问题解决：建模分析（分析问题背景，寻找数学联系；建立数学模型；求解数学模型；检验；交流和评价；推广）15.学习方式：自主学习、探究学习、合作学习 第三章 教学技能 16.教学设计 课堂教学设计就是在课堂教学工作进行之前，以现代教育理论为基础，应用系统科学方法分析研究课堂教学的问题，确定解决问题的方法和步骤，并对课堂教学活动进行系统安排的过程。教学设计与教案的关系：内容不同：教学设计的基本组成既包括教学过程，也包括指导思想与理论依据、教学背景分析、对学生需要的分析、学习内容分析、教学方法与策略的选定、教学资源的

10、设计与使用以及学习效果评价等。侧重运用现代教学理论进行分析，不仅说明教什么、如何教，而且说明为什么这样教；教案的基本组成是教学过程，侧重教什么、如何教。核心目的不同：教学设计不仅重视教师的教，更重视学生的学，以及怎样使学生学得更好。达到更好的教学效果是教学设计的核心目的；教案的核心目的就是教师怎样讲好教学内容。范围不同：从研究范围上讲，教案只是教学设计的一个重要内容。数学课堂教学设计的意义：使课堂教学更规范、操作性更强 使课堂教学更科学 使课堂教学过程更优化 数学课堂教学设计的基本要求：充分体现数学课程标准的基本理念，努力体现以学生发展为本 适应学生的学习心理和年龄特征 重视课程资源的开发和利

11、用 注重预设与生成的辩证统一 辩证认识和处理教学中的多种关系 整体把握教学活动的结构 数学教学设计的准备：认真学习新课标，了解当前我国数学课程的目标要求 全面关注学生需求 认真研读数学教材和参考书，领悟编写意图 广泛涉猎数学教育的其他优秀资源，吸取他人精华，丰富自己的教学设计 制定学期教学计划、单元教学计划 教材分析 分析和处理教材是教学设计的基本环节和核心任务 整体系统的观念用教材 理解教材的编排意图 突出教材的重点和难点 学情分析 分析学生原有的认知基础 分析学生的个体差异 了解学生的生理、心理 了解学生对本学科学习方法的掌握情况 分析学习知识时可能要遇到的困难 制定合理教学目标的要求 反

12、映学科特点，体现内容本质 要有计划性，可评价性 格式要规范，用词要考究 要全面，不能“重知轻思”、“重知轻情”等 注意教学目标的层次性（记忆、理解、探究）要实在具体，不浮华 教学反思 教学反思的内容：对教学设计、教学过程、教学效果、个人经验的反思 教学反思的步骤：截取课堂教学片段及其相关的教学设计；提炼反思的问题；个人撰写反思材料；集体讨论；个人再反思，并撰写反思论文 教学设计的撰写：教学目标：知识与技能（了解、掌握、应用）；过程与方法（提高能力）；情感态度与价值观（体验规律、培养看问题的方法）学情分析 教材分析：本节课的作用和地位；本节课的主要内容；重难点分析 教学理念 教学策略 教学环境

13、教学过程 教学反思 17.教学实施 课堂导入：直接导入法、复习导入法、事例导入法（情境导入法）、趣味导入法、悬念导入法 课堂提问的原则：目的性原则、启发性原则、适度性原则、兴趣性原则、循序渐进性原则、全面性原则、充分思考性原则、及时评价性原则 课堂提问的类型：复习回忆提问、理解提问、应用提问、归纳提问、比较提问、分析综合提问、评价提问 学生活动：学生活动体现了学生在学习中的主体地位 作为教学环节之一的“学生活动”是意义建构的组成部分 学生活动的目的是促进学生的理解 从总体上说，学生活动必须是思维活动 课堂结束技能的实施方法：练习法、比较法与归纳法、提问法和答疑法、呈上法和启下法、发散法和拓展法

14、 结束技能实施时应注意的问题：自然贴切，水到渠成；语言精练，紧扣中心；内外沟通，立疑开拓 18.教学评价 数学教育评价的要素：教学目标、教学内容、教学方法、教学心理环境、教师行为、学生行为、教学效果 数学教育评价的功能：管理功能、导向功能、调控功能、激发功能、诊断功能 第四章 常用数学公式 一、函数、导数 1.函数的单调性 设、且。那么 在上是增函数；在上是减函数。设函数在某个区间内可导，若，则在该区间内为增函数；若，则在该区间内为减函数 2.函数的奇偶性（该函数的定义域关于原点对称）对于定义域内任意的，都有，则是偶函数；对于定义域内任意的，都有，则是奇函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的

15、图象关于轴对称。3.函数在点处的导数的几何意义 函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是。4.几种常见函数的导数（C 为常数）；（）；5.导数的运算法则；6.幂函数（）性质 为奇数，为奇数 奇函数 为奇数，为偶数 为偶数，为奇数 偶函数 第一象限图像 减函数 增函数 增函数 过定点 7.求函数的极值的方法:解方程。当时：如果在附近的左侧，右侧，则是极大值；如果在附近的左侧，右侧，则是极小值；8.凹凸函数：设在开区间 上存在二阶导数：若对任意，有，则在上为下凸函数；若对任意，有，则在上为上凸函数；二、三角函数、三角变换、解三角形、向量 9.同角三角函数的基本关系式 10.正弦、余

16、弦的诱导公式 11.和角与差角公式；（辅助角所在象限由点的象限决定,）12.二倍角公式；13.三角函数的周期 函 数，及 函 数，（为 常 数，且，）的 周 期；函 数，（为常数，且，）的周期。14.三角函数的图像变换：函数，即横坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍，再向左（）或向右（）平移个单位，最后纵坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍。函数，即向左（）或向右（）平移个单位，再横坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍，再，最后纵坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍。15.正弦定理（是外接圆的半径）16.余弦定理;17.三角形面积公式 18.a 与 b 的数量积（或内积）（是向量 a，b 的夹角）19.向量的

17、坐标运算 设，,则；设，,则；设，则。20.两向量的夹角公式 设，,且，则。21.向量的平行与垂直；三、数列、集合与命题 22.数列的通项公式与前 项的和的关系（数列的前项的和为）23.等差数列的通项公式和前 项和公式；24.等比数列的通项公式和前 项和公式；25.数列求和常见结论：（）；。26.有 个元素的集合，含有个子集，个真子集。27.原命题：若 则；否命题：若则；命题的否定：若 则。28.全称量词即“所有”，“全部”，可写作“”；存在量词又称特称量词，写作“”。四、不等式 29.均值不等式 设，(当且仅当b 时取“=”号)30.柯西不等式，其中，当且仅当时不等式取等号。31.Jense

18、n 不等式 32.三角不等式：33.指数不等式：五、解析几何与立体几何 34.直线的五种方程 点斜式：（直线l过点，且斜率为k）斜截式：（b 为直线l在 y 轴上的截距）两 点 式：（直 线l过 点，且，）截距式：（、b 分别为直线的横、纵截距，）一般式：（其中 A、B 不同时为 0）35.两条直线的平行和垂直 若，；36.点到直线（的距离 37.角平分线所在直线的方程，其中分别为角的边所在直线的斜率，为原角的大小 38.圆的三种方程 圆的一般方程：圆的标准方程：圆的参数方程：39.两个圆的公共弦所在方程 40.直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有三种：相离；相切；相交，弦长=;其中 41

19、.椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质 椭圆：，离心率，准线，参数方程是，椭圆上的点与两个定点的距离之和等于常数（）。双曲线：，离心率，准线，渐近线方程是，椭圆上的点与两个定点的距离之差等于常数（）。抛物线：，焦点，准线，焦半径，过抛物线焦点的弦长，抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离。42.双曲线的方程与渐近线方程的关系 若双曲线方程为。若渐近线方程为双曲线可设为。若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在轴上；，焦点在轴上）43.若斜率为 的直线与圆锥曲线相交于两点，则弦长公式为（）44.柱体、锥体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式 圆柱侧面积=，表面积=，体积=（是

20、柱体的底面积，是柱体的高）；圆锥侧面积=，表面积=，体积=（是锥体的底面积，是锥体的高）；球的半径是，则其体积，其表面积 六、空间几何 45.平面方程：点法式：，是平面的法向量 一般式：（不全为 0）参数式：已知平面上一点以及平行于平面的两不共线向量和，则有 46.两平面间的关系:；（法向量共线但两平面不重合）与的夹角（）：47.直线方程：一般式（交面式）：参数式：对称式（标准式）：48.直线与平面的关系：且；与的夹角（）：49.曲面方程：单叶双曲面：（）双叶双曲面：（）椭圆抛物面：（），当时，曲面为旋转抛物面 双曲抛物面：（）七、概率统计 50.平均数、方差、标准差、期望的计算 平均数：方差

21、：标准差：期望 51.回归线方程，其中，52.独立性检验：53.排列数、组合数 排列数公式：，其中，；组合数公式：，其中 54.二项式定理：第项：（，）系数和：，当的绝对值与 1 相比很小且不大时，有，55.相对独立事件同时发生的概率 56.正态分布记为，其中期望，方差，曲线关于直线对称并在时取最大值。57.离散型随机变量的期望与方差的性质：期望反映了离散型随机变量取值的平均水平；方差与标准差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。；（为常数）；（为常数）设，则，若，则，；若服从几何分布，且，则，。八、复数 58.复数的除法运算：59.复数的模：60.复数之间不能进行大小比较

22、61.设一元三次方程（）的三个根分别是，则有：，令，其中，当时，方程有一个实根，一对共轭复根；当时，方程有三个实根，其中有一个二重根；当时，方程有三个不等实根。九、极限与级数 62.柯西收敛准则：数列收敛的充分必要条件是：对于任意，存在整数，使得当时，有。63.极限的定义：对于任意，存在正数，当时，有。64.当时，有，则有，65.函数极限的计算：（）其中各函数极限均存在 洛必达法则：若函数和满足下列条件：，其中或；在点的某去心邻域内两者均可导，且；则有 66.拉格朗日中值定理：如果函数满足在闭区间上连续；在开区间内可导；那么在开区间内至少有一点（）使等式成立。67.正项级数敛散性判断：比较判别

23、法：大收敛推出小收敛，小发散推出大发散 比值与根值判别法：若；若；与级数比较：设，当时收敛，当时发散。68.交错级数的敛散性（莱布尼茨判别法）：设交错级数满足，；，则收敛，且其和，余项。69.幂级数收敛半径及收敛域：设幂级数，则有 若，则其收敛半径为；判断在处的敛散性；若该级数在处收敛，则其收敛域为；若该级数在处 收 敛，则 其 收 敛 域 为；若 该 级 数 在处都收敛，则其收敛域为。十、矩阵、线性空间与线性变换 70.矩阵的转置：对于阶实矩阵，若满足或（为单位矩阵），则矩阵称为正交矩阵，其中为的转置；若阶方阵满足，则称为对称矩阵；若阶方阵满足，则称为反对称矩阵，反对称矩阵对角线上的元素必为

24、 0；转置的运算规律：71.齐次线性方程组的解空间的维数=方程组系数矩阵的列数-系数矩阵的秩 72.特征值和特征向量：给定矩阵，若存在一个非零向量和实数，满足，则称为矩阵的特征值，为矩阵的属于特征值的特征向量。任意矩阵所有特征值的和等于该矩阵对角线元素之和；所有特征值的乘积等于该矩阵的行列式的值。若同阶矩阵和的特征值相同，则有等价于。73.非异矩阵：若 阶矩阵 的行列式不为零，即，则称 为非奇异矩阵或满秩矩阵，否则称 为奇异矩阵或降秩矩阵。74.相似、合同：相似：非异矩阵，使得，则有相似于。相似的判断：相同的特征值、迹（自左上到右下的主对角线的和）、行列式的值相同 合同：非异矩阵，使得，则有与合同。合同的判断：正、负特征值的个数相等 75.线性空间：柯西布涅科夫斯基不等式：设是欧式空间，、，则，当且仅当、线性相关时，等号才成立 本身与都是的子空间，称之为的平凡子空间，而的其他子空间称为非平凡子空间。设与是 线 性 空 间的 两 个 子 空 间，则 76.施密特正交化法：对维欧式空间的任一组基，令，即为的一组标准正交基。