集合公式汇总.pdf

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1、 1 集合公式汇总 集合（简称集）是数学中一个基本概念，它是集合论的研究对象，集合论的基本理论直到 19 世纪才被创立。最简单的说法，即是在最原始的集合论朴素集合论中的定义，集合就是“一堆东西”。集合里的“东西”，叫作元素。由一个或多个元素所构成的叫做集合。若 x 是集合 A 的元素，则记作 xA。集合中的元素有三个特征：1.确定性（集合中的元素必须是确定的）2.互异性（集合中的元素互不相同。例如：集合 A=1，a，则 a 不能等于 1）3.无序性（集合中的元素没有先后之分。）并交集 并集定义：由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，记作 AB（或 BA），读作“A 并 B”（

2、或“B 并 A”），即 AB=x|xA,或 xB。并集越并越多。交集定义：由属于 A 且属于 B 的相同元素组成的集合，记作 AB（或 B A），读作“A 交 B”（或“B 交 A”），即 A B=x|xA,且 xB。交集越交越少。若 A 包含 B，则 A B=B，AB=A 补集 相对补集定义：由属于 A 而不属于 B 的元素组成的集合，称为 B 关于 A 的相对补集，记作 A-B 或 A A B，即 A-B=x|xA，且 x B 绝对补集定义：A 关于全集合 U 的相对补集称作 A 的绝对补集，记作 A 或 u（A）或A。U=；=U （一）元素与集合 1、元素与集合的关系：、若a是集合A的元

3、素，就说a属于A，记作：aA，读作“a属于A”若a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作：aA，读作“a不属于A”。2、集合的表示：列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.形如：1,2,3,5 描述法：x|x具有的性质，其中x为集合的代表元素.形如：x|x22x30 图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.3、常见数集的符号表示：自然数集（非负整数集）N；正整数集N或N；整数集Z；有理数集Q；实数集R；正实数集R 符号法 N：非负整数集合或自然数集合0,1,2,3,2 N*或 N+：正整数集合1,2,3,Z：整数集合,-1,0,1,Q：有理数集合 Q+：正有理数集合Q-：负有理数集

4、合R：实数集合(包括有理数和无理数）R+：正实数集合R-：负实数集合C：复数集合 ：空集合（不含有任何元素的集合称为空集合，又叫空集）（二）集合间的基本关系概念 写法 含义 相等 ABA(B)子集 AB 读作“A包含于B”或“B包含A”（1）（2）A （3）AB真子集 AB 读作“A真包含于B”或“B真包含A”（1）（2）A 非空真子集 AB 且 A 空集 空集是任何集合的子集 注：1、任何集合都是它本身的子集、空集是任何集合的子集。集合 3 2、集合个数：集合 A 中有 n 个元素，则集合 A 的子集有（2n）个，真子集有（21n）个，非空真子集有（22n）个 元素 子集 真子集 非空子集

5、非空真子集 n 2n 21n 21n 22n （三）集合的基本运算及运算法则 集合 韦恩图 数轴表示 交集 在画数轴时，要注意层次感和实心空心！并集 只要是线下面的部分都要！补集 U UAA 注：1、集合运算法则：从括号内开始，由内而外 Cu（AB）=Cu ACu B Cu（AB）=Cu ACu B 2、常见结论：若 AB=B，则AB 若ABA，则AB 集合 4 一知识归纳：1集合的有关概念。1）集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）其中每一个对象叫元素 注意：集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。集合中的元素具有确定性

6、（a?A 和 a?A，二者必居其一）、互异性（若 a?A，b?A，则 ab）和无序性（a,b与b,a表示同一个集合）。集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符号条件 2）集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法 3）集合的分类：有限集，无限集，空集。4）常用数集：N，Z，Q，R，N*2子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。1）子集：若对 xA 都有 xB，则 A B（或 A B）；2）真子集：A B 且存在 x0B 但 x0 A；记为 A B（或，且）3）交集：AB=x|xA 且 xB 4）并集：AB=x|xA 或 xB 5）补集：CUA=x|

7、x A 但 xU 注意：?A，若 A?，则?A；若，则；若 且，则 A=B（等集）3弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：（1）与、?的区别；（2）与 的区别；（3）与 的区别。4有关子集的几个等价关系 AB=A A B；AB=B A B；A B C uA C uB；ACuB=空集 CuA B；CuAB=I A B。5交、并集运算的性质 AA=A，A?=?，AB=BA；AA=A，A?=A，AB=BA；Cu(AB)=CuACuB，Cu(AB)=CuACuB；6有限子集的个数：设集合 A 的元素个数是 n，则 A 有 2n 个子集，2n1 个非空子集，2n2

8、 个非空真子集。二例题讲解：【例 1】已知集合 M=x|x=m+,mZ,N=x|x=,nZ,P=x|x=,pZ，则 M,N,P 满足关系 A)M=N P B)M N=P C)M N P D)N P M 分析一：从判断元素的共性与区别入手。解答一：对于集合 M：x|x=,mZ；对于集合 N：x|x=,nZ 对于集合 P：x|x=,pZ，由于 3(n-1)+1 和 3p+1 都表示被 3 除余 1 的数，而 6m+1 表示被 6 除余 1 的数，所以 M N=P，故选 B。分析二：简单列举集合中的元素。集合 5 解答二：M=，N=，,，P=，,，这时不要急于判断三个集合间的关系，应分析各集合中不同

9、的元素。=N，N，M N，又=M，M N，=P，N P 又 N，P N，故 P=N，所以选 B。点评：由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问题，因此提倡思路一，但思路二易人手。变式：设集合，则（B）AM=N BM N CN M D 解：当 时，2k+1 是奇数，k+2 是整数，选 B 【例 2】定义集合 A*B=x|xA 且 x B，若 A=1,3,5,7,B=2,3,5，则 A*B 的子集个数为 A）1 B）2 C）3 D）4 分析：确定集合 A*B 子集的个数，首先要确定元素的个数，然后再利用公式：集合 A=a1，a2，an有子集 2n 个来求解。解答：A*B=x|xA 且

10、 x B，A*B=1,7，有两个元素，故 A*B 的子集共有 22 个。选 D。变式 1：已知非空集合 M 1,2,3,4,5，且若 aM，则 6?aM，那么集合 M 的个数为 A）5 个 B）6 个 C）7 个 D）8 个 变式 2：已知a,b A a,b,c,d,e,求集合 A.解：由已知，集合中必须含有元素 a,b.集合 A 可能是a,b,a,b,c,a,b,d,a,b,e,a,b,c,d,a,b,c,e,a,b,d,e.评析 本题集合 A 的个数实为集合c,d,e的真子集的个数，所以共有 个.【例 3】已知集合 A=x|x2+px+q=0,B=x|x2?4x+r=0,且 AB=1,AB

11、=?2,1,3,求实数 p,q,r 的值。解答：AB=1 1B 12?41+r=0,r=3.B=x|x2?4x+r=0=1,3,AB=?2,1,3,?2 B,?2A AB=1 1A 方程 x2+px+q=0 的两根为-2 和 1，变式：已知集合 A=x|x2+bx+c=0,B=x|x2+mx+6=0,且 AB=2,AB=B，求实数 b,c,m 的值.解：AB=2 1B 22+m?2+6=0,m=-5 B=x|x2-5x+6=0=2,3 AB=B 又 AB=2 A=2 b=-(2+2)=4,c=22=4 b=-4,c=4,m=-5 【例 4】已知集合 A=x|(x-1)(x+1)(x+2)0,集

12、合 B 满足：AB=x|x-2，且 AB=x|1 分析：先化简集合 A，然后由 AB 和 AB 分别确定数轴上哪些元素属于 B，哪些元素不属于 B。解答：A=x|-21。由 AB=x|1-2可知-1,1 B，而(-,-2)B=。综合以上各式有 B=x|-1x5 变式 1：若 A=x|x3+2x2-8x0，B=x|x2+ax+b0,已知 AB=x|x-4，AB=,求 a,b。（答案：a=-2，b=0）集合 6 点评：在解有关不等式解集一类集合问题，应注意用数形结合的方法，作出数轴来解之。变式 2：设 M=x|x2-2x-3=0,N=x|ax-1=0，若 MN=N，求所有满足条件的 a 的集合。解答：M=-1,3,MN=N,N M 当 时，ax-1=0 无解，a=0 综得：所求集合为-1，0，【例 5】已知集合，函数 y=log2(ax2-2x+2)的定义域为 Q，若 PQ，求实数 a 的取值范围。分析：先将原问题转化为不等式 ax2-2x+20 在 有解，再利用参数分离求解。解答：（1）若，在 内有有解 令 当 时，所以 a-4,所以 a 的取值范围是 变式：若关于 x 的方程 有实根,求实数 a 的取值范围。解答：点评：解决含参数问题的题目，一般要进行分类讨论，但并不是所有的问题都要讨论，怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。