2023年秋经济数学基础形成性考核册及参考答案.pdf

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1、经济数学基础形成性考核册及参考答案作 业（一）(一)填空题 x-s i n x 曜品 八l.bm-=_.答案：03 XX 2 +1 X W 02 .设/(%)=,在 x =0 处连续，则&=_.答案:1(k,x=03.曲线y =4在(1,1)的切线方程是.答案:丁 =g%+g4.设函数/(x+l)=/+2x+5,则/(%)=.答案:2 x5 .设/(%)=x s i n x 测-弓)=.答案:-(二)单项选择题Y 11 .函数y =r-的连续区间是()答案:D-x2+x-2A.(一 8,1)5 1,+)B.(-00,-2)u(-2,-Foo)C.(-oo,-2)U(-2,1)u(l,+oo)D

2、.(-oo,-2)U(-2,+00)或(-oo,l)u(l,+oo)2.下列极限计算对的的是（）答案：BC.l i m x s i n=1X TO x3.设 y =l g 2,则dy=(B.l i m LxI=11 0+Xe V s i n x 1D.l i m-=1XTOO X).答案:B1 0 xA.d v B.-dx2x x l n l O4.若函数/(x)在点x o处可导，则 In 1 0C.-dxx1,D.d xx）是错误的.答案:BA.函数/（x）在点x o处有定义B.l i m/(x)=4,但 A w /(x0)x 0c.函数/a）在点x（）处连续D.函数/（x）在点处处可微5

3、.当x .0 时，下列变量是无穷小量的是（）.答案：CA.2 B s i n x c.l n（l +x）D.cos xx（三）解答题1.计算极限.厂 3x+2(x 2)(x 1)(1)lim；-=hm-e x-1 (x-l)(x+l)lim 士 I(X+l)2x 5x+6(2)hm-=hm1 2 x-6 x+8 2(x-2)(x-3)(X 2)(1)lim1 2x-3(元 4)_2(3)lim乩 壬1=扁M H七 型 三125%TO X(V1-X+1)=lim-.-=lim3 +1)I)(V1 x+1)23 5.x 3x+5.，(4)hm-=hm XX 3x+2x+4*T8 Q 2,4J-1.

4、-X xI3sin 3x 5xsin 3x 3 3(5)lim-=lim-=sin 5x 7 3xsin 5x 5 5/、X2-4 r(x-2)(x+2),(6)hm-=hm-=4x-2 sin(x-2)%-2 sin(x-2)2.设函数x s i.n 1+仇7xa,s i n xx 0 x问：(1)当。力为什么值时,/(x)在 x =O 处有极限存在？(2)当 为 什 么 值 时,/(幻在 x =O 处连续.答案：(1 )当=1,。任意时,/(在x =O 处有极限存在;(2)当a=b=1 时,/(x)在 x =0 处连续。3.计算下列函数的导数或微分：(l)y =x2+2,+1 08 2 1

5、 _2 2,求了答案:y =2 x +2 l n 2 +i x l n 2 ax+h.(2)y =-；，求 y cx+d答案:yQ(C X+d)-C(QX+)(cx+d)2ad-ch(cx+d)?(3 )y=L.,求 yfV 3 7 51-答案:y =(3x 5)2.J3.-5y=.32 j(3x-5产(4)y =Jx-xex,求 y，答案：yr=三 一(x +l)e 2 Jr(5)y=eav sinhx,求 d y答案：y =(e)s i n x +e奴(s i n x)=ae s i n +eav cos/?x h=em(asinbx+b cosbx)dy=eax(asnbx+b cos

6、bx)dxI(6)y=eA+x4x,求d y答案：d yie)dx y=cos V x -e 7 ,求 dy田土.i，八 _r2 s i n J x、,答案:d y =(2xe-尸)d x2 v x(8)y =s i nn x +s i n n x,求 y 答案：yr=nsinnl xcosx+cosnxn=(s i n”“x cos x +cos/i r)(9)y =l n(x +Jl +x?),求 y答案：y =-=(l+l(l +x2p 2 x)=(1+-=)x+y/l+x x +v i +x 2 x +V l +x V l +x 1 +x21cot(10)y=2 x+,求y答案：=1c

7、ot2 In 2x2sin-X1 _2 i _5一上X 2+-X 62 64.下列各方程中y是x的隐函数，试求了或力(1)/+/一盯+3工=1,求 dy答案：解:方程两边关于X求导：2x+2yy-y孙 +3=0(2 y-x)yf=y-2 x-3 ,dy=-dr2 y-x(2)sin(x+y)+e*=4x,求 y答案：解：方程两边关于X求导cos(x+y)(l+y)+e(y+j)=4(cos(x+y)+exyx)yr=4-yexy-cos(x+y),4 -yexy-cos(x+y)y=xe y+cos(x+y)5.求下列函数的二阶导数:(1)y=ln(l+/),求y答案：y2-2 x2(l+/)

8、21 x(2)丁 二 球 了 及 产 y-3-21-45-3X-2-4作业(二)(一)填空题1 .若J/(x)dr=2+2x+c,贝U/(x)=.答案:2ln2+22.J(sinx)dx=.答案:sinx+c3若毋幻+C叫M -.答 案：-卡-2)+C4.设函数9山(1 +x2)dx=_.答案:0d xJl(0 115 .若P(x)=|d r,则 P(x)=_.答案：/7 1 +/V l +x2（二）单项选择题1.下列函数中，（)是x s i n/的原函数.A.co s x22B.2 cos x2C.-2 cos x rD.co s x 22答案：D2.下列等式成立的是（).A.s i ax

9、d x -d(cos r)B.In x d x =d(-)xC.2*d x =d(2)。l n 2D.7=r d x =dyfxJ x答案：C3.下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（）.A.j cos(2 x +l)d r,B.xyll-x2dx答案:CC.x s i n 2 x d xD.J 1 +x24.下列定积分计算对的的是（A.J 2 A d x =2).1 16 _B.J d x =1 5C.，+%3)&=oD.s i n A d x =0J-n答案:D5.下列无穷积分中收敛的是（）.+8 1A.I d x B.Ji x+00 1f +ooC.Jo ecUD.Jr +o0 s i

10、.ri x d x答案：B（三）解答题1 .计算下列不定积分 j dx3)er(l +x)2,(2)j ；=-必J V x冰 旧(l +x),f(l +2 x+x )一；c；xj答案：I 广dx=I-7=-dx=I (x+2x+x)dx)V x J yJX 42=2 v x +x2+x2+c3 5(3)f-4x+2dx答案：j d v =j(x-2)d =x2-2 x +c(4)答案:J占小 T 匕或1 2)=一 口7+。(5 )J x V 2 4-x2d x/i /2 1 _答案:=J z +ld Q +x )=(2 +x2)2 +C答案：=2 j s i n V x d V x=-2 c

11、o s V x +cV x 。r x(7 )x s i n d rJ 2答案：x s i n d x =-J 2x,一dx=-2 x cos+2(c(9 S d r=-2 x cos+4s i n +c2 J 2 2 2(8)j l n(x 4-l)d r答案:J l n(x 4-l)d r=Jl n(x 4-l)d(x +1)=(x+l)l n(x +l)-J(x+l)dln(x+l)=(x +l)l n(x +l)-x +c2.计算下列定积分(1)J Jl%|d x答 案:j-|l-x|d x=|(l-x)d x +j)(x-l)d x =(x-x2)|L1+(-x2-x)p=-j 2 2

12、 2答案：c-/1 d x =V /1 d(+Inx)=2 (1 +l n x)2 f =21 x V l +l n x Jl Jl +l n x(4)f x cos 2 A d xJor生 1 r-1答案：2 x cos 2 A d x =-2 xdsin 2 x =-x s i n 2xJo 2Jo 2-f2s i n 2 x x=-2Jo 220(5 )Jx l n A d x答 案:J：x l n加二：J；l n 疝/=x2 In R：-V d l n x =；(e?+1)4(6)I (l +x e-J:)d xJo答 案：j：(l +x e r)d%=.：-x d e x=3,-xe

13、x+vd A：=5 +5 e 4作业三(-)填空题-10 4-5-1.设矩阵4=3-2 3 2 ,则A的元素电3=.答案：32 16-12 .设A,8均 为3阶矩阵，且 同=同=3,则2 A四=.答案：-7 23.设 均 为 阶 矩 阵,则 等 式(A-B)2 =4 2-2.+5 2成立的充足必要条件是，答案:AB=BA4.设A,B均为阶矩阵，（/一6）可逆，则矩阵A+B X =X的解X=答案:（/B）T A5.设矩阵A =1 0002 000-3A-)1-3oO01-2O1oO一A-氮咨（二）单项选择题I.以下结论或等式对的的是（）.A.若A,B均为零矩阵，则有A =BB.若 A 6=A C

14、,且 AHO,则 6 =CC.对角矩阵是对称矩阵D.若A 0,8工。，则A B。O答案C2.设A为3x 4矩阵，5为5 x 2矩阵，且乘积矩阵A C B，故意义，则。为（）矩阵.A.2 x 4 B.4x 2。C.3x 5。D.5 x 3 答案A3.设A,8均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（）,A.(A +3)T =4-1+B-,B.(A-BY=A-l-B D.AB=BA答案C4 .下列矩阵可逆的是（).1 1B.00-111002-113D.12I2答案A5.矩阵A =232323的秩是().4 4 4A.0 B.1 C.2 D.3 答案 B三、解答题1 .计算(1)-2 1 01 -2-5

15、 3 103 5(2)-0 2 T1 11 _Fo 00-3_|o Oj 03-12 540-122.计算解123-12211-3223-1221-3223.设矩阵A=10=012-121423-11912-470-72 4 56 1 03-2 75 15 2=1 11 0-3 -2 -1431-1，求|的。解 由 于|A目=网 冏2 3H=1 10-1-1 21 =11 02 21 2=(-1)2+3(-1)2=2-1 01|B|=102113 1 22=0-11 0 13-1=01所以|4且=网 忸|=2 x 0 =01 2 44.设矩阵A=2/11,拟定X的值，使r(A)最小。1 1 0

16、答案A1 2 41 2 41 2 4(2)+(l)x(-2)2 2 10 A-4-7(2)(3)0 1 4(3)+(l)x(-l)1 1。0 1 40/I 4 77+1240140A-04当4=2时,r(A)=2达成最小值。45.求矩阵4=2-5 3 2 15-85431-74204-1123的秩。案答-2-532r5-8543A=(1)(3)1-74204-11231-7 4 205-85 4 32-5 3214-1 1 231-7420(2)+(l)x(-5)027-1 5-63+6 x(-2)09-5-21(4)+(l)x(-4)027-1 5-63(3)+(2)x(；)(4)+(2)x

17、(-l)1 -70 270 00 01 5 60 00 03r(A)=2。004 2 06.求下列矩阵的逆矩阵:1 -3 2(1)A=-3 0 11 1 -1答-1-321 0o-(A/)=-301 01 0111 001案r i -32 10 0-+X 30-97 3 10+x(-1)0 4-3-1 0 1(A/)=-5 23-1(2)+(3)x 21 -3 2 10 00-1 1 1 1 20 4 -3-1 0 1(2)+(3)x(-l)(l)+(3)x(-2)1 1 31-3 0-5-8-1 80-1 0-2 -3-70 0 1 3 49A-1(2)A答2 3 73 4 9(A/)=-1

18、 3 -6 -3-4 -2 -12 1 1-1 3-6 -3 1 0 0-4 -2 -1 0 1 02 1 10 0 1(3)+(2)x 41-321 000-1 1 1 1 20 0 1 3 4 9(2)+(3)*2)3)+*2(2)+(3)(-l)(l)x(-l)-10 0 1-3()0010 10 1 2100 10 01 2-6 10-1 3 00 2-7 -10 024 1 2 17.设矩阵A=,B =3 5 225(2)x(-l)+乂1-301 1 30 1 0 2 3 70 0 13 4 9(l)+(2)x(-3)-1302-7-1012，求解矩阵方程X 4=B.1 0 1 2

19、10 1(2)+(l)x(-3)+x 20 1 ：0-1-3 1 ，0X=BA-1四、证明题案-1 04 -22 1 1 00010()1-3 0-10 1010 0 10 1-3 01 2-6 11 0 1 201-5-3(2)x(-l)；01-5 23-11.试证:若用，当 都与A 可互换，则 用+当，用当 也 与 A 可互换。证明：(B1+B2)A=B1A+B2A=ABt+AB2=+B2),BtB-,A=B AB2=ABy B22.试证:对于任意方阵AM+AT,A 4T,ATA是对称矩阵。提 醒：证 明(A +A，T=4+(4,7=41+4=4 +4丁 ，(A 4T)T=(AT)rAT=

20、A 4T,(ATA)T=AT(AT)T=ATA3.设A,5均为阶对称矩阵，则 A8 对称的充足必要条件是：A B=B A.提醒:充足性：证明:由于 AB=R 4 (A B)1 =BrA1=B A =A B必要性:证明：由于AB对称,，AB=(A B)T =8,A，=8 4,所以AB=8 44 .设 A为阶对称矩阵，8 为阶可逆矩阵，且 8 T =8 1证 明 是 对 称 矩 阵。证明：(3%3 尸 一%出-了=B lA (BT)T=B-A B作业(四)(一)填空题1 .函数/(x)=x +在区间 内是单调减少的.答案:(一1,0)。(0,1)X2.函数y =3(x l)2的驻点是,极值点是,它

21、是极值点.答案：x =l,x =l,小3.设某商品的需求函数为式p)=1 0e 3,则需求弹性=.答案：2p1 1 14 .行列式D=_ 1 1 1 =.答案：4-1 -1 11 1 1 6 一5.设线性方程组AX=。，且0-1 3 2，则/时，方程组有唯一解.答案：10 0 1+1 0(二)单项选择题1 .下列函数在指定区间(-00,+0。)上单调增长的是(。).A.s i n x B.e x C.x2 D,3-x答案：B2 .已知需求函数q(p)=1 00 x 2”*。，当 =1 0时，需求弹性为().A.4 x 2-4 pl n 2 B.4 1 n 2 C.-4 1 n 2 D.-4 x

22、 2 pl n 2答案:C3.下列积分计算对的的是（）.fie*e-x(-ev+e-xA.-dx=O B.-d.r=OJ-i 2 2C.j x sin jilr=0 D.J(A：2+x3)dr=0答案:A4.设线性方程组A,*,X=匕有无穷多解的充足必要条件是().A.r(A)=r(A)m B.r(A)n C.m n D.r(A)=r(A)答案:Dxt+x2=a5.设线性方程组 尤 2+七=。2，则方程组有解的充足必要条件是().须 +2X2+X3=3A.a,+a2+a3=0 B.at-a2+a3=0C.at+a2-a3=0 Dat+a2+a3=0答案：C三、解答题1 .求解下列可分离变量的微

23、分方程：(1)y=e f答案:M =ee J eydy=|exd x-e-)，=ex+c(2)曳=二dx 3y答案:J 3y2 dy=J x e d x y3=xex-ev+c2.求解下列一阶线性微分方程：(1)y-=(x+l)3x+12,f2dr f,-f-d x答 案：p(x)=-,7(x)=(x+1)，代 入 公 式 耨 y =e r+l (x+1)e J r+I d x+c =x+1 LJ e2,n(A+,)(x+1)3e-2,n(x+,+c=e2In(x+,)(x +l)x +y2d x+c j；=(x +l)2(1 x2+x +c)(2)yr-=2xsin 2xX1答案：p(x)=

24、,q(x)=2%s i n 2x ,代入公式胃y =,d r|J r 2x s i n 2xe S-x dxdx+c=el n v|j 2x s i n 2x eJ Z r+c=x J 2x s i n 2xdx+c=x,s i n 2M 2x+c y-x(-c os 2x +c)3.求解下列微分方程的初值问题：(1)V=e 2 r,)，(0)=0答 案：*=e e-v J eydy=e2dx,e=+c ,把 y(0)=0代入 e。=ge+c ,C =1,1,12 2 2(2)盯+y -e*=0,y(l)=01 ex 1 ex答 案：y+y =,P(X)=,Q(X)=一，代 入 公 式 得X

25、x X x-dx f eX-dxy=e3x e3 xJ xdx+cx endx+J xy =-(e +c),C=-ex1，1 、y =_(e-e)xX1x,把 y =0 代入4.求解下列线性方程组的一般解:$+2X3-x4=0 x+x2-3X3+2X4=02X I-x2+5X3-3X4=0答案：x,=-2X3+X4（其中项,乙是自由未知量）x2=x3-x4A1001-1201-12-35-12-301-11-110所以，方程的一般解为x.-2x.+x.3 4(其中西,是自由未知量)x2=x3-x42x-x2+x3+x4=1(2)-x,+2无 2-x3+4X4=2x,+lx2-4X3+1 1 光

26、 4 =5案答-2-1 1 1 1 1 1 1 2-1 4 2-(A 份=1 2-1 4 2(1),(2)2-1 1 1 1(2)+(l)x(-2)+6x(1)-1 2-10-5 3(3)+(2)1/1 1 J1 2-1 4 20-5 3-7 -30 0 0 0 01(2)x(-1)1)。1、)1 2|4)115|3 1 一)5|7 4 L1-235 +(2)x(V-2)J -J1 0-530 1 5U U U U U0 0 0471 6 4xi=-7x3-7X4+7 f 三?（其中不,乙是自由未知量）*2=-4+-5.当;I为什么值时，线性方程组4-53-506-57-502-33X,-x2

27、-5X3+4X4=22x,-x2+3*3-x4=17 X -5X2-9X3+1 0 x4=A有解，并求一般解。-1 -1 -5 4 2-2-1 3-1 1(A b)=3-2 -2 3 3n c n 1 n o(2)+(l)x(-2)(3)+(l)x(-3)(4)+(l)x(-7)-1 -1 -5 4 20 1 1 3-9 -30 1 1 3-9 -3/-n n 0 4：i o o 1 A效 案.(3)+(2)x(1)(4)+(2)X(-2)-J y IV 7L1 1 50 1 1 3-0 0 0I 2)-3)0+C0)乙 乙 U IO /L 1 H-10 8-5-10 1 1 3-9 -30

28、0 0 0 00 0 0 0 480 0 0 0 A-8_I x.=-8 x +5 x,-1.当4=8有解，1 3 4(其中玉,是自由未知量)%=13%+9%35.。功为什么值时，方程组X,-x2-x3=1 x,+x2-2X3=2x+3X2+ax3-b答案-i-1-1 rA=1 1 -2 2I 3 a b(2)+(l)x(-l)+6x(-1)-1-1-1 10 2-1 10 4 a+h-+x(2)-1 -1-1 102-1 1 当0 0 a+3 b-3a=3且。3时,方程组无解；当aw-3时，方程组有唯一解；当a=3且。=3时，方程组无穷多解。6.求解下列经济应用问题：(1 )设生产某种产品q

29、个单位时的成本函数为:C(q)=100+0.2 5/+6夕(万元),求：当q=10时的总成本、平均成本和边际成本;当产量q为多少时，平均成本最小?答案:C(10)=185(万元)C(q)=须=图+()25乡 +6q,C(10)=18.5(万元/单位)q qc)=0.5q+6,C(10)=ll(万元/单位)fc(q)=T=一+0.257+6,c(q)=-詈+0.25=0,当产量为20个单位时可使平均成本达成最低。(2).某厂生产某种产品q件时的总成本函数为C(q)=20+4“+0.01/(元)，单位销售价格为 =14-0.0切(元/件)，问产量为多少时可使利润达成最大？最大利润是多少.答案：R(

30、q)=14q-0.01q2,乙)=H(q)-以 幻=10q-0.0 2/-20,Lq=10-0.04(/=0当产量为25 0个单位时可使利润达成最大，且最大利润为1(250)=1230(元)。(3)投产某产品的固定成本为3 6 (万元)，且边际成本为C (q)=2 g+4 0(万元/百台).试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达成最低.解：当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为答案：C =C(6)C(4)=f (2 q+4 0)dq=g2+4 0 q)|：=1 0 0(万元)c(q)=2q+40)dq+3 6 =/+4 0 q+3 6,c(力=3 =7 +4 0 +,Jo q q_ asC (9)=l-7 =6 当x=6(百台)时可使平均成本达成最低.(4 )已知某产品的边际成本C (q)=2(元/件)，固定成本为0,边际收益R(q)=1 2 0.0 2 q,求：产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产5 0件，利润将会发生什么变化？答案:()=R -c 0)=1 0 0.0 2 9 =0,当产量为5 0 0件时，利润最大.二 5(i0 _0 O2 q)dq=(1 0 q_O.0 1 g2)1 M=_2 5(元)J500即利润将减少2 5元.