2022年陕西高考文科数学真题及答案.pdf

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1、2 0 2 2 年 陕 西 高 考 文 科 数 学 真 题 及 答 案一、选择 题：本 题共 12 小题，每 小题 5 分，共 60 分.在每 小题 给出的 四个 选项中，只有 一项是 符合 题目要 求的.1.集 合 2,4,6,8,1 0,1 6 M N x x，则 M N（）A.2,4 B.2,4,6 C.2,4,6,8 D.2,4,6,8,10【答 案】A【解 析】【分 析】根 据 集 合 的 交 集 运 算 即 可 解 出【详 解】因 为 2,4,6,8,10 M，|1 6 N x x，所 以 2,4 M N 故 选：A.2.设(1 2 i)2 i a b，其 中,a b 为 实 数，

2、则（）A.1,1 a b B.1,1 a b C.1,1 a b D.1,1 a b【答 案】A【解 析】【分 析】根 据 复 数 代 数 形 式 的 运 算 法 则 以 及 复 数 相 等 的 概 念 即 可 解 出【详 解】因 为,a b R，2 i 2 i a b a，所 以 0,2 2 a b a，解 得：1,1 a b 故 选：A.3.已 知 向 量(2,1)(2,4)a b，则 a b r r（）A.2 B.3 C.4 D.5【答 案】D【解 析】【分 析】先 求 得a b，然 后 求 得 a b r r.【详 解】因 为 2,1 2,4 4,3 a b，所 以 224 3 5 a

3、 b.故 选：D4.分 别 统 计 了 甲、乙 两 位 同 学 1 6 周 的 各 周 课 外 体 育 运 动 时 长（单 位：h），得 如 下 茎 叶 图：则 下 列 结 论 中 错 误 的 是（）A.甲 同 学 周 课 外 体 育 运 动 时 长 的 样 本 中 位 数 为 7.4B.乙 同 学 周 课 外 体 育 运 动 时 长 的 样 本 平 均 数 大 于 8C.甲 同 学 周 课 外 体 育 运 动 时 长 大 于 8 的 概 率 的 估 计 值 大 于 0.4D.乙 同 学 周 课 外 体 育 运 动 时 长 大 于 8 的 概 率 的 估 计 值 大 于 0.6【答 案】C【解

4、 析】【分 析】结 合 茎 叶 图、中 位 数、平 均 数、古 典 概 型 等 知 识 确 定 正 确 答 案.【详 解】对 于 A 选 项，甲 同 学 周 课 外 体 育 运 动 时 长 的 样 本 中 位 数 为7.3 7.57.42，A 选 项结 论 正 确.对 于 B 选 项，乙 同 学 课 外 体 育 运 动 时 长 的 样 本 平 均 数 为：6.3 7.4 7.6 8.1 8.2 8.2 8.5 8.6 8.6 8.6 8.6 9.0 9.2 9.3 9.8 1 0.18.5 0 6 2 5 81 6，B 选 项 结 论 正 确.对 于 C 选 项，甲 同 学 周 课 外 体 育

5、 运 动 时 长 大 于 8 的 概 率 的 估 计 值60.3 7 5 0.41 6，C 选 项 结 论 错 误.对 于 D 选 项，乙 同 学 周 课 外 体 育 运 动 时 长 大 于 8 的 概 率 的 估 计 值1 30.8 1 2 5 0.61 6，D 选 项 结 论 正 确.故 选：C5.若 x，y 满 足 约 束 条 件2,2 4,0,x yx yy 则 2 z x y 的 最 大 值 是（）A.2 B.4 C.8 D.1 2【答 案】C【解 析】【分 析】作 出 可 行 域，数 形 结 合 即 可 得 解.【详 解】由 题 意 作 出 可 行 域，如 图 阴 影 部 分 所

6、示，转 化 目 标 函 数 2 z x y 为 2 y x z，上 下 平 移 直 线 2 y x z，可 得 当 直 线 过 点 4,0 时，直 线 截 距 最 小，z 最 大，所 以m a x2 4 0 8 z.故 选：C.6.设 F 为 抛 物 线2:4 C y x 的 焦 点，点 A 在 C 上，点(3,0)B，若 A F B F，则 A B（）A.2 B.2 2C.3 D.3 2【答 案】B【解 析】【分 析】根 据 抛 物 线 上 的 点 到 焦 点 和 准 线 的 距 离 相 等，从 而 求 得 点 A 的 横 坐 标，进 而 求 得点 A 坐 标，即 可 得 到 答 案.【详

7、解】由 题 意 得，1,0 F，则 2 A F B F，即 点 A 到 准 线 1 x 的 距 离 为 2，所 以 点 A 的 横 坐 标 为 1 2 1，不 妨 设 点 A 在x轴 上 方，代 入 得，1,2 A，所 以 2 23 1 0 2 2 2 A B.故 选：B7.执 行 下 边 的 程 序 框 图，输 出 的n（）A.3 B.4 C.5 D.6【答 案】B【解 析】【分 析】根 据 框 图 循 环 计 算 即 可.【详 解】执 行 第 一 次 循 环，2 1 2 3 b b a，3 1 2,1 2 a b a n n，2 22 23 12 2 0.0 12 4ba；执 行 第 二

8、次 循 环，2 3 4 7 b b a，7 2 5,1 3 a b a n n，2 22 27 12 2 0.0 15 2 5ba；执 行 第 三 次 循 环，2 7 1 0 1 7 b b a，1 7 5 1 2,1 4 a b a n n，2 22 21 7 12 2 0.0 11 2 1 4 4ba，此 时 输 出 4 n.故 选：B8.如 图 是 下 列 四 个 函 数 中 的 某 个 函 数 在 区 间 3,3 的 大 致 图 像，则 该 函 数 是（）A.3231x xyx B.321x xyxC.22 c o s1x xyxD.22 s i n1xyx【答 案】A【解 析】【分

9、析】由 函 数 图 像 的 特 征 结 合 函 数 的 性 质 逐 项 排 除 即 可 得 解.【详 解】设 321x xf xx，则 1 0 f，故 排 除 B;设 22 c o s1x xh xx，当0,2x 时，0 c o s 1 x，所 以 2 22 c o s 211 1x x xh xx x，故 排 除 C;设 22 s i n1xg xx，则 2 s i n 33 01 0g，故 排 除 D.故 选：A.9.在 正 方 体1 1 1 1A B C D A B C D 中，E，F 分 别 为,A B B C 的 中 点，则（）A.平 面1B E F 平 面1B D D B.平 面1

10、B E F 平 面1A B DC.平 面1/B E F 平 面1A A C D.平 面1/B E F 平 面1 1A C D【答 案】A【解 析】【分 析】证 明 E F 平 面1B D D，即 可 判 断 A；如 图，以 点 D 为 原 点，建 立 空 间 直 角 坐 标 系，设 2 A B，分 别 求 出 平 面1B E F，1A B D，1 1A C D 的 法 向 量，根 据 法 向 量 的 位 置 关 系，即可 判 断 B C D.【详 解】解：在 正 方 体1 1 1 1A B C D A B C D 中，A C B D 且1D D 平 面 A B C D，又 E F 平 面 A

11、B C D，所 以1E F D D，因 为,E F 分 别 为,A B B C 的 中 点，所 以 E F A C，所 以 E F B D，又1B D D D D，所 以 E F 平 面1B D D，又 E F 平 面1B E F，所 以 平 面1B E F 平 面1B D D，故 A 正 确；如 图，以 点 D 为 原 点，建 立 空 间 直 角 坐 标 系，设 2 A B，则 1 12,2,2,2,1,0,1,2,0,2,2,0,2,0,2,2,0,0,0,2,0 B E F B A A C，10,2,2 C，则 11,1,0,0,1,2 E F E B，12,2,0,2,0,2 D B

12、D A，1 1 10,0,2,2,2,0,2,2,0,A A A C A C 设 平 面1B E F 的 法 向 量 为 1 1 1,m x y z，则 有1 11 1 102 0m E F x ym E B y z，可 取 2,2,1 m，同 理 可 得 平 面1A B D 的 法 向 量 为 11,1,1 n，平 面1A A C 的 法 向 量 为 21,1,0 n，平 面1 1A C D 的 法 向 量 为 31,1,1 n，则12 2 1 1 0 m n，所 以 平 面1B E F 与 平 面1A B D 不 垂 直，故 B 错 误；因 为m 与2nu u r不 平 行，所 以 平 面

13、1B E F 与 平 面1A A C 不 平 行，故 C 错 误；因 为m 与3n 不 平 行，所 以 平 面1B E F 与 平 面1 1A C D 不 平 行，故 D 错 误，故 选：A.1 0.已 知 等 比 数 列 na 的 前 3 项 和 为 1 6 8，2 542 a a，则6a（）A.1 4 B.1 2 C.6 D.3【答 案】D【解 析】【分 析】设 等 比 数 列 na 的 公 比 为,0 q q，易 得 1 q，根 据 题 意 求 出 首 项 与 公 比，再 根据 等 比 数 列 的 通 项 即 可 得 解.【详 解】解：设 等 比 数 列 na 的 公 比 为,0 q q

14、，若 1 q，则2 50 a a，与 题 意 矛 盾，所 以 1 q，则 311 2 342 5 1 11168142a qa a aqa a a q a q，解 得19612aq，所 以56 13 a a q.故 选：D.1 1.函 数 c o s 1 s i n 1 f x x x x 在 区 间 0,2 的 最 小 值、最 大 值 分 别 为（）A.2 2，B.3 2 2，C.22 2，D.3 22 2，【答 案】D【解 析】【分 析】利 用 导 数 求 得 f x 的 单 调 区 间，从 而 判 断 出 f x 在 区 间 0,2 上 的 最 小 值 和 最大 值.【详 解】s i n

15、 s i n 1 c o s 1 c o s f x x x x x x x，所 以 f x 在 区 间0,2 和3,2 2 上 0 f x，即 f x 单 调 递 增；在 区 间 3,2 2 上 0 f x，即 f x 单 调 递 减，又 0 2 2 f f，22 2f，3 3 3 1 12 2 2f，所 以 f x 在 区 间 0,2 上 的 最 小 值 为3 2，最 大 值 为22.故 选：D1 2.已 知 球 O 的 半 径 为 1，四 棱 锥 的 顶 点 为 O，底 面 的 四 个 顶 点 均 在 球 O 的 球 面 上，则 当 该四 棱 锥 的 体 积 最 大 时，其 高 为（）A

16、.13B.12C.33D.22【答 案】C【解 析】【分 析】先 证 明 当 四 棱 锥 的 顶 点 O 到 底 面 A B C D 所 在 小 圆 距 离 一 定 时，底 面 A B C D 面 积 最大 值 为22 r，进 而 得 到 四 棱 锥 体 积 表 达 式，再 利 用 均 值 定 理 去 求 四 棱 锥 体 积 的 最 大 值，从 而得 到 当 该 四 棱 锥 的 体 积 最 大 时 其 高 的 值.【详 解】设 该 四 棱 锥 底 面 为 四 边 形 A B C D，四 边 形 A B C D 所 在 小 圆 半 径 为 r，设 四 边 形 A B C D 对 角 线 夹 角

17、为，则21 1 1s i n 2 2 22 2 2A B C DS A C B D A C B D r r r（当 且 仅 当 四 边 形 A B C D 为 正 方 形 时 等 号 成 立）即 当 四 棱 锥 的 顶 点 O 到 底 面 A B C D 所 在 小 圆 距 离 一 定 时，底 面 A B C D 面 积 最 大 值 为22 r又2 2r h 1 则32 2 22 2 2 21 2 2 2 4 32 23 3 3 3 27O A B C Dr r hV r h r r h 当 且 仅 当2 22 r h 即33h 时 等 号 成 立，故 选：C二、填空 题：本 题共 4 小题，

18、每 小题 5 分，共 20 分1 3.记nS 为 等 差 数 列 na 的 前 n 项 和 若3 22 3 6 S S，则 公 差 d _ _ _ _ _ _ _【答 案】2【解 析】【分 析】转 化 条 件 为 1 12+2 2 6 a d a d，即 可 得 解.【详 解】由3 22 3 6 S S 可 得 1 2 3 1 22+3 6 a a a a a，化 简 得3 1 22 6 a a a，即 1 12+2 2 6 a d a d，解 得 2 d.故 答 案 为：2.1 4.从 甲、乙 等 5 名 同 学 中 随 机 选 3 名 参 加 社 区 服 务 工 作，则 甲、乙 都 入 选

19、 的 概 率 为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _【答 案】31 0#0.3【解 析】【分 析】根 据 古 典 概 型 计 算 即 可【详 解】从 5 名 同 学 中 随 机 选 3 名 的 方 法 数 为35C 1 0 甲、乙 都 入 选 的 方 法 数 为13C 3，所 以 甲、乙 都 入 选 的 概 率31 0P 故 答 案 为：31 01 5.过 四 点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)中 的 三 点 的 一 个 圆 的 方 程 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _【答 案】2 22 3 1 3 x y 或 2 22 1 5 x y 或2 24 7

20、 6 53 3 9x y 或 22 8 16915 25x y；【解 析】【分 析】设 圆 的 方 程 为2 20 x y D x E y F，根 据 所 选 点 的 坐 标，得 到 方 程 组，解 得 即可；【详 解】解：依 题 意 设 圆 的 方 程 为2 20 x y D x E y F，若 过 0,0，4,0，1,1，则016 4 01 1 0FD FD E F，解 得046FDE，所 以 圆 的 方 程 为2 24 6 0 x y x y，即 2 22 3 1 3 x y；若 过 0,0，4,0，4,2，则016 4 016 4 4 2 0FD FD E F，解 得042FDE，所

21、以 圆 的 方 程 为2 24 2 0 x y x y，即 2 22 1 5 x y；若 过 0,0，4,2，1,1，则01 1 016 4 4 2 0FD E FD E F，解 得083143FDE，所 以 圆 的 方 程 为2 28 1 403 3x y x y，即2 24 7 6 53 3 9x y；若 过 1,1，4,0，4,2，则1 1 016 4 016 4 4 2 0D E FD FD E F，解 得1651652FDE，所 以 圆 的 方 程 为2 21 6 1 62 05 5x y x y，即 22 8 1 6 915 2 5x y；故 答 案 为：2 22 3 1 3 x

22、y 或 2 22 1 5 x y 或2 24 7 6 53 3 9x y 或 22 8 1 6 915 2 5x y；1 6.若 1l n1f x a bx 是 奇 函 数，则 a_ _ _ _ _，b _ _ _ _ _ _【答 案】.12；.l n 2【解 析】【分 析】根 据 奇 函 数 的 定 义 即 可 求 出【详 解】因 为 函 数 1l n1f x a bx 为 奇 函 数，所 以 其 定 义 域 关 于 原 点 对 称 由101ax 可 得，1 1 0 x a ax，所 以11axa，解 得：12a，即 函数 的 定 义 域 为,1 1,1 1,，再 由 0 0 f 可 得，l

23、 n 2 b 即 1 1 1l n l n 2 l n2 1 1xf xx x，在 定 义 域 内 满 足 f x f x，符 合 题 意 故 答 案 为：12；l n 2 三、解答 题：共 70 分.解答 应写 出文字 说明、证明 过程或 演算 步骤.第 17 21 题为必 考题，每个 试题 考生都 必须 作答.第 22、23 题为 选考 题，考生 根据 要求作 答.1 7.记 A B C 的 内 角 A，B，C 的 对 边 分 别 为 a，b，c 已 知 s i n s i n s i n s i n C A B B C A（1）若 2 A B，求 C；（2）证 明：2 2 22 a b

24、c【答 案】（1）5 8；（2）证 明 见 解 析【解 析】【分 析】（1）根 据 题 意 可 得，s i n s i n C C A，再 结 合 三 角 形 内 角 和 定 理 即 可 解 出；（2）由 题 意 利 用 两 角 差 的 正 弦 公 式 展 开 得 s i n s i n c os c os s i n s i n s i n c os c os s i n C A B A B B C A C A，再 根 据 正 弦 定 理，余弦 定 理 化 简 即 可 证 出【小 问 1 详 解】由 2 A B，s i n s i n s i n s i n C A B B C A 可 得，

25、s i n s i n s i n s i n C B B C A，而02B，所 以 s i n 0,1 B，即 有 s i n s i n 0 C C A，而0,0 C C A，显 然 C C A，所 以，C C A，而 2 A B，A B C，所 以5 8C【小 问 2 详 解】由 s i n s i n s i n s i n C A B B C A 可 得，s i n s i n c os c os s i n s i n s i n c os c os s i n C A B A B B C A C A，再 由 正 弦 定 理 可 得，c o s c o s c o s c o s

26、a c B b c A b c A a b C，然 后 根 据 余 弦 定 理 可 知，2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 12 2 2 2a c b b c a b c a a b c，化 简 得：2 2 22 a b c，故 原 等 式 成 立 1 8.如 图，四 面 体 A B C D 中，,A D C D A D C D A D B B D C，E 为 A C 的 中 点（1）证 明：平 面 B E D 平 面 A C D；（2）设 2,6 0 A B B D A C B，点 F 在 B D 上，当 A F C 的 面 积 最 小 时，求 三 棱 锥F A B C

27、 的 体 积【答 案】（1）证 明 详 见 解 析（2）34【解 析】【分 析】（1）通 过 证 明 A C 平 面 B E D 来 证 得 平 面 B E D 平 面 A C D.（2）首 先 判 断 出 三 角 形 A F C 的 面 积 最 小 时 F 点 的 位 置，然 后 求 得 F 到 平 面 A B C 的 距 离，从 而 求 得 三 棱 锥 F A B C 的 体 积.【小 问 1 详 解】由 于 A D C D，E 是 A C 的 中 点，所 以 A C D E.由 于A D C DB D B DA D B C D B，所 以 A D B C D B，所 以 A B C B，

28、故 A C B D，由 于 D E B D D，,D E B D 平 面 B E D，所 以 A C 平 面 B E D，由 于 A C 平 面 A C D，所 以 平 面 B E D 平 面 A C D.【小 问 2 详 解】依 题 意 2 A B B D B C，6 0 A C B，三 角 形 A B C 是 等 边 三 角 形，所 以 2,1,3 A C A E C E B E，由 于,A D C D A D C D，所 以 三 角 形 A C D 是 等 腰 直 角 三 角 形，所 以 1 D E.2 2 2D E B E B D，所 以 D E B E，由 于 A C B E E，,

29、A C B E 平 面 A B C，所 以 D E 平 面 A B C.由 于 A D B C D B，所 以 F B A F B C，由 于B F B FF B A F B CA B C B，所 以 F B A F B C，所 以 A F C F，所 以 E F A C，由 于12A F CS A C E F，所 以 当 E F 最 短 时，三 角 形 A F C 的 面 积 最 小 值.过 E 作 E F B D，垂 足 为 F，在 R t B E D 中，1 12 2B E D E B D E F，解 得32E F，所 以223 1 31,22 2 2D F B F D F，所 以34B

30、 FB D.过 F 作 F H B E，垂 足 为 H，则/F H D E，所 以 F H 平 面 A B C，且34F H B FD E B D，所 以34F H,所 以1 1 1 3 32 33 3 2 4 4F A B C A B CV S F H.1 9.某 地 经 过 多 年 的 环 境 治 理，已 将 荒 山 改 造 成 了 绿 水 青 山 为 估 计 一 林 区 某 种 树 木 的 总 材积 量，随 机 选 取 了 1 0 棵 这 种 树 木，测 量 每 棵 树 的 根 部 横 截 面 积（单 位：2m）和 材 积 量（单位：3m），得 到 如 下 数 据：样 本 号 1 2 3

31、 4 5 6 7 8 9 1 0总和根 部 横 截 面 积ix0.0 4 0.0 6 0.0 4 0.0 8 0.0 8 0.0 5 0.0 5 0.0 7 0.0 7 0.0 6 0.6材 积 量iy0.2 5 0.4 0 0.2 2 0.5 4 0.5 1 0.3 4 0.3 6 0.4 6 0.4 2 0.4 0 3.9并 计 算 得10 10 102 2i i i ii=1 i=1 i=10.038,1.6158,0.2474 x y x y（1）估 计 该 林 区 这 种 树 木 平 均 一 棵 的 根 部 横 截 面 积 与 平 均 一 棵 的 材 积 量；（2）求 该 林 区 这

32、 种 树 木 的 根 部 横 截 面 积 与 材 积 量 的 样 本 相 关 系 数（精 确 到 0.0 1）；（3）现 测 量 了 该 林 区 所 有 这 种 树 木 的 根 部 横 截 面 积，并 得 到 所 有 这 种 树 木 的 根 部 横 截 面 积总 和 为21 8 6 m 已 知 树 木 的 材 积 量 与 其 根 部 横 截 面 积 近 似 成 正 比 利 用 以 上 数 据 给 出 该 林区 这 种 树 木 的 总 材 积 量 的 估 计 值 附：相 关 系 数i ii=12 2i ii=1 i=1(,1.896 1.377)()()()nn nx x y yrx x y y

33、【答 案】（1）20.0 6 m；30.3 9 m（2）0.9 7（3）31 2 0 9 m【解 析】【分 析】（1）计 算 出 样 本 的 一 棵 根 部 横 截 面 积 的 平 均 值 及 一 棵 材 积 量 平 均 值，即 可 估 计 该 林区 这 种 树 木 平 均 一 棵 的 根 部 横 截 面 积 与 平 均 一 棵 的 材 积 量；（2）代 入 题 给 相 关 系 数 公 式 去 计 算 即 可 求 得 样 本 的 相 关 系 数 值；（3）依 据 树 木 的 材 积 量 与 其 根 部 横 截 面 积 近 似 成 正 比，列 方 程 即 可 求 得 该 林 区 这 种 树 木

34、的总 材 积 量 的 估 计 值【小 问 1 详 解】样 本 中 1 0 棵 这 种 树 木 的 根 部 横 截 面 积 的 平 均 值0.60.0610 x 样 本 中 1 0 棵 这 种 树 木 的 材 积 量 的 平 均 值3.90.3910y 据 此 可 估 计 该 林 区 这 种 树 木 平 均 一 棵 的 根 部 横 截 面 积 为20.0 6 m，平 均 一 棵 的 材 积 量 为30.3 9 m【小 问 2 详 解】10 10i i i ii=1 i=110 10 10 102 22 2 2 2i i i ii=1 i=1 i=1 i=11010 10 x x y y x y

35、x yrx x y y x x y y 2 2(0.038 10 0.06)(1.6158 10.2474 10 0.06 0.39 0.0134 0.01340.970.01377 0.0000 018996.3)则 0.9 7 r【小 问 3 详 解】设 该 林 区 这 种 树 木 的 总 材 积 量 的 估 计 值 为3m Y，又 已 知 树 木 的 材 积 量 与 其 根 部 横 截 面 积 近 似 成 正 比，可 得0.0 6 1 8 6=0.3 9 Y，解 之 得3=1 2 0 9 m Y则 该 林 区 这 种 树 木 的 总 材 积 量 估 计 为31209m2 0.已 知 函

36、数1()(1)l n f x a x a xx（1）当 0 a 时，求()f x的 最 大 值；（2）若()f x恰 有 一 个 零 点，求 a 的 取 值 范 围【答 案】（1）1（2）0,【解 析】【分 析】（1）由 导 数 确 定 函 数 的 单 调 性，即 可 得 解；（2）求 导 得 21 1 ax xf xx，按 照 0 a、0 1 a 及 1 a 结 合 导 数 讨 论 函 数 的 单调 性，求 得 函 数 的 极 值，即 可 得 解.【小 问 1 详 解】当 0 a 时，1l n,0 f x x xx，则 2 21 1 1 xf xx x x，当 0,1 x 时，()0 f x

37、，f x 单 调 递 增；当 1,x 时，()0 f x，f x 单 调 递 减；所 以 m a x1 1 f x f；【小 问 2 详 解】11 l n,0 f x a x a x xx，则 2 21 11 1ax xaf x ax x x，当 0 a 时，1 0 a x，所 以 当 0,1 x 时，()0 f x，f x 单 调 递 增；当 1,x 时，()0 f x，f x 单 调 递 增；在11,a 上，()0 f x，f x 单 调 递 增；在1,1a 上，()0 f x，f x 单 调 递 减；此 时 1 1 0 f a，又 11 11 l nnn nf a n a aa a，当

38、n 趋 近 正 无 穷 大 时，1nfa 趋 近 负 无 穷，所 以 f x 在10,a 有 一 个 零 点，在1,a 无 零 点，所 以 f x 有 唯 一 零 点，符 合 题 意；综 上，a 的 取 值 范 围 为 0,.【点 睛】关 键 点 点 睛：解 决 本 题 的 关 键 是 利 用 导 数 研 究 函 数 的 极 值 与 单 调 性，把 函 数 零 点 问题 转 化 为 函 数 的 单 调 性 与 极 值 的 问 题.2 1.已 知 椭 圆 E 的 中 心 为 坐 标 原 点，对 称 轴 为 x 轴、y 轴，且 过 30,2,12A B 两 点（1）求 E 的 方 程；（2）设 过

39、 点 1,2 P 的 直 线 交 E 于 M，N 两 点，过 M 且 平 行 于 x 轴 的 直 线 与 线 段 A B 交 于点 T，点 H 满 足M T T H 证 明：直 线 H N 过 定 点【答 案】（1）2 214 3y x（2）(0,2)【解 析】【分 析】（1）将 给 定 点 代 入 设 出 的 方 程 求 解 即 可；（2）设 出 直 线 方 程，与 椭 圆 C 的 方 程 联 立，分 情 况 讨 论 斜 率 是 否 存 在，即 可 得 解.【小 问 1 详 解】解：设 椭 圆 E 的 方 程 为2 21 m x ny，过 30,2,12A B，则4 1914nm n，解 得

40、13m，14n，所 以 椭 圆 E 的 方 程 为：2 214 3y x.【小 问 2 详 解】3(0,2),(,1)2A B，所 以2:23 A B y x，若 过 点(1,2)P 的 直 线 斜 率 不 存 在，直 线 1 x.代 入2 213 4x y，可 得2 6(1,)3M，2 6(1,)3N，代 入 A B 方 程223y x，可 得2 6(6 3,)3T，由M T T H 得 到2 6(2 6 5,)3H.求 得 H N 方 程：2 6(2)23y x，过 点(0,2).若 过 点(1,2)P 的 直 线 斜 率 存 在，设1 1 2 2(2)0,(,),(,)k x y k M

41、 x y N x y.联 立2 2(2)0,13 4k x y kx y 得2 2(3 4)6(2)3(4)0 k x k k x k k，可 得1 2 21 2 26(2)3 43(4)3 4k kx xkk kx xk，1 2 222 2 28(2)3 44(4 4 2)3 4ky ykk ky yk，且1 2 2 1 22 4(*)3 4kx y x yk 联 立1,223y yy x 可 得11 1 1 13(3,),(3 6,).2yT y H y x y 可 求 得 此 时1 22 21 1 2:()3 6y yH N y y x xy x x，将(0,2)，代 入 整 理 得1

42、2 1 2 1 2 2 1 1 22()6()3 12 0 x x y y x y x y y y，将(*)代 入，得2 2 224 12 96 48 24 48 48 24 36 48 0,k k k k k k k 显 然 成 立，综 上，可 得 直 线 H N 过 定 点(0,2).【点 睛】求 定 点、定 值 问 题 常 见 的 方 法 有 两 种：从 特 殊 入 手，求 出 定 值，再 证 明 这 个 值 与 变 量 无 关；直 接 推 理、计 算，并 在 计 算 推 理 的 过 程 中 消 去 变 量，从 而 得 到 定 值.（二）选考 题：共 10 分 请考 生在 第 22、23

43、 题中 选定 一题作 答，并用 2B 铅笔在答 题卡 上将所 选题 目对应 的题号 方框 涂黑 按所 涂题号 进行 评分，不涂、多涂均 按所 答第一 题评 分；多 答按所 答第 一题评 分.选修 44：坐 标系 与参数 方程 2 2.在 直 角 坐 标 系 x O y 中，曲 线 C 的 参 数 方 程 为3 c o s 22 s i nx ty t，（t 为 参 数），以 坐 标 原 点为 极 点，x 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，已 知 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为s i n 03m（1）写 出 l 的 直 角 坐 标 方 程；（2）若 l 与 C 有 公

44、共 点，求 m 的 取 值 范 围【答 案】（1）3 2 0 x y m（2）19 512 2 m【解 析】【分 析】（1）根 据 极 坐 标 与 直 角 坐 标 的 互 化 公 式 处 理 即 可；（2）联 立 l 与 C 的 方 程，采 用 换 元 法 处 理，根 据 新 设 a 的 取 值 范 围 求 解 m 的 范 围 即 可.【小 问 1 详 解】因 为 l：s i n 03m，所 以1 3s i n c os 02 2 m，又 因 为 s i n,c o s y x，所 以 化 简 为1 302 2 y x m，整 理 得 l 的 直 角 坐 标 方 程：3 2 0 x y m【小

45、 问 2 详 解】联 立 l 与 C 的 方 程，即 将3 c os 2 x t，2 s i n y t 代 入3 2 0 x y m 中，可 得 3 c os 2 2 s i n 2 0 t t m，所 以23(1 2 s i n)2 s i n 2 0 t t m，化 简 为26 s i n 2 s i n 3 2 0 t t m，要 使 l 与 C 有 公 共 点，则22 6 s i n 2 s i n 3 m t t有 解，令 s i n t a，则 1,1 a，令2()6 2 3 f a a a，(1 1)a，对 称 轴 为16a，开 口 向 上，所 以(1)6 2 3()5 m a

46、xf f a，m i n1 1 2 19()36 6 6 6 f f a，所 以192 56 mm 的 取 值 范 围 为19 512 2 m.选修 45：不 等式 选讲 2 3.已 知 a，b，c 都 是 正 数，且3 3 32 2 21 a b c，证 明：（1）19a b c；（2）12a b cb c a c a b abc；【答 案】（1）证 明 见 解 析（2）证 明 见 解 析【解 析】【分 析】（1）利 用 三 元 均 值 不 等 式 即 可 证 明；（2）利 用 基 本 不 等 式 及 不 等 式 的 性 质 证 明 即 可【小 问 1 详 解】证 明：因 为 0 a，0 b

47、，0 c，则320 a，320 b，320 c，所 以3 3 33 3 32 2 232 2 23a b ca b c，即 1213a b c，所 以19a b c，当 且 仅 当3 3 32 2 2a b c，即319a b c 时 取 等 号【小 问 2 详 解】证 明：因 为 0 a，0 b，0 c，所 以2 b c bc，2 a c ac，2 a b ab，所 以322 2a a ab c b c a b c，322 2b b ba c ac abc，322 2c c ca b a b a b c 3 3 3 3 3 32 2 2 2 2 212 2 2 2 2a b c a b c a b cb c a c a b abc abc abc abc abc 当 且 仅 当 a b c 时 取 等 号