2022年全国新高考I卷数学真题及答案.pdf
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1、2 0 2 2 年 全 国 新 高 考 I 卷 数 学 真 题 及 答 案试 卷 类 型：A2 0 2 2 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试数 学本 试 卷 共 4 页，2 2 小 题，满 分 1 5 0 分.考 试 用 时 1 2 0 分 钟.注 意 事 项：1 答 卷 前，考 生 务 必 用 黑 色 字 迹 钢 笔 或 签 字 笔 将 自 己 的 姓 名、考 生 号、考 场 号 和 座 位 号 填写 在 答 题 卡 上.用 2 B 铅 笔 将 试 卷 类 型（A）填 涂 在 答 题 卡 相 应 位 置 上.将 条 形 码 横 贴 在 答 题卡 右 上 角“条 形
2、码 粘 贴 处”.2 作 答 选 择 题 时，选 出 每 小 题 答 案 后，用 2 B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 选 项 的 答 案 信 息 点涂 黑；如 需 改 动，用 橡 皮 擦 干 净 后，再 选 涂 其 他 答 案，答 案 不 能 答 在 试 卷 上.3 非 选 择 题 必 须 用 黑 色 字 迹 钢 笔 或 签 字 笔 作 答，答 案 必 须 写 在 答 题 卡 各 题 目 指 定 区 域 内 相应 位 置 上；如 需 改 动，先 划 掉 原 来 的 答 案，然 后 再 写 上 新 的 答 案；不 准 使 用 铅 笔 和 涂 改 液.不 按 以 上 要 求 作 答
3、 的 答 案 无 效.4 考 生 必 须 保 持 答 题 卡 的 整 洁.考 试 结 束 后，将 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回.一、选 择 题：本 题 共 8 小 题，每 小 题 5 分，共 4 0 分.在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一项 是 符 合 题 目 要 求 的.1.若 集 合 4,3 1 M x x N x x，则 M N（）A.0 2 x x B.123x x C.3 1 6 x x D.1163x x 2.若 i(1)1 z，则 z z（）A.2 B.1 C.1 D.23.在 A B C 中，点 D 在 边 A B 上，2 B D D A 记C
4、 A m C D n，则C B（）A.3 2 m n B.2 3 m n C.3 2 m n D.2 3 m n 4.南 水 北 调 工 程 缓 解 了 北 方 一 些 地 区 水 资 源 短 缺 问 题，其 中 一 部 分 水 蓄 入 某 水 库.已 知 该 水库 水 位 为 海 拔 1 4 8 5 m 时，相 应 水 面 的 面 积 为21 4 0 0 k m；水 位 为 海 拔 1 5 7 5 m 时，相 应 水 面的 面 积 为21 8 0 0 k m，将 该 水 库 在 这 两 个 水 位 间 的 形 状 看 作 一 个 棱 台，则 该 水 库 水 位 从 海 拔1 4 8 5 m
5、上 升 到 1 5 7 5 m 时，增 加 的 水 量 约 为（7 2.6 5）（）A.9 31.0 1 0 m B.9 31.2 1 0 m C.9 31.4 1 0 m D.9 31.6 1 0 m 5.从 2 至 8 的 7 个 整 数 中 随 机 取 2 个 不 同 的 数，则 这 2 个 数 互 质 的 概 率 为（）A.16B.13C.12D.236.记 函 数()s i n(0)4f x x b 的 最 小 正 周 期 为 T 若23T，且()y f x 的 图 象 关 于 点3,22 中 心 对 称，则2f（）A.1 B.32C.52D.37.设0.110.1 e,l n 0.
6、99a b c，则（）A.a b c B.c b a C.c a b D.a c b 8.已 知 正 四 棱 锥 的 侧 棱 长 为 l，其 各 顶 点 都 在 同 一 球 面 上.若 该 球 的 体 积 为 3 6，且3 3 3 l，则 该 正 四 棱 锥 体 积 的 取 值 范 围 是（）A.8 11 8,4 B.2 7 8 1,4 4 C.2 7 6 4,4 3 D.1 8,2 7 二、选 择 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0 分 在 每 小 题 给 出 的 选 项 中，有 多 项 符 合题 目 要 求 全 部 选 对 的 得 5 分，部 分 选 对 的 得 2
7、 分，有 选 错 的 得 0 分 9.已 知 正 方 体1 1 1 1A B C D A B C D，则（）A.直 线1B C与1D A 所 成 的 角 为 90 B.直 线1B C与1C A 所 成 的 角 为 90 C.直 线1B C与 平 面1 1B B D D 所 成 的 角 为 45 D.直 线1B C与 平 面 A B C D 所 成 的 角 为45 1 0.已 知 函 数3()1 f x x x，则（）A.()f x有 两 个 极 值 点 B.()f x有 三 个 零 点C.点(0,1)是 曲 线()y f x 的 对 称 中 心 D.直 线 2 y x 是 曲 线()y f x
8、 的 切线1 1.已 知 O 为 坐 标 原 点，点(1,1)A 在 抛 物 线2:2(0)C x py p 上，过 点(0,1)B 的 直 线交 C 于 P，Q 两 点，则（）A.C 的 准 线 为 1 y B.直 线 A B 与 C 相 切C.2|O P O Q O A D.2|B P B Q B A 1 2.已 知 函 数()f x及 其 导 函 数()f x 的 定 义 域 均 为 R，记()()g x f x，若322f x，(2)g x 均 为 偶 函 数，则（）A.(0)0 f B.102g C.(1)(4)f f D.(1)(2)g g 三、填 空 题：本 题 共 4 小 题，
9、每 小 题 5 分，共 2 0 分 1 3.81()yx yx 的 展 开 式 中2 6x y 的 系 数 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _（用 数 字 作 答）1 4.写 出 与 圆2 21 x y 和2 2(3)(4)16 x y 都 相 切 的 一 条 直 线 的 方 程_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 5.若 曲 线()exy x a 有 两 条 过 坐 标 原 点 的 切 线，则 a 的 取 值 范 围 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 6.已 知 椭 圆2 22 2:1(0)x
10、 yC a ba b，C 的 上 顶 点 为 A，两 个 焦 点 为1F，2F，离 心 率 为12 过1F 且 垂 直 于2A F 的 直 线 与 C 交 于 D，E 两 点，|6 D E，则 A D E 的 周 长 是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 四、解 答 题：本 题 共 6 小 题，共 7 0 分 解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤 1 7.记nS 为 数 列 na 的 前 n 项 和，已 知11,nnSaa 是 公 差 为13的 等 差 数 列（1）求 na 的 通 项 公 式；（2）证 明：1 21 1 12na
11、a a 1 8.记 A B C 的 内 角 A，B，C 的 对 边 分 别 为 a，b，c，已 知c o s s i n 21 s i n 1 c o s 2A BA B（1）若23C，求 B；（2）求2 22a bc的 最 小 值 1 9.如 图，直 三 棱 柱1 1 1A B C A B C 的 体 积 为 4，1A B C 的 面 积 为2 2（1）求 A 到 平 面1A B C 的 距 离；（2）设 D 为1A C 的 中 点，1A A A B，平 面1A B C 平 面1 1A B B A，求 二 面 角 A B D C 的正 弦 值 2 0.一 医 疗 团 队 为 研 究 某 地
12、的 一 种 地 方 性 疾 病 与 当 地 居 民 的 卫 生 习 惯（卫 生 习 惯 分 为 良 好 和不 够 良 好 两 类）的 关 系，在 已 患 该 疾 病 的 病 例 中 随 机 调 查 了 1 0 0 例（称 为 病 例 组），同 时 在未 患 该 疾 病 的 人 群 中 随 机 调 查 了 1 0 0 人（称 为 对 照 组），得 到 如 下 数 据：不 够 良 好 良 好病 例 组 4 0 6 0对 照 组 1 0 9 0（1）能 否 有 9 9%的 把 握 认 为 患 该 疾 病 群 体 与 未 患 该 疾 病 群 体 的 卫 生 习 惯 有 差 异？（2）从 该 地 的 人
13、 群 中 任 选 一 人，A 表 示 事 件“选 到 的 人 卫 生 习 惯 不 够 良 好”，B 表 示 事 件“选到 的 人 患 有 该 疾 病”(|)(|)P B AP B A与(|)(|)P B AP B A的 比 值 是 卫 生 习 惯 不 够 良 好 对 患 该 疾 病 风 险 程度 的 一 项 度 量 指 标，记 该 指 标 为 R（）证 明：(|)(|)(|)(|)P A B P A BRP A B P A B；（）利 用 该 调 查 数 据，给 出(|),(|)P A B P A B 的 估 计 值，并 利 用（）的 结 果 给 出 R 的估 计 值 附22()()()()(
14、)n a d b cKa b c d a c b d，2P K k 0.0 5 00.0 1 0 0.0 0 1k 3.8 4 1 6.6 3 5 1 0.8 2 82 1.已 知 点(2,1)A在 双 曲 线2 22 2:1(1)1x yC aa a 上，直 线 l 交 C 于 P，Q 两 点，直 线,A P A Q 的 斜 率 之 和 为 0（1）求 l 的 斜 率；（2）若 t a n 2 2 P A Q，求 P A Q 的 面 积 2 2.已 知 函 数()xf x e ax 和()l n g x a x x 有 相 同 的 最 小 值（1）求 a；（2）证 明：存 在 直 线 y b
15、，其 与 两 条 曲 线()y f x 和()y g x 共 有 三 个 不 同 的 交 点，并且 从 左 到 右 的 三 个 交 点 的 横 坐 标 成 等 差 数 列 参 考 答 案一、选 择 题：本 题 共 8 小 题，每 小 题 5 分，共 4 0 分.在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一项 是 符 合 题 目 要 求 的.1.若 集 合 4,3 1 M x x N x x，则 M N（）A.0 2 x x B.123x x C.3 1 6 x x D.1163x x【答 案】D【解 析】【分 析】求 出 集 合,M N 后 可 求 M N.【详 解】1 1 6,
16、3M x x N x x 0，故1163M N x x，故 选：D2.若 i(1)1 z，则 z z（）A.2 B.1 C.1 D.2【答 案】D【解 析】【分 析】利 用 复 数 的 除 法 可 求z，从 而 可 求 z z.【详 解】由 题 设 有21 i1 ii iz，故 1+i z，故 1 i 1 i 2 z z，故 选：D3.在 A B C 中，点 D 在 边 A B 上，2 B D D A 记C A m C D n，则C B（）A.3 2 m n B.2 3 m n C.3 2 m n D.2 3 m n【答 案】B【解 析】【分 析】根 据 几 何 条 件 以 及 平 面 向 量
17、 的 线 性 运 算 即 可 解 出【详 解】因 为 点 D 在 边 A B 上，2 B D D A，所 以2 B D D A，即 2 C D C B C A C D，所 以C B 3 2 3 2 C D C A n m 2 3 m n 故 选：B 4.南 水 北 调 工 程 缓 解 了 北 方 一 些 地 区 水 资 源 短 缺 问 题，其 中 一 部 分 水 蓄 入 某 水 库.已 知 该 水库 水 位 为 海 拔 1 4 8 5 m 时，相 应 水 面 的 面 积 为21 4 0 0 k m；水 位 为 海 拔 1 5 7 5 m 时，相 应 水 面的 面 积 为21 8 0 0 k m
18、，将 该 水 库 在 这 两 个 水 位 间 的 形 状 看 作 一 个 棱 台，则 该 水 库 水 位 从 海 拔1 4 8 5 m 上 升 到 1 5 7 5 m 时，增 加 的 水 量 约 为（7 2.6 5）（）A.9 31.0 1 0 m B.9 31.2 1 0 m C.9 31.4 1 0 m D.9 31.6 1 0 m【答 案】C【解 析】【分 析】根 据 题 意 只 要 求 出 棱 台 的 高，即 可 利 用 棱 台 的 体 积 公 式 求 出【详 解】依 题 意 可 知 棱 台 的 高 为 1 5 7.5 1 4 8.5 9 M N(m)，所 以 增 加 的 水 量 即
19、为 棱 台 的体 积 V 棱 台 上 底 面 积2 6 21 4 0.0 1 4 0 1 0 S km m，下 底 面 积2 6 21 8 0.0 1 8 0 1 0 S km m，6 6 1 21 19 1 4 0 1 0 1 8 0 1 0 1 4 0 1 8 0 1 03 3V h S S S S 6 7 9 9 33 3 2 0 6 0 7 1 0 9 6 1 8 2.6 5 1 0 1.4 3 7 1 0 1.4 1 0(m)故 选：C 5.从 2 至 8 的 7 个 整 数 中 随 机 取 2 个 不 同 的 数，则 这 2 个 数 互 质 的 概 率 为（）A.16B.13C.1
20、2D.23【答 案】D【解 析】【分 析】由 古 典 概 型 概 率 公 式 结 合 组 合、列 举 法 即 可 得 解.【详 解】从 2 至 8 的 7 个 整 数 中 随 机 取 2 个 不 同 的 数，共 有27C 2 1 种 不 同 的 取 法，若 两 数 不 互 质，不 同 的 取 法 有：2,4,2,6,2,8,3,6,4,6,4,8,6,8，共 7 种，故 所 求 概 率2 1 7 22 1 3P.故 选：D.6.记 函 数()s i n(0)4f x x b 的 最 小 正 周 期 为 T 若23T，且()y f x 的 图 象 关 于 点3,22 中 心 对 称，则2f（）A
21、.1 B.32C.52D.3【答 案】A【解 析】【分 析】由 三 角 函 数 的 图 象 与 性 质 可 求 得 参 数，进 而 可 得 函 数 解 析 式，代 入 即 可 得 解.【详 解】由 函 数 的 最 小 正 周 期 T 满 足23T，得2 23，解 得 2 3，又 因 为 函 数 图 象 关 于 点3,22 对 称，所 以3,2 4k k Z，且 2 b，所 以1 2,6 3k k Z，所 以52，5()s i n 22 4f x x，所 以5s i n 2 12 4 4f.故 选：A7.设0.110.1 e,l n 0.99a b c，则（）A.a b c B.c b a C.
22、c a b D.a c b【答 案】C【解 析】【分 析】构 造 函 数()l n(1)f x x x，导 数 判 断 其 单 调 性，由 此 确 定,a b c 的 大 小.【详 解】设()l n(1)(1)f x x x x，因 为1()11 1xf xx x，当(1,0)x 时，()0 f x，当,()0 x 时()0 f x，所 以 函 数()l n(1)f x x x 在(0,)单 调 递 减，在(1,0)上 单 调 递 增，所 以1()(0)09f f，所 以1 0 1l n 09 9，故1 1 0l n l n 0.99 9，即 b c，所 以1()(0)01 0f f，所 以9
23、 1l n+01 0 1 0，故11 09e1 0，所 以11 01 1e1 0 9，故 a b，设()e l n(1)(0 1)xg x x x x，则 21 e 11()+1 e1 1xxxg x xx x,令2()e(1)+1xh x x，2()e(2 1)xh x x x，当0 2 1 x 时，()0 h x，函 数2()e(1)+1xh x x 单 调 递 减，当2 1 1 x 时，()0 h x，函 数2()e(1)+1xh x x 单 调 递 增，又(0)0 h，所 以 当0 2 1 x 时，()0 h x，所 以 当0 2 1 x 时，()0 g x，函 数()e l n(1)
24、xg x x x 单 调 递 增，所 以(0.1)(0)0 g g，即0.10.1 e l n 0.9，所 以a c 故 选：C.8.已 知 正 四 棱 锥 的 侧 棱 长 为 l，其 各 顶 点 都 在 同 一 球 面 上.若 该 球 的 体 积 为 3 6，且3 3 3 l，则 该 正 四 棱 锥 体 积 的 取 值 范 围 是（）A.8 11 8,4 B.2 7 8 1,4 4 C.2 7 6 4,4 3 D.1 8,2 7【答 案】C【解 析】【分 析】设 正 四 棱 锥 的 高 为 h，由 球 的 截 面 性 质 列 方 程 求 出 正 四 棱 锥 的 底 面 边 长 与 高 的 关
25、 系，由 此 确 定 正 四 棱 锥 体 积 的 取 值 范 围.【详 解】球 的 体 积 为 3 6，所 以 球 的 半 径 3 R,设 正 四 棱 锥 的 底 面 边 长 为 2 a，高 为 h，则2 2 22 l a h，2 2 23 2(3)a h,所 以26 h l，2 2 22 a l h 所 以 正 四 棱 锥 的 体 积4 2 62 2 41 1 2 14()=3 3 3 3 6 6 9 3 6l l lV S h a h l l，所 以5 23 31 1 2 449 6 9 6l lV l l，当3 2 6 l 时，0 V，当2 6 3 3 l 时，0 V，所 以 当2 6
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