2021内蒙古考研数学一真题及答案.pdf

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1、11 21 22 0 2 1 内 蒙 古 考 研 数 学 一 真 题 及 答 案一、选 择 题（本 题 共 1 0 小 题，每 小 题 5 分，共 5 0 分.每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 个 选项 是 符 合 题 目 要 求，把 所 选 选 项 前 的 字 母 填 在 答 题 卡 指 定 位 置 上.）ex 1(1)函 数 f(x)=x,x 0,在 x 0 处1,x 0(A)连 续 且 取 极 大 值.(B)连 续 且 取 极 小 值.(C)可 导 且 导 数 为 0.(D)可 导 且 导 数 不 为 0.【答 案】D.【解 析】因 为 l i m f(x)=l i

2、 mex 1 1 f(0)，故 f(x)在 x 0 处 连 续；x 0 x 0 xf(x)f(0)ex 11xex 1 x 11因 为 l i m=l i m l i m，故 f(0)，正 确 答 案 为 D.x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x22 2(2)设 函 数 f x,y 可 微，且 f(x 1,ex)x(x 1)2，f(x,x2)2x2l n x，则 df(1,1)(A)dx dy.(B)dx dy.(C)dy.(D)d y.【答 案】C.【解 析】f(x 1,ex)exf(x 1,ex)(x 1)2 2 x(x 1)f(x,x2)2 x f(x,x2)4 x l n x 2

3、 x x 0 x 1分 别 将y 0，y 1带 入 式 有 f1(1,1)f2(1,1)1，f1(1,1)2 f2(1,1)2联 立 可 得 f1(1,1)0，f2(1,1)1，df(1,1)f1(1,1)d x f2(1,1)d y dy，故 正 确 答 案 为 C.(3)设 函 数 f(x)s i n x在 x 0 处 的 3 次 泰 勒 多 项 式 为 ax bx2 c x3，则1 x2(A)a 1,b 0,c 7.(B)a 1,b 0,c 7.6(C)a 1,b 1,c 7.(D)66a 1,b 1,c 7.6【答 案】A.【解 析】根 据 麦 克 劳 林 公 式 有s i n x x

4、332 373 3f(x)1 x2x 6 o(x)1 x o(x)x x6 o(x)20 1 1 201 故 a 1,b 0,c 7，本 题 选 A.6(4)设 函 数 fx在 区 间0,1上 连 续，则1fxd x n 2k 1 1n 2k 1 1(A)l i mf.(B)l i mf.n k 1 2n2nn k 1 2nn2 n k 1 12 n k 2(C)l i mf.(D)l i mf.n k 1【答 案】B.2n nx 0k 1 2n n【解 析】由 定 积 分 的 定 义 知，将0,1 分 成 n 份，取 中 间 点 的 函 数 值，则1n 2k 1 10f(x)d x l i

5、m f2 nn,即 选 B.n k 1(5)二 次 型 f(x,x,x)(x x)2(x x)2(x x)2的 正 惯 性 指 数 与 负 惯 性 指 数 依 次 为1 2 3 1 2 2 3 3 1(A)2,0.(B)1,1.(C)2,1.(D)1,2.【答 案】B.【解 析】f(x,x,x)(x x)2(x x)2(x x)2 2 x2 2 x x 2 x x 2 x x1 2 3 1 2 2 3 3 1 2 1 2 2 3 1 30 1 1所 以 A 1 2 1，故 特 征 多 项 式 为1 1 0 1|E A|1 2 1 1 1 1(1)(3)令 上 式 等 于 零，故 特 征 值 为

6、 1，3，0，故 该 二 次 型 的 正 惯 性 指 数 为 1，负 惯 性 指 数 为 1.故 应 选 B.1 1 3(6)已 知 0，2，1，记，k，l l，1 2 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 2 2若 1，2，3两 两 正 交，则 l1，l2依 次 为5 1(A),.2 25 1(B),.2 2(C)5,1.2 2(D)5,1.2 2【答 案】A.【解 析】利 用 斯 密 特 正 交 化 方 法 知 0 2,1 2，1,1 3,1 3,2，3 3,1,2故 l1 3,15，l 1,1 21 1 2 2 3,21，故 选 A.2,2 2(7)设 A,B 为 n 阶 实 矩 阵，

7、下 列 不 成 立 的 是2 223 1 21 2 1 21 2 1 2n1 1 2 2 n n 1 2 1 2 A O A A B(A)rO ATA 2 rA(B)rO AT 2 rAA B A A O(C)rO A AT 2 rA【答 案】C.(D)rB A AT 2 rAA OT【解 析】(A)rO ATA r(A)r(A A)2 r(A).故 A 正 确.(B)A B 的 列 向 量 可 由 A 的 列 线 性 表 示，故 r A A B r A O r(A)r(AT)2 r(A).O AT 0 AT(C)B A 的 列 向 量 不 一 定 能 由 A 的 列 线 性 表 示.(D)B

8、 A 的 行 向 量 可 由 A 的 行 线 性 表 示，rA B A rA O r(A)r(AT)2 r(A).O AT 0 AT 本 题 选 C.(8)设 A，B 为 随 机 事 件，且 0 P(B)1，下 列 命 题 中 不 成 立 的 是(A)若 P(A|B)P(A)，则 P(A|B)P(A).(B)若 P(A|B)P(A)，则 P(A|B)P(A)(C)若 P(A|B)P(A|B)，则 P(A|B)P(A).(D)若 P(A|A B)P(A|A B)，则 P(A)P(B).【答 案】D.P(A(A B)【解 析】P(A|A B)P(A B)P(A)P(A)P(B)P(A B)P(A|

9、A B)P(A(A B)P(A B)P(A B)P(A B)P(B)P(A B)P(A)P(B)P(A B)因 为 P(A|A B)P(A|A B)，固 有 P(A)P(B)P(A B)，故 正 确 答 案 为 D.(9)设X,Y,X,Y,X,Y 为 来 自 总 体 N,;2,2;的 简 单 随 机 样 本，令1n1n 1 2,X nXi,Y nYi,X Y,则i 1 i 12 2(A)是 的 无 偏 估 计，D1 22 2(B)不 是 的 无 偏 估 计，D n2 2 2(C)是 的 无 偏 估 计，D n2 2 2(D)不 是 的 无 偏 估 计，D n【答 案】C.【解 析】因 为 X,

10、Y 是 二 维 正 态 分 布，所 以 X 与 Y 也 服 从 二 维 正 态 分 布，则 X Y 也 服 从 二 维 正 态分 布，即 E()E(X Y)E(X)E(Y)1 2，41 60 2 2 2 D()D(X Y)D(X)D(Y)c ov(X,Y)1 2 1 2，故 正 确 答 案 为 C.n(1 0)设 X1,X2,X1 6是 来 自 总 体 N,4 的 简 单 随 机 样 本，考 虑 假 设 检 验 问 题：H0:10,H1:10.x 表 示 标 准 正 态 分 布 函 数，若 该 检 验 问 题 的 拒 绝 域 为 W X 1 1，11 6其 中 X Xi，则 11.5 时，该

11、检 验 犯 第 二 类 错 误 的 概 率 为i 1(A)1 0.5(B)1 1(C)1 1.5【答 案】B.【解 析】所 求 概 率 为 P X 1 1(D)1 2 X N(1 1.5,1)，4 P X 11 P X 11.511 11.5 1(1)1 1 故 本 题 选 B.2 2 二、填空 题（本 题 共 6 小 题，每 小 题 5 分，共 30 分.请将 答案 写在答 题纸 指定位 置上.）(1 1)0【答 案】4【解 析】0dxx2 2x 2dxx2 2x 2.d x0(x 1)2 1 a r c t a n(x 1)2 4 4 x 2et t 1,x 0 d2y(1 2)设 函 数

12、 y y(x)由 参 数 方 程y 4(t 1)et t2,x 0确 定,则d x2 t 0.2【答 案】.3d y 4t et 2t d2y(4 et 4t et 2)(2 et 1)(4 t et 2t)2 et【解 析】由 d x 2et 1，得 dx2，(2 et 1)3将 t 0 带 入 得t 02.3(1 3)欧 拉 方 程 x2y x y 4 y 0 满 足 条 件 y(1)1,y(1)2 得 解 为 y.【答 案】x2.【解 析】令 x et，则 x yd y,x2y d2y dy，原 方 程 化 为d2y 4 y 0，特 征 方 程 为dt d x2dx d x22 4 0，

13、特 征 根 为 2,2，通 解 为 y C e2 t C e 2 t C x2 C x 2，将 初 始 条 件1 2 1 2 1 2y(1)1,y(1)2 带 入 得 C 1,C 0，故 满 足 初 始 条 件 的 解 为 y x2.1 2(1 4)设 为 空 间 区 域(x,y,z)x2 4 y2 4,0 z 2 x2d y d z y2d z d x z d x dy.【答 案】4.表 面 的 外 侧，则 曲 面 积 分d2yd x2 521 1 111【解 析】由 高 斯 公 式 得 原 式=(2 x 2 y 1)dV 0d z d x dy 4.D(1 5)设 A ai j为 3 阶

14、矩 阵，Ai j为 代 数 余 子 式，若 A 的 每 行 元 素 之 和 均 为 2，且A1 1 A2 1 A3 1=.3A 3，【答 案】2.1 1 1【解 析】A1 21,A,2,1,则 A*的 特 征 值 为，对 应 的 特 征 向 量 为 1 A A1 1A2 1 A3 1 1 A1 1 A2 1 A3 1 1 A 1,A*而 A*A A A,A*1A A A1，即 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3 2 1A A A 1 A A A 1 1 3 2 3 3 3 1 3 2 3 3 3 3A1 1 A2 1 A3 12.(1 6)甲 乙 两 个 盒 子 中 各 装 有 2 个

15、 红 球 和 2 个 白 球，先 从 甲 盒 中 任 取 一 球，观 察 颜 色 后 放 入 乙 盒 中，再 从 乙 盒 中 任 取 一 球.令 X,Y 分 别 表 示 从 甲 盒 和 乙 盒 中 取 到 的 红 球 个 数，则 X 与 Y 的 相 关 系数.1【答 案】.5(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)0 1 0 1【解 答】联 合 分 布 率(X,Y)3 1 1 3,X1 1Y1 1 10 5 5 10 2 2 2 2 c ov(X,Y)1，D X 1,D Y 1,即 1.20 4 4X Y5三、解答 题（本 题共 6 小题，共 70 分.请将 解答 写在答 题纸 指定位 置上，

16、解答 应写出文 字说 明、证 明过 程或演 算步骤.）(1 7)(本 题 满 分 1 0 分)求 极 限 l i m1 xet2dt0.x 0ex 1 s i n x 1【答 案】.21xet2dt0s i n x 1xet2dt0【解 析】解：l i m l i mx 0ex 1 s i n xx 0(ex 1)s i n x 又 因 为xet2d t x(1 t2 o(t2)d t x 1x3 o(x3)，故0 03(x 1x3 o(x3)(1 x 1x3 o(x3)x 1x2 o(x2)原 式=l i m3!3!2x 0 x21x2 o(x2)=l i m21.x 0 x22A 6n 1

17、x xz1(1 8)(本 题 满 分 1 2 分)n x1n 1设 un(x)e xn(n 1)(n 1,2,)，求 级 数un(x)的 收 敛 域 及 和 函 数.n 1 e x【答 案】S(x)1 e x(1 x)l n(1 x)x,x(0,1).e,x 1【解 析】e 1 1 nxe xS(x)u(x)enx n(n 1)xn 1,收 敛 域(0,1,S(x)e1 e x,x(0,1 n 1 n 1 n 1S(x)1n 1xn 1xn 1 x l n(1 x)l n(1 x)x 2n 1n(n 1)n 1 n n 1 n 1(1 x)l n(1 x)x,S2(1)l i m S2(x)1

18、x 1x(0,1)e x S(x)1 e x(1 x)l n(1 x)x,x(0,1)e,x 1 e 1(1 9)(本 题 满 分 1 2 分)x2 2 y2 z 6已 知 曲 线 C:4x 2 y z 30，求 C 上 的 点 到 x oy 坐 标 面 距 离 的 最 大 值.【答 案】6 6【解 析】设 拉 格 朗 日 函 数 L x,y,z,z2 x2 2 y2 z 6(4 x 2 y z 3 0)L 2 x 4 u 0Ly 4 y 2 u 0L 2 z u 0 x2 2 y2 z 64 x 2 y z 3 0解 得 驻 点：(4,1,1 2),(8,2,6 6)C 上 的 点(8,2,

19、6 6)到 x o y 面 距 离 最 大 为 6 6.(2 0)(本 题 满 分 1 2 分)设 D R2是 有 界 单 连 通 闭 区 域，I(D)(1)求 I(D1)的 值.(4 x2 y2)dx dy 取 得 最 大 值 的 积 分 区 域 记 为 D.D(2)计 算 D1【答 案】.(x ex2 4 y2 y)dx(4 y ex2 4 y2 x)d yx2 4 y2，其 中 D1是 D1的 正 向 边 界.【解 析】（1）由 二 重 积 分 的 几 何 意 义 知：I(D)(4 x2 y2)d，当 且 仅 当 4 x2 y2在 D 上D2 22大 于 0 时，I(D)达 到 最 大，

20、故 D：x2 y2 4 且 I(D)=d(4 r)r dr 8.1 100(2)补 D2:x 4 y r（r 很 小），取 D 的 方 向 为 顺 时 针 方 向，2 2 2 D1(x ex2 4 y2 y)d x(4 y ex2 4 y2 x)d y=x2 4 y2273 23 2 63 63 23 2 63 6r 162 1 D1 D2(x ex2 4 y2 y)d x(4 y ex2 4 y2 x)dyx2 4 y2 D2(x ex2 4 y2 y)dx(4 y ex2 4 y2 x)d yx2 4 y2 1er2r2 D2x dx 4 y d y 1er2r2 D2y dx x dy

21、1 2 d.D2(2 1)(本 题 满 分 1 2 分)a已 知 A 11 1 a 1.1 1 a(1)求 正 交 矩 阵 P,使 得 PTA P 为 对 角 矩 阵；(2)求 正 定 矩 阵 C,使 得 C2(a 3)E A.1 1 1 6 5 31【答 案】(1)P 1 1 1；(2)C 1 5 1.3 3 102 11 5【解 析】3 3 a 1 1(1)由 E A 1 a 1(a 1)2(a 2)01 1得 1 a 2,2 3 a 1当 1 a 2 时 a2 1 1 1 0 1 1(a 2)E A)1 2 1r0 1 1的 特 征 向 量 为 1，1 1 2 0 0 0当 2 3 a

22、1 所1 1 1 1 1 1 1 1 1(a 1)E A)1 1 1r0 0 0的 特 征 向 量 为 1,1，2 3 1 1 1 0 0 00 2 111 1 1 1a 2令 P 1,2,3，则 PTA P a 1，1 2 3 a 1102 1(2)PTC2P PT(a 3)E A)P(a 3)E 4 4 8YY 2 X PTC P PTC P，31 1 故 C P2PT 1 5 1.3 32(2 2)(本 题 满 分 1 2 分)11 53 3在 区 间(0,2)上 随 机 取 一 点，将 该 区 间 分 成 两 段，较 短 的 一 段 长 度 记 为 X,较 长 的 一 段 长 度 记

23、为Y,令 Z Y.X(1)求 X 的 概 率 密 度；(2)求 Z 的 概 率 密 度.(3)求 E X.1,0 x 12,z 1【答 案】(1)X f(x)0,其 他；(2)fZ(z)(FZ(z)(z 1)2.(3)1 2 l n 2.1,0 x 10,其 他【解 析】(1)由 题 知：X f(x)；0,其他2 X(2)由 Y 2 X，即 Z，先 求 Z 的 分 布 函 数：XF(z)PZ z P 2 X z P 2 1 zZ X X 当 z 1 时，FZ(z)0；当 z 1 时，2 222FZ(z)P 1 z 1 PX 1 z 11 d x 1；X 2,z 1z 1 0z 1 2fZ(z)(FZ(z)(z 1)；0,其 他(3)E X E X1x 1dx 1 2 l n 2.02 x1 14 P4TC P 2 2 5 1