2020上海考研数学一真题及答案.pdf

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1、x2x200 x 02 0 2 0 上 海 考 研 数 学 一 真 题 及 答 案一、选 择 题：1 8 小 题，第 小 题 4 分，共 3 2 分.下 列 每 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 个 选 项是 符 合 题 目 要 求 的，请 将 选 项 前 的 字 母 填 在 答 题 纸 指 定 位 置 上.1.x 0时，下 列 无 穷 小 阶 数 最 高 的 是A.xet2 1d tB.xl n1+t3d tC.s i n xs i n t2d t01 c o s xD.01.答 案：Ds i n3t dt2.设 函 数 f(x)在 区 间（-1，1）内 有 定 义，且l i

2、m f(x)0,则（）A.当l i mx 0B.当 l i mx 0f(x)0,f(x)在 x 0处 可 导.|x|f(x)0,f(x)在x 0 处 可 导.C.当f(x)在 x 0处 可 导 时,l i mx 0D.当f(x)在 x 0 处 可 导 时,l i mx 0f(x)0.|x|f(x)0.x2x2 y2x2 y2x2 y2x2 y2x2 y2x2 y22.答 案：B解 析:l i mf(x)0 l i mf(x)0 l i mf(x)0,l i mf(x)0 x 0 x 0|x|x 0 x x 0 x l i mf(x)0,l i m f(x)0 x 0 xx 0 l i mf(x

3、)f(0)l i mf(x)0 f(0)x 0 x 0 x 0 x f(x)在 x 0 处可 导选 Bl i m(x,y)(0,0)l i m(x,y)(0,0)l i m(x,y)(0,0)l i m(x,y)(0,0)|n(x,y,f(x,y)|0存在|n(x,y,f(x,y)|0 存在|d(x,y,f(x,y)|0存在|d(x,y,f(x,y)|03.答 案：A解 析：f(x,y)在(0,0)处 可 微.f(0,0)=0 l i mx 0y 0f(x,y)f(0,0)fx(0,0)x fy(0,0)y 0即l i mx 0y 0f(x,y)fx(0,0)x fy(0,0)y 0 n x,

4、y,f(x,y)fx(0,0)x fy(0,0)y f(x,y)nx,y,f(x,y)A.B.C.D.4.设 R 为 幂 级 数ar 的 收 敛 半 径，r 是 实 数，则（）A.a r发 散 时，|r|RB.a r发 散 时，|r|RC.|r|R时，a r发 散D.|r|R时，a r发 散 R 为 幂 级 数a x 的 收 敛 半 径.a x在(R,R)内 必 收 敛.a r发 散 时，|r|R.1 1 l i m(x,y)(0,0)0 存 在 选 A.nnn 1nnn 1nnn 1nnn 1nnn 14.答 案：A解 析：nnn 1nnn 1nnn 1 选 A.5.若 矩 阵 A 经 初

5、等 列 变 换 化 成 B，则（）A.存 在 矩 阵 P，使 得 P A=BB.存 在 矩 阵 P，使 得 B P=AC.存 在 矩 阵 P，使 得 P B=AD.方 程 组 A x=0 与 B x=0 同 解5.答 案：B解 析：A 经 初 等 列 变 换 化 成 B.存 在 可 逆 矩 阵 P1使 得 A P1 B A B P 1令P P 1 A B P.选B.6.已 知 直 线L:x a2y b22 c2与 直 线L:x a3y b32 c3相 交 于 一 点，法1 aia1b1c1a2b2c2向 量 ab,i 1,2,3.则iiciA.a1可 由 a2,a3线 性 表 示B.a2可 由

6、 a1,a3线 性 表 示C.a3可 由 a1,a2线 性 表 示D.a1,a2,a3线 性 无 关6.答 案：C解 析：令 L 的 方 程x a2=y b2z c2 t1 x a1b1c1 a2 a1即 有yb tb=t 2 12 1z c c 2 1 x a3 a2由 L 的 方 程 得yb tb=t 2 3 23 2z c c 3 2 由 直 线 L1与 L2相 交 得 存 在 t 使 2 t 1 3 t 2即3 t 1(1 t)2，3可 由1,2线 性 表 示，故 应 选 C.7.设 A,B,C 为 三 个 随 机 事 件，且 P(A)P(B)P(C)1,P(A B)04P(A C)P

7、(B C)11 23A.42B.31C.2，则 A,B,C 中 恰 有 一 个 事 件 发 生 的 概 率 为25D.127.答 案：D解 析：P(A B C)P(A B U C)P(A)P A(B U C)P(A)P(A B A C)P(A)P(A B)P(A C)P(A B C)1 0 1 0 14 12 6P(B A C)P(B A U C)P(B)P B(A U C)P(B)P(B A)P(B C)P(A B C)1 0 1 0 14 12 6P(C B A)P(C B U A)P(C)P C U(B U A)P(C)P(C B)P(C A)P(A B C)111 0 14 12 12

8、 12P(A B C A B C A B C)P(A B C)P(A B C)P(A B C)11156 6 12 12选 择 D8.设 X1,X2,Xn为 来 自 总 体 X 的 简 单 随 机 样 本，其 中 P(X 0)P(X 1)1,(x)表21 0 0示 标 准 正 态 分 布 函 数，则 利 用 中 心 极 限 定 理 可 得 P Xi 5 5的 近 似 值 为 i 1 A.1(1)B.(1)C.1(2)D.(2)8.答 案：B解 析：由 题 意E X 1,D X 12 4 1 0 0 1 0 0E Xi X 1 0 0 E X 5 0.D Xi 1 0 0 D X 25 i 1

9、i 1 1 0 0由 中 心 极 限 定 理 Xi N(50,25)i 11 0 01 0 0 Xi 5555 5 0 P Xi 55 Pi 15 5(1)i 1 故 选 择 B二、填 空 题：9 1 4 小 题，每 小 题 2 分，共 2 4 分。请 将 解 答 写 在 答 题 纸 指 定 位 置 上.9.l i m 11 x 0ex 1 l n(1 x)9.解 析：l i m 11 x 0ex 1 l n(1 x)l i ml n(1 x)ex 1xx 0(e 1)l n(1 x)l i mx 0l n(1 x)ex 1x21 ex l i m1 xx 02 x 1x 1 0.设 d2y，

10、则2|t 1y l n(t 1 0.解 析：t2 1)dxdy1 1 t dy t t2 1t2 11dt dxdx t tdtt2 1t2 12fdt0 dy2 dy dtddy 12 dt t 3dx2得dx t 1dx ttdt1 1.若 函 数 f(x)满 足 f(x)af(x)f(x)0(a 0),且 f(0)m,f(0)n，则 f(x)d x01 1.解 析：特 征 方 程 为2 a 1 01 0,2 0特 征 根 为 1,2，则 1 2 a,1 2 1，特 征 根 f(x)d x f(x)af(x)d x0 0 f(x)af(x)|n amx yx t21 2.设 函 数 f(x

11、,y)e dt，则01 2.解 析：(1,1)f ex(x y)2 x x ex3y2 y f 2 f y=ex3y 3 x3y2ex3y2 x y x=e+3e 4e.(1,1)a 0 1 101 3.行 列 式a 1 1 1 1 a 01 1 0 at2 1t2 1d y222fd 002x s i n x dx 2 21 3.解 析：a 0 1 1 a 0 1 10 a 1 10 a 1 1 1 1 a 0 1 1 a 01 1 0 a 0 0 a a0 a 1 a21a 1 a210 a 1 1 a1 1 1 1 a 00 a a0 0 a aa a2 2 1 a 2 1 a4 4a2

12、.0 0 a1 4.设 X 服 从 区 间,上 的 均 匀 分 布，Y s i n X，则C o v(X,Y)1 4.解 析：1 解 f(x)0 x 2 2其他c ov(X,Y)E X Y E X E Y E(X s i n X)E X E(s i n X)111 2 2 21 22x s i n x dx 022(x)d c os x2 x c os x22c os x d x002 0 s i n x220三、解 答 题：1 5 2 3 小 题，共 9 4 分.请 将 解 答 写 在 答 题 纸 指 定 位 置 上.解 答 写 出 文 字 说 明、证 x d x s i n x d x 明

13、 过 程 或 演 算 步 骤.1 5.（本 题 满 分 1 0 分）求 函 数 f(x,y)x3 8 y3 x y 的 最 大 值1 5.解 析：求 一 阶 导 可 得 f 3 x2 y x f 24 y2 x y f 0 x 1 x令 f x 0 6y 01 0 y求 二 阶 导 可 得y 122f x2 6x2f x2y 12f y2 48 y当 x 0,y 0时.A 0.B 1.C 0A C B2 0故 不 是 极 值.当 x 1y 1时6 12A 1.B 1.C 4.A C B2 0.A 1 0 故 1,1 是极小值点 1 1 1 36 12131 1极 小 值f,8 6 612 6

14、12 1 6.（本 题 满 分 1 0 分）12 216计 算 曲 线 积 分 I 1 6.解 析：4x yL4x2 y2dx x y4x2 ydy，其 中L是 x2 y2 2，方 向 为 逆 时 针 方 向设 P 4x y4 x2 y2,Q x y4x2 y2可 得 2 2 2D2.n n nn Q P 4x2 y2 8x y则 x y(4 x2 y2)2取 路 径 L:4x2 y2 2,方 向 为 顺 时 针 方 向.则4 x ydx x ydyL4 x2 y24x2 y24 x yL L 4 x2 y2dx x y4x2 y2dy 4x yL 4x2 y2dx x ydy4x2 y2 Q

15、 P dx dy 1(4 x y)d x(x y)d yLD x y 11(1)dx dy 12 S 12 D2 21 7.（本 题 满 分 1 0 分）1 a xn设 数 列 an 满 足 a1 1,(n 1)an 1 n 2an，证 明：当|x|1 时 幂 级 数nn 1 收 敛，并 求 其 和 函 数.1 7.证 明：由(n 1)an 1 a,a 1 知 a 0n 1 2 n 1 n n 1则an 1 2 1，即 an 1 anann 1故 a 单 调 递 减 且 0 a 1，故 a xn xn 当|x|1时，xn绝 对 收 敛，故a xn收 敛.n 1 n 11 xx2 y2x2 y2

16、2x2 y2x2 y2nn 12nn1yS(x)ax na xn 1(n 1)a xn n n 1 n 1n n 1n 0 a1(n 1)a xnn 1 1 n1 na xn 1 1 na x a xnnn 12n 1 1 xna xn 11S(x)nn 12 1 x S(x)1S(x)2则(1 x)S(x)1S(x)1即 S(x)1S(x)12解 得 S(x)1 2 c2(1 x)1 x1 x又 S(0)0 故 c 2因 此S(x)21 x 2.1 8.（本 题 满 分 1 0 分）设 为 曲 面 Z x2 y2 4的 下 侧，f(x)是 连 续 函 数，计 算I x f(x y)2x y

17、y dy dz y f(x y)2 y x dz dx z f(x y)z dx dy1 8.解 析：x yz 则z x,z 方 向 余 弦 为c os 1 x,c os 1y,c o s 12 2于 是x2 y2x2 y2x2 y2x2 y2x y x(0,2)I 1x y x f(x y)2x y y 2x2y x y 2 y2 x y y f(x y)2y x 2 2 z f(x y)z d S x y d x d y Dx y 4 2y22 2d x d y D1 22r2s i n22 42d r dr 2dr2dr0 1r 0 1 42 77 0.1 9.设 函 数 f(x)在 区

18、 间 0,2 上 具 有 连 续 导 数，f(0)f(2)0,M m a x|f(x)|,证 明（1）存 在(0,2)，使 得|f()|M（2）若 对 任 意 的 x(0,2),|f(x)|M，则 M 0.1 9.证 明：（1）由 M m a x|f(x)|，x 0,2 知 存 在 c 0,2，使|f(c)|M，若c 0,1，由 拉 格 朗 日 中 值 定 理 得 至 少 存 在 一 点(0,c)，使f()f(c)f(0)f(c)c c从 而|f()|f(c)|M Mc c若 c(1,2，同 理 存 在(c,2)使f()f(2)f(c)f(c)2 c从 而|f()|f(c)|2 c2 cM M

19、2 cx2 y2x2 y22综 上，存 在(0,2)，使|f()|M.（2）若 M 0，则 c 0,2.由 f(0)f(2)0 及 罗 尔 定 理 知，存 在(0,2)，使 f()0,当(0,c 时，f(c)f(0)cf(x)d x0M|f(c)|f(c)f(0)|c|f(x)|d x M c,0又 f(2)f(c)2f(x)d xcM|f(c)|f(2)f(c)|2|f(x)|d x M(2 c)c于 是 2 M M c M(2 c)2 M 矛 盾.故 M 0.2 0.设 二 次 型 f(x,x)x2 4x x 4x2经 正 交 变 换 x1 Q y1化 为 二 次 型1 2 1 1 2 2

20、x yg(y,y)ay2 4 y y by2，其 中 a b.2 2 1 2 1 1 2 2（1）求a,b的 值.（2）求 正 交 矩 阵 Q.2 0.解 析：（1）设 A=1-2,B=a 2-2 4 2 b 由 题 意 可 知 QTA Q Q 1A Q B.A 合 同、相 似 于 B 1 4 a ba bab 4 a 4.b 1 1 2（2）|E A|2 52 41 2 210 51 22 1 1 2 A 的 特 征 值 为 0，5当 0 时，解(0 E A)x 0.得 基 础 解 为 21 当 5 时，解(5 E A)x 0 得 基 础 解 为 1 又 B 的 特 征 值 也 为 0，52

21、 当 0 时，解(0 E B)x 0 得 1 1 2 当 5时，解(5 E B)x 0 得 2 对 1,2单 位 化2 1 2 1 5511,22|1|1|2|2 5 5令 Q1 1,2,Q2 2,1则 QTA Q 0 0 QTB Q1 1 2 2 故 Q QTA Q QT B可 令Q Q QT 2 1 12 5 5 5 5 12 2 1 5 55 5 43 5 5 345 52 1.设A为 2 阶 矩 阵，P(,A)，其 中 是 非 零 向 量 且 不 是A的 特 征 向 量.（1）证 明 P 为 可 逆 矩 阵（2）若 A2 A 6 0，求P 1A P，并 判 断 A 是 否 相 似 于

22、对 角 矩 阵.2 1.解 析：(1)0 且 A.故 与 A 线性无关.则 r(,A)2则 P 可 逆.A P A(,A)(A,A2x)(A)0 6 1 1 故P 1A P 0 6.1 1(2)由A2 A 6 0设(A2 A 6E)0,(A 3 E)(A 2E)0由 0 得(A2 A 6E)x 0 有非零解故|(A 3E)(A 2E)|0得|A 3E|0或|A 2E|0若|(A 3E)|0 则有(A 2E)0,故 A 2,与题意矛盾故|A 3E|0,同理可得|A 2E|0.于 是 A 的 特 征 值 为 1 3 2 2.A 有 2 个 不 同 特 征 值，故 A 可 相 似 对 角 化2 2.

23、设 随 机 变 量 X 1，X 2，X 3 相 互 独 立，其 中 X 1 与 X 2 均 服 从 标 准 正 态 分 布，X 3 的 概 率 分 布 为P X 0 P X 1 1,Y X X(1 X)X.3 323 1 3 2（1）求 二 维 随 机 变 量（X 1，Y）的 分 布 函 数，结 果 用 标 准 正 态 分 布 函 数(x)表 示.（2）证 明 随 机 变 量 Y 服 从 标 准 正 态 分 布.2 2.解 析：(1)F(x,y)P X1 x,Y y P X1 x,X3(X1 X2)X2 y,X3 0 P X1 x,X3(X1 X2)X2 y,X3 1 P X1 x,X2 y,

24、X3 0 P X1 x,X1 y,X3 11 1 若 x y,则 P X x,X y,X 1 1P X x 1(x)1 1 3212若 x y,则 P X x,X y,X 1 1P X y 1(y)1 1 3212 1(x)(y)1(x),x y故 F(x,y)2 2(x)(y)(y),x y2 2(2)FY(y)P Y y P X3(X1 X2)X2 y 1P X(X X)X y|X 0 1P X(X X)X y|X 123 1 2 2 323 1 2 2 31P X22 y|X3 0 1P X21 y|X3 11(y)1(y)2 2(y).2 3.设 某 种 元 件 的 使 用 寿 命 T

25、 的 分 布 函 数 为 t m1 e,t 0,其 中,m 为 参 数 且 大 于 零.F(t)0,其他.（1）求 概 率P T t 与P T s t|T s，其 中s 0,t 0.（2）任 取 n 个 这 种 元 件 做 寿 命 试 验，测 得 它 们 的 寿 命 分 别 为 t1,t2,tn，若 m 已 知，求 的 最大 似 然 估 计 值.2 3.解 析：（1）P T t m t 1 F(t)e t mP T s t|T s P T t e t m(2)f(t)F(t)m mtm 1.e,t 0 0 其他ni in ni mn m n t t m 1en mtimt 0似 然 函 数 L()i 1f t，1n0i 1i其他当t1 0,t2 0,tn 0时L()mn m n t t m 1en mt imi 11 n取 对 数 l n L()n l n m m n l n(m 1)l n t mtmd l n()m nn(m 1)mi 1i 1求 导 数d md l n()tii 1令 0解 得 d 所 以 的 最 大 似 然 估 计 值 mnn tm i i 11mntmni 1i