2021山西考研数学二真题及答案.pdf

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1、xl i m62 0 2 1 山 西 考 研 数 学 二 真 题 及 答 案一、选 择 题：1 1 0 小 题，每 小 题 5 分，共 5 0 分 下 列 每 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 个 选项 是 符 合 题 目 要 求 的 21.当 x 0，0(e 1)d t 是 x7的A.低 阶 无 穷 小.B.等 价 无 穷 小.C.高 阶 无 穷 小.D.同 阶 但 非 等 价 无 穷 小.【答 案】C.x2et3 1d t 2ex6 1【解 析】0 x 0 x7 ex 1 l i mx 07x5 l i m2 xx 07 x5 0,故 选 C.2.函 数 f(x)x,1,x

2、0,在 x 0 处x 0A.连 续 且 取 极 大 值 B.连 续 且 取 极 小 值C.可 导 且 导 数 等 于 零 D.可 导 且 导 数 不 为 零【答 案】D【解 析】因 为 l i mex 0导，所 以 选 D.1 1 xf(0)，故 连 续；又 因 为l i mx 0ex 11xxex 1 x2x21，故 可23.有 一 圆 柱 体 底 面 半 径 与 高 随 时 间 变 化 的 速 率 分 别 为 2c m/s，3c m/s，当 底 面 半 径 为1 0 c m，高 为 5 c m 时，圆 柱 体 的 体 积 与 表 面 积 随 时 间 变 化 的 速 率 分 别 为A.1 2

3、 5 c m3/s,4 0 c m2/sB.1 2 5 c m3/s,4 0 c m2/sC.1 0 0 c m3/s,40 c m2/sD.10 0 c m3/s,4 0 c m2/s【答 案】C.【解 析】dr 2，dh 3；V r2h，S 2 r h 2 r2.dt dt3tx(0,)1dV 2 r hdr r2dh 100.dt dt dtdS 2 hdr 2 rdh 4 rdr 40.dt dt dt dt4.设 函 数 f(x)ax b l n x(a 0)有 2 个 零 点，则b的 取 值 范 围aA.(e,)【答 案】A.B.(0,e)C.1eD.(,)e【解 析】fx ax

4、bl n x,若 b 0，不 满 足 条 件，舍 去；若 b 0，令 f x a b=0，x得 x b.在0b b,f x 0.，,f x 0,，+a a al i m fx,l i m fx，x 0 x 令 fb=b bl nb b1 l nb 0,得 l nb 1，即b e.故 选 A.aaaa a 5.设 函 数 f(x)s e c xA.a 1,b 12C.a 0,b 12在 x 0 处 的 2 次 泰 勒 多 项 式 为 1 ax bx2，则B.a 1,b 12D.a 0,b 12【答 案】D.【解 析】fx s e c x f0 f 0 x f 0 x2 ox2 1 1x2 ox2

5、.2 2所 以 可 得 a 0，b 1.26.设 函 数 f(x,y)可 微，且 f(x 1,ex)x(x 1)2,f(x,x2)2x2l n x,则 df(1,1)1A.dx dy B.dx dy C.dy D.dy【答 案】选 C【解 析】由 于 f(x 1,ex)x(x 1)2，两 边 同 时 对 x 求 导 得f1(x 1,ex)f2(x 1,ex)ex(x 1)2 2 x(x 1).令 x 0 得f(1,1)f(1,1)1 0,f(x,x2)f(x,x2)2 x 4 x l n x 2 x21;1 2 1 2x令 x 1 得 f1(1,1)2 f2(1,1)2.因 此f1(1,1)0

6、；f2(1,1)1.所 以 df(1,1)dy，故 选 C.7.设 函 数 f(x)在 区 间 0,1 上 连 续，则0f(x)dx n 2k 1 1n 2k 1 1A.l i mf B.l i mf n k 1 2n 2nn k 1 2n n2 n k 1 12 n k 2C.l i mf D.l i mf n k 1【答 案】选 B 2n nn k 1 2n n【解 析】将 0,1 的 区 间n等 分，每 一 份 取 区 间 中 点 的 函 数 值f k1，故 选 B.n 2n8.二 次 型 f(x,x,x)(x x)2(x x)2(x x)2的 正 惯 性 指 数 与 负 惯 性 指 数

7、 依1 2 3 1 2 2 3 3 1次 为A.2，0 B.1，1 C.2，1 D.1，2【答 案】选 B【解 析】fx,x,xx x2x x2x x21 2 3 1 2 2 3 3 1 x2 2 x x x2 x2 2 x x x2 x2 2 x x x21 1 2 2 2 2 3 3 3 1 3 1 2 x2 2 x x 2 x x 2 x x.2 1 2 2 3 1 3 0 1 1 二 次 型 对 应 矩 阵 为1 2 1,1 1 0 1 1 1 0 1|E A|1 1 2 1 1=1 1 2 1 1 1 0 0(1)1 1 2 1 2 1则 p 1 q 1.(1)(2)(1)2(1)(

8、3)9.设 3 阶 矩 阵A=1,2,3,B 1,2,3,若 向 量 组1,2,3可 以 由 向 量 组1,2,3线 性 表 出，则（）A.A x=0 的 解 均 为 B x=0 的 解.B.ATx=0 的 解 均 为 BTx=0 的 解.C.B x=0 的 解 均 为 A x=0 的 解.D.BTx=0 的 解 均 为 ATx=0 的 解.【答 案】D【解 析】由 题 意，可 知 A B C，BTx=0 的 解 均 为 CTBTx=0 的 解，即 ATx=0 的 解，D选 项 正 确.1 0 1 1 0.已 知 矩 阵 A 2 1 1，若 下 三 角 可 逆 矩 阵 P 和 上 三 角 可

9、逆 矩 阵 Q，使 得 P A Q 为 1 2 5对 角 矩 阵，则 P、Q 分 别 取（）.t 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 A.0 1 0,0 1 3B.2 1 0,0 1 0 0 0 1 0 0 1 3 2 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 2 3 C.2 1 0,0 1 3D.0 1 0,0 1 2 3 2 1 0 0 1 1 3 1 0 0 1【答 案】C 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0【解 析】通 过 代 入 验 证2 1 0 2 1 1 0 1 30 1 0.3 2 1 1 2 5 0 0 1 0 0 1 0 选 C二、

10、填 空 题（1 1-1 6 小 题，每 小 题 5 分，共 3 0 分）1 1.x 3 x2dx.【答 案】1l n3【解 析】原式 2 x 3 x2dx 0 3 x2dx2 0 x 2 et t 1,1l n 3 x2 01l n 31 2.设 函 数 y y x 由 参 数 方 程 确 定，则y 4 t 1 et t2.t 02【答 案】.3【解 析】d y y t 4 et 4 t 1 et 2 tdxx t 2et 1d2 tdt1 2t,2t 0dt d xt 022 et 1 31 3.设 函 数 z z(x,y)由 方 程(x 1)z y l n z a r c t a n(2

11、x y)1 确 定，则.(0,2)【答 案】1d2yd x2d2yd x2 z x 33 33 3t t2 s i n21【解 析】将 x 0,y 2 代 入 得 z 1，又 对(x 1)z y l n z a r c t a n2x y 1 两 边 同 时 求x的 导 数 得z(x 1)z y1 z x z x2 y 01(2 x y)2将 x 0,y 2,z 1 代 入 上 式 得 z 1.x21 4.已 知 函 数f(t)1dxxs i nxdy，则 f.【答 案】c os2.2 t2tyx t y22xty2x【解 析】ft1d xxs i nyd y 1d y1s i nyd x 1

12、 1s i nyd xd y,则 f t21s i nxd x，所 以tf 221xd x=2c os2 2 1 2c os.2 1 5.微 分 方 程y y 0的 通 解y.1x【答 案】C ex e2C s i n x C c os x，其 中 C,C,C 为 任 意 常 数.3122 21 2 3【解 析】设 其 特 征 方 程 为 r3 1 0，则 r 1;r 1 3 i;r 13i.故 其 通 解 为1 21x 2 232 2C ex e2C2s i n2x C3c os x.21 6.多 项 式 f(x)【答 案】5中 x3项 的 系 数 为.2xtx x 1 2x1 x 2 12

13、 1 x 12 1 1 x2 1 x2【解 析】x3项 为 11+2+24 x3 11x3 5 x3，因 此 x3项 系 数 为 5三、解 答 题：1 7 2 2 小 题，共 7 0 分 解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.1 7.（本 题 满 分 1 0 分）1 求 极 限l i m(xet2d t0 1).x 0【解 析】ex 1 s i n x1xet2dts i n x xt2 ex 1l i m01 l i m s i n x0e d tx 0ex 1 s i n xx 0 ex 1 s i n x s i n x xt2 ex 1x xt2 l

14、i ms i n x0e d t l i ms i n x e 1 l i ms i n x0e d tx 0 x2x 0 x2x 0 x2x 1x3+ox3 1 x 1x2+ox2xet2d t l i m6 2 l i m0 1 1 1x 0 xx 0 x 2 21 8.（本 题 满 分 1 2 分）已 知 f(x)1 x，求 f(x)的 凹 凸 区 间 及 渐 近 线.x2,f(x)x 0,x 1x2 1 x,x2x 00f(0)=l i m1 x 0 x 0 xx 0f(0)=l i m1 x 0 x 0 x所 以x x.0,x x 1 1 f(x)11,(1 x)21,x 0,x 1

15、x 0 x 0(1 x)21 f(0)=l i m1 01 x22x 0 x 1 1 0f(0)=l i m1 x2 2x 0 x所 以 2 1 x 3x 0,x 1f(x)21 x3x 1时，f 0 x 0 1 x 0 时，f 0 x 0 时，f 0因 此，凹 区 间,1,0,，凸 区 间 1,0 x2 x2l i mx 1 x,l i m1 x，因 此 没 有 水 平 渐 近 线；x 1,x 1 0，且 l i m x2,l i m x2，因 此 存 在 铅 直 渐 近 线 x 1；l i mx21 x 1,l i mx 11 xx2 x 11 x，因 此 存 在 斜 渐 近 线 y x

16、1；x xx 1 x数 学（二）试 题 及 解 析 第 1 0 页（共 1 2 页）xx x2l i m1 xx21,l i m x 1，因 此 存 在 斜 渐 近 线 y x 1；x xx 1 x1 9.（本 题 满 分 1 2 分）f(x)满 足f(x)dx 1x2 x C，L 为 曲 线 y f(x)(4 x 9)，L 的 弧 长 为 S，L 绕 x6轴 旋 转 一 周 所 形 成 的 曲 面 面 积 为 A，求 S 和 A.f(x)1解：x 13f(x)3 1x2 x231 12911 1 s x2 x2dx42 2191124(x x2 2)d x223911 3 1 1 1A=2

17、x2 x2 x2 x2dx4234259 2 0.（本 题 满 分 1 2 分）y y(x)微 分 方 程 x y 6 y 6，满 足 y(3)10（1）求 y(x)（2）P 为 曲 线 y y(x)上 的 一 点，曲 线 y y(x)在 点 P 的 法 线 在 y 轴 上 截 距 为 p，为 使 p最 小，求 P 的 坐 标。解：（1）y 6y 6，x x1数 学（二）试 题 及 解 析 第 1 1 页（共 1 2 页）06d x 66d x x x66 x 6d x C 1 C x6.根 据 由 初 始 条 件 得 C=1.所 以 y 11x6.3 3（2）设 在在y轴 上 的 截 距 为

18、 I 11x6 1 h x，x x0，P2 x430 0h x=2 x 5 2 x5 0，得 x 1，得P点 坐 标 为1,4，1,4.0 0 0 03 3 2 1.（本 题 满 分 1 2 分）曲 线(x2 y2)2 x2 y2(x 0,y 0)与 x 轴 围 成 的 区 域 D，求 x y dx dy.D【解 析】r4 r2c o s 2,r2 c o s 21 f(x)I=x y d x dy 0d x0Dx y dy1 12112 2=0 x 2f(x)dx 40f(x)d(x)x r c o s,y r s i n,x2 r2c os2 c os 2 c os2y2 r2s i n2

19、 c os 2 s i n2 f2(x)I=10c o s 2 s i n2 d(c os 2 c o s2)2=12(s i n 4 s i n2 c os2 2 c o s22 s i n3 c o s)d 40=12s i n 4 s i n22 d 116082c os22 s i n 2(1 c os 2)d04x,1 1 x6的 法 线 为y 11 x6 1 030 30 2 x50数 学（二）试 题 及 解 析 第 1 2 页（共 1 2 页）=12(s i n 4 3 201s i n 8)d 12 1 62(c os22 c os32)d c os 201 11 11 1 1

20、=c os 4 2 c os 8 2(c os32 c os42)232 4124064 8016 3 402 2.（本 题 满 分 1 2 分）2 1 0设 矩 阵 A 1 2 0仅 有 两 不 同 的 特 征 值，若 A 相 似 于 对 角 矩 阵，求 a,b 的 值，并 求 可 逆1 a b 矩 阵 P，使 P 1A P 为 对 角 矩 阵.【解 析】2|E A|1 1 0 2 0(b)(2)2 1 1 a b(b)2 4 3(b)(1)(3)0.1 1 0 当 b 1 时，a 1，3,1，P 1 1 0.1 2 3 1 0 11 0 1当 b 3 时，a 1，3,1，P 1 0 1.1 2 3 0 1 1