2019年海南卷理科数学高考真题及答案.pdf

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1、2019 年普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学本 试 卷 共 5 页。考 试 结 束 后，将 本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回。注 意 事 项：1 答 题 前，考 生 先 将 自 己 的 姓 名、准 考 证 号 码 填 写 清 楚，将 条 形 码 准 确 粘 贴 在 考 生 信 息 条 形 码 粘 贴 区。2 选 择 题 必 须 使 用 2B 铅 笔 填 涂；非 选 择 题 必 须 使 用 0.5 毫 米 黑 色 字 迹 的 签 字 笔 书 写，字 体 工 整、笔 迹 清 楚。3 请 按 照 题 号 顺 序 在 答 题 卡 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答，超 出

2、答 题 区 域 书 写 的 答 案 无 效；在 草 稿 纸、试 卷 上答 题 无 效。4 作 图 可 先 使 用 铅 笔 画 出，确 定 后 必 须 用 黑 色 字 迹 的 签 字 笔 描 黑。5 保 持 卡 面 清 洁，不 要 折 叠，不 要 弄 破、弄 皱，不 准 使 用 涂 改 液、修 正 带、刮 纸 刀。一、选 择 题：本 题 共 12 小 题，每 小 题 5 分，共 60 分 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目要 求 的。1 设 集 合 A=x|x25 x+60，B=x|x10，则 A B=A(，1)B(2，1)C(3，1)D(3，+)

3、2 设 z=3+2i，则 在 复 平 面 内z对 应 的 点 位 于A 第 一 象 限 B 第 二 象 限C 第 三 象 限 D 第 四 象 限3 已 知A B=(2,3)，A C=(3，t)，|B C=1，则A B B C=A 3 B 2C 2 D 34 2019 年 1 月 3 日 嫦 娥 四 号 探 测 器 成 功 实 现 人 类 历 史 上 首 次 月 球 背 面 软 着 陆，我 国 航 天 事 业 取 得 又 一 重 大成 就，实 现 月 球 背 面 软 着 陆 需 要 解 决 的 一 个 关 键 技 术 问 题 是 地 面 与 探 测 器 的 通 讯 联 系 为 解 决 这 个 问

4、 题，发 射 了 嫦 娥 四 号 中 继 星“鹊 桥”，鹊 桥 沿 着 围 绕 地 月 拉 格 朗 日2L 点 的 轨 道 运 行 2L 点 是 平 衡 点，位 于地 月 连 线 的 延 长 线 上 设 地 球 质 量 为 M，月 球 质 量 为 M，地 月 距 离 为 R，2L 点 到 月 球 的 距 离 为 r，根据 牛 顿 运 动 定 律 和 万 有 引 力 定 律，r 满 足 方 程：1 2 12 2 3()()M M MR rR r r R.设rR，由 于的 值 很小，因 此 在 近 似 计 算 中3 4 5323 33(1)，则 r 的 近 似 值 为A 21MRMB 212MRM

5、C 2313 MRMD 2313MRM5 演 讲 比 赛 共 有 9 位 评 委 分 别 给 出 某 选 手 的 原 始 评 分，评 定 该 选 手 的 成 绩 时，从 9 个 原 始 评 分 中 去 掉 1 个最 高 分、1 个 最 低 分，得 到 7 个 有 效 评 分 7 个 有 效 评 分 与 9 个 原 始 评 分 相 比，不 变 的 数 字 特 征 是A 中 位 数 B 平 均 数C 方 差 D 极 差6 若 a b，则A ln(a b)0 B 3a0 D a b7 设，为 两 个 平 面，则 的 充 要 条 件 是A 内 有 无 数 条 直 线 与 平 行 B 内 有 两 条 相

6、 交 直 线 与 平 行C，平 行 于 同 一 条 直 线 D，垂 直 于 同 一 平 面8 若 抛 物 线 y2=2 p x(p0)的 焦 点 是 椭 圆2 231x yp p 的 一 个 焦 点，则 p=A 2 B 3C 4 D 89 下 列 函 数 中，以2为 周 期 且 在 区 间(4，2)单 调 递 增 的 是A f(x)=cos2 x B f(x)=sin2 xC f(x)=cos x D f(x)=sin x10 已 知(0，2)，2sin2=cos2+1，则 sin=A 15B 55C 33D 25511 设 F 为 双 曲 线 C：2 22 21(0,0)x ya ba b

7、的 右 焦 点，O 为 坐 标 原 点，以 O F 为 直 径 的 圆 与 圆2 2 2x y a 交 于 P，Q 两 点 若 P Q O F，则 C 的 离 心 率 为A 2B 3C 2 D 512 设 函 数()f x 的 定 义 域 为 R，满 足(1)2()f x f x，且 当(0,1 x 时，()(1)f x x x 若 对 任 意(,x m，都 有8()9f x，则 m 的 取 值 范 围 是A 9,4 B 7,3 C 5,2 D 8,3 二、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 20 分。13 我 国 高 铁 发 展 迅 速，技 术 先 进 经 统 计，在

8、 经 停 某 站 的 高 铁 列 车 中，有 10 个 车 次 的 正 点 率 为 0.97，有20 个 车 次 的 正 点 率 为 0.98，有 10 个 车 次 的 正 点 率 为 0.99，则 经 停 该 站 高 铁 列 车 所 有 车 次 的 平 均 正 点 率的 估 计 值 为_ 14 已 知()f x 是 奇 函 数，且 当 0 x 时，()eaxf x.若(ln 2)8 f，则a _ 15 A B C 的 内 角,A B C 的 对 边 分 别 为,a b c.若6,2,3b a c B，则 A B C 的 面 积 为_ 16 中 国 有 悠 久 的 金 石 文 化，印 信 是

9、金 石 文 化 的 代 表 之 一 印 信 的 形 状 多 为 长 方 体、正 方 体 或 圆 柱 体，但南 北 朝 时 期 的 官 员 独 孤 信 的 印 信 形 状 是“半 正 多 面 体”（图 1）半 正 多 面 体 是 由 两 种 或 两 种 以 上 的 正 多边 形 围 成 的 多 面 体 半 正 多 面 体 体 现 了 数 学 的 对 称 美 图 2 是 一 个 棱 数 为 48 的 半 正 多 面 体，它 的 所 有顶 点 都 在 同 一 个 正 方 体 的 表 面 上，且 此 正 方 体 的 棱 长 为 1 则 该 半 正 多 面 体 共 有_ 个 面，其 棱 长为_（本 题

10、第 一 空 2 分，第 二 空 3 分）三、解 答 题：共 70 分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。第 17 21 题 为 必 考 题，每 个 试 题 考生 都 必 须 作 答 第 22、23 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 作 答。（一）必 考 题：共 60 分。17（12 分）如 图，长 方 体 A B C D A1 B1 C1 D1 的 底 面 A B C D 是 正 方 形，点 E 在 棱 A A1 上，B E E C1（1）证 明：B E 平 面 E B1 C1；（2）若 A E=A1 E，求 二 面 角 B E C C1 的 正 弦

11、 值 18（12 分）11 分 制 乒 乓 球 比 赛，每 赢 一 球 得 1 分，当 某 局 打 成 10:10 平 后，每 球 交 换 发 球 权，先 多 得 2 分 的 一 方获 胜，该 局 比 赛 结 束.甲、乙 两 位 同 学 进 行 单 打 比 赛，假 设 甲 发 球 时 甲 得 分 的 概 率 为 0.5，乙 发 球 时 甲 得分 的 概 率 为 0.4，各 球 的 结 果 相 互 独 立.在 某 局 双 方 10:10 平 后，甲 先 发 球，两 人 又 打 了 X 个 球 该 局 比 赛结 束.（1）求 P（X=2）；（2）求 事 件“X=4 且 甲 获 胜”的 概 率.19

12、（12 分）已 知 数 列 a n 和 b n 满 足 a1=1，b1=0，14 3 4n n na a b，14 3 4n n nb b a.（1）证 明：a n+b n 是 等 比 数 列，a n b n 是 等 差 数 列；（2）求 a n 和 b n 的 通 项 公 式.20（12 分）已 知 函 数 11lnxf x xx.（1）讨 论 f(x)的 单 调 性，并 证 明 f(x)有 且 仅 有 两 个 零 点；（2）设 x0 是 f(x)的 一 个 零 点，证 明 曲 线 y=ln x 在 点 A(x0，ln x0)处 的 切 线 也 是 曲 线 exy 的 切 线.21（12 分

13、）已 知 点 A(2,0)，B(2,0)，动 点 M(x,y)满 足 直 线 A M 与 B M 的 斜 率 之 积 为12.记 M 的 轨 迹 为 曲 线 C.（1）求 C 的 方 程，并 说 明 C 是 什 么 曲 线；（2）过 坐 标 原 点 的 直 线 交 C 于 P，Q 两 点，点 P 在 第 一 象 限，P E x 轴，垂 足 为 E，连 结 Q E 并 延 长 交C 于 点 G.（i）证 明：P Q G 是 直 角 三 角 形；（ii）求 P Q G 面 积 的 最 大 值.（二）选 考 题：共 10 分。请 考 生 在 第 22、23 题 中 任 选 一 题 作 答。如 果 多

14、 做，则 按 所 做 的 第 一 题 计 分。22 选 修 4 4：坐 标 系 与 参 数 方 程（10 分）在 极 坐 标 系 中，O 为 极 点，点0 0 0(,)(0)M 在 曲 线:4sin C 上，直 线 l 过 点(4,0)A 且 与 O M垂 直，垂 足 为 P.（1）当0=3时，求0 及 l 的 极 坐 标 方 程；（2）当 M 在 C 上 运 动 且 P 在 线 段 O M 上 时，求 P 点 轨 迹 的 极 坐 标 方 程.23 选 修 4 5：不 等 式 选 讲（10 分）已 知()|2|().f x x a x x x a（1）当 1 a 时，求 不 等 式()0 f

15、x 的 解 集；（2）若(,1)x 时，()0 f x，求a的 取 值 范 围.2019 年普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学 参 考 答 案1 A 2 C 3 C 4 D 5 A6 C 7 B 8 D 9 A 10 B11 A 12 B13 0.98 14 315 6316 26；2 1 17 解：（1）由 已 知 得，1 1B C 平 面1 1A B B A，B E 平 面1 1A B B A，故1 1B C B E 又1B E E C，所 以 B E 平 面1 1E B C（2）由（1）知190 B E B 由 题 设 知 Rt A B E 1 1Rt A B E，所 以 45

16、A E B，故 A E A B，12 A A A B 以 D 为 坐 标 原 点，D A 的 方 向 为 x 轴 正 方 向，|D A 为 单 位 长，建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 D x y z，则 C（0，1，0），B（1，1，0），1C（0，1，2），E（1，0，1），(1,0,0)C B，(1,1,1)C E，1(0,0,2)C C 设 平 面 E B C 的 法 向 量 为n=（x，y，x），则0,0,C BC E nn即0,0,xx y z 所 以 可 取n=(0,1,1).设 平 面1E C C 的 法 向 量 为m=（x，y，z），则10,0,C CC

17、 E mm即2 0,0.zx y z 所 以 可 取m=（1，1，0）于 是1cos,|2 n mn mn m所 以，二 面 角1B E C C 的 正 弦 值 为3218 解：（1）X=2 就 是10 10 平 后，两 人 又 打 了2 个 球 该 局 比 赛 结 束，则 这2 个 球 均 由 甲 得 分，或 者 均 由 乙得 分 因 此 P（X=2）=0.50.4+（10.5）（10.4）=0.5（2）X=4 且 甲 获 胜，就 是10 10 平 后，两 人 又 打 了4 个 球 该 局 比 赛 结 束，且 这4 个 球 的 得 分 情 况 为：前两 球 是 甲、乙 各 得1 分，后 两

18、球 均 为 甲 得 分 因 此 所 求 概 率 为0.5（10.4）+（10.5）0.40.50.4=0.1 19 解：（1）由 题 设 得1 14()2()n n n na b a b，即1 11()2n n n na b a b 又 因 为 a1+b1=l，所 以 n na b 是 首 项 为1，公 比 为12的 等 比 数 列 由 题 设 得1 14()4()8n n n na b a b，即1 12n n n na b a b 又 因 为 a1 b1=l，所 以 n na b 是 首 项 为1，公 差 为2 的 等 差 数 列（2）由（1）知，112n n na b，2 1n na b

19、 n 所 以1 1 1()()2 2 2n n n n n na a b a b n，1 1 1()()2 2 2n n n n n nb a b a b n 20 解：（1）f（x）的 定 义 域 为（0，1）（1，+）因 为21 2()0(1)f xx x，所 以()f x 在（0，1），（1，+）单 调 递 增 因 为 f（e）=e 11 0e 1，2 222 2e 1 e 3(e)2 0e 1 e 1f，所 以 f（x）在（1，+）有 唯 一 零 点 x1，即 f（x1）=0 又110 1x，11 11 11 1()ln()01xf x f xx x，故 f（x）在（0，1）有 唯 一

20、 零 点11x综 上，f（x）有 且 仅 有 两 个 零 点（2）因 为0ln01exx，故 点 B（ln x0，01x）在 曲 线 y=ex上 由 题 设 知0()0 f x，即0001ln1xxx，故 直 线 A B 的 斜 率000 0 000 0 0001 1 1ln1 11ln1xxx x xkxx x xxx 曲 线 y=ex在 点001(ln,)B xx处 切 线 的 斜 率 是01x，曲 线 ln y x 在 点0 0(,ln)A x x 处 切 线 的 斜 率 也 是01x，所 以 曲 线 ln y x 在 点0 0(,ln)A x x 处 的 切 线 也 是 曲 线 y=e

21、x的 切 线 21 解：（1）由 题 设 得12 2 2y yx x，化 简 得2 21(|2)4 2x yx，所 以 C 为 中 心 在 坐 标 原 点，焦点 在 x 轴 上 的 椭 圆，不 含 左 右 顶 点（2）（i）设 直 线 P Q 的 斜 率 为 k，则 其 方 程 为(0)y k x k 由2 214 2y k xx y 得221 2xk 记221 2uk，则(,),(,),(,0)P u uk Q u uk E u 于 是 直 线 Q G 的 斜 率 为2k，方 程 为()2ky x u 由2 2(),214 2ky x ux y 得2 2 2 2 2(2)2 8 0 k x

22、uk x k u 设(,)G GG x y，则 u 和Gx 是 方 程 的 解，故22(3 2)2Gu kxk，由 此 得322Gukyk从 而 直 线 P G 的 斜 率 为322212(3 2)2ukukku k kuk 所 以 P Q P G，即 P Q G 是 直 角 三 角 形（ii）由（i）得2|2 1 P Q u k，222 1|2uk kP Gk，所 以 P Q G 的 面 积22 2218()1 8(1)|12(1 2)(2)1 2()kk kkS P Q P Gk kkk 设 t=k+1k，则 由 k0 得 t2，当 且 仅 当 k=1 时 取 等 号 因 为281 2tS

23、t在2，+）单 调 递 减，所 以 当 t=2，即 k=1 时，S 取 得 最 大 值，最 大 值 为169因 此，P Q G 面 积 的 最 大 值 为16922 解：（1）因 为 0 0,M 在 C 上，当03 时，04sin 2 33 由 已 知 得|cos 23O P O A 设(,)Q 为 l 上 除 P 的 任 意 一 点 在 Rt O P Q 中，cos|23O P，经 检 验，点(2,)3P在 曲 线 cos 23 上 所 以，l 的 极 坐 标 方 程 为 cos 23（2）设(,)P，在 Rt O A P 中，|cos 4cos,O P O A 即 4cos 因 为 P 在 线 段 O M 上，且 A P O M，故 的 取 值 范 围 是,4 2 所 以，P 点 轨 迹 的 极 坐 标 方 程 为 4cos,4 2 23 解：（1）当 a=1 时，()=|1|+|2|(1)f x x x x x 当 1 x 时，2()2(1)0 f x x；当 1 x 时，()0 f x 所 以，不 等 式()0 f x 的 解 集 为(,1)（2）因 为()=0 f a，所 以 1 a 当 1 a，(,1)x 时，()=()+(2)()=2()(1)0 f x a x x x x a a x x 所 以，a 的 取 值 范 围 是1,)