2019年全国I卷高考文科数学真题及答案.pdf

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1、2 0 1 9 年 全 国 I 卷 高 考 文 科 数 学 真 题 及 答 案注 意 事 项：1 答 卷 前，考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名、考 生 号 等 填 写 在 答 题 卡 和 试 卷 指 定 位 置 上。2 回 答 选 择 题 时，选 出 每 小 题 答 案 后，用 铅 笔 把 答 题 卡 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑。如 需 改 动，用 橡 皮擦 干 净 后，再 选 涂 其 他 答 案 标 号。回 答 非 选 择 题 时，将 答 案 写 在 答 题 卡 上。写 在 本 试 卷 上 无 效。3 考 试 结 束 后，将 本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回。

2、一、选 择 题：本 题 共 1 2 小 题，每 小 题 5 分，共 6 0 分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目要 求 的。1 设3 i1 2iz，则 z=A 2 B 3C 2D 12 已 知 集 合 1,2,3,4,5,6,7 2,3,4,5 2,3,6,7 U A B，则A 1,6 B 1,7 C 6,7 D 1,6,73 已 知0.2 0.32log 0.2,2,0.2 a b c，则A a b c B a c b C c a b D b c a 4 古 希 腊 时 期，人 们 认 为 最 美 人 体 的 头 顶 至 肚 脐 的 长 度

3、与 肚 脐 至 足 底 的 长 度 之 比 是5 12（5 12 0.6 1 8，称 为 黄 金 分 割 比 例)，著 名 的“断 臂 维 纳 斯”便 是 如 此 此 外，最 美 人 体 的 头 顶 至 咽喉 的 长 度 与 咽 喉 至 肚 脐 的 长 度 之 比 也 是5 12 若 某 人 满 足 上 述 两 个 黄 金 分 割 比 例，且 腿 长 为 1 0 5 c m，头 顶 至 脖 子 下 端 的 长 度 为 2 6 c m，则 其 身 高 可 能 是A 1 6 5 c m B 1 7 5 c m C 1 8 5 c m D 1 9 0 c m5 函 数 f(x)=2sincosx x

4、x x在-，的 图 像 大 致 为A B C D 6 某 学 校 为 了 解 1 0 0 0 名 新 生 的 身 体 素 质，将 这 些 学 生 编 号 为 1，2，1 0 0 0，从 这 些 新 生 中 用 系 统 抽样 方 法 等 距 抽 取 1 0 0 名 学 生 进 行 体 质 测 验.若 4 6 号 学 生 被 抽 到，则 下 面 4 名 学 生 中 被 抽 到 的 是A 8 号 学 生 B 2 0 0 号 学 生 C 6 1 6 号 学 生 D 8 1 5 号 学 生7 t a n 2 5 5=A-2-3B-2+3C 2-3D 2+38 已 知 非 零 向 量 a，b 满 足 a=

5、2 b，且（a-b）b，则 a 与 b 的 夹 角 为A 6B 3C 23D 569 如 图 是 求112122的 程 序 框 图，图 中 空 白 框 中 应 填 入A A=12 A B A=12A C A=11 2 A D A=112 A1 0 双 曲 线 C：2 22 21(0,0)x ya ba b 的 一 条 渐 近 线 的 倾 斜 角 为 1 3 0，则 C 的 离 心 率 为A 2 s i n 4 0 B 2 c o s 4 0 C 1sin50 D 1cos50 1 1 A B C 的 内 角 A，B，C 的 对 边 分 别 为 a，b，c，已 知 a s i n A-b s i

6、 n B=4 c s i n C，c o s A=-14，则bc=A 6 B 5 C 4 D 31 2 已 知 椭 圆 C 的 焦 点 为1 2(1,0),(1,0)F F，过 F2的 直 线 与 C 交 于 A，B 两 点.若2 2|2|A F F B，1|A B B F，则 C 的 方 程 为A 2212xy B 2 213 2x y C 2 214 3x y D 2 215 4x y 二、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0 分。1 3 曲 线2)3(exy x x 在 点(0,0)处 的 切 线 方 程 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1

7、4 记 Sn为 等 比 数 列 an 的 前 n 项 和.若1 3314a S，则 S4=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 5 函 数3()sin(2)3cos2f x x x 的 最 小 值 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 6 已 知 A C B=9 0，P 为 平 面 A B C 外 一 点，P C=2，点 P 到 A C B 两 边 A C，B C 的 距 离 均 为3，那 么 P 到 平面 A B C 的 距 离 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 三、解 答 题：共 7 0 分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演

8、算 步 骤。第 1 7 2 1 题 为 必 考 题，每 个 试 题 考 生都 必 须 作 答。第 2 2、2 3 题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 作 答。（一）必 考 题：6 0 分。1 7（1 2 分）某 商 场 为 提 高 服 务 质 量，随 机 调 查 了 5 0 名 男 顾 客 和 5 0 名 女 顾 客，每 位 顾 客 对 该 商 场 的 服 务 给 出 满 意或 不 满 意 的 评 价，得 到 下 面 列 联 表：满 意 不 满 意男 顾 客 4 0 1 0女 顾 客 3 0 2 0（1）分 别 估 计 男、女 顾 客 对 该 商 场 服 务 满 意 的 概 率；（2）

9、能 否 有 9 5%的 把 握 认 为 男、女 顾 客 对 该 商 场 服 务 的 评 价 有 差 异？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d P（K2 k）0.0 5 0 0.0 1 0 0.0 0 1k 3.8 4 1 6.6 3 5 1 0.8 2 81 8（1 2 分）记 Sn为 等 差 数 列 an 的 前 n 项 和，已 知 S9=-a5（1）若 a3=4，求 an 的 通 项 公 式；（2）若 a1 0，求 使 得 Sn an的 n 的 取 值 范 围 1 9（1 2 分）如 图，直 四 棱 柱 A B C D A1B1C1D1的 底 面 是

10、菱 形，A A1=4，A B=2，B A D=6 0，E，M，N 分 别 是 B C，B B1，A1D的 中 点.（1）证 明：M N 平 面 C1D E；（2）求 点 C 到 平 面 C1D E 的 距 离 2 0（1 2 分）已 知 函 数 f（x）=2 s i n x-x c o s x-x，f（x）为 f（x）的 导 数（1）证 明：f（x）在 区 间（0，）存 在 唯 一 零 点；（2）若 x 0，时，f（x）a x，求 a 的 取 值 范 围 2 1.（1 2 分）已 知 点 A，B 关 于 坐 标 原 点 O 对 称，A B=4，M 过 点 A，B 且 与 直 线 x+2=0 相

11、 切（1）若 A 在 直 线 x+y=0 上，求 M 的 半 径；（2）是 否 存 在 定 点 P，使 得 当 A 运 动 时，M A-M P 为 定 值？并 说 明 理 由（二）选 考 题：共 1 0 分。请 考 生 在 第 2 2、2 3 题 中 任 选 一 题 作 答。如 果 多 做，则 按 所 做 的 第 一 题 计 分。2 2 选 修 4 4：坐 标 系 与 参 数 方 程（1 0 分）在 直 角 坐 标 系 x O y 中，曲 线 C 的 参 数 方 程 为2221141txttyt，（t 为 参 数），以 坐 标 原 点 O 为 极 点，x 轴 的 正半 轴 为 极 轴 建 立

12、极 坐 标 系，直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为 2 cos 3 sin 11 0（1）求 C 和 l 的 直 角 坐 标 方 程；（2）求 C 上 的 点 到 l 距 离 的 最 小 值 2 3 选 修 4 5：不 等 式 选 讲（1 0 分）已 知 a，b，c 为 正 数，且 满 足 a b c=1 证 明：（1）2 2 21 1 1a b ca b c；（2）3 3 3()()()24 a b b c c a 2 0 1 9 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试文 科 数 学 参 考 答 案一、选 择 题1 C 2 C 3 B 4 B 5 D 6 C7 D 8

13、 B 9 A 1 0 D 1 1 A 1 2 B二、填 空 题1 3 y=3 x 1 4 581 5 4 1 6 2三、解 答 题1 7 解：（1）由 调 查 数 据，男 顾 客 中 对 该 商 场 服 务 满 意 的 比 率 为400.850，因 此 男 顾 客 对 该 商 场 服 务 满 意 的 概率 的 估 计 值 为 0.8 女 顾 客 中 对 该 商 场 服 务 满 意 的 比 率 为300.650，因 此 女 顾 客 对 该 商 场 服 务 满 意 的 概 率 的 估 计 值 为 0.6（2）22100(40 20 30 10)4.76250 50 70 30K 由 于 4.762

14、 3.841，故 有 9 5%的 把 握 认 为 男、女 顾 客 对 该 商 场 服 务 的 评 价 有 差 异.1 8 解：（1）设 na 的 公 差 为 d 由9 5S a 得14 0 a d 由 a3=4 得12 4 a d 于 是18,2 a d 因 此 na 的 通 项 公 式 为 10 2na n（2）由（1）得14 a d，故(9)(5),2n nn n da n d S.由10 a 知 0 d，故n nS a 等 价 于211 10 0 n n，解 得 1 n 1 0 所 以 n 的 取 值 范 围 是|1 10,n n n N 1 9 解：（1）连 结1,B C M E.因

15、为 M，E 分 别 为1,B B B C 的 中 点，所 以1 M E B C，且112M E B C.又 因 为 N为1A D 的 中 点，所 以112N D A D.由 题 设 知1 1=A B D C，可 得1 1=B C A D，故=M E N D，因 此 四 边 形 M N D E 为 平 行 四 边 形，M N E D.又 M N 平 面1C D E，所 以 M N 平 面1C D E.（2）过 C 作 C1E 的 垂 线，垂 足 为 H.由 已 知 可 得 D E B C，1D E C C，所 以 D E 平 面1C C E，故 D E C H.从 而 C H 平 面1C D E

16、，故 C H 的 长 即 为 C 到 平 面1C D E 的 距 离，由 已 知 可 得 C E=1，C1C=4，所 以117 C E，故4 1717C H.从 而 点 C 到 平 面1C D E 的 距 离 为4 1717.2 0 解：（1）设()()g x f x，则()cos sin 1,()cos g x x x x g x x x.当(0,)2x 时，()0 g x；当,2x 时，()0 g x，所 以()g x 在(0,)2单 调 递 增，在,2 单调 递 减.又(0)0,0,()22g g g，故()g x 在(0,)存 在 唯 一 零 点.所 以()f x 在(0,)存 在 唯

17、 一 零 点.（2）由 题 设 知(),()0 f a f，可 得 a 0.由（1）知，()f x 在(0,)只 有 一 个 零 点，设 为0 x，且 当 00,x x 时，()0 f x；当 0,x x 时，()0 f x，所 以()f x 在 00,x 单 调 递 增，在 0,x 单 调 递 减.又(0)0,()0 f f，所 以，当 0,x 时，()0 f x.又 当 0,0,a x 时，a x 0，故()f x ax.因 此，a 的 取 值 范 围 是(,0.2 1 解：（1）因 为 M 过 点,A B，所 以 圆 心 M 在 A B 的 垂 直 平 分 线 上.由 已 知 A 在 直

18、 线+=0 x y 上，且,A B 关于 坐 标 原 点 O 对 称，所 以 M 在 直 线 y x 上，故 可 设(,)M a a.因 为 M 与 直 线 x+2=0 相 切，所 以 M 的 半 径 为|2|r a.由 已 知 得|=2 A O，又 M O A O，故 可 得2 22 4(2)a a，解 得=0 a 或=4 a.故 M 的 半 径=2 r 或=6 r.（2）存 在 定 点(1,0)P，使 得|M A M P 为 定 值.理 由 如 下：设(,)M x y，由 已 知 得 M 的 半 径 为=|+2|,|=2 r x A O.由 于 M O A O，故 可 得2 2 24(2)

19、x y x，化 简 得 M 的 轨 迹 方 程 为24 y x.因 为 曲 线2:4 C y x 是 以 点(1,0)P 为 焦 点，以 直 线 1 x 为 准 线 的 抛 物 线，所 以|=+1 M P x.因 为|=|=+2(+1)=1 M A M P r M P x x，所 以 存 在 满 足 条 件 的 定 点 P.2 2 解：（1）因 为2211 11tt，且 222 222 221 412 11y t txtt，所 以 C 的 直 角 坐 标 方 程 为221(1)4yx x.l 的 直 角 坐 标 方 程 为 2 3 11 0 x y.（2）由（1）可 设 C 的 参 数 方 程

20、 为cos,2sinxy（为 参 数，）.C 上 的 点 到 l 的 距 离 为4cos 11|2cos 2 3 sin 11|37 7.当23 时，4cos 113 取 得 最 小 值 7，故 C 上 的 点 到 l 距 离 的 最 小 值 为 7.2 3 解：（1）因 为2 2 2 2 2 22,2,2 a b ab b c bc c a ac，又 1 abc，故 有2 2 21 1 1 ab bc c aa b c ab bc c aabc a b c.所 以2 2 21 1 1a b ca b c.（2）因 为,a b c 为 正 数 且 1 abc，故 有3 3 3 3 3 33()()()3()()()a b b c c a a b b c a c=3(+)(+)(+)a b b c a c3(2)(2)(2)ab bc ac=2 4.所 以3 3 3()()()24 a b b c c a.