高中数学数列大题带答案总26.pdf

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1、 第 1 页 共 12 页 高中数学数列练习题（含答案解析）一、单选题 1已知等差数列an的前 n项和为 Sn，且48SS13，则816SS（）A310 B37 C13 D12 2已知等比数列an的前 n项和为 Sn，则“Sn+1Sn”是“an单调递增”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3现有下列说法：元素有三个以上的数集就是一个数列；数列 1，1，1，1，是无穷数列；每个数列都有通项公式；根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式；数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数 其中正确的有（）A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 4数列 na的前

2、 n 项和为nS，且1(1)(21)nnan，则2021S（）A2020 B2021 C2022 D2023 5已知等差数列 na中，6819,27aa，则数列 na的公差为（）A2 B3 C4 D5 6标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式.标准对数视力表各行为正方形“E”字视标，且从视力 5.1 的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”的边长的1010倍，若视力 4.0 的视标边长为a，则视力 4.9 的视标边长为（）第 2 页 共 12 页 A4510 a B91010 a C4510a D91010a 7已知数列 na，2141nnann，

3、则下列说法正确的是（）A此数列没有最大项 B此数列的最大项是3a C此数列没有最小项 D此数列的最小项是2a 8 已知 na是等差数列，公差0d，其前n项和为nS，若2a、52a、172a 成等比数列，12nnnaS，则不正确的是（）A1d B1020a C2nSnn D当2n时，32nnSa 9已知数列 na的前 n 项和为nS，112a，对任意的*nN都有1(2)nnnana，则2021S（）A20192020 B20202021 C20212022 D10101011 10等差数列na前n项和为nS，281112aaa，则13S（）A32 B42 C52 D62 二、填空题 11已知a是

4、1,2的等差中项，b是1，16的等比中项，则ab等于_.12已知等差数列 na的前 n 项和为nS，若65210,6Saa，则d _.13设 nS是等差数列 na的前 n项和，若891715aa，则1517SS_ 14已知等差数列 na的前 n项和为nS，且1516aa，936S ，则nS的最小值是_ 三、解答题 15已知数列 na为等差数列，nb是公比为 2 的等比数列，且满足11221,5abba 第 3 页 共 12 页(1)求数列 na和 nb的通项公式；(2)令nnncab求数列 nc的前 n 项和nS；16已知等差数列 na的前n项和nS满足30S，55S .（1）求 na的通项公

5、式；（2）2nnba 求数列11nnb b的前n项和nT.17某公司 2021 年年初花费 25 万元引进一种新的设备，设备投入后每年的收益均为 21 万元.若 2021 年为第 1 年，且该公司第n nN年需要支付的设备维修和工人工资等费用总和na（单位：万元）的情况如图所示.（1）求na；（2）引进这种设备后，第几年该公司开始获利？18设 na是首项为 1 的等比数列，数列 nb满足3nnnab 已知1a，23a，39a成等差数列（1）求 na和 nb的通项公式；（2）记nS和nT分别为 na和 nb的前 n项和证明：2nnST 第 4 页 共 12 页 参考答案与解析：1A【分析】运用等

6、差数列前 n 项和公式进行求解即可.【详解】设等差数列an的公差为 d，41181461582832adadadSS，显然0d，8161182820283161204012010adddadSdSd，故选：A 2D【分析】由110nnnSSa，举反例102nna和12nna 即可得出结果【详解】110nnnSSa，例如102nna，但是数列na不单调递增，故不充分；数列na单调递增，例如12nna ，但是1nnSS，故不必要；故选：D 3B【分析】根据给定条件，利用数列的定义逐一分析各个命题，判断作答.【详解】对于，数列是按一定次序排成的一列数，而数集的元素无顺序性，不正确；对于，由无穷数列的

7、意义知，数列 1，1，1，1，是无穷数列，正确；对于，不是每个数列都有通项，如2按精确度为0.1,0.01,0.001,0.0001,得到的不足近似值，依次排成一列得到的数列没有通项公式，不正确；对于，前 4 项为 1，1，1，1 的数列通项公式可以为1,Nnan，cos2,Nnbnn等，即根据一个数列的前若干项，写出的通项公式可以不唯一，不正确；对于，有些数列是有穷数列，不可以看着是一个定义在正整数集上的函数，不正确，所以说法正确的个数是 1.故选：B 4D【分析】根据数列 na的通项公式，可求得12342,2aaaa ,依此类推，即可求解.【详解】1(1)(21)nnan，故12343,5

8、,7,9aaaa 第 5 页 共 12 页 故202112320202021Saaaaa3 57940414043 2 101040432023 .故选：D.5C【分析】利用862daa，直接计算公差即可.【详解】等差数列 na中，6819,27aa，设公差为 d，则86227198daa，即4d.故选：C.6D【分析】由等比数列的通项公式计算【详解】设第n行视标边长为na，第n 1行视标边长为12nan，由题意可得101102nnaan，则1101102nnana，则数列 na为首项为a，公比为11010的等比数列，所以10 1191010101010aaa，则视力 4.9 的视标边长为91

9、010a，故选：D.7B【分析】令10tn，则1nt，22641411ttytttt，然后利用函数的知识可得答案.【详解】令10tn，则1nt，22,641411ttytttt 当0t时，0y 当0t 时，146ytt，由双勾函数的知识可得y在0 2,上单调递增，在2,上单调递减 所以当2t 即3n时，y取得最大值，所以此数列的最大项是3a，最小项为10a 故选：B 8A【分析】利用等差数列的求和公式可得出1nana，可得出10da，根据已知条件求出1a的值，可求得na、第 6 页 共 12 页 nS的表达式，然后逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为 na是等差数列，则1122nnnnan

10、aaS，所以，1nana，所以，110nndaaa，因为2521722aaa，可得2111522172aaa，整理可得21191640aa，因为10a，故12da，A 错；12nanan，则1020a，B 对；112nnnaSn n，C 对；当2n时，233202nnSannnn n，即32nnSa，D 对.故选：A.9C【解析】由1(2)nnnana，可得1(1)(1)(2)nnn nanna，数列(1)nn na为常数列，令1n，可得1(1)21nn naa，进而可得1(1)nan n，利用裂项求和即可求解.【详解】数列 na满足112a，对任意的*nN都有1(2)nnnana，则有1(1

11、)(1)(2)nnn nanna，可得数列(1)nn na为常数列，有1(1)2nn naa，得(1)1nn na，得1(1)nan n，又由111(1)1nan nnn，所以20211111112021112232021202220222022S 故选：C【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列na的前n项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在

12、求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可 第 7 页 共 12 页 用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如 1nnaf n 类型，可采用两项合并求解.10C【分析】将2811aaa化成1a和d的形式，得到二者关系，求得7a，利用13713Sa求得结果.【详解】28111111()71031812aaaadadadad 164ad，即74a 113137131313 4522aaSa 故选：C.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关数

13、列的问题，解题思路如下：（1）根据题中所给的条件，结合等差数列通项公式，将其转化为关于首项与公差的式子；（2）化简求得数列的某一项；（3）结合等差数列求和公式，得到和与项的关系，求得结果.116【分析】根据等差和等比中项的定义求出,a b得值，即可求解.【详解】因为a是1,2的等差中项，所以12322a，因为b是1，16的等比中项，所以2(1)(16)16b ，4b，所以6ab .故答案为：6.121【分析】由等差中项性质可求4a，又510S 依据等差数列的前 n 项和公式及通项公式列方程即可求得公差【详解】由266aa有43a，而510S 结合等差数列的前 n 项和公式及通项公式 11332

14、2adad即可得1d 故答案为：1【点睛】本题考查了等差数列，利用等差中项求项，结合已知条件、前 n 项和公式、通项公式求公差 第 8 页 共 12 页 131【分析】利用等差数列性质及前 n项和公式计算作答.【详解】在等差数列 na中，891715aa，所以1151511588117171179915(15(15 2152117(17)(1717)2)2aaSaaaaaaSaaaa 故答案为：1 1442【分析】根据给定条件求出等差数列 na的首项、公差，探求数列 na的单调性即可计算作答.【详解】设等差数列 na的公差为 d，由1591636aaS 得1124169 89362adad ，

15、解得1122ad，因此，1212214nann，令0na，解得7n，于是得数列 na是递增等差数列，其前 6 项为负，第 7 项为 0，从第 8 项开始为正，所以6S或7S最小，最小值为6 56122422 故答案为：42 15(1)21nan，12nnb(2)221nnSn 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式得到2d，根据通项公式的求法得到结果；（2）1221nnnncabn分组求和即可.【详解】（1）设 na的公差为d,由已知,有215d 解得2d，所以 na的通项公式为21,nannN,nb的通项公式为12,nnbnN.（2）1221nnnncabn，分组求和，分别根据等比数

16、列求和公式与等差数列求和公式得到：21 2(121)211 22nnnnnSn.16（1）2nan；（2）1nnTn.第 9 页 共 12 页【解析】（1）由30S，55S ，可得113 23025 4552adad 求出1,a d，从而可得 na的通项公式；（2）由（1）可得nbn，从而可得11111(1)1nnb bn nnn，然后利用裂项相消求和法可求得nT【详解】解：（1）设等差数列 na的公差为d，因为30S，55S .所以113 23025 4552adad，化简得11021adad，解得111ad，所以1(1)1(1)(1)2naandnn，（2）由（1）可知2(2)2nnban

17、n ，所以11111(1)1nnb bn nnn，所以111111(1)()()1223111nnTnnnn 【点睛】此题考查等差数列前n项和的基本量计算，考查裂项相消求和法的应用，考查计算能力，属于基础题 17（1）2nan；（2）第 2 年该公司开始获利.【分析】（1）根据题意得出数列的首项和公差，进而求得通项公式（2）根据题意算出总利润，进而令总利润大于 0，解出不等式即可.【详解】（1）由题意知，数列 na是12a，公差2d 的等差数列，所以112122naandnn.（2）设引进这种设备后，净利润与年数 n 的关系为 F n，则 2121222520252n nF nnnnn.令 0

18、F n 得220250nn，解得105 3105 3n，又因为nN，所以2n，3，4，18，即第 2 年该公司开始获利.第 10 页 共 12 页 18（1）11()3nna，3nnnb；（2）证明见解析.【分析】（1）利用等差数列的性质及1a得到29610qq，解方程即可；（2）利用公式法、错位相减法分别求出,nnS T，再作差比较即可.【详解】（1）因为 na是首项为 1 的等比数列且1a，23a，39a成等差数列，所以21369aaa，所以211169a qaa q，即29610qq，解得13q，所以11()3nna，所以33nnnnanb.（2）方法一：作差后利用错位相减法求和 211

19、213333nnnnnT，01211111122 3333nnS，23012112311111233332 3333nnnnSnT012111012222333111233 nnnn 设01211111012122223333 nnn，则123111101211222233333 nnn 由-得112111331211111332213233332313 nnnnnnn 所以211312432323 nnnnnn 因此10232323 nnnnnSnnnT 故2nnST 方法二【最优解】：公式法和错位相减求和法 证明：由（1）可得11(1)313(1)12313nnnS，第 11 页 共 12

20、 页 211213333nnnnnT，231112133333nnnnnT，得23121111333333nnnnT 1111(1)1133(1)1323313nnnnnn，所以31(1)432 3nnnnT，所以2nnST 3131(1)(1)0432 3432 3nnnnnn，所以2nnST.方法三：构造裂项法 由（）知13nnbn，令1()3nncn，且1nnnbcc，即1111()(1)333nnnnnn，通过等式左右两边系数比对易得33,24，所以331243nncn 则12113314423nnnnnTbbbcc，下同方法二 方法四：导函数法 设231()1nnxxf xxxxxx

21、，由于1221 11111(1)1(1)1nnnnnxxxxxxxxnxnxxxx，则12121(1)()123(1)nnnnxnxfxxxnxx 又1111333nnnbnn，所以2112311111233333nnnTbbbbn 12111(1)11133333113nnnnf 13113311(1)4334423nnnnnn，下同方法二 第 12 页 共 12 页【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.（2）的

22、方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,nnS T,然后证得结论,为最优解；方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造1()3nncn，使1nnnbcc，求得nT的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.第1页（共55页）新高考题型：解答题开放性问题（条件 3 选 1）数列 1已知公差不为 0 的等差数列na的首项12a，前n项和是nS，且_（1a，3a，7a成等比数列，(3)2nn nS，816a，任选一个条件填入上空），设12nnnba，求数列nb的前n项和n

23、T 2在35a，2526aab；22b，3433aab；39S，4528aab，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答 已知等差数列na的公差为(1)d d，前n项和为nS，等比数列nb的公比为q，且11ab，dq，（1）求数列na，nb的通项公式（2）记nnnacb，求数列nc的前n项和nT 3在等差数列na中，已知612a，1836a（1）求数列na的通项公式na；（2）若_，求数列nb的前n项和nS 在14nnnba a，(1)nnnba，2nannba这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解 4在414S ，515S ，615S 三个条件中任选两个，补充到下面问题中，

24、并解答 已知等差数列na的前n项和为nS，满足：，*nN（1）求nS的最小值；第2页（共55页）（2）设数列671nnaa的前n项和nT，证明：1nT 5从条件2(1)nnSna，1(2)nnnSSan，0na，22nnnaaS中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答 已知数列na的前n项和为nS，11a，_若1a，ka，2kS成等比数列，求k的值 6在355aa，47S；243nSnn；42514SS，5a是3a与92的等比中项，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目 已知nS为等差数列na的前n项和，若_（1）求na；（2）记2221nnnbaa，求数列nb的前n项

25、和nT 7已知na为等差数列，1a，2a，3a分别是表第一、二、三行中的某一个数，且1a，2a，3a中的任何两个数都不在表的同一列 第一列 第二列 第三列 第一行 第二行 4 6 9 第三行 12 8 7 请从12a，11a，13a 的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列na存在；并在此存在的数列na中，试解答下列两个问题（1）求数列na的通项公式；（2）设数列nb满足12(1)nnnba，求数列nb的前n项和nT 第3页（共55页）8在2nSnn，3516aa，3542SS，171,56nnanSan这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答 设等差数列na的前n项和为nS

26、，数列nb为等比数列，_，12112,2a aba b求数列1nnbS的前n项和nT 9在2342aaa，22nnSa，425SS三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答在已知等比数列na的公比0q 前n项和为nS，若 _，数列nb满足11,13nnnba bb（1）求数列na，nb的通项公式；（2）求数列1nnna b b的前n项和nT，并证明13nT 10在131nnSS，211,2139nnaSa 这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并给出解答 已知数列na的前n项和为nS，满足_，_；又知正项等差数列nb满足12b，且1b，21b，3b成等比数列（1）求na和nb的通项公式；（

27、2）证明：12326nbbbaaa 11给出以下三个条件：数列na是首项为 2，满足142nnSS的数列；数列na是首项为 2，满足2132()nnSR 的数列；数列na是首项为 2，满足132nnSa的数列 第4页（共55页）请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解 设数列na的前n项和为nS，na与nS满足_，记数列21222logloglognnbaaa，21nnnnncb b，求数列nc的前n项和nT 12在5462abb，35144()aabb，24235b Sa b三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答 设na是公比大于 0 的等比数列，其前n项和为nS，nb是

28、等差数列已知11a，32212SSaa，435abb，_（1）求na和nb的通项公式；（2）设1 12233nnnTa ba ba ba b，求nT 13在4S是2a与21a的等差中项；7a是33S与22a的等比中项；数列2na的前 5 项和为65 这三个条件中任选一个，补充在横线中，并解答下面的问题 已知na是公差为 2 的等差数列，其前n项和为nS，_（1）求na；（2）设3()4nnnba；是否存在kN，使得278kb？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由 14设数列na的前n项和为nS，11a，_ 给出下列三个条件：条件：数列na为等比数列，数列1nSa也为等比数列；条件：点(nS，

29、1)na在直线1yx上；条件：1121222nnnnaaana 第5页（共55页）试在上面的三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：（1）求数列na的通项公式；（2）设21231loglognnnbaa，求数列nb的前n项和nT 15在2351aaab，2372a aa，315S 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答 已知等差数列na的公差0d，前n项和为nS，若 _，数列nb满足11b，213b，11nnnna bnbb（1）求na的通项公式；（2）求nb的前n项和nT 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 16在53AB，122114aaB，535B

30、 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答 已知等差数列na的公差为(0)d d，等差数列nb的公差为2d 设nA，nB分别是数列na，nb的前n项和，且13b，23A，_（1）求数列na，nb的通项公式；（2）设132nannncb b，求数列nc的前n项和nS 17535abb，387S 91012aabb这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答 设等差数列na的前n项和为nS，数列nb的前n项和为nT，_，16ab，若对于任意*nN都有21nnTb，且(nkSSk为常数），求正整数k的值 第6页（共55页）注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分 18在1，na

31、，nS成等差数列，递增等比数列na中的项2a，4a是方程21090 xx的两根，11a，120nnaa这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k存在，求k的值；若k不存在，说明理由已知数列na和等差数列nb满足 _，且14ba，223baa，是否存在(320,)kkkN使得kT是数列na中的项？(nS为数列na的前n项和，nT为数列nb的前n项和）注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 19给出以下三个条件：34a，43a，52a成等差数列；对于*nN，点(,)nn S均在函数2xya的图象上，其中a为常数；37S 请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解 设n

32、a是一个公比为(0,1)q qq的等比数列，且它的首项11a，（1）求数列na的通项公式；（2）令*22log1()nnbanN，证明数列11nnb b的前n项和12nT 20在133aab，52a ，254bSb 这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中若问题中的m存在，求出m的值；若不存在，请说明理由 等差数列na的前n项和为nS，nb是各项均为正数的等比数列，且12b，2312bb是否存在大于 2 的正整数m，使得14S，3S，mS成等比数列？21在2213(0)nnnaaa，211390nnnnaa aa，222nSnn这三个条件中任选一个，补充在下面问题中 第7页（共55页）已知：数

33、列na的前n项和为nS，且11a，（1）求数列na的通项公式；（2）对大于 1 的自然数n，是否存在大于 2 的自然数m，使得1a，na，ma成等比数列若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由 22在21nnSb，14(2)nnbbn，12(2)nnbbn这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求出k的值；若k不存在，说明理由 已知数列na为等比数列，123a，312aa a，数列nb的首项11b，其前n项和为nS，是否存在k，使得对任意*nN，nnkka ba b恒成立？23已知函数()log(kf xx k为常数，0k 且1)k （1）在下列条件中选择一个 使数列na是等

34、比数列，说明理由；数列()nf a是首项为 2，公比为 2 的等比数列；数列()nf a是首项为 4，公差为 2 的等差数列；数列()nf a是首项为 2，公差为 2 的等差数列的前n项和构成的数列（2）在（1）的条件下，当2k 时，设12241nnna bn，求数列nb的前n项和nT 24在44ab，624S 这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的正整数k存在，求k的值；若k不存在，请说明理由 设nS为等差数列na的前n项和，nb是等比数列，15ba，39b ，6243b 是否存在k，使得1kkSS且1kkSS？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 第8页（共55页）2

35、5设33Ma，22Na，4Ta，给出以下四种排序：M，N，T；M，T，N；N，T，M；T，N，M从中任选一个，补充在下面的问题中，解答相应的问题 已知等比数列na中的各项都为正数，11a，且_依次成等差数列（）求na的通项公式；（）设,01,1,1,nnnnnaabaa数列nb的前n项和为nS，求满足100nnSb的最小正整数n 26已知数列na的前n项和为nS，11a，1(0nnSpap且1p ，*)nN（1）求na的通项公式；（2）在1ka，3ka，2ka2ka，1ka，3ka这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中：对任意的正整数k，若将1ka，2ka，3ka按_的顺序排列后构成等差数列

36、，求p的值 27设*nN，数列na的前n项和为nS，已知12nnnSSa，_ 请在1a，2a，5a成等比数列，69a，535S 这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题（1）求数列na的通项公式；（2）若数列nb满足1(2)(1)nannnba，求数列nb的前2n项的和2nT 28已知公差不为 0 的等差数列的首项12a，前n项和为nS，且 _（1a，2a，4a成等比数列；(3)2nn nS；926a 任选一个条件填入上空）设3nanb，nnnacb，数列nc的前n项和为nT，试判断nT与13的大小 第9页（共55页）注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 29在2a，3a

37、，44a 成等差数列；1S，22S，3S成等差数列；12nnaS中任选一个，补充在下列的问题中，并解答在各项均为正数等比数列na中，前n项和为nS，已知12a，且 （1）求数列na的通项公式；（2）数列nb的通项公式1211nnnnbaa，*nN，求数列nb的前n项和nT 30 在36Sa，420S，14724aaa这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分）已知等差数列na的前n项和为nS，满足36a，_（1）求na的通项公式；（2）设2nannba，求nb的前n项和nT 31已知na是等差数列，nb是等比数列，15ba，23b，581b

38、 （1）求数列nb的通项公式：（2）设数列na的前n项和为nS，在132bba，44ab这两个条件中任选一个，补充在题干条件中，是否存在k，使得1kkSS且21kkSS？若问题中的k存在，求k的值；着k不存在，说明理由 32已知等差数列na的公差为d，前n项和为nS，315S，0na，1d，且_从“21a 为11a 与31a 的等比中项”，“等比数列nb的公比12q，12ba，33ba”这两个条件中，选择一个补充在上面问题中的划线部分，使得符合条件的数列na存在并作答 第10页（共55页）（1）求数列na的通项公式；（2）设数列11nna a的前n项和为nT，求nT 33在312S，2123a

39、a，824a 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答 已知na是公差不为 0 的等差数列，其前n项和为nS，_，且1a，2a，4a成等比数列（1）求数列na的通项公式；（2）设数列nb是各项均为正数的等比数列，且21ba，44ba，求数列nnab的前n项和nT 34在4516aa；39S；2(nSnr r为常数）这 3 个条件中选择 1 个条件，补全下列试题后完成解答（选择多个条件并分别解答的按第 1 个评分）设等差数列na的前n项和为nS，若数列na的各项均为正整数，且满足公差1d，_ （1）求数列na的通项公式；（2）令21nanb，求数列nb的前n项的和 35已知na为等差数列，各

40、项为正的等比数列nb的前n项和为nS，且1122ab，2810aa，_在1()nnSbR；43212aSSS；2()nanbR这三个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答（如果选择多个条件解答，则按选择第一个解答计分）（1）求数列na和nb的通项公式；（2）求数列nnab的前n项和nT 第11页（共55页）36在5CA CB ，ABC的面积为3 3，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题：在ABC中，角A，B，C所对各边分别为a，b，c，已知sinsin1sinsinsinsinACBCAB，_，且1b （1）求ABC的周长；（2）已知数列na为公差不为 0

41、 的等差数列，数列nb为等比数列，1cos1aA，且11ba，23ba，37ba若数列nc的前n项和为nS，且113c，111nnnnnacba a2n 证明：116nS 注：在横线上填上所选条件的序号，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 第12页（共55页）新高考题型：解答题开放性问题（条件 3 选 1）数列答案解析 1已知公差不为 0 的等差数列na的首项12a，前n项和是nS，且_（1a，3a，7a成等比数列，(3)2nn nS，816a，任选一个条件填入上空），设12nnnba，求数列nb的前n项和nT 解：设等差数列na的公差为d，选：由1a，3a，7a成等比数列得22111

42、(6)(2)a adad，化简得20ddd，11ndan，于是1(1)2nnbn，212 13 24 2(1)2nnTn，2322 23 24 2(1)2nnTn，相减得：212222(1)22nnnnTnn，2nnTn；选：13122,122nnnn nnnnaSSn时，1n 时，12a，符合上式，1nan，下同；选：8128 1aad，22(1)2nann，2nnbn，231 222322nnTn ，234121 222322nnTn ，相减得2311122222222nnnnnTnn，1(1)22nnTn 第13页（共55页）2在35a，2526aab；22b，3433aab；39S，4

43、528aab，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答 已知等差数列na的公差为(1)d d，前n项和为nS，等比数列nb的公比为q，且11ab，dq，22b，3433aab （1）求数列na，nb的通项公式（2）记nnnacb，求数列nc的前n项和nT 解：选择（1）35a，2526aab，11ab，dq，111251256addada d，解得112ad或1256512ad（舍去），112bq，1(1)21nndn，1112nnnbbq，（2）nnnacb，11211(21)()22nnnncn，2211111135()(23)()(21)()2222nnnTnn ，23111111

44、13()5()(23)()(21)()222222nnnTnn ，121111()11111112212()()(21)()12(21)()3(23)()1222222212nnnnnnTnnn ，116(23)()2nnTn 选择22b，3433aab；第14页（共55页）（1）设11abt，1dq，由22b，3433aab，可得2tq，2253tdtq，又dq，解得2dq，1t，可得12(1)21nann；12nnb；（2）11(21)()2nnnnacnb，前n项和11111135(21)()242nnTn，11111135(21)()22482nnTn，两式相减可得2111111 1(

45、)(21)()22422nnnTn ，111121(1)()1212nnn，化简可得116(23)()2nnTn 选择39S，4528aab，11ab，dq，1d，1113278adada d，解得112ad或121838ad（舍去），1(1)21naandn，1112nnnbbq（2）11211(21)()22nnnnnnanccnb，2211111135()(23)()(21)()2222nnnTnn ，2311111113()5()(23)()(21)()222222nnnTnn ，121111()11111112212()()(21)()12(21)()3(23)()122222221

46、2mnnnnnTnnn ，第15页（共55页）116(23)()2nnTn 3在等差数列na中，已知612a，1836a（1）求数列na的通项公式na；（2）若_，求数列nb的前n项和nS 在14nnnba a，(1)nnnba，2nannba这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解 解：（1）由题意，设等差数列na的公差为d，则 115121736adad，解得122ad，2(1)22nann，*nN（2）方案一：选条件 由（1）知，144122(1)(1)nnnba annn n，12nnSbbb 1111 223(1)n n 1111112231nn 111n 1nn 方案二：

47、选条件 由（1）知，(1)(1)2nnnnban ，122468(1)2nnnSbbbn ，()i当n为偶数时，12nnSbbb 2468(1)2nn ，第16页（共55页）(24)(68)2(1)2 nn 222 22n n，()ii当n为奇数时，1n为偶数，12nnSbbb 2468(1)2nn ，(24)(68)2(2)2(1)2nnn 2222n 1222nn 1n ，,1,.nn nSnn 为偶数为奇数；方案三：选条件 由（1）知，222224nannnnbann，1231224446424nnnSbbbn，231424442(1)424nnnSnn，两式相减，可得 12313242

48、4242424nnnSn 12118(1444)24nnn 11482414nnn 12(13)8433nn 12(31)8499nnnS 4在414S ，515S ，615S 三个条件中任选两个，补充到下面问题中，并解 第17页（共55页）答 已知等差数列na的前n项和为nS，满足：，*nN（1）求nS的最小值；（2）设数列671nnaa的前n项和nT，证明：1nT 解：（1）若选择；由题知：6650aSS，又因为15535()5152aaSa，所以33a 所以6333daa，解得1d 所以6(6)6naann 所以125670aaaaa，所以6515nSSS 若选择；由题知：5541aSS

49、，又因为15535()5152aaSa，所以33a 所以5322daa，1d 所以3(3)6naandn 所以125670aaaaa，所以6515nSSS 若选择；由题知：1666()152aaS，所以161255aaad 由题知：1444()142aaS，所以141237aaad 第18页（共55页）所以15a ，1d 所以6nan 所以125670aaaaa，所以6515nSSS 证明（2）因为6nan，所以671111(1)1nnaan nnn 所以11111111122311nTnnn 5从条件 2(1)nnSna，1(2)nnnSSan，0na，22nnnaaS中任选一个，补充到下面

50、问题中，并给出解答 已知数列na的前n项和为nS，11a，_若1a，ka，2kS成等比数列，求k的值 解：选择2(1)nnSna，112(2)nnSna，相减可得：112(2)(1)nnnanana，11nnaann，111naan，可得：nan 2(2)(12)(2)(3)22kkkkkS 1a，ka，2kS成等比数列，212kkaa S，2(2)(3)2kkk，*kN，解得6k 选择1(2)nnnSSan，变形得：1111()()nnnnnnnnSSSSSSSS，0nS，化为：11nnSS，数列nS是等差数列，首项为 1，公差为 111nSnn ，解得2nSn 2n时，221(1)21nn